Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng

Chia sẻ: Ducan Lucifer | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
427
lượt xem
111
download

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài viết 'bất đẳng thức bunhiacopxki và ứng dụng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng

  1. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : Cho 2 bộ số thực ( a1 ; a2 ;...; an ) và ( b1 ; b2 ;...; bn ) , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: ≤ ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) ( b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a a1 a2 = = ... = n với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. b1 b2 bn II. Các hệ quả : Hệ quả 1: C Nếu a1 x1 + ... + an xn = C (không đổi) thì min ( x12 + ... + xn ) = 2 a + ... + an 2 2 1 x x1 = ... = n đạt được khi a1 an Hệ quả 2: Nếu x12 + ... + xn = C 2 (không đổi) thì max ( a1 x1 + ... + an xn ) = C a12 + ... + an 2 2 x x1 = ... = n ≥ 0 đạt được khi a1 an min ( a1 x1 + ... + an xn ) = − C a12 + ... + an 2 x x1 Dấu “=” xảy ra ⇔ = ... = n ≤ 0 a1 an III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm ( a1 ; a2 ;...; an ) ; ( b1 ; b2 ;...; bn ) ; ( c1 ; c2 ;...; cn ) ta luôn có : ( a1b1c1 + a2 b2 c2 + ... + an bn cn ) ≤ ( a13 + a23 + ... + an3 ) ( b13 + b23 + ... + bn3 ) ( c13 + c23 + ... + cn3 ) 2 Chứng minh: Đặt A = 3 a13 + a2 + ... + an , B = 3 b13 + b2 + ... + bn , C = 3 c13 + c2 + ... + cn 3 3 3 3 3 3 www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 1 
  2. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Nếu A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0. Vậy ta chỉ xét trường hợp A > 0; B > 0; C > 0 a b c Đặt xi = i ; yi = i ; zi = i với i = 1; 2;3 A B C ⎧ x1 + x2 + x3 = 1 3 3 3 ⎪ Khi đó ta có: ⎨ y13 + y2 + y3 = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3 ≤ 1 3 3 ⎪3 ⎩ z1 + z2 + z3 = 1 3 3 ⎧ x 3 + x13 + x13 x1 y1 z1 ≤ 1 ⎪ 3 ⎪ ⎪ x2 + x2 + x2 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: xi ; yi ; zi ( i = 1; 2;3) ta có: ⎨ x2 y2 z2 ≤ 3 3 3 3 ⎪ ⎪ x + x3 + x3 3 3 3 x3 y3 z3 ≤ 3 ⎪ 3 ⎩ Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3 ≤ 1 (đpcm) ⎧ a1 b1 c1 ⎪A = B =C ⎧ x1 = y1 = z1 ⎪ ⎪ ⎪ a2 b2 c2 Đẳng thức xảy ra ⇔ ⎨ x2 = y2 = z2 ⇔ ⎨ = = ABC ⎪x = y = z ⎪ ⎩3 ⎪ a3 b3 c3 3 3 ⎪A = B =C ⎩ Hay ai : bi : ci = A : B : C ( i = 1; 2;3) tức là: a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 = a3 : b3 : c3 • Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm: Cho m dãy số thực không âm: ( a1 ; a2 ;...; an ) , ( b1 ; b2 ;...; bn ) , … , ( K1 ; K 2 ;...; K n ) Ta có: ( a1b1...K1 + a2b2 ...K 2 + ... + anbn ...K n ) ≤ ( a1m + a2m + ... + anm ) ( b1m + b2m + ... + bnm ) ... ( K1m + K 2m + ... + K nm ) m Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 : b1 : ... : K1 = a2 : b2 : ... : K 2 = an : bn : ... : K n ( chứng minh tương tự như trên) I- MỘT SỐ VÍ DỤ : Bài 1: Cho x, y, z là ba số dương thỏa 4 x + 9 y + 16 z = 49 . Chứng minh rằng: 1 25 64 T= + + ≥ 49 xy z www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 2 
  3. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải 158 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 x ;3 y ; 4 z và ta được: ; ; x yz ⎡ 2⎤ 2 ⎤ ⎢⎛ 1 ⎞ + ⎛ 5 ⎞ + ⎛ 8 ⎞ ⎥ 2 ⎛ 1 25 84 ⎞ ⎡ ( ) + (3 y ) ( ) 2 2 2 49.T = ( 4 x + 9 y + 16 z ) ⎜ + + ⎟= 2 x +4z ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜ x ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ z ⎟ ⎥ z⎠ ⎢⎣ ⎦⎝ ⎝x y ⎠⎝ ⎠⎦ ⎠⎝ ⎣ 2 ⎛ 8⎞ 1 5 ≥ ⎜ 2 x. + 3 y. + 4 z. ⎟ = 49 2 ⎜ ⎟ x y z⎠ ⎝ 1 25 64 ⇒T = + + ≥ 49 xy z ⎧ 1 ⎪x = 2 ⎧1 5 8 ⎪ ⎪= = ⎪ 5 ⇔ ⎨y = Đẳng thức xảy ra khi ⎨ 2 x 3 y 4 z 3 ⎪4 x + 9 y + 16 z = 49 ⎪ ⎩ ⎪z = 2 ⎪ ⎩ Bài 2 : Cho x > 0; y > 0 và x 2 + y 2 ≤ x + y .Chứng minh: x + 3y ≤ 2 + 5 Hướng dẫn giải 2 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 Giả thiết: x 2 + y 2 ≤ x + y ⇔ ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ ≤ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎝ ⎛ 1⎞ 1 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: (1;3) ; ⎜ x − ; y − ⎟ ta có: ⎝ 2 2⎠ ⎡⎛ 1⎞ ⎤ 2 2 2 ⎡ ⎛ 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎢1. ⎜ 1 − 2 ⎟ + 3. ⎜ y − 2 ⎟ ⎥ ≤ 10 ⎢⎜ x − 2 ⎟ + ⎜ y − 2 ⎟ ⎥ ≤ 5 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎢⎝ ⎠⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ ⇒ ( x + 3 y − 2) ≤ 5 2 ⇒ x + 3y − 2 ≤ 5 ⇒ x + 3y ≤ 2 + 5 ⎧ 1 5 ⎪x = + ⎪ 2 10 Đẳng thức xảy ra khi ⎨ ⎪y = 1 + 3 5 ⎪ ⎩ 2 10 Bài 3 : Cho a, b, c ≥ 0 ; a + b + c = 1 .Chứng minh: www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 3 
  4. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 1 1 1 1 + ++ ≥ 30 a +b +c 2 2 2 ab bc ac Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Gọi A = + ++ a +b +c 22 2 ab bc ac Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ⎛ 1⎞ 1 1 1 ; ; ; ⎜2 ⎟ ab bc ca ⎠ ⎝ a +b +c 2 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ;3 ab ;3 bc ;3 ca Ta có: (1 + 3 + 3 + 3) ≤ ( a 2 + b 2 + c 2 + 9ab + 9bc + 9ca ) A 2 ⇒ 100 ≤ ⎡( a + b + c ) + 7 ( ab + bc + ca ) ⎤ A (*) 2 ⎣ ⎦ 1 1 Mà ab + bc + ca ≤ ( a + b + c ) = (do a + b + c = 1) 2 3 3 Do đó: (*) ⇒ A ≥ 30. 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3 1 1 1 Bài 4 : Cho x; y; z > 0 và thoả x + y + z ≤ 1 .Chứng minh : x2 + + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 2 x y z Hướng dẫn giải 1 1 1 Gọi S = x 2 + + y2 + 2 + z2 + 2 2 x y z ⎛ 1⎞ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: (1;9 ) ; ⎜ x; ⎟ ⎝ x⎠ 9 1 1 x + ≤ 1 + 81. x 2 + 2 = 82. x 2 + 2 (1) Ta có: x x x 9 1 y + ≤ 82. y 2 + 2 Tương tự: ` (2) y y 9 1 z+ ≤ 82. z 2 + 2 (3) z z ⎛1 1 1⎞ S . 82 ≥ x + y + z + 9 ⎜ + + ⎟ Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: ⎝x y z⎠ ⎛1 1 1⎞ S . 82 ≥ 81( x + y + z ) + 9 ⎜ + + ⎟ − 80 ( x + y + z ) Hay ⎝x y z⎠ www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 4 
  5. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn ⎛1 1 1⎞ ( x + y + z)⎜ ≥ 2.9.3. + + ⎟ − 80 ≥ 162 − 80 = 82 ⎝x y z⎠ 1 1 1 x2 + + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 Vậy 2 x y z Bài 5 : Cho ba số thực dương a, b, c thoả ab + bc + ca = abc .Chứng minh rằng: b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥3 ab bc ca Hướng dẫn giải b 2 + 2a 2 b 2 + 2a 2 1 1 = = + 2 2 (do a, b dương) Ta có: 22 2 ab ab a b 1 1 1 Đặt x = ; y = ; z = thì a b c ⎧a, b, c > 0 ⎧ x; y; z > 0 ⇔⎨ giả thiết ⎨ ⎩ab + bc + ca = abc ⎩x + y + z = 1 và (đpcm) ⇔ x 2 + 2 y 2 + y 2 + 2 z 2 + z 2 + 2 x 2 ≥ 3 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 3( x2 + 2 y2 ) = 3( x2 + y2 + y2 ) ≥ ( x + y + y ) 2 1 ( x + 2y) ⇒ x2 + 2 y 2 ≥ 3 1 ( y + 2z ) y2 + 2z2 ≥ Tương tự 3 1 ( z + 2x) z 2 + 2 x2 ≥ 3 1 ( 3x + 3 y + 3z ) = x2 + 2 y 2 + y 2 + 2 z 2 + z 2 + 2 x2 ≥ Vậy 3 3 1 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 3 1 Với x = y = z = thì a = b = c = 3 3 a − 1 + b − 1 + c − 1 ≤ c ( ab + 1) với mọi số thực dương a; b; c ≥ 1 Bài 6 : Chứng minh: Hướng dẫn giải Đặt a − 1 = x ; b − 1 = y ; c − 1 = z 2 2 2 Với x; y; z > 0. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: (z + 1) ⎡( x 2 + 1)( y 2 + 1) + 1⎤ x+ y+z ≤ 2 ⎣ ⎦ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 5 
  6. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn (x + 1)( y 2 + 1) ⇒ x + y + z ≤ (x + 1) ( y 2 + 1) + z x+ y≤ 2 2 (1) ( x + 1)( y + 1) + z ≤ (x + 1)( y 2 + 1) + 1. z 2 + 1 2 2 2 (2) (z + 1) ⎡( x 2 + 1)( y 2 + 1) + 1⎤ Kết hợp (1) và (2) ta có x + y + z ≤ 2 ⎣ ⎦ a − 1 + b − 1 + c − 1 ≤ c ( ab + 1) Vậy (đpcm) Bài 7 : Cho a; b; c > 0 và thoả abc = 1 .Chứng minh: 1 1 1 3 +3 +3 ≥ a (b + c ) b ( c + a ) c ( a + b ) 2 3 Hướng dẫn giải 1 1 1 ⇒ xyz = 1; x > 0; y > 0; z > 0 Đặt x = ; y = ; z = a b c x2 y2 z2 3 + + ≥ Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= y+z z+x x+ y 2 ⎛x z⎞ ( ) y y + z ; z + x; x + y ;⎜ ⎜ y+z z+x x+ y ⎟ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ; ; ⎟ ⎝ ⎠ Ta có: ( x + y + z ) ≤ ( y + z + z + x + x + y ) A 2 x+ y+z 3 3 3 3 ⇒ A≥ ≥ . xyz = (do xyz = 1 ) ⇒ A≥ 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 Với x = y = z = 1 thì a = b = c = 1. Bài 8 : Cho a; b; c > 0 .Chứng minh: a b c + + ≤1 ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) a+ b+ c+ Hướng dẫn giải ( )( ) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: a; b ; c; a Ta có: ( ) 2 ≤ ( a + b )( c + a ) ⇒ ac + ab ≤ ( a + b )( c + a ) ac + ab ( a + b )( c + a ) ⇒ a + ac + ab ≤ a + a a a ⇒ ≤ = (1) ( a + b )( a + c ) a + ac + ab a+ b+ c a+ www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 6 
  7. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn b b ≤ Tương tự: (2) ( b + c )( b + a ) a+ b+ c b+ c c ≤ (3) ( c + a )( c + b ) a+ b+ c c+ Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: a b c + + ≤1 ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) a+ b+ c+ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . 3 2 −3 ab Bài 9 : Cho a; b > 0 và thoả a 2 + b 2 = 9 .Chứng minh : ≤ a+b+3 2 Hướng dẫn giải Ta có: a 2 + b 2 = 9 ⇔ 2ab = ( a + b ) − 9 2 ⇔ 2ab = ( a + b + 3)( a + b − 3) 2ab ⇔ = a +b−3 a+b+3 a+b 3 ab ⇔ = − a+b+3 2 2 Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì a + b ≤ 2. a 2 + b 2 = 3 2 3 2 −3 ab ≤ Nên a+b+3 2 ⎧a; b > 0 ⎪ ⎪ 3 Đẳng thức xảy ra khi ⎨a 2 + b 2 = 9 ⇔ a = b = 2 ⎪ ⎪a = b ⎩ p+q p+q p+q 111 ++≥ + + Bài 10: Cho a; b; c; d dương tuỳ ý.Chứng minh : a b c pa + qb pb + qc pc + qa Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có 2 ⎛p ⎞ ⎛ p q⎞ q ( p + q) ⎜ a . pa + b . qb ⎟ ≤ ⎜ a + b ⎟ ( pa + qb ) 2 =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tương tự ta chứng minh được ⎛ p q⎞ ⎛ p q⎞ ( p + q) ≤ ⎜ + ⎟ ( pb + qc ) ; ( p + q) ≤ ⎜ + ⎟ ( pc + qa ) 2 2 ⎝b c⎠ ⎝ c a⎠ Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có : www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 7 
  8. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn ⎡1 1⎤ ⎛1 1 1⎞ 1 ( p + q) ⎢ pa + qb + pb + qc + pc + qa ⎥ ≤ ( p + q ) ⎜ a + b + c ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡1 1 ⎤111 1 ( p + q) ⎢ + + ⎥≤ + + Hay ⎣ pa + qb pb + qc pc + qa ⎦ a b c p+q p+q p+q 111 ++≥ + + Vậy a b c pa + qb pb + qc pc + qa Bài 11 : Cho 4 số dương a; b; c; d .Chứng minh: a 2 + b2 + c2 + d 2 a3 b3 c3 d3 + + + ≥ b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c 3 Hướng dẫn giải 3 3 3 d3 a b c Đặt P = + + + b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ⎛ ⎞ ( ) a3 b3 c3 d3 ⎟ ; a (b + c + d ); b ( c + d + a ); c ( d + b + a ); d ( a + b + c ) ⎜ ; ; ; ⎜ b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c ⎟ ⎝ ⎠ Ta có: ( a + b + c + d ) ≤ P ⎡a ( b + c + d ) + b ( c + d + a ) + c ( d + a + b ) + d ( a + b + c )⎤ 22 2 2 2 ⎣ ⎦ ⇔ ( a + b + c + d ) ≤ P ⎡( a + b + c + d ) − ( a + b + c + d ) ⎤ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) ⎣ ⎦ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( a; b; c; d ) ; (1;1;1;1) ta được: ≤ 4 ( a 2 + b2 + c2 + d 2 ) (a + b + c + d ) 2 (2) (a + b 2 + c 2 + d 2 ) ≤ 3P ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 2 Từ (1) và (2) ta được ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 3P a 2 + b2 + c2 + d 2 a3 b3 c3 d3 + + + ≥ Vậy b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c 3 a b c + + ≥1 Bài 12 : Cho các số dương a; b; c thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Hướng dẫn giải a b c a b c Đặt A = + + = + + 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c 2b + c 2c + a 2a + b Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 ⎡ ⎤ a b c (a + b + c) = ⎢ a ( 2b + c ) + b ( 2c + a ) + c ( 2a + b ) ⎥ 2 ⎣ 2b + c 2c + a 2a + b ⎦ ⎡a c⎤ b ⎡ a ( 2b + c ) + b ( 2c + a ) + c ( 2a + b ) ⎤ ≤⎢ + + ⎣ ⎦ ⎣ 2b + c 2c + a 2a + b ⎥ ⎦ www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 8 
