Bất đẳng thức tích phân

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Bất đẳng thức tích phân

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  1. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Chöùng minh raèng : π 3π 1 π 1 1 π 1. ∫ 4 dx 4. ln 2 < ∫ dx < 4 π 4 3 − 2 sin 2 x 2 0 1+ x x 4 3 π cot g 1 1 1 π 2. ∫ 3 dx 5. ∫ 2 dx 12 π 4 x 3 0 x + x+1 8 1 1 1 π π x π 3. ∫ dx 2 1 6. ∫ dx 2 0 1− x 6 6 18 0 x + x + x3 + 3 5 4 9 3 Baøi giaûi : π 3π 1 1 1 1 1. x ⇒ sin x 1 ⇒ sin 2 x 1 ⇒ 1 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 3 − 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 4 4 2 2 2 3 − 2 sin 2 x 1 3π 3π 1 3π π 3π 1 π ⇒ ∫π 4 dx ∫π 4 2 dx ∫ π 4 dx ⇒ ∫π 4 3 − 2 sin 2 xdx 2 4 2 4 4 3 − 2 sin x 4 4  1 π π  3 cot gx 1  3 cot gx 4 3 π3 π cot gx 4 π3 2. x dx ∫π 3 dx dx π ∫π 4 π ∫π 4 ⇒ ⇒ ⇒ 4 3 3 1 4 π x π 4 x π x π  3 π cot gx 1 ∫π 4 x dx 3 3 ⇒ 12 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm. 1 3. 0 x < 1 ⇒ 0 x 6 .... x 2 < 1 ⇒ −1 − x 2 − x 6 0 ⇒ 0 1 − x 2 1 − x 6 1 ⇒ 1 − x 2 1 − x6 1 2 1 1 1 1 1 ⇒1 ⇒ ∫ 2 dx ∫ 2 dx I 1− x 6 1− x 2 0 0 1 − x6 1 1  π π Vôùi I = ∫ 2 dx Ñaët x = sin t ; t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt 0 1 - x2  2 2 x 0 1 2 1 cos tdt 1 π 1 1 1 π ⇒I=∫ 2 = ∫ 2 dt = Vaäy ∫0 1 − x 6 dx 6 2 t 0 π 0 1 − sin 2 t 0 6 2 6 4. 0 x 1 ⇒ x x 1 ⇒ x2 x x x ⇒ 1 + x2 1 + x x 1 + x 1 1 1 ⇒ ( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1] x + 1 1 + x x 1 + x2 Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : x = 0 VT(1) VG(1)  ⇒ x∈∅ x = 1 VG(1) VP(1) 1 1 1 1 1 dx 1 1 π Do ñoù : ∫ dx < ∫ dx < ∫ 2 ⇒ ln 2 < ∫ dx < 0 1+ x 0 x +1 4 0 1+ x x 0 1+ x x 1 1 π Chuù yù : ∫ dx = Xem baøi taäp 5 . 0 1 + x2 4 1
  2. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 1 5. 0 x 1 ⇒ x2 x ⇒ x2 + x2 x2 + x ⇒ 2 + 2 x2 x2 + x + 2 ⇒ 2 2 x + x+ 2 2( x + 1) 1 1 1 1 1 1 1 ⇒∫ 0 x + x+2 2 dx 2 ∫0 x2 + 1 dx ; I = ∫0 1 + x2 dx 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = dt = (1 + tg 2 t)dt cos 2 t x 0 1 π 1 + tg 2 t π π π 1 1 π ⇒I=∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ⇒ I = Vaäy ∫ 2 dx π 0 1 + tg t2 4 4 0 x + x+2 8 t 0 0 4 0 x5 x 3  6. 0 x 1 ⇒  ⇒ 0 x5 + x 4 2 x 3 ⇒ x3 + 3 x 5 + x4 + x3 + 3 3 x 3 + 3   0 x4 x 3 1 1 1 x x x ⇒ ⇒ 3 3x + 3 3 x + x + x3 + 3 5 4 x +33 3x + 3 x + x + x3 + 3 5 4 x +3 3 1 x 1 x 1 x ⇒∫ dx ∫ dx ∫ dx ( 1 ) 0 3x + 3 3 0 x + x + x3 + 3 5 4 0 x +33 x 1 1 1 x x 0 1 ° I1 = ∫ dx = ∫ 3 dx ; Ñaë t x = t 2 ;( t 0) ⇒ dx = 2 tdt 0 3 x3 + 3 3 0 x +1 t 0 1 1 1 2t 2 1 3 t 2 . dt t 0 1 2 1 du π I1 = ∫ 6 dt = ∫ 3 2 Ñaët u = t 3 ⇒ du = 3t 2 dt ⇒ I1 = ∫ 2 = 3 0 t +1 9 0 (t ) + 1 u 0 1 9 0 u +1 18 π Keát quaû : I = (baøi taäp 5) 4 1 x π 1 x °I2 = ∫ 3 = (töông töï) Vaäy (1) ⇔ I1 ∫ 5 dx I2 0 x +3 0 x + x + x3 + 3 4 9 3 π 1 x π 18 ∫ 0 x + x + x3 + 3 5 4 dx 9 3 π sin x .cos x π 1,Chöùng minh raèng : ∫ 2 dx 0 (1 + sin x ) (1 + cos x ) 4 4 12 2.Neáu : I ( t ) = ∫ t tg 4 x  π  π ( 2 tg 3t + 3 tgt dx > 0 , ∀t ∈  0 ,  ; thì : tg  t +  > e 3 ) 0 cos 2 x  4  4 Baøi giaûi : 3 2 + cos2 x + sin2 x 2 + sin 4 x + cos 4 x 1. Ta coù : = (1 + sin 4 x)(1 + cos4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 3 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 1 1 ⇒ = + (1 + sin x)(1 + cos 4 x) 4 (1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos 4 x 4 4 4 2
  3. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3 sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x 1  sin 2 x sin 2 x  ⇒ + ⇒  1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x  (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 4 1 + sin x 4 1 + cos x (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6  π 3 sin x. cos x 1  π 2 sin 2 x π sin 2 x  ⇒∫ 2 dx  ∫0 1 + sin 4 x dx + ∫ 2 dx  0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x ) 6 0 1 + cos 4 x  π sin 2 x °J1 = ∫ 2 dx Ñaë t t = sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx 0 1 + sin 4 x x 0 π 2 ⇒ J = 1 dt = π (keát quaû I= π baøi taäp 5) t 0 1 1 ∫0 t 2 + 1 4 4 π sin 2 x °J2 = ∫ 2 dx Ñaë t u = cos 2 x ⇒ du = − sin 2 xdx 0 1 + cos 4 x x 0 π 2 1 du π π ⇒ J2 = ∫ 2 = (keát quaû I= baøi taäp 5) u 1 0 0 u +1 4 4 π sin x. cos x 1 π sin x. cos x π ⇒∫ 2 dx ( I + J ) Vaäy ∫ 2 dx 0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6 0 (1 + sin 4 x )(1 + cos 4 x) 12 dt 2. Ñaët t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x) dx ⇒ dx = 1 + t2 tgt tgt t 4 dt tgt t 4 dt tgt  2 1   1 3 1 t-1  1 3 1 tgt - 1 I =∫ t 0 1 - t 2 . 1 + t 2 = ∫0 1 - t 2 = ∫0  -t - 1 + 1 - t 2 dt =  - 3 t - t - 2 ln t + 1  0 = - 3 tg t - tgt - 2 ln tgt + 1     2 1+t Vì 1 1 tgt - 1 I > 0 neân : - tg 3 t - tgt - ln >0 (t) 3 2 tgt + 1 3 2  tg t + 3 tgt   1 tgt − 1 1  π 1  π ⇔ ln = ln tg  t +  > tg 3 t + tgt ⇒ tg  t +  > e 3   2 tgt + 1 2  4 3  4 x2 1 1 1 1. I n = Chöùng minh : ≤ ∫ In dx ≤ vaø lim In dx = 0 x +1 2( n + 1) 0 n+1 n→+∞ 1 2 2. J n = x n ( 1 + e-x ) Chöùng minh : 0 < ∫ J n dx vaø lim J n dx = 0 0 n +1 n→+∞ Baøi giaûi : 1 1 xn xn 1 1 1 xn 1 1. 0 x 1 ⇒ 1 x + 1 2 ⇒ 1 ; x n ⇒ ∫ x n dx ∫0 x + 1dx ∫ x n dx 2 x +1 2 x +1 2 0 0 1 1 x n+1 1 xn x n+1 1 1 xn 1 ⇒ 2 ( n + 1) ∫0 x + 1dx n +1 0 ⇒ 2 ( n +1) ∫0 x + 1dx n +1 0 3
