Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: quangngai11

HS hiểu kỹ định nghĩa giá trị tuyệt đối từ đó biết cách mở dấu giá trị tuyệt của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Biết giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Hiểu được và sử dụng qui tắc biến đổi bất phương trình: chuyển vế và qui tắc nhân + Biết biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số + Bước đầu hiểu bất phương trình tương đương. 2, Kỹ năng: áp dụng 2 qui tắc để giải bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối....

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bất phương trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối
B T PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I
Tr n Văn Toàn,
Trư ng THPT chuyên Lương Th Vinh,
Biên Hoà, Đ ng Nai.

Ngày 7 tháng 1 năm 2009


Tóm t t n i dung
B t phương trình có ch a d u giá tr tuy t đ i đư c h c trong chương trình Toán Trung
h c ph thông. Tuy nhiên, trong chương trình hi n hành, cũng ch đưa ra m t vài bài toán
nh mà phương pháp gi i ch y u là dùng đ nh nghĩa v giá tr tuy t đ i ho c xét d u c a
bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i đ sao cho b t phương trình đang xét không còn
ch a d u giá tr tuy t đ i n a. L y ý tư ng chính t m t bài vi t trong [1], tôi vi t đ tài
này v i m c đích là đưa thêm m t cách gi i n a, ch y u là tránh vi c xét d u bi u th c
bên trong d u giá tr tuy t đ i, mà công vi c xét d u này đôi khi th t s không đơn gi n.



1 Các b t phương trình cơ b n
Sách Giáo viên Đ i s l p 10 c a Nhà xu t b n Giáo d c, xu t b n năm 2006, trang 107 có
ch ng minh r ng n u a là m t s th c b t kì thì ta có

1. |f (x)| a ⇔ −a f (x) a.

f ( x) a
2. |f (x)| a⇔
−a
f ( x)

1. Th t v y, xét b t phương trình |f (x)| a.

• N ua 0, ta có |f (x)| a ⇔ −a f (x) a.
• N u a < 0, các b t phương trình |f (x)| a và −a f (x) a đ u vô nghi m.
• Trư ng h p b t phương trình |f (x)| a ch ng minh tương t .

2. Bây gi , ta xét các b t phương trình |f (x)| g (x) và −g (x) f (x) g (x).
G i D là t p xác đ nh c a b t phương trình |f (x)| g (x) (Khi đó, D cũng là t p xác đ nh
c a b t phương trình −g (x) f (x) g (x)).
Gi s có s x0 ∈ D tho b t phương trình |f (x)| g (x), t c là

|f (x0 )| g (x0 ). (1.1)

1
Ta ch xét trư ng h p g (x0 ) 0.

• N u f (x0 ) 0, thì |f (x0 )| = f (x0 ) và b t phương trình (1.1) tr thành

f ( x0 ) g (x0 ). (1.2)

M t khác, vì f (x0 ) 0 và g (x0 ) 0, nên

−g (x0 ).
f ( x0 ) (1.3)

T (1.2) và (1.3) suy ra
−g (x0 ) f ( x0 ) g (x0 ).

Hay x0 cũng tho
− g ( x) f (x) g (x).

• Trư ng h p f (x0 ) < 0.
Khi đó, |f (x0 )| = −f (x0 ) và (1.1) tr thành −f (x0 ) g (x0 ). Do v y, ta có (1.3). M t
khác, vì f (x0 ) < 0 và g (x0 ) 0, nên có (1.2). Do đó, ta cũng có

−g (x0 ) f ( x0 ) g (x0 ).

(Cũng có th nh n xét r ng, n u |f (x0 )| 0, thì −g (x0 )
g (x0 ), g (x0 f ( x0 )
g (x0 ).)
• Trái l i, n u có x0 tho −g (x0 ) g (x0 ), ta cũng có |f (x0 )| < g (x0 ).
f ( x0 )

V y ta có
|f (x)| g (x) ⇔ −g (x) f (x) g (x).