  9. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn (a + b + c) 2 ⇔ A≥ 3 ( ab + bc + ca ) Ta lại có: 3 ( ab + bc + ca ) (a + b + c) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) . Suy ra A ≥ 2 =1 3 ( ab + bc + ca ) a b c + + ≥1 Vậy 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c ⎧2b + c = 2c + a = 2a + b ⎪ 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi ⎨a = b = c ⇔a=b=c= 3 ⎪a + b + c = 1 ⎩ Bài 13 : Giả sử các số thực x; y; z; t thoả mãn điều kiện: a ( x 2 + y 2 ) + b ( z 2 + t 2 ) = 1 với a; b là hai số dương cho a+b trước. Chứng minh: ( x + z )( y + t ) ≤ ab Hướng dẫn giải Do a; b > 0 nên từ giả thiết ta có: x2 + y 2 z 2 + t 2 1 a(x + y ) + b(z + t ) = 1 ⇔ + = 2 2 2 2 b a ab 2 2 2 2 x z y t 1 ⇔ ++ += b a b a ab Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 ⎛ x2 z 2 ⎞ ⎛x ⎞ z ( x + z) = ⎜ . a ⎟ ≤ (b + a ) ⎜ + ⎟ 2 . b+ (1) ⎝b a⎠ ⎝b ⎠ a ⎛ y2 t 2 ⎞ ( y + t ) ≤ (b + a ) ⎜ + ⎟ 2 Tương tự : (2) ⎝b a⎠ Cộng từng vế (1) và (2) ta được: ⎛ x2 z 2 y 2 t 2 ⎞ a + b ( x + z ) + ( y + t ) ≤ (b + a ) ⎜ + + + ⎟ = 2 2 (3) ⎝b a b a⎠ ab Mặt khác ( x + z ) + ( y + t ) ≥ 2 ( x + z )( y + t ) 2 2 (4) a+b Do đó từ (3) và (4) suy ra: ( x + z )( y + t ) ≤ ab ⎧x z ⎪b = a ⎧x = y ⎪ ⎪y t ⎪ Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ⎨ = ⇔⎨ ax ⎪z = t = b ba ⎪ ⎩ ⎪x + z = y + t ⎪ ⎩ www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 9 
  10. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Bài 14 : Cho các số thực dương x; y; z; t thoả mãn xyzt = 1. Chứng minh: 1 1 1 1 4 +3 +3 +3 ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( xt + ty + yx ) t ( xy + yz + zx ) 3 3 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Với x; y; z; t dặt a = ; b = ; c = ; d = (a; b; c; d > 0) và abcd = 1 x y z t 1 1 1 1 ⇒ x = ; y = ; z = ;t = a b c d Bất đẳng thức cần chứng minh tương với: 1 1 1 1 4 + + + ≥ 1⎛1 1⎞ 1⎛1 1 ⎞ 1⎛ 1 1⎞ 1⎛1 1⎞ 3 1 1 1 1 + + + + + +⎟ ++⎟ 3⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ 3⎜ 3⎜ a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠ a3 b3 c3 d3 4 ⇔ + + + ≥ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 3 bcd adc abd abc 3 3 3 d3 a b c 4 ⇔ + + + ≥ (vì abcd = 1 ) a (b + c + d ) b ( c + d + a ) c ( d + a + b) d ( a + b + c ) 3 a2 b2 c2 d2 4 ⇔ + + + ≥ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 3 a2 b2 c2 d2 Đặt S = + + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: S . ⎡( b + c + d ) + ( c + d + a ) + ( d + a + b ) + ( a + b + c ) ⎤ ≥ ( a + b + c + d ) 2 ⎣ ⎦ (a + b + c + d ) 1 2 = (a + b + c + d ) ⇒S≥ (1) 3( a + b + c + d ) 3 Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương: a + b ≥ 2 ab ; c + d ≥ 2 cd ( ) Suy ra a + b + c + d ≥ 2 ab + cd Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ab ; cd ta có: ab + cd ≥ 2 abcd = 2 4 abcd = 2 (vì abcd = 1 ) (2) 4 Từ (1) và (2) suy ra S ≥ 3 1 1 1 1 4 + + + ≥ Vậy 1⎛1 1⎞ 1⎛1 1 ⎞ 1⎛ 1 1⎞ 1⎛1 1⎞ 3 1 1 1 1 + + + + + +⎟ ++⎟ 3⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ 3⎜ 3⎜ a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠ Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1 ⇔ x = y = z = t = 1 . www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 10 
  11. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Bài 15 : Cho x1 ; x2 ; x3 ; x4 dương thoả điều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = 1 .Chứng minh : x14 + x2 + x3 + x4 1 4 4 4 ≥ x13 + x2 + x3 + x4 4 3 3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 1 = ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ≤ 4 ( x12 + x2 + x3 + x4 ) 2 2 2 2 1 ⇒ x12 + x2 + x3 + x4 ≥ 2 2 2 (1) 4 ) ( (x + x2 + x3 + x4 ) = 2 x1 . x13 + x2 . x2 + x3 . x3 + x4 . x4 2 2 2 2 3 3 3 • 1 ≤ ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ( x13 + x2 + x3 + x4 ) 3 3 3 (vì x1 + x2 + x3 + x4 = 1 ) = x13 + x2 + x3 + x4 3 3 3 x +x +x +x 3 3 3 3 ⇔ ≥ x12 + x2 + x3 + x4 2 2 2 1 2 3 4 (2) x +x +x +x 2 2 2 2 1 2 3 4 (x + x + x + x ) 32 3 3 3 • 1 2 3 4 = ( x .x + x .x + x .x + x .x ) 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 ≤ ( x + x + x + x )( x + x + x + x4 ) 2 2 2 2 4 4 4 4 1 2 3 4 1 2 3 x14 + x2 + x3 + x4 x13 + x2 + x3 + x4 4 4 4 3 3 3 ⇒3 ≥ (3) x1 + x2 + x3 + x4 x12 + x2 + x3 + x4 3 3 3 2 2 2 Từ (1);(2) và (3) suy ra: x14 + x2 + x3 + x4 1 4 4 4 ≥ x13 + x2 + x3 + x4 4 3 3 3 Bài 16 : Cho bốn số dương a; b; c; d .Chứng minh: a+b+c+d a4 b4 c4 d4 + + + ≥ (a + b) (a ) (b + c ) (b ) (c + d ) (c ) (d + a)(d ) +b +c +d +a 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( a + b ) ≤ 2 ( a 2 + b2 ) ⇔ ( a 2 + b2 ) ( a + b ) ≤ 2 ( a 2 + b2 ) ≤ 4 ( a 2 + b2 ) 2 2 (1) a 4 + b4 1 (a + b) ⇔ ≥ ( a + b) ( a ) +b 4 2 2 a −b 4 4 = a −b Mặt khác: ( a + b ) ( a 2 + b2 ) a4 b4 c4 d4 Đặt N = + + + ( a + b ) ( a 2 + b2 ) ( b + c ) ( b2 + c2 ) ( c + d ) ( c2 + d 2 ) ( d + a ) ( d 2 + a 2 ) www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 11 
  12. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Ta có: (a − b4 ) + ( a 4 + b4 ) (b − c 4 ) + ( b4 + c 4 ) (c − d 4 ) + ( c4 + d 4 ) (d − a4 ) + ( d 4 + a4 ) 4 4 4 4 2N = + + + (1) ( a + b ) ( a 2 + b2 ) ( b + c ) ( b2 + c 2 ) ( c + d ) ( c2 + d 2 ) ( d + a ) ( d 2 + a2 ) 1 1 1 1 ( a + b) + a − b + (b + c ) + b − c + (c + d ) + c − d + ( d + a ) + d − a ⇔ 2N ≥ 4 4 4 4 1 1 ⇔ 2 N ≥ ( a + b + b + c + c + d + d + a ) ⇔ N ≥ ( a + b + c + d ) ( đpcm ) 4 4 a b c + + ≥1 Bài 17 : Cho a; b; c là các số thực dương.Chứng minh: a + 8bc b + 8ac c + 8ab 2 2 2 (Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001) Hướng dẫn giải a b c Đặt A = + + a + 8bc b + 8ac c + 8ab 2 2 2 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được: 2 ⎡ ⎤ a b c (a + b + c) 2 =⎢ . a . 4 a 2 + 8bc + . b . 4 b 2 + 8ac + . c . 4 c 2 + 8ab ⎥ ⎣ a + 8bc b + 8ac c + 8ab 42 42 42 ⎦ ⎡ ⎤ a b c ⎥ ⎡ a. a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab ⎤ ≤⎢ + + 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ a + 8bc b + 8ac c + 8ab ⎦ 2 2 2 = A. ⎡ a . a 3 + 8abc + b . b3 + 8abc + c . c3 + 8abc ⎤ ⎣ ⎦ ( a + b + c ) ( a3 + b3 + c3 + 24abc ) ≤ A. (1) Mặt khác ( a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( b + c )( a + c ) 3 Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có: a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc ; a + c ≥ 2 ac Suy ra: ( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ 8abc ⇒ ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ a 3 + b3 + c3 + 24abc 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c) ( a + b + c )( a + b + c ) = A. ( a + b + c ) 2 3 2 ≤ A. a b c Do đó A ≥ 1 , nghĩa là + + ≥1 a 2 + 8bc b 2 + 8ac c 2 + 8ab Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c . + Bài 18 : Cho x; y; z ∈ thoả xy + yz + zt + tx = 1 .Chứng minh: www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 12 
  13. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn x3 y3 z3 t3 1 + + + ≥ y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z 3 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( xy + yz + zt + tx ) ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) ( y 2 + z 2 + t 2 + x 2 ) 2 ⇔ 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 + t 2 (1) Đặt: X = y + z + t ; Y = x + z + t ; Z = x + y + t ; T = x + y + z Không mất tính tổng quát giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ t ⇒ x 2 ≥ y 2 ≥ z 2 ≥ t 2 và x3 ≥ y 3 ≥ z 3 ≥ t 3 1111 và y + z + t ≤ x + z + t ≤ x + y + t ≤ x + y + z ⇔ X ≤ Y ≤ Z ≤ T ⇒ ≥≥≥ XYZT Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau: ⎧ x3 ≥ y 3 ≥ z 3 ≥ t 3 ⎪ ⎨1 1 1 1 ⎪≥≥≥ ⎩X Y Z T x3 y 3 z 3 t 3 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ 3 + + ≥ ⎜ + + + ⎟ ( x + y3 + z3 + t 3 ) + (2) XY Z T 4⎝ X Y Z T ⎠ ⎧x ≥ y ≥ z ≥ t Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy ⎨ 2 ⎩x ≥ y ≥ z ≥ t 2 2 2 ( x3 + y 3 + z 3 + t 3 ) ≥ 1 ( x + y + z + t ) ( x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) 4 Mặt khác: 1 1 x + y + z + t = (x + y + z + x + y + t + x + z + t + y + z + t) = ( X + Y + Z + T ) 3 3 12 1 ⇒ ( x3 + y 3 + z 3 + t 3 ) ≥ ( x + y 2 + z 2 + t 2 ) . ( X + Y + Z + T ) (3) 4 3 Từ (2) và (3) rút ra: x3 y 3 z 3 t 3 ( x + y2 + z2 + t 2 ) ( X + Y + Z + T ) ⎛ X + Y + Z + T ⎞ 12 1111 + ++≥ ⎜ ⎟ XY Z T 48 ⎝ ⎠ Theo (1) ta lại có: 1 ≤ x + y + z + t 2 2 2 2 Áp dụng BĐT Cauchy cho X ; Y ; Z ; T > 0 ta có: X + Y + Z + T ≥ 4 4 X .Y .Z .T 1111 1 + + + ≥ 44 XYZT X .Y .Z .T ⎛ 1 1 1 1⎞ ⇒ ( X + Y + Z + T ) . ⎜ + + + ⎟ ≥ 16 ⎝X Y Z T⎠ www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 13 