  4. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  1  n→∞ 2 ( n + 1) = 0  lim xn Ta coù :  ⇒ lim =0 n→∞ x + 1  lim 1 = 0  n→∞ n + 1  2. 0 x 1⇒ 0 e− x e0 = 1 ⇒ 1 1 + e− x 2 ⇒ xn x n (1 + e − x ) 2. x n hay 0 x n (1 + e − x ) 2 xn 1 n (1 + e x ) dx x n (1 + e − x ) dx 2 1 1 ∫ 2∫ x ndx ⇒ 0 ∫ − ⇒0 x 0 0 0 n +1 ⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = 0 2 Ta coù : lim =0 n→∞ n + 1 n→∞ Chöùng minh raèng : π 2 1. ∫ π cos x(4 − 3 cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π 2. ∫ 2 ln x(9 − 3 ln x − 2 ln x)dx ≤ 8(e − 1) - 2 1 π 2π π 49π 3. ∫π 4. ∫ 3 4 sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < tgx(7 − 4 tgx)dx ≤ 4 3 0 64 π 243π 5. ∫ sin 4 x. cos6 xdx ≤ 0 6250 Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx )(2 cosx + 2) 3  cos x + 4 − 3 cos x + 2 cos x + 2    =8 cauchy f(x)       3   π π π 2 2 2 ⇒∫ f(x)dx 8∫ dx ⇒ ∫ cos x(4 − 3 cos x )(2 cos x + 2)dx 8π −π −π −π 2 2 2 2. Ñaët f ( x) = ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − 2 ln x ) 3  ln x + 3 + ln x + 3 − 2 ln x  f ( x)    =8    3     e e e ⇒∫ f ( x) dx 8∫ dx ⇒ ∫ ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) dx 8( e −1) 1 1 1 3  sin x + 1 + 2 sin x + 5 − 3 sin x  3. Ñaët f ( x) = sin x (1 + 2 sin x)(5 − 3 sin x ) ; f(x)     8   3      sin x = 1 + 2 sin x   sin x = −1  Ñaúng thöùc ⇔  ⇔ ⇔ x∈∅  sin x = 5 − 3 sin x   4 sin x = 5  π π π 2π ⇒ f(x) < 8 ⇒ ∫ f(x)dx < 8∫ ⇒∫ 3 3 3 dx sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < π 4 π 4 π 4 3 1 4. Ñaët f(x) = tgx(7 − 4 tgx) = .4 tgx( 7 − 4 tgx) 4 4
  5. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 1  4 tgx + 7 − 4 tgx  49 f ( x) ≤   = 4 2  16  ∏ 49 ∏ 4 ∏ 49 ∏ ⇒ ∫ 4 f ( x ) dx 0 16 ∫0 dx ⇒ ∫ 4 tgx 7 − 4 tgx dx 0 ( ) 16 5. sin 4 x.cos 6 x = (1 − cos 2 x).(1 − cos 2 x).cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x 1 = (2 − 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x).cos 2 x.cos 2 x.cos 2 x 2 5 1  2 − 2 cos 2 x + 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x  ≤   2 5  243 ∏ 243 ∏ ⇒ sin 4 x.cos 6 x ≤ ⇒ ∫ sin 4 x.cos 6 xdx ≤ 6250 0 6250 Chöùng minh raèng : ( ) 5∏ 2 ∏ ∫ cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx 2 1. −∏ 3 3 2. ∫ 1 e ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ) 4 ( e − 1) ∏ 3 cos x + sin x ∏ 3. − 4 ∫ x2 + 4 dx 4 Baøi giaûi : 1. Ñaët f ( x ) = 1 cos 2 x + 3sin 2 x + 1. sin 2 x + 3cos 2 x f 2( x ) 2 ( cos 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ f ( x ) 2 2 ( ) ∏ ∏ ∏ 5∏ 2 ⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx 2 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx − − − 3 3 3 3 2. Ñaët f ( x ) = 1 3 + 2 ln 2 x + 1 5 − 2 ln 2 x f ( x ) 2 ≤ 2 ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x ) ⇒ f ( x ) ≤ 4 e ⇒ ∫ f ( x ) dx 4 ∫ dx ⇒ ∫ 1 e 1 e ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ≤ 4 ( e − 1) 1 ) 3. 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos 2 x + sin 2 x )   3 cos x + sin x 2 2 3 cos x + sin x 2 dx ⇒ ≤ ⇒∫ ≤ 2∫ x +4 2 x2 + 4 0 x +4 2 0 x +4 2 5
