Bất đẳng thức lượng giác - Chương 2

Chia sẻ: Vu Van Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

3
1.788
lượt xem
556
download

Bất đẳng thức lượng giác - Chương 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức lượng giác - chương 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức lượng giác - Chương 2

  1. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Chương 2 : Các phương pháp ch ng minh Ch ng minh b t ñ ng th c ñòi h i k năng và kinh nghi m. Không th khơi khơi mà ta ñâm ñ u vào ch ng minh khi g p m t bài b t ñ ng th c. Ta s xem xét nó thu c d ng bài nào, nên dùng phương pháp nào ñ ch ng minh. Lúc ñó vi c ch ng minh b t ñ ng th c m i thành công ñư c. Như v y, ñ có th ñương ñ u v i các b t ñ ng th c lư ng giác, b n ñ c c n n m v ng các phương pháp ch ng minh. ðó s là kim ch nam cho các bài b t ñ ng th c. Nh ng phương pháp ñó cũng r t phong phú và ña d ng : t ng h p, phân tích, quy ư c ñúng, ư c lư ng non già, ñ i bi n, ch n ph n t c c tr … Nhưng theo ý ki n ch quan c a mình, nh ng phương pháp th t s c n thi t và thông d ng s ñư c tác gi gi i thi u trong chương 2 : “Các phương pháp ch ng minh”. M cl c: 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương ………………………………………... 32 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s ……………………………………………... 38 2.3. ðưa v vector và tích vô hư ng ………………………………………….. 46 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n ……………………………………….. 48 2.5. T n d ng tính ñơn di u c a hàm s ……………………………………… 57 2.6. Bài t p ……………………………………………………………………. 64 The Inequalities Trigonometry 31
  2. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương : Có th nói phương pháp này là m t phương pháp “xưa như Trái ð t”. Nó s d ng các công th c lư ng giác và s bi n ñ i qua l i gi a các b t ñ ng th c. ð có th s d ng t t phương pháp này b n ñ c c n trang b cho mình nh ng ki n th c c n thi t v bi n ñ i lư ng giác (b n ñ c có th tham kh o thêm ph n 1.2. Các ñ ng th c,b t ñ ng th c trong tam giác). Thông thư ng thì v i phương pháp này, ta s ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh v d ng b t ñ ng th c ñúng hay quen thu c. Ngoài ra, ta cũng có th s d ng hai k t qu quen thu c sin x ≤ 1 ; cos x ≤ 1 . Ví d 2.1.1. π 1 − sin CMR : 14 > 3 cos π π 7 2 sin 14 L i gi i : Ta có : π 3π π 5π 3π 7π 5π 1 − sin = sin − sin + sin − sin + sin − sin 14 14 14 14 14 14 14 π  π 2π 3π  = 2 sin  cos + cos + cos  14  7 7 7  π 1 − sin ⇒ 14 = cos π + cos 2π + cos 3π (1) π 7 7 7 2 sin 14 M t khác ta có : π 1 π 3π 5π π 4π 2π  cos =  cos + cos + cos + cos + cos + cos  7 2 7 7 7 7 7 7  π 2π 2π 3π 3π π = cos cos + cos cos + cos cos (2) 7 7 7 7 7 7 π 2π 3π ð t x = cos ; y = cos ; z = cos 7 7 7 Khi ñó t (1), (2) ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x + y + z > 3( xy + yz + zx ) (3) mà x, y, z > 0 nên : (3) ⇔ (x − y )2 + ( y − z )2 + (z − x )2 >0 (4 ) The Inequalities Trigonometry 32
  3. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Vì x, y, z ñôi m t khác nhau nên (4) ñúng ⇒ ñpcm. Như v y, v i các b t ñ ng th c như trên thì vi c bi n ñ i lư ng giác là quy t ñ nh s ng còn v i vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Sau khi s d ng các bi n ñ i thì vi c gi i quy t b t ñ ng th c tr nên d dàng th m chí là hi n nhiên (!). Ví d 2.1.2. CMR : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab sin 3x + ca cos 2 x − bc sin x ) L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( ) a sin 2 