Ch ng minh tương t , ta có các k t qu như sau:

f (x) < g (x),
1. |f (x)| < g (x) ⇔
f (x) < −g (x);

f (x) g (x),
2. |f (x)| g ( x) ⇔
−g (x);
f (x)

f (x) > g (x)
3. |f (x)| > g (x) ⇔
f (x) > −g (x)

Ta có th vi t các b t phương trình d ng trên dư i d ng sau:

f g,
f < g,
3. |f | g ⇔
1. |f | < g ⇔ −f g ;
−f < g ;

f g, f > g,
2. |f | g⇔ 4. |f | > g ⇔
− f g; −f > g.


2
Cũng t các k t qu trên, ta có

f (x) g (x) h(x)
|g (x)| h(x) ⇔
f (x)
−g (x) h(x)
f (x)

Ví d 1.1. Gi i b t phương trình

|x − 6| < x2 − 5x + 9. (1.4)

L i i. B t phuong trình (1.4) tương đương v i h
gi 
x − 6 < x2 − 5x + 9, x2 − 6x + 15 > 0,
⇔ ⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞). J
−(x − 6) < x2 − 5x + 9 x2 − 4x + 3 > 0

Ví d 1.2. Gi i b t phương trình

|x2 − 2x − 8| > 2x. (1.5)

L i gi i.

x2 − 2x − 8 > 2x, x2 − 4x − 8 > 0, x < 2 2,

(1.5)⇔ ⇔ ⇔ J
x2 − 2x − 8 < −2x x2 − 8 < 0 x > 2 + 2 3.

Ví d 1.3. Gi i b t phương trình |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + 3.

L i gi i. B t phương trình đã cho tương đương v i

 
x3 − 7x − 3 < x3 + x2 + 3 x 2 + 7 x + 6 > 0 −1 + 57
⇔ ⇔ −1 < x < 0 ho c x > .
4
−(x3 − 7x − 3) < x3 + x2 + 3 2x3 + x2 − 7x > 0

J
ví d trên, vi c xét d u c a các bi u th c x3 − 7x − 3 và x3 + x2 + 3 là r t khó.

Ví d 1.4. Gi i b t phương trình |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − 2 0.

L i gi i. Đưa b t phương trình đã cho v d ng |x3 − x2 + 4| −x3 + x2 + 2x + 2, ta đư c
−3 x −1 và x = 1. J
3 2 3 2
Chú ý r ng, vi c xét d u các bi u th c x − x + 4 và −x + x + 2x + 2 là không đơn gi n.

Ví d 1.5. Gi i b t phương trình ||x| − 1| < 1 − x.

L i gi i. Ta có 
x < 2 − x
  
|x| − 1 < 1 − x |x| < 2 − x 

||x| − 1| < 1 − x ⇔ ⇔ ⇔ −x < 2 − x ⇔ x < 0. J
−|x| + 1 < 1 − x x < |x| 

x < 0.


|x| 1
Ví d 1.6. Gi i b t phương trình 1 − .
1 + |x| 2
L i gi i. Ta có  
|x| |x|
1 1
1−
2 ⇔ |x| 1
|x| 1 1 + |x| ⇔  1 + |x|
2
 
1− ⇔
|x|  |x|
1 3
1 + |x| 2 1 + |x| 0

−1 +
1 + |x| 1 + |x|
2 2
⇔ −1 J
x 1.