  6. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ñaët x = 2tgt ⇒ dx = 2 (1 + tg 2 t ) dt x 0 1 2 dx ∏ 2 (1 + tg 2t ) 1 ∏ ∏ ⇒∫ =∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ∏ x +4 4 (1 + tg t ) 2 2 t 0 0 0 2 0 8 4 2 3 cos x + sin x ∏ ∏ 2 3 cos x + sin x ∏ ⇒∫ dx ⇒− ∫ dx 0 x +4 2 4 4 0 x2 + 4 4 ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN Chöùng minh raèng : ∏ ∏ ∏ sin x ∏ sin x 1.∫ 4 sin 2 xdx ≤ 2∫ 4 cos xdx 4..∫ 2 dx > ∫∏ dx 0 0 0 x 2 x ∏ ∏ 2 2 2.∫ 2 sin 2 xdx 2∫ 2 sin xdx 5. ∫ (ln x) 2 dx < ∫ ln xdx 0 0 1 1 2 x −1 2x − 12 ∏ ∏ 3.∫ dx < ∫ dx 6. ∫ 4 sin xdx < ∫ 4 cos xdx 1 x 1 x +1 0 0 Baøi giaûi :  ∏  0 ≤ sin x ≤ 1  1.∀x ∈  0;  ⇒   ⇒ 2sin x.cos x ≤ 2 cos x  4  0 ≤ cos x ≤ 1   ∏ ∏ 4 4 ⇔ sin 2 x ≤ 2 cos x ⇒∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ cos xdx 0 0 6
  7. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  ∏  cos x ≤ 1  2. ∀x ∈  0;  ⇒   ⇒ 2 sin 2 x.cos x ≤ 2sin x  2  0 ≤ sin x   ∏ ∏ 2 2 ⇔ sin 2 x ≤ 2sin x ⇒ ∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ sin xdx 0 0 x -1 2 x − 1 −x 2 + x − 1 3. ∀x ∈ [ 1;2 ] Xeùt hieäu : − = 0 ⇒ < ⇒∫ dx < ∫ dx ∏−x x 0 ∏−x ∏ x 2 sin x ∏ ∏ sin x ⇒∫ dx > ∫∏ dx 0 x 2 x 5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2] 1 x 2 ⇒ 0 ln x ln 2 < 1 (*) ⇒ 0 (ln x )2 < ln x 2 2 ∀x ∈ [ 1,2 ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx 1 1 Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂ [1,2] ∏ ∏ sin x 6. 0 < x < ⇒ 0 < tgx < tg = 1 ⇔
  8. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Baøi Giaûi: 1. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ x 2 + 4 ≤ 5 ⇒ 2 x2 + 4 ≤ 5 1 1 1 1 ⇒ 2 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 ∫ dx ⇒ 2 ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 0 0 0 0 2. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 8 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x 8 + 1 ≤ 2 1 1 ⇒ 0 ≤ x8 + 1 ≤ 2 ⇒ ≤1 ≤ 2 x8 + 1 1 1 1 dx 1 1 1 dx ⇒ ∫ dx ≤ ∫ ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ≤1 2 0 0 x8 + 1 0 2 0 x8 + 1 3. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 x10 + 1 2 ⇒1 3 x10 + 1 3 2 1 1 x 25 x 25 ⇒ 1⇔ x 25 3 2 3 x +1 10 3 2 3 x +110 1 1 1 x 25 1 1 1 x 25 1 ⇒ ∫ x 25 dx ∫ dx ∫ x 25 dx ⇒ ∫ dx 3 2 0 0 3 x +1 10 0 26 23 0 3 x +1 10 26 x sin x x 4. Tröôùc heát ta chöùng minh : ;(1) ∀x ∈ [ 0,1] . 1 + x sin x 1+ x Giaû söû ta coù : (1). 1 1 1 1 (1) ⇔ 1 − 1− ; ∀x [ 0.1] ⇔ 1 + x sin x 1+ x 1 + x sin x 1 + x ⇔ 1 + x 1 + x.sin x ⇔ x (1 − sin x ) 0 ñuùng ∀x ∈ [ 0,1] 1x sin x 1 x 1 1   (1) ⇔ ∫ dx ∫ dx = ∫ 1 −   dx 0 x + x sin x 0 1+ x  1+ x  0   1 x .sin x 1 Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ⇔∫ dx ( x − ln 1 + x ) = 1 − ln 2 0 1 + x sin x 0 1 x.sin x ⇒∫ dx 1 − ln 2. 0 1 + x .sin x  1 1 0 < e− x = x e− x sin x 1, 3  ⊂ ( 0, ∏ ) ⇒  5. x ∈   e e⇒0< 2 < 1  0 < sin x < 1 x +1 e ( x + 1) 2  3 e − x sin x 1 3 dx 1 3 dx ⇒0