2 x + cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + cos 2 x + c 2 ≥ 2ab(sin x cos 2 x + sin 2 x cos x ) + 2 + 2ca cos 2 x − 2bc sin x ( ⇔ a 2 cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + c 2 − 2ab cos 2 x sin x − 2ca cos 2 x + 2bc sin x ) ( + a sin 2 x − 2ab sin 2 x cos x + b 2 cos 2 x ≥ 0 2 2 ) ⇔ (a cos 2 x − b sin x − c ) + (a sin 2 x − b cos x ) ≥ 0 2 2 B t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm. Ví d 2.1.3. CMR v i ∆ABC b t kỳ ta có : 9 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 1 − cos 2 B 1 − cos 2C 9 1 − cos 2 A + + ≤ 2 2 4 1 1 ⇔ cos 2 A + (cos 2 B + cos 2C ) + ≥ 0 2 4 1 ⇔ cos 2 A − cos A cos(B − C ) + ≥ 0 4 2  cos(B − C )  1 2 ⇔  cos A −  + sin (B − C ) ≥ 0  2  4 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. The Inequalities Trigonometry 33
  4. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.1.4. π Cho α , β , γ ≠ + kπ (k ∈ Z ) là ba góc th a sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 . CMR : 2 2  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  2 2 2   ≤ 1 − 2 tan α tan β tan γ  3  L i gi i : Ta có : sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 ⇔ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 1 1 1 ⇔ + + =2 1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ 2 2 ⇔ tan 2 α tan 2 β + tan 2 β tan 2 γ + tan 2 γ tan 2 α = 1 − 2 tan 2 α tan 2 β tan 2 γ Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  2 2 2 2 2 2   ≤ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  3  ⇔ (tan α tan β − tan β tan γ ) + (tan β tan γ − tan γ tan α ) + (tan γ tan α − tan α tan β ) ≥ 0 2 2 2 ⇒ ñpcm. tan α tan β = tan β tan γ  ð ng th c x y ra ⇔ tan β tan γ = tan γ tan α ⇔ tan α = tan β = tan γ tan γ tan α = tan α tan β  Ví d 2.1.5. CMR trong ∆ABC b t kỳ ta có : A B C  A B C cot + cot + cot ≥ 3 tan + tan + tan  2 2 2  2 2 2 L i gi i : Ta có : A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C  x, y , z > 0 ð t x = cot ; y = cot ; z = cot thì  2 2 2  x + y + z = xyz Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 34
  5. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 1 1 x + y + z ≥ 3 + +  x y z   3( xy + yz + zx ) ⇔ (x + y + z ) ≥ xyz ⇔ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx ) 2 ⇔ (x − y ) + ( y − z ) + (z − x ) ≥ 0 2 2 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ cot A = cot B = cot C ⇔ A=B=C ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.1.6. 1 1 2 CMR : + ≤ 3 + sin x 3 − sin x 2 + cos x L i gi i : Vì − 1 ≤ sin x ≤ 1 và cos x ≥ −1 nên : 3 + sin x > 0 ; 3 − sin x > 0 và 2 + cos > 0 Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( 6(2 + cos x ) ≤ 2 9 − sin 2 x ) ( ⇔ 12 + 6 cos x ≤ 18 − 2 1 − cos 2 x ) ⇔ 2 cos 2 x − 6 cos x + 4 ≥ 0 ⇔ (cos x − 1)(cos x − 2) ≥ 0 do cos x ≤ 1 nên b t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.1.7. π π CMR ∀ ≤ α ;β < ta có : 3 2 2  1  1  −1 ≤  − 1  cos β − 1  cos α + cos β  cos α   L i gi i : π π 1 T ∀ ≤ α ;β < ⇒ 0 < cos α ; cos β ≤ 3 2 2 The Inequalities Trigonometry 35
  6. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 0 < cos α + cos β ≤ 1  do ñó  1 0 < cos α cos β ≤ 4  ð t a = cos α + cos β ; b = cos α cos β B t ñ ng th c ñã cho tr thành : 2−a 1− a + b ≤ a b 2 2−a 1− a + b ⇔  ≤  a  b ⇔ (2 − a ) b ≤ a 2 (1 − a + b ) 2 ⇔ a 3 − a 2 − 4ab + 4b ≤ 0 ( ) ⇔ (a − 1) a 2 − 4b ≤ 0 B t ñ ng th c cu i cùng ñúng vì a ≤ 1 và a 2 − 4b = (cos α − cos β ) ≥ 0 ⇒ ñpcm. 2 Ví d 2.1.8. Cho các góc nh n a và b th a sin 2 a + sin 2 b < 1 . CMR : sin 2 a + sin 2 b < sin 2 (a + b ) L i gi i : π  Ta có : sin 2 a + sin 2  − a  = 1 2  2 2 nên t ñi u ki n sin a + sin b < 1 suy ra : π π b< −a ; 0 < a+b < 2 2 M t khác ta có : sin 2 (a + b ) = sin 2 a cos 2 b + sin 2 b cos 2 a + 2 sin a sin b cos a cos b nên thay cos 2 b = 1 − sin 2 b vào thì b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 sin 2 a sin 2 b < 2 sin a sin b cos a cos b ⇔ sin a sin b < cos a cos b ⇔ 0 < cos(a + b ) (ñ ý 2 sin a sin b > 0 nên có th chia hai v cho 2 sin a sin b ) π B t ñ ng th c sau cùng hi n nhiên ñúng do 0 < a + b < ⇒ ñpcm. 2 The Inequalities Trigonometry 36
  7. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.1.9. Cho ∆ABC không vuông. CMR : ( ) 3 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 5 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≤ 9 + tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( )( )( 4 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 4 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C − 8 ≤ 1 + tan 2 A 1 + tan 2 B 1 + tan 2 C )  1  1  1   1 1 1  1 ⇔ 4 − 1 − 1 − 1 − 4 + + − 3 − 8 ≤  cos A  cos B  cos C   cos A cos B cos C  2 2 2 2 2 2 cos A cos 2 B cos 2 C 2 4  1 1 1  1 ⇔ − + + ≤ cos A cos B cos C  cos A cos B cos B cos C cos C cos A  cos A cos 2 B cos 2 C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 4 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B 3 ⇔ + + cos 2 C ≥ 2 2 4 ⇔ 2(cos 2 A + cos 2 B ) + 4 cos C + 1 ≥ 0 2 ⇔ 2 cos( A + B ) cos( A − B ) + 4 cos 2 C + 1 ≥ 0 ⇔ 4 cos 2 C − 4 cos C cos( A − B ) + 1 ≥ 0 ⇔ (2 cos C − cos( A − B )) + sin 2 ( A − B ) ≥ 0 2 ⇒ ñpcm. Ví d sau ñây, theo ý ki n ch quan c a tác gi , thì l i gi i c a nó x ng ñáng là b c th y v bi n ñ i lư ng giác. Nh ng bi n ñ i th t s l t léo k t h p cùng b t ñ ng th c m t cách h p lý ñúng ch ñã mang ñ n cho chúng ta m t bài toán th t s ñ c s c !!! Ví d 2.1.10. Cho n a ñư ng tròn bán kính R , C là m t ñi m tùy ý trên n a ñư ng tròn. Trong hai hình qu t n i ti p hai ñư ng tròn, g i M và N là hai ti p ñi m c a hai ñư ng tròn v i ñư ng kính c a n a ñư ng tròn ñã cho. CMR : MN ≥ 2 R 2 − 1 ( ) L i gi i : π G i O1 ,O2 là tâm c a hai ñư ng tròn. ð t ∠CON = 2α (như v y 0 < α < ) 2 và OO1 = R1 ; OO2 = R2 Ta có : ∠O2 ON = α π ∠O1OM = −α 2 The Inequalities Trigonometry 37
  8. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh V y: π  MN = MO + ON = R1 cot  − α  + R2 cot α = R1 tan α + R2 cot α 2  Trong ∆ vuông O1 MO có : π  R1 = O1O sin − α  = (R − R1 ) cos α 2  R cos α R1 (1 + cos α ) = R cos α ⇒ R1 = 1 + cos α Tương t : R sin α R2 = OO2 sin α = (R − R2 ) sin α ⇒ R2 = 1 + sin α Do ñó : R cos α sin α R sin α cos α MN = ⋅ + ⋅ 1 + cos α cos α 1 + sin α sin α R sin α R cos α = + C 1 + cos α 1 + sin α sin α + cos α + 1 =R (1 + sin α )(1 + cos α ) O1 O2 α α α 2 cos  sin + cos  2 2 2 =R 2 M O N  α α 2 α  sin + cos  .2 cos  2 2 2 1 =R α α α cos  sin + cos  2 2 2 2R = sin α + cos α + 1  π mà sin α + cos α ≤ 2  α −  ≤ 2 ⇒ MN ≥ 2R ( ) = 2 R 2 − 1 ⇒ ñpcm.  4 2 +1 π ð ng th c x y ra ⇔ α = ⇔ OC ⊥ MN . 4 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s : Các bư c ñ u cơ s mà tác gi mu n nh c ñ n ñây là ph n 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác. Ta s ñưa các b t ñ ng th c c n ch ng minh v các b t ñ ng th c cơ b n b ng cách bi n ñ i và s d ng các ñ ng th c cơ b n. Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác gi khuyên b n ñ c nên ch ng minh các ñ ng th c, b t ñ ng th c cơ b n s d ng như m t b ñ cho bài toán. The Inequalities Trigonometry 38
  9. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.2.1. Cho ∆ABC . ðư ng phân giác trong các góc A, B, C c t ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC l n lư t t i A1 , B1 , C1 . CMR : S ABC ≤ S A1B1C1 L i gi i : G i R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì nó cũng là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆A1 B1C1 . A B1 B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 R 2 sin A sin B sin C ≤ 2 R 2 sin A1 sin B1 sin C1 (1) C1 B+C C+A A+ B Do A1 = ; B1 = ; C1 = nên : 2 2 2 (1) ⇔ sin A sin B sin C ≤ sin B + C sin C + A sin A + B 2 2 2 B C A B C A B C A B C ⇔ 8 sin sin sin cos cos cos ≤ cos cos cos (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C Vì cos cos cos > 0 nên : A1 2 2 2 (2) ⇔ sin A sin B sin C ≤ 1 ⇒ ñpcm. 2 2 2 8 ð ng th c x y ra ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.2. CMR trong m i tam giác ta ñ u có : 7 A B C sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + 4 sin sin sin 4 2 2 2 L i gi i : A B C Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 B t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : 3 sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + cos A + cos B + cos C (1) 4 mà : The Inequalities Trigonometry 39
  10. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh cos A = sin B sin C − cos B cos C cos B = sin C sin A − cos C cos A cos C = sin A sin B − cos A cos B nên : (1) ⇔ cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ 3 (2) 4 Th t v y hi n nhiên ta có : 1 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 (3) 3 3 M t khác ta có : cos A + cos B + cos C ≤ 2 ⇒ (3) ñúng ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.3. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 1 1 1 + + ≥1 1 + 2 cos A + 4 cos A cos B 1 + 2 cos B + 4 cos B cos C 1 + 2 cos C + 4 cos C cos A L i gi i : ð t v trái b t ñ ng th c c n ch ng minh là T. Theo AM – GM ta có : T [3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] ≥ 9 (1) 3 mà : cos A + cos B + cos C ≤ 2 và hi n nhiên : cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 ≤ 3 3 4 ⇒ 3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤ 9 (2 ) T (1), (2) suy ra T ≥ 1 ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.4. CMR v i m i ∆ABC b t kỳ, ta có : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) 2 2 2 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 40
  11. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2(ab + bc + ca ) ≥ 4 3S + a 2 + b 2 + c 2 (1) Ta có : b2 + c2 − a2 cot A = 4S c + a2 − b2 2 cot B = 4S a + b2 − c2 2 cot C = 4S Khi ñó : (1) ⇔ 4S  1 + 1 + 1  ≥ 4 3S + 4S (cot A + cot B + cot C )    sin A sin B sin C   1   1   1  ⇔ − cot A  +  − cot B  +  − cot C  ≥ 3  sin A   sin B   sin C  A B C ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.5. CMR trong m i tam giác, ta có : A B B C C A 5 r sin sin + sin sin + sin sin ≤ + 2 2 2 2 2 2 8 4R L i gi i : A B C Áp d ng công th c : r = 4 R sin sin sin , ta ñưa b t ñ ng th c ñã cho v d ng 2 2 2 tương ñương sau : A B B C C A A B C 5 sin sin + sin sin + sin sin − sin sin sin ≤ (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 A B C Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 Do ñó : (1) ⇔ sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A − 1 (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 5 (2) 2 2 2 2 2 2 4 8 Theo AM – GM, ta có : A B  A B cos cos  cos cos  2 + 2 ≥ 2 ⇒ sin A sin B  2 + 2  ≥ 2 sin A sin B 2 cos  B A 2 B A 2 2 cos cos  cos  2 2  2 2 The Inequalities Trigonometry 41
  12. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh A B 1 B A ⇒ 2 sin sin ≤  sin A tan + sin B tan  2 2 2 2 2 Tương t ta có : B C 1 C B 2 sin sin ≤  sin B tan + sin C tan  2 2 2 2 2 C A 1 A C 2 sin sin ≤  sin C tan + sin A tan  2 2 2 2 2 T ñó suy ra :  A B B C C A 2 sin sin + sin sin + sin sin  ≤  2 2 2 2 2 2 1 A B C  ≤  tan (sin B + sin C ) + tan (sin C + sin A) + tan (sin A + sin B ) 2 2 2 2   A B B C C A ⇒ cos A + cos B + cos C ≥ 2 sin sin + sin sin + sin sin   2 2 2 2 2 2 Khi ñó : A B B C C A 1 sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 ≤ (cos A + cos B + cos C ) − (cos A + cos B + cos C − 1) = (cos A + cos B + cos C ) = 2 4 4 4 3 mà cos A + cos B + cos C ≤ 2 A B B C C A 1 5 ⇒ sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 2 2 2 2 2 2 4 8 ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.6. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 3  a2 + b2 + c2  a 2b 2c 2   ≤  cot A + cot B + cot C    A B C tan tan tan 2 2 2 L i gi i : Ta có : a2 + b2 + c2 = 4S cot A + cot B + cot C nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 42
  13. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh a 2b 2 c 2 64S 3 ≤ (1) A B C tan tan tan 2 2 2 M t khác ta cũng có : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇒ a 2 ≥ 2bc − 2bc cos A A ⇒ a 2 ≥ 4bc sin 2 2 A 4bc sin 2 a2 2 = 2bc sin A = 4 S ⇒ ≥ A A tan tan 2 2 Tương t ta cũng có : b2 c2 ≥ 4S ; ≥ 4S B C tan tan 2 2 ⇒ (1) ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.7. CMR trong m i tam giác ta có : (1 + b + c − bc ) cos A + (1 + c + a − ca ) cos B + (1 + a + b − ab) cos C ≤ 3 L i gi i : Ta có v trái c a b t ñ ng th c c n ch ng minh b ng : (cos A + cos B + cos C ) + [(b + c ) cos A + (c + a )cos B + (a + b) cos C ] − (ab cos C + bc cos A + ca cos B ) ð t: P = cos A + cos B + cos C Q = (b + c ) cos A + (c + a ) cos B + (a + b ) cos C R = ab cos C + bc cos A + ca cos B 3 D th y P ≤ 2 M t khác ta có : b cos C + c cos B = 2 R(sin B cos C + sin C cos B ) = 2 R sin (B + C ) = 2 R sin A = a Tương t : c cos A + a cos C = b a cos B + b cos A = c ⇒Q = a+b+c Và ta l i có : The Inequalities Trigonometry 43
  14. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 ab cos C + bc cos A + ca cos B = + + 2 2 2 2 2 2 a +b +c ⇒R= 2 3 ⇒ P + Q + R ≤ + (a + b + c ) − a2 + b2 + c2 = 3− (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≤ 3 2 2 3 ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.8. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : R+r ≥4 3 S L i gi i : Ta có : abc 2 R 3 sin A sin B sin C S R= = = 4S 8 2 sin A sin B sin C S S 8 2 sin A sin B sin C r= = = p R(sin A + sin B + sin C ) sin A + sin B + sin C V y: 1 S 1 S 8 2 sin A sin B sin C R+r = + + 2 2 sin A sin B sin C 2 2 sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C Theo AM – GM ta có : R+r 3 S S sin A sin B sin C ≥ 3 8 sin A sin B sin C (sin A + sin B + sin C ) mà : 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 sin A sin B sin C ≤ 8 4S S ⇒ R+r ≥3 = 4 3 S ⇒ ñpcm. 4 4 27 .3 3 Ví d 2.2.9. CMR trong m i tam giác ta có : The Inequalities Trigonometry 44
  15. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2 2 8 S  ab ab bc bc ca ca 8  S    ≥ + + ≥   3  2r  a+b b+c c+a 3 R  L i gi i : Theo AM – GM ta có : ab ab bc bc ca ca ab + bc + ca + + ≤ a+b b+c c+a 2 2 8 S  Do S = pr ⇒   = (a + b + c ) 2 3  2r  6 L i có : ab + bc + ca (a + b + c ) 2 ≤ 2 6 2 8 S  ab ab bc bc ca ca ⇒   ≥ + + ⇒ v trái ñư c ch ng minh xong. 3  2r  a+b b+c c+a Ta có : a + b + c = 2 R(sin A + sin B + sin C ) 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 ⇒ a + b + c ≤ 3R 3 Theo AM – GM ta có : S2 = p ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≤ p abc 8 abc 2 p 8 S  8 8 9 abc 9abc ⇒   ≤ ⋅ = ⋅ = 3 R  3 a+b+c 2 2 a + b + c (a + b ) + (b + c ) + (c + a )      3 3  M t l n n a theo AM – GM ta có : 9abc 9abc ab ab bc bc ca ca ≤ ≤ + + (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) 3. 3 (a + b )(b + c )(c + a ) a + b b + c c + a ⇒ v ph i ch ng minh xong ⇒ B t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn. Ví d 2.2.10. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 4 a8 b8 c8  abc 6  + + ≥  3R   2 A 2 B 2 C   cos cos cos 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 45
  16. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh L i gi i : Áp d ng BCS ta có : a8 + + b8 ≥ c8 + b4 + c4 (a 4 ) 2 A B C A B C cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 2 2 2 2 2 2 mà : A B C 9 cos 2 + cos 2 + cos 2 ≤ 2 2 2 4 4  abc    = 16 S 2 2 ( )  R  Vì th ta ch c n ch ng minh : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16S 2 Trư c h t ra có : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c ) (1) ( ) ( ) Th t v y : (1) ⇔ a 2 a 2 − bc + b 2 b 2 − ca + c 2 c 2 − ab ≥ 0 ( ) [ ] [ ] [ ⇔ a 2 + (b + c ) (b − c ) + b 2 + (c + a ) (c − a ) + c 2 + (a + b ) (a − b ) ≥ 0 (ñúng!) 2 2 2 2 2 ] 2 M t khác ta cũng có : 16 S 2 = 16 p( p − a )( p − b )( p − c ) = (a + b + c )(a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (2 ) T (1), (2) thì suy ra ta ph i ch ng minh : abc ≥ (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (3) ð t: x = a+b−c y =b+c−a z = c+a−b vì a, b, c là ba c nh c a m t tam giác nên x, y, z > 0 Khi ñó theo AM – GM thì : abc = ( )( )( ) (x + y )( y + z )(z + x ) ≥ 2 xy 2 yz 2 zx = xyz = (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) 8 8 ⇒ (3) ñúng ⇒ ñpcm. 2.3 ðưa v vector và tích vô hư ng : Phương pháp này luôn ñưa ra cho b n ñ c nh ng l i gi i b t ng và thú v . Nó ñ c trưng cho s k t h p hoàn gi a ñ i s và hình h c. Nh ng tính ch t c a vector l i mang ñ n l i gi i th t sáng s a và ñ p m t. Nhưng s lư ng các bài toán c a phương pháp này không nhi u. Ví d 2.3.1. The Inequalities Trigonometry 46
  17. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh CMR trong m i tam giác ta có : 3 cos A + cos B + cos C ≤ 2 L i gi i : L y các vector ñơn v e1 , e2 , e3 l n lư t trên các c nh AB, BC , CA . Hi n nhiên ta có : A (e + e 1 2) ≥0 + e3 2 e1 ⇔ 3 + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) ≥ 0 1 2 2 3 3 1 ⇔ 3 − 2(cos A + cos B + cos C ) ≥ 0 3 e3 ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ B 2 e2 C ⇒ ñpcm. Ví d 2.3.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : 3 cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − 2 L i gi i : G i O, G l n lư t là tâm ñư ng tròn ngo i ti p và tr ng tâm ∆ABC . A Ta có : OA + OB + OC = 3OG Hi n nhiên : (OA + OB + OC ) ≥ 0 2 ⇔ 3R + 2 R [cos(OA, OB ) + cos (OB, OC ) + cos(OC , OA)] ≥ 0 2 2 O ⇔ 3R + 2 R (cos 2C + cos 2 A + cos 2 B ) ≥ 0 2 2 B C 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ OA + OB + OC = 0 ⇔ OG = 0 ⇔ O ≡ G ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.3.3. The Inequalities Trigonometry 47
  18. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Cho ∆ABC nh n. CMR ∀x, y, z ∈ R ta có : 1 2 yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ − 2 (x + y2 + z2 ) A L i gi i : G i O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . Ta có : (xOA + yOB + zOC ) 2 ≥0 O B C ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyOA.OB + 2 yz OB.OC + 2 zxOC.OA ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy cos 2C + 2 yz cos 2 A + 2 zx cos 2 B ≥ 0 1 2 ⇔ yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ − 2 ( x + y2 + z2 ) ⇒ ñpcm. 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n : V n i dung cũng như cách th c s d ng các b t ñ ng th c chúng ta ñã bàn chương 1: “Các bư c ñ u cơ s ”. Vì th ph n này, ta s không nh c l i mà xét thêm m t s ví d ph c t p hơn, thú v hơn. Ví d 2.4.1. CMR ∀∆ABC ta có :  A B C  A B C 9 3  sin + sin + sin  cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2 2 L i gi i : Theo AM – GM ta có : A B C sin + sin + sin 2 2 2 ≥ 3 sin A sin B sin C 3 2 2 2 M t khác : A B C cos cos cos A B C A B C 2 2 2 cot + cot + cot = cot cot cot = 2 2 2 2 2 2 A B C sin sin sin 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 48
  19. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 (sin A + sin B + sin C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = 2 2 2 2 2 2 A B C A B C sin sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 3 sin A A B B C C cos sin cos sin cos 3 2 2 2 2 2 2 ≥ ⋅ 2 A B C sin sin sin 2 2 2 Suy ra :  A B C  A B C  sin + sin + sin  cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2 A B C A A B B C C 3 sinsin sin sin cos sin cos sin cos 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ ⋅ 2 A B C sin sin sin 2 2 2 9 A B C = 3 cot cot cot (1) 2 2 2 2 A B C mà ta cũng có : cot cot cot ≥ 3 3 2 2 2 9 A B C 9 9 3 ⇒ ⋅ 3 cot cot cot ≥ ⋅ 3 3 3 = (2) 2 2 2 2 2 2 T (1) và (2) :  A B C  A B C 9 3 ⇒  sin + sin + sin  cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2 2 ⇒ ñpcm. Ví d 2.4.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3 2 L i gi i : Vì ∆ABC nh n nên cos A, cos B, cos C , tan A, tan B, tan C ñ u dương. cos A + cos B + cos C 3 Theo AM – GM ta có : ≥ cos A cos B cos C 3 sin A sin B sin C tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C = cos A cos B cos C The Inequalities Trigonometry 49
  20. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = cos A cos B cos C 2 cos A cos B cos C 3 3 sin A cos A sin B cos B sin C cos C ≥ ⋅ 2 2 cos A cos B cos C Suy ra : 3 (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 ⋅ cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C 2 cos A cos B cos C 93 = tan A tan B tan C (1) 2 M t khác : tan A tan B tan C ≥ 3 3 9 3 9 9 3 ⇒⋅ tan A tan B tan C ≥ ⋅ 3 3 3 = (2) 2 2 2 T (1) và (2) suy ra : (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3 2 ⇒ ñpcm. Ví d 2.4.3. Cho ∆ABC tùy ý. CMR :              tan A + 1  +  tan B + 1  +  tan C + 1 ≥4 3  2 tan   A 2 tan   B 2 C       tan   2  2  2  L i gi i :  π Xét f ( x ) = tan x ∀x ∈  0 ;   2 Khi ñó : f ' ' ( x ) = A B C Theo Jensen thì : tan + tan + tan ≥ 3 (1) 2 2 2  π Xét g ( x ) = cot x ∀x ∈  0 ;   2  π Và g ' ' ( x ) = 2(1 + cot 2 x )cot x > 0 ∀x ∈  0 ;   2 A B C Theo Jensen thì : cot + cot + cot ≥ 3 3 (2) 2 2 2 V y (1) + (2)⇒ ñpcm. The Inequalities Trigonometry 50
Đồng bộ tài khoản