  14. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn x3 y 3 z 3 t 3 1 1 + + + ≥ .1.16 = Vậy XY Z T 48 3 Thay X ; Y ; Z ; T ta được kết quả: x3 y3 z3 t3 1 + + + ≥ y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z 3 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t = 2 Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng: Cn + Cn + ... + Cn ≤ n ( 2n − 1) 1 2 n Hướng dẫn giải ) ; (b = b ( = ... = bn = 1) Chọn hai dãy a1 = C ; a2 = C ;...; an = C n 1 2 n n n 1 2 ) ( ≤ ( Cn + Cn + ... + Cn ) (1 + 1 + ... + 1) 2 Cn + Cn + ... + Cnn n 1 2 1 2 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: (1) n Theo nhị thức Newton ta có: ( a + b ) = ∑ Cn a k b n − k n k k =1 Cho a = b = 1 .Ta có: 2n = Cn + Cn + ... + Cn ⇒ 2n − 1 = Cn + ... + Cn n n 0 1 1 Vậy từ (1) ta có: Cn + Cn + ... + Cn ≤ n ( 2n − 1) n 1 2 Cn = Cn = ... = Cn ⇔ n = 1 . n 1 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c d 2 Bài 20 : Cho a; b; c; d > 0 .Chứng minh : + + + ≥ b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c 3 (Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993) Hướng dẫn giải 2 ⎛ xi ⎞ ⎛ ⎞ ⎛n ⎞ n n Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ⎜ ∑ ⎟ ⎜ ∑ xi yi ⎟ ≥ ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 yi ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ với n = 4; ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = ( a; b; c; d ) ; ( y1 ; y2 ; y3 ; y4 ) = ( b + 2c + 3d ; c + 2d + 3a; d + 2a + 3b; a + 2b + 3c ) (a + b + c + d ) 2 ⇒ VT ≥ (1) 4 ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) 3 Mặt khác ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ≤ (a + b + c + d ) 2 (2) 8 2 Từ (1) và (2) ⇒ VT ≥ ( đpcm ) 3 a 3 + b3 + c 3 a4 b4 c4 Bài 21 : Cho a > 0; b > 0; c > 0 .Chứng minh : + + ≥ b+c c+a a+b 2 www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 14 
  15. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Hướng dẫn giải 4 4 4 a b c và a ( b + c ) = y12 ; b 2 ( c + a ) = y2 ; c 2 ( a + b ) = y3 2 Đặt x12 = ; x2 = ; x3 = 2 2 2 2 b+c c+a a+b Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các số x1 ; x2 ; x3 và y1 ; y2 ; y3 ta được: ⎛ a4 c4 ⎞ ⎡ 2 b4 ⎟ ⎣a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b )⎤ ≥ ( a + b + c ) 2 32 + + 2 2 3 3 ⎜ ⎦ ⎝b+c c+a a+b⎠ ( a 3 + b3 + c 3 ) 2 a4 b4 c4 + + ≥ Nên b + c c + a a + b a 2 ( b + c ) + b2 ( c + a ) + c2 ( a + b ) Để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh: 2 ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥ a ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) 2 (**) (**) ⇔ a 3 + b3 − a 2 b − b 2 a + b3 + c3 − b 2 c − bc 2 + c3 + a 3 − c 2 a − ca 2 ≥ 0 ⇔ ( a − b) ( a + b) + (b − c ) (b + c ) + ( c − a ) (c + a ) ≥ 0 2 2 2 (***) Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng. a 3 + b3 + c3 a4 b4 c4 + + ≥ Vậy b+c c+a a+b 2 Bài 22 : Cho xi > 0; i = 1; 2;...; n có x1 + x2 + ... + xn = 1 .Cho xi1 ; xi2 ;...; xin là hoán vị của x1 ; x2 ;...; xn .Chứng minh: 1 ⎞ ( n + 1) 2 2 ⎛ 2 n ∑⎜ x ⎟ xk + ⎟ ≥ ⎜ n k =1 ⎝ ik ⎠ Hướng dẫn giải 2 2 2 ⎡n⎛ ⎞⎤ ⎛ 1⎞ ⎛n ⎞ n n 1 1 Theo Bunhiacôpxki: n.∑ ⎜ xk + ⎟ ≥ ⎢ ∑ ⎜ xk + ⎟ ⎥ = ⎜ ∑ xk + ∑ ⎟ ⎜ xik ⎟ ⎢ k =1 ⎜ ⎟⎥ ⎜ k =1 ⎟ xik k =1 xik k =1 ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎞⎛ n 1 ⎞ ⎛n n2 n n 1 Mà ∑ xk = 1 ⎜∑ xik ⎟ ⎜ ∑ ⎟ ≥ n 2 ⇒ ∑ ≥ = n2 ⎝ k =1 ⎠ ⎜ k =1 xik ⎟ n k =1 xik ∑x ⎝ ⎠ k =1 ik k =1 1 ⎞ ( n + 1) 2 2 ⎛ 2 n ∑ ⎜ xk + x ⎟ ≥ n Vậy ⎜ ⎟ k =1 ⎝ ik ⎠ BÀI TẬP : a 3 b3 Bài 1: Cho a; b; c; d > 0 và thỏa c 2 + d 2 = ( a 2 + b 2 ) .Chứng minh: 3 + ≥1 c d www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 15 