  9. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∏ (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∏ ∫∏ 4 dt = t = 3 3 3 ∏ t ∏ ∏ 4 1 + tg t 2 4 12 4 4 3 e − x sin x ∏ Vaäy 0 < ∫ dx < 1 x +1 2 12e 6. 0 x 1⇒ 0 x3 x2 ⇒ − x2 − x3 0 ⇒ 4 − 2x2 4 − x 2 − x3 4 − x2 ⇒ 4 − 2x2 4 − x2 − x3 4 − x2 1 1 1 ⇒ 4 − 2x2 4− x −x 2 3 4 − x2 1 1 1 1 1 1 ⇒I =∫ dx ∫ dx ∫ dx = J 0 4 − x2 0 4 − x2 − x3 0 4 − 2 x2 Ñaët x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt x 0 1 ∏ 2 cos tdt ∏ ∏ ⇒I =∫ 6 = ∫ 6 dt = t 0 ∏ 0 4 − ( 2sin t ) 2 0 6 6 Ñaët x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt x 0 1 t 0 ∏ 4 ∏ ∏ 2 cos tdt 2 4 ∏ 2 ⇒J =∫ 4 = = ( ) 2 8 0 2 4−2 2 sin t 0 ∏ 1 dx ∏ 2 ⇒ ≤∫ ≤ 6 0 4 − x 2 − x3 8 Chöùng minh raèng : e −1 1 − x2 ∏ ∏ 1 ∏ 6 1. ∫0 e dx 1 3. ≤ ∫ 2 1 + sin 2 x .dx ≤ e 2 0 2 4 ∏ ∏ ∏ 1 1 sin 2 x 2. ∫0 2 e dx 2 e 4. 0.88 < ∫ dx < 1 2 0 1 + x4 Baøi giaûi : 9
  10. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1.°0 x 1 ⇒ 0 x 2 x 1 ⇒ 0 < e x 2 ex 1 1 e− x (1) 2 ⇒ x2 x ⇔ e− x e e °x 2 1( 2 ) 2 2 0 ⇒ ex e0 = 1 ⇒ e− x Töø (1) vaø (2) suy ra : e − x 2 1 e− x 1 1 1 e −1 1 ⇒ ∫ e − x dx ∫e ∫0 dx ⇒ e ∫e 2 − x2 − x2 dx dx 1 0 0 0 2 2. 0 sin 2 x 1⇒1 esin x e ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒∫ ∫ e.∫ ∫ 2 2 2 dx 2 esin x dx 2 dx ⇒ 2 esin x dx e 0 0 0 2 0 2 1 2 1 1 3 3. 0 sin 2 x 1⇒ 0 sin x ⇒1 1 + sin 2 x 2 2 2 2 ∏ ∏ 1 3 ∏2 ∏ ∏ 1 ∏ 6 ⇒∫ 2 dx ∫ 2 1 + sin 2 x dx ∫0 dx ⇒ 2 ∫ 2 1 + sin 2 x .dx 0 0 2 2 0 2 4 4. Caùch 1: 1 1 ∀x ∈ ( 0,1) thì x 4 < x 2 ⇒ 1 + x 4 < 1 + x 2 ⇒ > 1+ x 4 1 + x2 ( ) 1 1 1 1 1 ⇒∫ dx > ∫ dx = ln x + 1 + x 2 = ln 1 + 2 > 0,88 0 0 1 + x4 1 + x2 0 1 1 1 Maët khaùc : 1 + x 4 > 1 ⇒ ⇒∫ dx > I 1+ x 4 1+ x 2 0 1 + x4 1 1 Vôùi : I = ∫ dx 0 1 + x2 dt = (1 + tg 2t ) dt 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = cos 2 10
  11. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 0 1 I =∫ (1 + tg t ) dt = ∏ 2 ∏ 1 ∫ 4 4 dt ∏ t 0 4 (1 + tg t ) 0 2 0 cos t ∏ cos t I =∫ 4 dt 0 1 − sin 2 t t 0 ∏ Ñaët u = sin t ⇒ du = cos tdt 4 u 0 1 2 1 du 1 1 1− u + u +1 1 1  1 1  I =∫ 2 = ∫ 2 du = ∫ 2  + du 0 1− u 2 2 0 (1 − u )(1 + u ) 2 0  1+ u 1− u  1 1 1 1 1 1 1 1 1+ u 2 = ∫ 2 du + ∫ 2 du = ln 2 0 1+ u 2 0 1− u 2 1− u 0 1 2+ 2 1 1 I= ln > 0,88 ⇒ ∫ dx > 0,88 2 2− 2 0 1 + x4 1 Maët khaùc :1 + x 4 > 1 ⇒