3
Ví d 1.7. Tìm t p giá tr c a bi u th c x + a, bi t r ng

|2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| 3. (1.6)

L i gi i. Đ t y = |x + a|, b t phương trình (1.6) cho tr thành

|y − 2| + 2|y − 2a + 2| 3. (1.7)

B t phương trình (1.7) tương đương v i

y − 2 3 − 2|y − 2a + 2|
y − 2 −3 + 2|y − 2a + 2|

hay
−1 + 2|y − 2a + 2| 5 − 2|y − 2a + 2|.
y (1.8)
T (1.8) suy ra y ∈ [−1; 5].
1
• y = −1 khi và ch khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = .
2
7
• y = 5 khi và ch khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = .
2
V y t p giá tr c a x + a là đo n [−1; 5]. J

Ví d 1.8. Gi i b t phương trình

||x2 − 3x − 7| + 2x − 1| < x2 − 8x − 5. (1.9)

L i gi i.  
|x2 − 3x − 7| + 2x − 1 < x2 − 8x − 5 |x2 − 3x − 7| < x2 − 10x − 4
(1.9) ⇔ ⇔
|x2 − 3x − 7| + 2x − 1 > −x2 + 8x + 5 |x2 − 3x − 7| > −x2 + 6x + 6
 
x2 − 3x − 7 < x2 − 10x − 4 7x > 3
 
 
 
 
 2
 −x + 3x + 7 < x2 − 10x − 4  2
 2x − 13x − 11 > 0
⇔ ⇔

 x2 − 3x − 7 > −x2 + 6x + 6  2x2 − 9x − 13 > 0
 
 
 
 
 − x2 + 3 x + 7 > − x2 + 6 x + 6  3x − 1 > 0
 

x > 3


 7 √


13 − 257


 x


13 − 257

√4
⇔ ⇔x< .
4
9 − 85

 x
9 + 85




4




x< 1

3
J

Ví d 1.9. Gi i b t phương trình |x2 − |x2 − 3x − 5| − 5| < x + 1.

4
√ √
1+ 19 2+ 16
3 − x. (1.10)

x − 1 > 3 − x − |x − 2|,
L i gi i. Ta có |x − 1| + |x − 2| > 3 − x ⇔ |x − 1| > 3 − x − |x − 2| ⇔
−x + 1 > 3 − x − |x − 2|

x > 6,

x − 2 > 4,
 x < −2,
|x − 2| > 4, −x + 2 > 4, x > 6,
 
⇔ ⇔ ⇔
 x < − 4 ⇔ x < 0.

|x − 2| > 2x + 2 x − 2 > 2x + 2,

3

−x + 2 > 2x + 2 x 0,




f (x) > 0,
2
⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} > 0.
4.
. . . . . . . . .




f n ( x) > 0



f1 (x) < 0,
 f (x) < 0,
2
⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} < 0.
5. 
 .........
fn (x) < 0

f1 (x) 0,
 f (x) 0,
2
⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0.
6. 
 .........
fn (x) 0

f1 (x) 0,
 f (x) 0,
2
⇔ max{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0.
7. 
 .........
fn (x) 0

f1 (x) > 0,
 f (x) > 0,
2
⇔ max{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} > 0.
8. 
 .........
fn (x) > 0

Ví d 1.13. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t

|f | + |g | < h. (1.11)

L i gi i.
 
f < h − |g |, |g | < h − f,
(1.11) ⇔ |f | < h − |g | ⇔ ⇔
− f < h − | g | |g | < h + f,
 
g < h − f, f + g < h,
 
 
 
−g < h − f, f − g < h,
 
⇔ ⇔
−f + g < h,
g < h + f,
 
 
 
 
−g < h + f −f − g < h.
 

J

6
Chú ý, trong b t phương trình (1.11) có ch a hai d u giá tr tuy t đ i và ta có th đưa (1.11)
v d ng |f1 | f2 . Ta th y, ng m i d u giá tr tuy t đ i, thì d u bi u th c bên trong c a nó có
hai trư ng h p là (+) và (−) (ta không xét bi u th c bên trong d u giá tr tuy n đ i luôn dương
ho c luôn âm). Do đó, v i b t phương trình d ng (1.11), đ th b d u giá tr tuy t đ i, ta xét
các kh năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −). đây, kí hi u (+ +) đ ch d u c a f và g đ u
dương.