  16. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 1 1 4 16 64 Bài 2: Cho a; b; c; d > 0 .Chứng minh: +++ ≥ a b c d a+b+c+d a3 b3 c3 1 Bài 3: Cho a; b; c là 3 số dương và a 2 + b 2 + c 2 ≥ 1 .Chứng minh: + + ≥ b+c c+a a+b 2 Bài 4: Cho a + b + c = 1 .Chứng minh: a + b + c + ab + ac + bc ≤ 1 + 3 2 2 2 a2 + b2 + c2 a4 b4 c4 +2 +2 ≥ Bài 5: Cho a; b; c là các số dương.Chứng minh: 2 a + ba + b 2 b + bc + c 2 c + ac + a 2 3 4 Bài 6: Cho 3 số x; y; z thoả x ( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≤ .Chứng minh: x + y + z ≤ 4 3 a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ a+ b+ c Bài 6: Cho a; b; c là 3 số không âm.Chứng minh: 3 3 3 bc ca ab 3 +2 +2 ≥ Bài 7: Cho 3 số dương a; b; c có abc = 1 .Chứng minh: 2 a b+a c b c+b a c a+c b 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 9 + 3 3 Bài 8: Cho 3 số dương x; y; z có x + y + z = 1 .Chứng minh: + + ≥ y+z z+x x+ y 2 abc( ) 2 a+ b+ c Bài 9: Chứng minh: + + ≥ x+ y+z x y z x2 y y2 z z 2 x ≥ ( x2 + y2 + z 2 ) 2 + + Bài 10: Cho x ≥ y ≥ z > 0 .Chứng minh: z x y ⎛a+b⎞ Bài 11: Cho a ≥ 1; b ≥ 1 .Chứng minh: log 2 a + log 2 b ≤ 2 log 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1 1 1⎞ Bài 12: Cho a; b; c > 0 .Chứng minh: ( a 3 + b3 + c3 ) ⎜ + + ⎟ ≥ ( a + b + c ) 2 ⎝a b c⎠ 32 .Chứng minh: a 2 + (1 − b ) + b 2 + (1 − c ) + c 2 + (1 − a ) ≥ 2 2 2 Bài 13: Cho a; b; c ∈ 2 3 1 1 1 3 Bài 14: Cho x; y; z > 0 và x + y + z ≤ .Chứng minh: x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 17 2 2 x y z Bài 15: Cho trước 2 số dương a; b và 2 số dương c; d thay đổi sao cho a + b < c + d .Chứng minh: (a − c) 2 c2 a2 + ≥ . Dấu “=” xảy ra khi nào? c+d a+b−c−d a+b a a1 a2 + + ... + n < 2 Bài 16: Cho a1 ; a2 ;...; an là các số thực thoả mãn a12 + a2 + ... + an = 3 .Chứng minh: 2 2 n +1 23 a b c 3 Bài 17: Cho a; b; c; p; q > 0 .Chứng minh: + + ≥ pb + qc pc + qa pa + qb p + q ( i = 1; 2;...; n ) ta có: Bài 18: Chứng minh rằng với mọi ai ∈ n a12 + (1 − a2 ) + a2 + (1 − a3 ) + ... + an + (1 − a1 ) ≥ 2 2 2 2 2 2 www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 16 
  17. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 2(a + b + c) 2 a3 b3 c3 + + = Bài 1: Cho ΔABC thoả mãn hệ thức: (1).CM ΔABC đều br + cR cr + aR ar + bR 9R Hướng dẫn giải x = br + cR > 0 Để đơn giản ta đặt: y = cr + aR > 0 (2) z = ar + bR > 0 a b c 3 2(a + b + c) 2 3 3 vậy (1) ⇔ + + = x yz 9R Từ (2) ta có: ax + by + cz = (ab + bc + ca )(r + R) (3) a 3 b3 c 3 y x z y x z (ax + by + cz )( + + ) = a 4 + b 4 + c 4 + ab(a 2 + b 2 ) + bc(b 2 + c 2 ) + ca(c 2 + a 2 ) x yz x y y z z x Theo BĐTCauchy,ta có: a 3 b3 c 3 (ax + by + cz )( + + ) ≥ a 4 + b 4 + c 4 + 2ab.ab + bc.2bc + ca.2ca ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 x yz (a 2 + b 2 + c 2 ) a 3 b3 c 3 + + )≥ Suy ra : ( (theo 3) (4) ( ab + bc + ca ) (r + R) x yz mặt khác ta luôn có (Cauchy): a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (a 2 + b 2 + c 2 )2 a 2 + b2 + c2 a 3 b3 c 3 nên (4): + + ≥ 2 = y z (a + b 2 + c 2 )(r + R) r+R x (a + b + c)2 ≥ (theo BĐT BCS) 3(r + R) R 9R Mà R ≥ 2r ⇒ 3(r + R ) ≤ 3( + R) = 2 2 2(a + b + c) 2 2(a + b + c) 3 3 3 2 a3 b3 c3 abc ⇒ + + ≥ từ đó: + + ≥ br + cR cr + aR ar + bR 9R x yz 9R www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 17 