  12. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ta coù : α  α 0 ∫ 0 x tgx dx xdx  ∫ 0 β β   ∏ ∏ 0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx  ⇒ 0 ∫ 4 x tgx dx < ∫ 4 xdx α α 0 0 ∏ ∏  0 ∫ x tgx dx ∫ xdx  4 4 β β   ∏ ∏ 2 ⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx < 0 32 α β Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì b b ∫ a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx b α β Tuy nhieân neáu : m f( x ) M thì : b b b b m ∫ dx ∫ f( x ) dx M ∫ dx ⇒ m ( b − a ) ∫ f( x ) dx M (b − a ) a a a a Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx b b b a a a (Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] ) cos nx 1 1 cos nx 1 cos nx 1 1 1 2. ∫0 1 + x dx ∫ 0 1+ x dx = ∫ 0 1+ x dx ∫0 1 + x = ln 1 + x 0 = ln 2 1cos nx ⇒ ∫ 0 1+ x dx ln 2  e − x e −1 = 1  3. 1 x 3⇒ e  sin x 1  1 3 e− x .sin x 3 e − x .sin x 3 e dx ⇒ ∫ 1 1 + x2 dx ∫ 1 + x2 dx ∫ 1 1 + x2 3 e− x .sin x 1 3 1 ⇒ ∫ dx .I vôùi I = ∫ dx 1 1 + x2 e 1 1 + x2 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∏ (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∫ dt = 3 3 t ∏ ∏ 4 1 + tg t 4 2 ∏ 12 4 3 −x 3 e .sin x ∏ ⇒ ∫ dx (*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) 1 1+ x 12e Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 12
  13. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  e − x = e −1 x = 1  ⇔ ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3    sin x = 1 sin x = 1 −x 3 e .sin x ∏ Vaäy : ∫ dx < 1 1+ x 2 12e Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù 3 e− x cos x 3 e − x cos x 3 e− x 4. ∫ 1 1 + x2 dx ∫1 1 + x2 dx ∫ 1 1 + x2 dx Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 = 1 e 3 e− x cos x 1 3 1 ∏ ⇒ ∫ dx ∫1 1 + x 2 dx = 12e ;do I baøi 3 1 1 + x2 e Daáu ñaúng thöùc : e− x = e −1 x = 1  ⇔ ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3    cos x = 1 cos x = 1 3 e − x cos x ∏ Vaäy ∫ dx < 1 1+ x 2 12e u = 1   du = − 1 x 2 dx 5. Ñaët  x ⇒ dv = cos xdx  v = sin x  200 ∏ 200 ∏ cos x 1 200 ∏ sin x ⇒∫ dx = sin x +∫ dx 100 ∏ x x 100 ∏ 100 ∏ x2 200 ∏ cos x 200 ∏ 200 ∏ 1 1 1 ⇒∫ dx ∫ dx = − = 100 ∏ x 100 ∏ x 2 x 100 ∏ 200 ∏ 200 ∏ cos x 1 Vaäy ∫ dx 100 ∏ x 200 ∏ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . 13
  14. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 ex e 6. 0 x 1⇒1 ex e⇒ (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) n n n 1 1 1 ex 1 1 ⇒∫ dx ∫ (1 + x ) dx e∫ dx (1 + x ) (1 + x ) 0 n 0 n 0 n 1− n 1 1− n 1 ( x + 1) 1 ex ( x + 1) ⇔ 1− n ∫ (1 + x ) 0 n dx e. 1− n 0 0 1  1  1 e x e  1  Vaäy : 1 − n −1  ∫ (1 + x ) dx 1 − n −1  ; n > 1 n −1  2  0 n n −1 2  Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : (∫ ) b 2 b b a f ( x ) .g( x ) .dx ∫a f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx a Caùch 1 : Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : ( ) (α 2 1 + α 2 2 + ... + α 2 n )( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n ) (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1) α1 α 2 α Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : = = ... n β1 β 2 βn Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < ….
  15. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân (∫ ) b 2 b b Töø (5) ⇒ f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a a a Caùch 2 : ∀t ∈ R + ta coù : 0 [tf ( x) − g ( x) ] = t 2 f 2 ( x) − 2.t. f ( x).g ( x) + g 2 ( x) 2 b b b ⇒ h(t ) = t 2 ∫ f 2 ( x)dx − 2t ∫ f ( x).g ( x)dx + ∫ g 2 ( x)dx 0 a a a h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :   ah = t > 0 2  ⇔ ∆ 'h 0 ∆ h 0  2 ⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0 b b b  a    a a (∫ ) b 2 b b ⇒ a f ( x).g ( x)dx ∫ a f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a Chöùng minh raèng :  1 (e − 1)  e x −  x 1 5 3. e x − 1 < ∫ e2 t + e− t dt < x 1. ∫ 1 + x3 dx < 0 2 0  2 1 3∏ 1 3cos x − 4sin x 5∏ 2. ∫ esin 2 x dx > 4. ∫ dx 0 2 0 1 + x2 4 Baøi giaûi : (∫ ) b 2 b b 1. Ta coù : f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) a a a b b b ⇒ ∫ a f ( x).g ( x)dx ∫ a f 2 ( x)dx . ∫ a g 2 ( x)dx 1 + x3 = (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . (1 − x + x ) 2 (1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x − x + 1) dx 1 1 1 1 ⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫ 0 0 (1 + x ) 2 0 0 2 1 1 1  x2   x3 x 2  5 ∫0 1 + x3 dx <  + x   2 0   3 − 2 + x =  2  0 1 5 ⇒ ∫ 1 + x3 dx < 0 2 ∏ ∏ ∏ 2. ∫ esin dx = ∫ dx + ∫ 2 2 2 x 2 esin x 2 esin x dx 0 0 0 x ∏ ∏ x 2 Ñaët t = + t ⇒ dx = dt 2 t 0 ∏ 2 15
  16. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ⇒ ∫ esin ∏ 2 x ∏ dx = ∫ 2 esin x dx + ∫ 2 ∏ 2 e ( sin 2 ∏ + t 2 ) dt 0 0 0 ∏ ∏ ∏ =∫ dx + ∫ ecos x dx = 2∫ 2 2 2 2 2 2 esin x esin x dx 0 0 0 ∏ 2 ∏ 2    sin 2 x cos 2 x  Ta laïi coù  ∫ 2 edx  =  ∫ 2 e 2 .e 2 dx   0   0  ∏ ∏ 2 2 e =∏ e ; e >  0 2 0  2 ∏ 3 ⇒ ∫ esin x dx > 2 0 2 Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . x x t 3. ∫ e 2t + e − t dt = ∫ e 2 et + e−2t dt 0 0 (∫ ) 2 ∫ e dt ∫ ( e + e −2t )dt x t t t e 2 et + e−2t dt t t 0 0 0 vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx ) b 2 b b a ∫ a f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a ⇒ ( ∫ e + e dt ) 2    x 1 (e − 1)  e x − − 2 x 1 1  < ( e − 1)  e −  x 2t −t x x o  2 e   2  1 (e − 1)  e x −  (1) 1 ⇒∫ e 2t + e − t dt x 0  2 Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x x x ⇒∫ e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2) 0 0  1 (e − 1)  e x −  x Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ e 2t + e − t dt < x 0  2 3cos x − 4sin x 1 32 + ( −4 )2  sin 2 x + cos 2 x  = 5 4. 1 + x2 1 + x2    x2 + 1 1 3cos x − 4sin x 1 3cos x − 4sin x 1 1 ⇒ ∫ 0 1 + x2 dx ∫ 0 1 + x2 dx 5∫ 0 1 + x2 dx Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt 16
  17. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 (1 + tg t ) 2 x 0 1 1 1 1 ∏ ⇒∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = t 0 ∏ 0 1+ x 2 0 1 + tg t2 0 4 4 1 3cos x − 4sin x 5∏ ⇒ 4. ∫ dx 0 1+ x 2 4 Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. Chöùng minh raèng : ∫ ( ) ( ) 11 ∏ ∏ ∏ 2 x+7 + 11 − x dx ∫ ( sin x + cos x )dx 4 1. 54 2 108 −7 4 0 4 2. 0 < ∫ x (1 − x 2 )dx < 1 4 e 3∏ 4. ∫ esin x dx > 2 0 27 0 2 Baøi giaûi : 1. Xeùt f ( x ) = ( ) ( x+7 + ) 11 − x ; x ∈ [ −7,11] 11 − x − x + 7 f '( x) = ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 2 2 11 − x x + 7 x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6 ր ց 3 2 3 2 11 11 11 ⇒3 2 f ( x) 6 ⇒ 3 2 ∫ dx ∫ f ( x ) dx 6 ∫ dx −7 −7 −7 ∫ ( ) 11 ⇒ 54 2 x + 7 + 11 − x dx 108 −7 2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ' ( x) = 3x 2 - 4 x + 1 1 ⇒ f’(x)=0 ⇔ x = ∨ x =1 3 x -∞ 0 1 1 +∞ 3 f’(x) + 0 - f(x) 4 27 ր ց 0 0 17
  18. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 4 ⇒0 f ( x) 27 va  ( 3 3 )( ∃x ∈ 0, 1 ; 1 , 0 ⇒ 0 < f < 4  ( x) 27 )  f (0) = f (1) = 0  1 4 1 1 4 ⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < ∫0 dx ⇒ 0 < ∫0 f ( x)dx < 27 0 27 3. Xeùt haøm soá :  ∏  ∏ f ( x) = sin x + cos x = 2 sin  x +  ; x ∈ 0,   4  4  ∏  ∏ f ' ( x) = 2 cos  x +  0 , ∀x ∈  0,   4  4  ∏ ⇒ f(x) laø haøm soá taêng ∀x ∈ 0,  ⇒ f ( 0) f( x ) f ∏  4 ( 4) ∏ ∏ ∏ 2 ⇒ 1 sin x + cos x 2⇒ ∫0 ( sin x + cos x )dx 4 4 4 4. Nhaän xeùt ∀x > 0 thì e x > 1 + x ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt f (t ) = et − 1 − t ; t 0 ⇒ f '(t ) = et − 1 > 0 ; ∀t > 0 ⇒ haøm soá f(t) ñoàng bieán ∀t 0 Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x − 1 − x > 0 ⇔ e x > 1 + x (1) Do vaäy : ∀x ∈ ( 0, ∏ ) thi esin ( do(1) ) 2 x > 1 + sin 2 x 1 − cos 2 x ⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin 2 x )dx = ∏ + ∫ ∏ 2 ∏ ∏ dx 0 0 0 2 ∏ 3∏ ⇒ ∫ esin x dx > 2 0 2 Chöùng minh raèng : 2 x 1 ∏ 2 3 3 cot gx 1 1. 5 ∫1 x2 + 1dx 2 4. 12 ∫∏ 6 x dx 3 ∏ 3 3 sin x 1 2 1 1 1 2. ∫∏ 4 x dx 2 5. < ∫ dx < 4 3 0 2 + x − x2 2 ∏ 3 2∏ 3 ( ) 1 ∏ 1 6. 2 4 2 < ∫ 1 + x + 4 1 − x dx < 4 ∫ 4 3. dx −1 3 0 cos x + cos x + 1 2 3 Baøi giaûi : 18
  19. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 1 − x2 1. Xeùt : f ( x ) = ; x ∈ [1, 2] . coù f '( x ) = 0 ; ∀x ∈ [1, 2] x +1 (1 + x 2 ) 2 2 ⇒ haøm soá nghòch bieán ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2) f( x ) f (1) 2 x 1 2 2 2 x 1 2 ⇒ ∫ dx ∫ 2 ∫1 ⇒ dx dx 5 x +1 2 2 5 1 1 x +1 2 2 2 x 1 ⇒ 5 ∫1 x 2 + 1 2 sin x ∏ ∏ x.cos x − sin x 2. Xeùt f ( x ) = ; ∀x ∈  ;  ⇒ f '( x ) = x 6 3 x2 ∏ ∏  Ñaët Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 ∏ ∏  ⇒ Z ñoàng bieán treân ∀x ∈  ;  vaø : 6 3 ∏ −3 3 ∏ ∏ Z Z∏ = < 0 ; ∀x ∈  ;  ( 3) 6 6 3 ∏ ∏  ⇒ f '( x ) < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 x -∞ ∏ ∏ +∞ 6 3 f’(x) − f(x) ∏ 3 ց 3 3 2∏ 3 3 3 ⇒ f( X ) 2∏ ∏ 3 3 sin x 3 hay : 2∏ x ∏ 3 3 ∏3 ∏ sin x 3 ∏3 3 ∏ sin x 1 2 ∏ ∫∏ 6 ∫ ∫∏ 6 dx ⇒ 4 ∫ ⇒ dx ∏ 3 dx ∏ 3 dx 6 x ∏ 6 x 2 3. Ñaët t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1] vaø f (t ) = t 2 + t + 1; t ∈ [ −1,1] 19
  20. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = 0 ⇔ t = − 2 t - ∞ -1 −1 1 +∞ 2 f’(t) − 0 + f(t) 1 3 ց ր 3 4 3 ⇒ f(t ) 3 ; ∀t ∈ [ −1,1] 4 3 ⇒ cos 2 x + cos x + 1 3 ; ∀x ∈ [ 0, ∏ ] 4 3 1 1 2 hay cos 2 x + cos x + 1 3 ⇒ 2 3 cos 2 x + cos x + 1 3 1 ∏ ∏ 1 2 ∏ ⇒ ∫ dx 3 0 ∫ 0 cos x + cos x + 1 2 dx ∫ dx 3 0 ∏ 3 ∏ 1 2∏ 3 ⇒ 3 ∫ cos x + cos x + 1 0 2 dx 3 Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : ∏ 3 ∏ 1 2∏ 3

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