Ví d 1.14. Tìm quan h gi a f, g, h, k bi t |f | + |g | + |h| < k

f + g < k − |h|,



f − g < k − |h|,

L i gi i. Ta có |f | + |g | + |h| < k ⇔ |f | + |g | < k − |h| ⇔
−f + g < k − |h|,




−f − g < k − |h|

 
h < k − f − g, f + g + h < k,
 
 
 
 
−h < k − f − g, f + g − h < k,
 
 
 
  
 
|h| < k − f − g, h < k − f + g, f − g + h < k,
 
  
  
  
|h| < k − f + g, −h < k − f + g, f − g − h < k,
  
⇔ ⇔ ⇔
|h| < k + f − g, h < k + f − g, −f + g + h < k,
  
  
  
  
|h| < k + f + g −h < k + f − g, −f + g − h < k,
  
 
 
 
 
−f − g + h < k,
h < k + f + g,
 
 
 
 
 
− h < k + f + g −f − g − h < k
J
B ng quy n p, ta ch ng minh đư c r ng, b t phương trình có d ng

|f1 | + |f2 | + |f3 | + · · · + |fn | < f

tương đương v i h g m 2n b t phương trình.

Ví d 1.15. Gi i b t phương trình

|3x + 2| + |2x − 3| < 11. (1.12)

L i gi i. Đ ý b t phương trình có d ng |f | < g.
x < 12 ,


(3x + 2) + (2x − 3) < 11, 
5
 
 
 
(3x + 2) − (2x − 3) < 11,
 
12
x < 6,

(1.12) ⇔ ⇔ ⇔ −2 < x < .
5
−(3x + 2) + (2x − 3) < 11, x > −16,
 
 
 
 
−(3x + 2) − (2x − 3) < 11 x > −2
 
J

Ví d 1.16. Gi i b t phương trình

|x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15. (1.13)



7
L i gi i. Ta có (1.13)

(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,



2
x − 3x − 7 + 2x2 − x − 9 − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,




2
x − 3x − 7 − (2x2 − x − 9) + 3x2 − 7x − 5 < x + 15,




2
x − 3x − 7 − (2x2 − x − 9) − 3x2 − 7x − 5 < x + 15,

−(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,




−(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,





−(x2 − 3x − 7) − (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,




−(x2 − 3x − 7) − (2x2 − x − 9) − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,


6x2 − 12x − 36 < 0,




2x − 26 < 0,




2
2x − 10x − 18 < 0,




2
4x + 10x + 18 > 0,



⇔ 4x2 − 4x − 8 < 0,


2
4x − 6x − 22 < 0,




−2x2 − 8x − 12 < 0,





−4x − 4 < 0,




−6x2 − 4x − 4 < 0


T đó, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là
√ √ √
5 − 61
5 + 61 97 + 3
ho c − 1 < x
h,
 f − g > h,
|f | + |g | > h ⇔ 

 −f + g > h,
−f − g > h.

Ví d 1.18. Gi i phương trình |x − 1| + |2 − x| > 3 + x.
L i gi i.

x − 1 + 2 − x > 3 + x,
 x − 1 − (2 − x) > 3 + x, x < 0,
|x − 1| + |2 − x| > 3 + x ⇔  ⇔

 −(x − 1) + 2 − x > 3 + x, x > 6.
−(x − 1) − (2 − x) > 3 + x
J

8
Ví d 1.19. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t

|f | − |g | < h. (1.15)

L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:

f − g < h,



f + g < h,




|f | − |g | < h ⇔

−f − g < h,





−f + g < h.


J

Ví d 1.20. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t

|f | − |g | > h. (1.16)

L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:

f − g > h,

f + g > h,

|f | − |g | > h ⇔ 
−f − g > h,


−f + g > h.