  18. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn ⎧ ⎪a = b = c ⎪ ⎪ dấu “=” xảy ra khi ⎨ R = r ⇔ ΔABC đều ⎪y y z y x z ⎪a 2 = b 2 , b 2 = c 2 , c 2 = a 2 ⎪ ⎩x z y z y x Bài 2 : CM: 1 + cos A cos B cos C ≥ 3 sin A sin B sin C với A, B,C nhọn Hướng dẫn giải AB BC CA Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và tg tg + tg tg + tg tg = 1 22 22 22 A 2B B 2C C 2A 1 + tg 2 tg + tg 2 tg ≥ Áp dụng BCS ta có: tg 2 tg (1) 2 2 2 2 2 23 Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có: AB BC CA A B C tg tg + tg tg + tg tg ≥ 3 3 tg 2 tg 2 tg 2 (2) 22 22 22 2 2 2 ABC1 ⇔ 3tg tg tg ≤ 2223 từ (1)và(2): A B B C C A4 ABC 1 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 ≥ ≥ 4 3tg tg tg 2 2 2 2 2 23 222 ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C⎞ ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C⎞ ABC ⇔ ⎜ 1 + tg 2 ⎟ ⎜1 + tg 2 ⎟ ⎜1 + tg 2 ⎟ + ⎜1 − tg 2 ⎟ ⎜1 − tg 2 ⎟⎜1 − tg 2 ⎟ ≥ 8 3tg tg tg 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ 222 ⎝ A B C A B C 1 − tg 2 1 − tg 2 1 − tg 2 2tg 2tg 2tg 2. 2. 2≥ 3 2. 2. 2 ⇔ 1+ 2A 2B 2C 2A 2B 2C 1 + tg 1 + tg 1 + tg 1 + tg 1 + tg 1 + tg 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1 + cos A cos B cos C ≥ 3 sin A sin B sin C Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ .chứng minh rằng a b c T= + ≥1 + 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số: a b c ; a(2b + 2c − a ); b(2c + 2a − b ); c(2a + 2b − c ) ; ; 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Ta có: T .[a (2b + 2c − a ) + b(2c + 2a − b ) + c(2a + 2b − c )] ≥ (a + b + c ) 2 Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh: (a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2 –b2 - c2 Từ đó suy ra đpcm. www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 18 
  19. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Bài 4 : Cho ΔABC và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của Δ nhỏ S và có diện tích S1; S2; S3. Gọi S là diện tích ΔABC . Chứng minh: S1 + S 2 + S 3 ≥ 3 Hướng dẫn giải Giả sử S1= SAMN ha − 2r Ta có: ΔAMN đồng dạng ΔABC với tỉ số đồng dạng là: với r là bán kính đường tròn nội tiếp và ha là ha đường cao kẻ từ đỉnh A. 2 2 S ⎛ ha − 2r ⎞ ⎛ a ⎞ ⎟ = ⎜1 − ⎟ Ta có: 1 = ⎜ S ⎝ ha ⎠ ⎜ p⎟ ⎝ ⎠ 1 2r a (Vì S = aha = pr ⇒ = với p là nửa chu vi) 2 ha p S1 a = 1− Vậy: p S S3 S2 b c = 1− = 1− Tương tự: ; p p S S S1 + S 2 + S 3 a+b+c = 3− =1 Do đó: p S Áp dụng BĐT Bun ta có: ( ) ≤ (1 ) + 12 + 12 (S1 + S 2 + S 3 ) 2 S = 1. S1 + 1. S 2 + 1. S 3 2 S ⇒ S1 + S 2 + S3 ≥ (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều 3 Bài 5 : Cho ΔABC và 1 điểm Q nào đó ở trong Δ . Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S = dt(ABC).Chứng minh: ( ) 1 2 a) S = S1 + S 2 + S3 b) S1 + S 2 + S3 ≥ S 3 Hướng dẫn giải MP a) Ta có: ΔQMP đồng dạng ΔBAC (tỉ số ). AC 2 S1 MP S ⎛ MP ⎞ Suy ra 1 = ⎜ ⎟⇒ = . S ⎝ AC ⎠ AC S PC S3 S2 AM = = Tương tự ; AC AC S S S1 + S2 + S3 MP + PC + AM AC = = =1 Do đó: AC AC S www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 19 
  20. www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn ( ) 2 Suy ra: S = S1 + S 2 + S3 ⇒ S = S1 + S 2 + S3 b) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( ) ≤ (1 + 12 + 12 ) ( S1 + S 2 + S3 ) 2 S = 1. S1 + 1. S2 + 1. S3 2 1 Suy ra S1 + S 2 + S3 ≥ S 3 Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3 ⇔ Q là trọng tâm ΔABC Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh: a b c + + ≥ a+ b+ c b+c−a c+a −b a+b−c Hướng dẫn giải ⎧b + c − a = x > 0 ⎪ Đặt ⎨c + a − b = y > 0 ⎪a + b − c = z > 0 ⎩ Khi đó ta cần chứng minh: y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y + + ≥ + + 2 2 2 2x 2y 2z ( ) yz ( y + z ) + zx ( z + x ) + xy ( x + y ) ≥ 2 xyz ⇔ x+ y + y+z + x+z (1) Dễ thấy VT (1) ≥ 2 ( xy + yz + zx ) (2) Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( ) 2 ≤ 6( x + y + z) x+ y + y+z + z+x ⇒ x + y + y + z + z + x ≤ 6( x + y + z) VT (2) ≤ 2 3xyz ( x + y + z ) (3) Rõ ràng ta có x 2 y 2 + x 2 y 2 + x 2 y 2 ≥ xyz ( x + y + z ) ⇒ ( xy + yz + zx ) ≥ 3 xyz ( x + y + z ) 2 ⇒ xy + yz + zx ≥ 3xyz ( x + y + z ) (4) Từ (1) (2) (3) (4) ⇒ đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c a2b(a – b) +b2c(b – a) + c2a(c – a) ≥ 0 Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : ( Trích đề thi vô địch toán quốc tế 1983 ) Hướng dẫn giải Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm: www.MATHVN.com Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 20 

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản