Bất đẳng thức tam giác - Chương 3

Chia sẻ: Vu Van Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

2
936
lượt xem
312
download

Bất đẳng thức tam giác - Chương 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức tam giác - chương 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức tam giác - Chương 3

  1. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Chương 3 : Áp d ng vào m t s v n ñ khác “Có h c thì ph i có hành” Sau khi ñã xem xét các b t ñ ng th c lư ng giác cùng các phương pháp ch ng minh thì ta ph i bi t v n d ng nh ng k t qu ñó vào các v n ñ khác. Trong các chương trư c ta có các ví d v b t ñ ng th c lư ng giác mà d u b ng thư ng x y ra trư ng h p ñ c bi t : tam giác ñ u, cân hay vuông …Vì th l i phát sinh ra m t d ng bài m i : ñ nh tính tam giác d a vào ñi u ki n cho trư c. M t khác v i nh ng k t qu c a các chương trư c ta cũng có th d n ñ n d ng toán tìm c c tr lư ng giác nh b t ñ ng th c. D ng bài này r t hay : k t qu ñư c “gi u” ñi, b t bu c ngư i làm ph i t “mò m m” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công vi c ñó th t thú v ! Và t t nhiên mu n gi i quy t t t v n ñ này thì ta c n có m t “v n” b t ñ ng th c “kha khá”. Bây gi chúng ta s cùng ki m tra hi u qu c a các b t ñ ng th c lư ng giác trong chương 3 : “Áp d ng vào m t s v n ñ khác” M cl c: 3.1. ð nh tính tam giác…………………………………………………………67 3.1.1. Tam giác ñ u…………………………………………………………..67 3.1.2. Tam giác cân…………………………………………………………..70 3.1.3. Tam giác vuông………………………………………………………..72 3.2. C c tr lư ng giác……………………………………………………….....73 3.3. Bài t p……………………………………………………………………...76 The Inequalities Trigonometry 66
  2. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác 3.1. ð nh tính tam giác : 3.1.1. Tam giác ñ u : Tam giác ñ u có th nói là tam giác ñ p nh t trong các tam giác. nó ta có ñư c s ñ ng nh t gi a các tính ch t c a các ñư ng cao, ñư ng trung tuy n, ñư ng phân giác, tâm ngo i ti p, tâm n i ti p, tâm bàng ti p tam giác … Và các d ki n ñó l i cũng trùng h p v i ñi u ki n x y ra d u b ng các b t ñ ng th c lư ng giác ñ i x ng trong tam giác. Do ñó sau khi gi i ñư c các b t ñ ng th c lư ng giác thì ta c n ph i nghĩ ñ n vi c v n d ng nó tr thành m t phương pháp khi nh n d ng tam giác ñ u. Ví d 3.1.1.1. 9 CMR ∆ABC ñ u khi th a : ma + mb + mc = R 2 L i gi i : Theo BCS ta có : ( (ma + mb + mc )2 ≤ 3 ma 2 + mb 2 + mc 2 ) 9 2 ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 2 4 ( a + b2 + c2 ) 2 ( ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) 9 mà : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 9 81 ⇒ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 ⋅ = R 2 2 4 4 9 ⇒ m a + mb + mc ≤ R 2 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.2. A B ab CMR n u th a sin sin = thì ∆ABC ñ u. 2 2 4c L i gi i : Ta có : The Inequalities Trigonometry 67
  3. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác A+ B A− B A− B 2 R.2 sin cos cos ab a + b 2 R(sin A + sin B ) 2 2 = 2 ≤ 1 ≤ = = 4c 8c 2 R.8 sin C C C C A+ B 2 R.8.2 sin cos 8 sin 8 cos 2 2 2 2 A B 1 ⇒ sin sin ≤ 2 2 A+ B 8 cos 2 A+ B A B ⇔ 8 cos sin sin ≤ 1 2 2 2 A+ B A− B A+ B ⇔ 4 cos  cos − cos  −1 ≤ 0 2  2 2  A+ B A+ B A− B ⇔ 4 cos 2 − 4 cos cos +1 ≥ 0 2 2 2 2  A+ B A− B 2 A−B ⇔  2 cos − cos  + sin ≥0  2 2  2 ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.3. CMR ∆ABC ñ u khi nó th a : 2(ha + hb + hc ) = (a + b + c ) 3 L i gi i : ði u ki n ñ bài tương ñương v i : r r r 2.2 p + +  = (a + b + c ) 3 a b c r r r 3 ⇔ + + = a b c 2 1 1 1 3 ⇔ + + = A B B C C A 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 2 2 2 M t khác ta có :    1 1  1 1 ≤ 1 +  =  tan A + tan B   A B 4 A B  4 2 2 cot + cot  cot cot  2 2  2 2 Tương t : The Inequalities Trigonometry 68
  4. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác 1 1 B C ≤  tan + tan  B C 4 2 2 cot + cot 2 2 1 1 C A ≤  tan + tan  C A 4 2 2 cot + cot 2 2 1 1 1 1 A B C ⇒ + + ≤  tan + tan + tan  A B B C C A 2 2 2 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 2 2 2 3 1 A B C A B C ⇒ ≤  tan + tan + tan  ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.4. 3 CMR n u th a S = 3Rr thì ∆ABC ñ u. 2 L i gi i : Ta có : A B C A B C S = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 R 2 .2.2.2. sin sin sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C = 4 R sin sin sin 4 R cos cos cos = r 4 R cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ≤ r 4R = Rr 8 2 ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.5. CMR ∆ABC ñ u khi nó th a ma mb mc = pS L i gi i : Ta có : 1 1 1 A ma = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) = (b 2 + c 2 + 2bc cos A) ≥ bc(1 + cos A) = bc cos 2 2 4 4 2 2 mà : The Inequalities Trigonometry 69
  5. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác b2 + c2 − a2 2 A b2 + c2 − a2 cos A = ⇒ 2 cos −1 = 2bc 2 2bc 2 b + c − a + 2bc (b + c ) − a 2 p( p − a ) 2 2 2 ⇒ cos 2 A = = = 4bc 4bc bc ⇒ ma ≥ p( p − a ) Tương t : m b ≥ p ( p − b )   m c ≥ p ( p − c )  ⇒ ma mb mc ≥ p p( p − a )( p − b )( p − c ) = pS ⇒ ñpcm. 3.1.2. Tam giác cân : Sau tam giác ñ u thì tam giác cân cũng ñ p không kém. Và ñây thì chúng ta s xét nh ng b t ñ ng th c có d u b ng x y ra khi hai bi n b ng nhau và khác bi n th ba. Ví π 2π d A = B = ;C = . Vì th nó khó hơn trư ng h p xác ñ nh tam giác ñ u. 6 3 Ví d 3.1.2.1. A+ B CMR ∆ABC cân khi nó th a ñi u ki n tan 2 A + tan 2 B = 2 tan 2 và nh n. 2 L i gi i : sin ( A + B ) 2 sin ( A + B ) 2 sin C Ta có : tan A + tan B = = = cos A cos B cos( A + B ) + cos( A − B ) cos( A − B ) − cos C C vì cos( A − B ) ≤ 1 ⇒ cos( A − B ) − cos C ≤ 1 − cos C = 2 sin 2 2 C C 4 sin cos 2 sin C 2 sin C 2 2 = 2 cot C = 2 tan A + B ⇒ ≥ = cos( A − B ) − cos C C C 2 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 A+ B ⇒ tan A + tan B ≥ 2 tan 2 2 2 2 A+ B 2  tan A + tan B  T gi thi t : tan A + tan B = 2 tan ≤ 2  2  2  (2 2 ) 2 2 ⇔ 2 tan A + tan B ≤ tan A + tan B + 2 tan A tan B The Inequalities Trigonometry 70
  6. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác 2 ⇔ (tan A − tan B ) ≤ 0 ⇔ tan A = tan B ⇔ A=B ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.2.2. A CMR ∆ABC cân khi th a ha = bc cos 2 L i gi i : 2bc A Trong m i tam giác ta luôn có : ha ≤ l a = cos b+c 2 2bc bc mà b + c ≥ 2 bc ⇒ ≤ = bc b+c bc 2bc A A A ⇒ cos ≤ bc cos ⇒ ha ≤ bc cos b+c 2 2 2 ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.2.3. B CMR n u th a r + ra = 4 R sin thì ∆ABC cân. 2 L i gi i : Ta có : B sin B B B B 2 r + ra = ( p − b ) tan + p tan = (2 p − b ) tan = (a + c ) tan = 2 R(sin A + sin C ) 2 2 2 2 B cos 2 B B sin sin A+C A−C B 2 = 4 R cos cos A−C 2 = 4 R sin B cos A − C ≤ 4 R sin B = 4 R sin cos ⋅ ⋅ 2 2 B 2 2 B 2 2 2 cos cos 2 2 B ⇒ r + ra ≤ 4 R sin ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm. 2 The Inequalities Trigonometry 71
  7. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Ví d 3.1.2.4. 1 2 CMR n u S = 4 ( ) a + b 2 thì ∆ABC cân. L i gi i : 1 2 1 1 Ta có : a 2 + b 2 ≤ 2ab ⇒ 4 ( ) a + b 2 ≥ ab ≥ ab sin C = S 2 2 1 2 ⇒ 4 ( ) a + b 2 ≥ S ⇒ ∆ABC cân n u th a ñi u ki n ñ bài. Ví d 3.1.2.5. 9 CMR ∆ABC cân khi th a 2 cos A + cos B + cos C = 4 L i gi i : Ta có :  A B+C B−C 2 cos A + cos B + cos C = 21 − 2 sin 2  + 2 cos cos  2 2 2 2 A A B−C 1 9  A 1 B −C  1 2 B−C 1 9 = −4 sin 2 + 2 sin cos − + = − 2 sin − cos  + cos − + 2 2 2 4 4  2 2 2  4 2 4 4 2  A 1 B−C  1 2 B−C 9 9 = − 2 sin − cos  − sin + ≤  2 2 2  4 2 4 4 ð ng th c x y ra khi B = C ⇒ ñpcm. 3.1.3. Tam giác vuông : Cu i cùng ta xét ñ n tam giác vuông, ñ i di n khó tính nh t c a tam giác ñ i v i b t ñ ng th c lư ng giác. Dư ng như khi nh n di n tam giác vuông, phương pháp bi n ñ i tương ñương các ñ ng th c là ñư c dùng hơn c . Và ta hi m khi g p bài toán nh n di n tam giác vuông mà c n dùng ñ n b t ñ ng th c lư ng giác. Ví d 3.1.3.1. CMR ∆ABC vuông khi th a 3 cos B + 6 sin C + 4 sin B + 8 cos C = 15 L i gi i : The Inequalities Trigonometry 72
  8. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Theo BCS ta có : 3 cos B + 4 sin B ≤ 3 2 + 4 2 cos 2 B + sin 2 B = 5  ( )( )  ( )( 6 sin C + 8 cos C ≤ 6 2 + 8 2 sin 2 C + cos 2 C = 10  ) ⇒ 3 cos B + 4 sin B + 6 sin C + 8 cos C ≤ 15 ð ng th c x y ra khi và ch khi :  cos B sin B  4 3 cos B + 4 sin B = 5  3 = 4  tan B = 3  π  ⇔ ⇔ ⇔ tan B = cot C ⇔ B + C = 6 sin C + 8 cos C = 10  sin C = cos C cot C = 4 2  6  8   3 ⇒ ñpcm. 3.2. C c tr lư ng giác : ðây là lĩnh v c v n d ng thành công và tri t ñ b t ñ ng th c lư ng giác vào gi i toán. ð c bi t trong d ng bài này, g n như ta là ngư i ñi trong sa m c không bi t phương hư ng ñư ng ñi, ta s không bi t trư c k t qu mà ph i t mình dùng các b t ñ ng th c ñã bi t ñ tìm ra ñáp án cu i cùng. Vì l ñó mà d ng toán này thư ng r t “khó xơi”, nó ñòi h i ta ph i bi t khéo léo s d ng các b t ñ ng th c cũng như c n m t v n li ng kinh nghi m v b t ñ ng th c không nh . Ví d 3.2.1. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : a sin 4 x + b cos 4 y a cos 4 x + b sin 4 y f (x , y ) = + c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y v i a, b, c, d là các h ng s dương. L i gi i : sin 4 x cos 4 x ð t f ( x , y ) = af 1 + bf 2 v i f 1 = + c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y cos 4 x sin 4 x f2 = + c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y ( ) ( Ta có : c + d = c sin 2 x + cos 2 x + d sin 2 y + cos 2 y ) Do ñó : The Inequalities Trigonometry 73
  9. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác  sin 4 x cos 4 x  (c + d ) f1 = [(c sin 2 x + d cos 2 y ) + (c cos 2 x + d sin 2 y )] 2 2 + 2 2   c sin x + d cos y c cos x + d sin y 2  sin 2 x cos 2 x  ≥  c sin 2 x + d cos 2 y + c cos 2 x + d sin 2 y  =1  2 2 c sin x + d cos y c cos x + d sin y  2 2   1 1 a+b ⇒ f1 ≥ Tương t : f 2 ≥ .V y f ( x , y ) = af 1 + bf 2 ≥ c+d c+d c+d Ví d 3.2.2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P = cos 3 A + cos 3B − cos 3C L i gi i : Ta có : cos 3C = cos 3[π − ( A + B )] = cos[3π − 3( A + B )] = − cos 3( A + B ) nên  A+ B  A− B 2  A+ B P = cos 3 A + cos 3B + cos 3( A + B ) = 2 cos 3  cos 3  + 2 cos 3  −1  2   2   2  3  A+ B  A− B  A+ B 1 ⇒ P + = 2 cos 2 3  + 2 cos 3  cos 3  + = f (x , y ) 2  2   2   2  2  A− B 3 ∆' = cos 2 3  −1 ≤ 0 ⇒ P ≥ −  2  2 ∆ ' = 0 3  P=− ⇔  A+ B 1  A− B 2 cos 3 2  = − 2 cos 3 2        2  A− B cos 3 2  = 1    ⇔ cos 3 A + B  = − 1 cos 3 A − B         2  2  2  A = B A = B    A = 2π ⇔ 1 ⇔  9 cos 3 A = − 2   4π  A =  9  2π 5π 3 A = B = 9 ,C = 9 V y Pmin =− ⇔ 2  A = B = 4π , C = π   9 9 The Inequalities Trigonometry 74
  10. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Ví d 3.2.3. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C P= cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C L i gi i : Ta có : 3 P= −1 cos A + cos 2 B + cos 2 C 2 3 = −1 ( 3 − sin A + sin 2 B + sin 2 C 2 ) 3 ≤ −1 = 3 9 3− 4 Do ñó : Pmax = 3 ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 3.2.4. Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a y = 4 sin x − cos x L i gi i : ði u ki n : sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0 Ta có : y = 4 sin x − cos x ≤ 4 sin x ≤ 1 sin x = 1 π D u b ng x y ra ⇔  ⇔ x = + k 2π cos x = 0 2 M t khác : y = 4 sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1 sin x = 0 D u b ng x y ra ⇔  ⇔ x = k 2π cos x = 1  π  y max = 1 ⇔ x = + k 2π V y 2  y min = −1 ⇔ x = k 2π  Ví d 3.2.5. 2 + cos x Cho hàm s y= . Hãy tìm Max y trên mi n xác ñ nh c a nó. sin x + cos x − 2 The Inequalities Trigonometry 75
  11. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác L i gi i : Vì sinx và cosx không ñ ng th i b ng 1 nên y xác ñ nh trên R. 2 + cos x Y0 thu c mi n giá tr c a hàm s khi và ch khi Y0 = có nghi m. sin x + cos x − 2 ⇔ Y0 sin x + (Y0 − 1) cos x = 2Y0 + 2 có nghi m. (2Y0 + 2)2 ≤ Y0 2 + (Y0 − 1)2 2 ⇔ 2Y0 + 10Y0 + 3 ≤ 0 − 5 − 19 − 5 + 19 ⇔ ≤ Y0 ≤ 2 2 − 5 + 19 V y y max = 2 3.3. Bài t p : CMR ∆ABC ñ u n u nó th a m t trong các ñ ng th c sau : 3 3.3.1. cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A = 4 3.3.2. sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = sin A + sin B + sin C 1 1 1 3 1 3.3.3. + + = + tan A tan B tan C sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 2 2  a2 + b2 + c2  a 2b 2c 2 3.3.4.  cot A + cot B + cot C   =   A B C tan tan tan 2 2 2 a cos A + b cos B + c cos C 1 3.3.5. = a+b+c 2 A B C 3.3.6. ma mb mc = abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.7. l a lb l c = abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.8. bc cot + ca cot + ab cot = 12 S 2 2 2  1  1  1  26 3 3.3.9. 1 + 1 + 1 +  = 5+  sin A  sin B  sin C  9 sin A sin B sin C 1 3.3.10. 2 = (sin A + sin B + sin C ) 6 3 The Inequalities Trigonometry 76
Đồng bộ tài khoản