J

Ví d 1.21. Gi i b t phương trình

|x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > 3. (1.17)

L i gi i.
 
x2 − 3x − 17 + x2 − 5x − 7 > 3, 2x2 − 8x − 27 > 0,
x2 − 3x − 17 − x2 + 5x + 7 > 3;
 
2x > 13;
 
(1.17) ⇔  ⇔
−x2 + 3x + 17 + x2 − 5x − 7 > 3, −2x > −7,
 
 
2 2
−2x2 + 8x + 21 > 0
−x + 3x + 17 − x + 5x + 7 > 3


4 − 70


 x


4 − 58 7

2


7

2

x
28p
 
 
 
 
 (2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p  x 6p
 
 
 
 
 −(2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p  x < 42p
 

• N u p < 0, thì 42p < 28p < 6p < 0;

• N u p = 0, thì 0 = 6p = 28p = 42p;

• N u p > 0, thì 0 < 6p < 28p < 42p.

K t lu n

• N u p < 0, thì x ∈ (−∞; 42p) ∪ (6p; +∞);

• N u p = 0, x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞);

• N u p > 0, thì x ∈ (−∞; 0) ∪ (28p; +∞).

J

10
Ví d 1.24. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s a sao cho b t phương trình

x2 − |x − a| − |x − 1| + 3 0 (1.20)

đúng v i m i x ∈ R.

L i gi i. B t phương trình (1.20) có d ng |f | g.
 
x2 − (x − a) − (x − 1) + 3 x2 − 2x + a + 4
0, 0,
 
 
 
2 2
x − (x − a) + (x − 1) + 3 0, x + a + 2 0,
(1.20) ⇔ ⇔
x2 + (x − a) − (x − 1) + 3 x2 − a + 4 0,
0,
 
 
 
2 2
x + (x − a) + (x − 1) + 3 x + 2x − a + 2
0 0,
 



B t phương trình (1.20) đúng v i m i x ∈ R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên

12 − (a + 4) 0,



−(a + 2) 0,

đúng v i m i x ∈ R. Đi u này x y ra khi và ch khi ⇔ −2 a 1. J
−(−a + 4) 0,



2
1 − (−a + 2) 0


Ví d 1.25. Tìm m đ b t phương trình

−2x2 + |x − m| + |x2 − mx + 1| < 0, ∀x ∈ R. (1.21)
 
−2x2 + x − m + x2 − mx + 1 < 0, x2 + (m − 1)x + m − 1 > 0,
 
 
 
−2x2 + x − m − (x2 − mx + 1) < 0, 2
3x − (m + 1)x + m + 1 > 0,

L i gi i. (1.21) ⇔ ⇔
−2x2 − (x − m) + x2 − mx + 1 < 0, x2 + (m + 1)x − m − 1 > 0,
 
 
 
 2
2 2
−2x − (x − m) − (x − mx + 1) < 0 3x − (m − 1)x − m + 1 > 0.
 

B t phương trình (1.21) đúng v i m i x thu c R khi và ch khi m i b t phương trình c a h
trên đúng v i m i x thu c R. Đi u này x y ra khi và ch khi
 
(m − 1)2 − 4(m − 1) < 0, 1 < m < 5,
 
 
 
(m + 1)2 − 12(m + 1) < 0, −1 < m < 11,
 

(m + 1)2 + 4(m + 1) < 0, −5 < m < −1,
 
 
 
 
2
(m − 1) + 12(m − 1) < 0 −11 < m < 1.
 


J
H b t phương trình trên vô nghi m. V y không có giá tr c a m tho yêu c u đ bài.

Ví d 1.26. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s

y = x2 + 2x − 1 + |x − a| (1.22)

l n hơn 2.



11
L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R.
Ta có
x2 + 2x − 1 + x − a > 2, x2 + 3x − 3 > a,
x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2 ⇔ ⇔
x2 + 2 x − 1 − x + a > 2 −x2 − x + 3 < a.

Do đó, ta c n tìm a tho

21

2
min(x + 3x − 3) > a,  a .
4
R


J

Ví d 1.27. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s

y = x2 + |x − a| + |x − 1| (1.23)

l n hơn 2.

L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2, ∀x ∈ R.
Ta có
2
a < x2 + 2x − 3,

x + (x + a) + (x − 1) > 2,
 x2 − (x + a) + (x − 1) > 2,  a > −x2 + 3,
y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2 ⇔  2 ⇔
 
 a < x2 − 1,
 x + (x + a) − (x − 1) > 2,
x2 − (x + a) − (x − 1) > 2 a < −x2 + 2x + 1

Yêu c u bài toán tho mãn khi và ch khi


a < max min(x2 + 2x − 3); min(x2 − 1) , a < max{−4; −1}, a < −1,
⇔ ⇔
R R

a > min{3; 2} a > 2.
2 2
a > min max(−x + 3); max(−x + 2x + 1)
R R

J

Ví d 1.28. Tìm a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = ax + |x2 − 4x + 3| l n hơn 1.

L i gi i. Ta c n tìm a sao cho ax + |x2 − 4x + 3| > 1, ∀x ∈ R hay |x2 − 4x + 3| > 1 − ax, ∀x ∈ R.
Đi u này cũng tương đương v i vi c tìm a sao cho đ th c a hàm s |x2 − 4x + 3| luôn luôn

phía trên c a đư ng th ng y = 1 − ax. T đó ta có đáp s 1 < a < 4 + 2 2. J

Ví d 1.29. V i giá tr nào c a m thì giá tr l n nh t c a hàm s f (x) = 4x − x2 + |x − m| nh
hơn 4?

L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm m đ f (x) = 4x − x2 + |x − m| < 4, ∀x ∈ R.
B t phương trình trên có d ng |f | < g , ta tìm m đ

m > 9
 
x2 − 5x + 4 + m > 0, ∀x ∈ R
4

x2 − 5x + 4 − m > 0, ∀x ∈ R m < 7
4

J
H trên vô nghi m. V y không t n t i m tho yêu c u đ bài.

12
1.1. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s

y = x2 + 2x − 1 + |x − a|

l n hơn 2.
21 13
Đáp s . a < − ho c a > .
4 4
1.2. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s

y = 3|x − a| + |x2 + x − 2|

nh hơn 2.

Hư ng d n. Ta ch c n gi i bài toán tìm a sao cho b t phương trình

3|x − a| + |x2 + x − 2| < 2

có ít nh t m t nghi m.
8 5
Đáp s − < a < −1 hay 0 < a < .
3 3
1.3. Tìm m sao cho giá tr l n nh t c a hàm s y = |x2 − 4x + 3| + mx nh hơn 2.

Đáp s . m > 5.

1.4. Tìm m sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = |x2 − 5x + 4| + mx l n hơn 1.

Đáp s . 1 < m < 5 + 2 3.

1.5. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 − 2mx + 2|x − m| + 2 > 0.
√ √
Đáp s . − 2 < m < 2.

1.6. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 + (m + 1)2 + 2|x − m + 1| 3.

2
Đáp s . −1 m .
2
1.7. Tìm tham s m đ f (x) = (x − 2)2 + 2|x − m| 3 v i m i x ∈ R.

Đáp s . m 0 ho c m 4.


2 Gi i b t phương trình ch a d u giá tr tuy t đ i b ng cách đưa v
phương pháp kho ng
Xét b t phương trình d ng loga f (x) > loga g (x). Ta có,

a > 0,




f (x) > 0,
loga f (x) > loga g (x) ⇔
g (x) > 0,




(a − 1)[f (x) − g (x)] > 0.



13
Như v y, v i các đi u ki n a > 0, f (x) > 0, g (x) > 0, thì d u c a hi u loga f (x) − loga g (x) là d u
c a tích (a − 1)[f (x) − g (x)].
Đ ch d u c a loga f (x) − loga g (x) là d u c a tích (a − 1)[f (x) − g (x)], tôi kí hi u
loga f (x) − loga g (x) ↔ (a − 1)[f (x) − g (x)].
Ta có các k t qu sau:

1. u − v ↔ u2 − v 2 , 6. au − 1 ↔ u(a − 1),
u, v 0; (a > 0);

7. au − b ↔ (a − 1)(u − loga b), (a > 0);
2. |u| − |v | ↔ u2 − v 2 ;
8. loga u − loga v ↔ (a − 1)(u − v ),
√ √
v ↔ u2 − v 2 ,
u− (u, v 0);
3.
(a, u, v > 0);

v ↔ u2 − v 2 ,
4. |u| − (v 0); 9. loga u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0);

5. au − av ↔ (a − 1)(u − v ), 10. loga u − v ↔ (a − 1)(u − av ),
(a > 0); (a, u > 0).

Ví d 2.1. Gi i b t phương trình

(|x − 2| − 4 − x2 ) |x + 4| − x2 − x − 2
> 0. (2.1)
(|1 − x| − 4) (|3 + x| − |x − 5|)
L i gi i. B t phương trình (2.1) tương đương v i
√ 2
|x − 2|2 − (4 + x2 )2 |x + 4|2 − x2 − x − 2
>0
|1 − x|2 − 42 |3 + x|2 − |x − 5|2

 ((x − 2)2 − (4 + x2 )2 ) ((x + 4)2 − (x2 − x − 2))
>0

((1 − x)2 − 42 ) ((3 + x)2 − (x − 5)2 )

2
x − x − 2 0

 9(−x2 + x − 6)(x2 + x + 2)(x + 2)
>0

16(−x − 3)(5 − x)(x − 1)

x −1 ho c x 2


−3 < x < −2

2 x < 5.
J
Ví d 2.2. Gi i b t phương trình

x2 − 3x − 4 − |2x − 1|
√ 1. (2.2)
x + 7 − |2x − 1|
2
 (x − 3x − 4) − (x + 7)
0
√ √


 x + 7 − (2x − 1)2
2 − 3x − 4 −
x x+7 

L i gi i. (2.2) ⇔ 0 ⇔ x2 − 3x − 4 0
x + 7 − |2x − 1| 


x + 7 0


−7 x 2 − 15


x 2 + 15
J

14
Ví d 2.3. Gi i b t phương trình

−x2 + 7x − 6
0. (2.3)
|x2 − 6x + 5| − |x2 − 2x − 3|

L i gi i. Ta có

−x2 + 7x − 6
(2.3) ⇔ 0
(x2 − 6x + 5)2 − (x2 − 2x − 3)2

−x2 + 7x − 6
⇔ 0
(2x2 − 8x + 2)(8 − 4x)

−x2 + 7x − 6 = 0

 2
 (2x − 8x + 2)(8 − 4x) = 0
⇔ 
 2
 −x + 7 x − 6 > 0

2x2 − 8x + 2)(8 − 4x) < 0

2+ 3 0 hay x < −11 ho c x > 3. Do đang xét v i x − 5
và x = −11, nên ta có x < −11.
√ √
5 và x = 3, 8 + 5 > 0. Nhân (2.8) v i 8 x2 − 5 + (8x + 5), ta đư c
•Nux x
x < −11 √ x < −11
−80x − 345
5, ta đư c √
0. D n t i  69 Do đi u ki n x
(x − 3)(x + 11) − 5 x < 3.
x < 3.
16

T hai trư ng h p trên, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −11) ∪ [ 5; 3).
J

Ví d 2.6. Gi i b t phương trình log−4x2 +12x−8 |4x − 5| > 0.

L i i. B t phương trình đã cho tương đương v i
gi 
1 < x < 2,
−4x2 + 12x − 8 > 0,
 
 
5
 
⇔ x= ,
|4x − 5| > 0,
4
 
 
(−4x2 + 12x − 9)(|4x − 5| − 1) > 0 (−4x2 + 12x − 9)(|4x − 5|2 − 1) > 0
 

1 < x < 2, 
5

1 < x < 4,

5

⇔ x= , ⇔ 5 3
4 0, 

x = 2,


2
L i gi i. Đi u ki n xác đ nh c a b t phương trình là x = 1, ⇔
x > 5 .
 4x − 5

4
>0


|x − 2|

16
4x − 5 4x − 5
1
⇔ logx2 logx2 |x|
Khi đó, logx2
|x − 2| |x − 2|
2
4x − 5
5
− | x| 0
Vì x > , nên b t phương trình tương đương v i
|x − 2|
4
⇔ (4x − 5)2 ) − (|x(x − 2|)2 0
⇔ (x2 + 2x − 5)(x2 − 6x + 5) 0

− 6 − 1 x 1,
⇔√
6 − 1 x 5.

K t h p v i đi u ki n, t p nghi m c a b t phương trình đã cho là S = [ 6 − 1; 2) ∪ (2; 5]. J
2 −3x+1|
Ví d 2.8. Gi i b t phương trình |x2 − 1|log2 |x > 1.

L i gi i. Nh n xét x = ±1 không là nghi m c a b t phương trình.

|x2 − 1| > 0,
2
Ta có |x2 − 1|log2 |x −3x+1| > 1 ⇔
(|x2 − 1| − 1). log |x2 − 3x + 1| > 0
2

|x2 − 1| > 0, x2 − 1 = 0,
 
 
 
⇔ ⇔ x2 − 3x + 1 = 0,
|x2 − 3x + 1| > 0,
 
 
2
(|x − 1| − 1).(|x2 − 3x + 1| − 1) > 0 2
(|x − 1|2 − 1).(|x2 − 3x + 1|2 − 1) > 0
√ √
 
x = ±1; x = 3 ± 5 , x = ±1; x = 3 ± 5 ,
 
⇔ ⇔
2 2
2
(|x − 1|2 − 1).(|x2 − 3x + 1|2 − 1) > 0 2 2
x (x − 2)(x2 − 3x + 2)(x2 − 3x) > 0.
Gi i h trên, ta đư c nghi m c a b t phương trình đã cho là
√ √
√ √
3− 5 3− 5
S = (−∞; − 2) ∪ 0; ∪ ; 1 ∪ ( 2; 2) ∪ (3; +∞).
2 2

J

Ví d 2.9. (Đ i h c Qu c gia H Chí Minh, 1998) Gi i b t phương trình
1 1
√ > . (2.9)
log1/3 (x + 1)
2 − 3x + 1
log1/3 2x

log3 (x + 1) − log3 2x2 − 3x + 1
1 1
√ √
L i gi i. (2.9) ⇔ ⇔
< 0, x + 1 > 0, 
0 < x < 1,
 
 
 
3
2 
⇔ 2x − 3x + 1 > 0,
2
⇔ 2x − 3x + 1 > 0,

⇔ 1 0,





log5 (x + 2) = 0


Khi đó, (2.12) tương đương v i

2x + 3
logx+2 (2 − x). log5 (x + 2) − log5
5
0 (2.13)
log5 (x + 2)

hay
2x + 3
log5 (2 − x) − log5
5
0 (2.14)
log5 (x + 2)


18
• N u log5 (2 − x) > 0 ⇔ x < 1, (2.14) tương đương v i

2x + 3
log2 (2 − x) − log2
5 5
5
0.
log5 (x + 2)

Hay
2x + 3 2x + 3
log5 (2 − x) + log5 log5 (2 − x) − log5
5 5
0.
log5 (x + 2)
Do đó, ta có
5(2 − x)
2x + 3
log5 (2 − x) . log5
5 2x + 3
0.
log5 (x + 2)
S d ng tính ch t loga u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0), b t phương trình trên tương đương
vi
5(2 − x)
−1
2x + 3 2x + 3
(2 − x) −1 . 0.
5 x+1
Hay
(−2x2 + x + 1)(−7x + 7)
0.
x+1

3
 − 2 < x < −1
3
Gi i b t phương trình trên cùng v i đi u ki n − < x < −1, ta đư c  1
2 − < x < 1.
2
• N u log5 (2 − x) < 0 ⇔ x > 1. Khi đó,

2x + 3
log5 (2 − x) − log5
5
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản