Biến đổi đồng nhất

Chia sẻ: kittenes2003

Tài liệu ôn tập môn toán tham khảo về các ví dụ và phương pháp giải chuyên đề Biến đổi đồng nhất, cùng với các dạng bài tập vận dụng - tự luyện giúp các bạn củng cố kiến thức toán học.

Nội dung Text: Biến đổi đồng nhất

Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
Các ví dụ và phương pháp giải

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. a ( x 2 + 1) − x( a 2 + 1)
b. x − 1 + x n +3 − x n .
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
a ( x 2 + 1) − x ( a 2 + 1) = ax 2 + a − a 2 x − x
= ax( x − a ) − ( x − a ) = ( x − a )( ax − 1)
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
x − 1 + x n +3 − x n . = x ( x − 1) + ( x − 1)
n 3


( ) [ (
= x n ( x − 1) x 2 + x + 1 + ( x − 1) = ( x − 1) x n x 2 + x + 1 + 1 ) ]
(
= ( x − 1) x n + 2 + x n +1 + x n + 1 )
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x8 + 3x4 + 4.
b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4
= (x4 + 2)2 - (x2)2
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng
hằng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
[( ) (
= x 2 x 4 − 2x 2 + 1 + x 2 − 2x + 1 )]
= x2 [( x 2
) 2 2
]
− 1 + ( x − 1) = x 2 ( x − 1)
2
[( x + 1) 2
]
+1
= x2 ( x − 1) [ x
2 2
+ 2x + 2 ]
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc
b. x 4 + 2007 x 2 + 2006 x + 2007
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc
2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc
= 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c − 2abc + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 2abc =
= 2ab( a + 2b ) − ac( a + 2b ) + c 2 ( a + 2b ) − 2bc( a + 2b )
= ( a + 2b ) ( 2ab − ac + c 2 − 2bc ) = ( a + 2b ) [ a( 2b − c ) − c( 2b − c ) ]
= ( a + 2b )( 2b − c )( a − c )
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
( )
= x 4 − x + 2007 x 2 + 2007 x + 2007
(
x 4 + 2007 x 2 + 206 x + 2007 = x( x − 1) x + x + 1 + 2007 x + x + 1
2 2
) ( )
(
= x 2 + x + 1 x 2 − x + 2007 )( )
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. a 3 + b 3 + c 3 − 3abc
b. ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 .
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức
(
a 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 + b 2 − ab )
[
= ( a + b ) ( a + b ) − 3ab
2
]
= ( a + b ) − 3ab( a + b ) .Do đó:
3


[
a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = = ( a + b ) + c
3
] − 3ab( a + b) − 3abc
3


[
= ( a + b + c) ( a + b)
2
− ( a + b ) c + c ] − 3ab( a + b + c )
2


(
= ( a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )
[
b. ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 = ( a + b + c ) 3 − a 3 − ( b + c ) 3 ]
[
= ( b + c ) ( a + b + c ) + a ( a + b + c ) + a 2 − ( b + c ) b 2 − bc + c 2
2
] ( )
( )
= ( b + c ) 3a 2 + 3ab + 3bc + 3ca = 3( b + c )( a + c )( a + b )
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0.
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc.
⇒ ( a + b ) = −c 3 ⇒ a 3 + b 3 + 3ab( a + b ) = −c 3
3

Giải: Vì a + b + c = 0
⇒ a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
ab
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính P = 2
4a − b 2
Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0
⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔ a = b.
ab a2 1
Do đó P = = 2 =
4a 2 − b 2 3a 3
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
a b c x y z 2 2 2
+ + = 0; + + = 1 thì ; x 2 + y 2 + z 2 = 1
x y z a b c a b c
a b c ayz + bxz + cxy
Giải: + + = 0 ⇒ = 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0
x y z xyz
2
x y z x y z
+ + =1⇒  + + 
a b c a b c
x2 y2 z2 ayz + bxz + cxy
= 2 + 2 + 2 + 2. =1
a b c abc
x2 y2 z2
⇒ 2 + 2 + 2 =1
a b c
Bài tập vận dụng - Tự luyện
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x 2 − x − 12
b. x 2 + 8 x + 15
c. x 2 − 6 x − 16
d. x 3 − x 2 + x + 3
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( x 2 − x ) 2 − 2( x 2 − x ) − 15 .
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương.
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
a ( a + 1) − b 2 ( b − 1) + ab − 3ab( a − b + 1)
2


x + y + z = 1
 2
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:  x + y + z = 1 . Hãy
2 2

x 3 + y 3 + z 3 = 1

tính giá trị biếu thức
P = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)
17 9 1997
.
10.
a.Tính 12 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + ... + 99 2 − 100 2 + 1012 .
b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53.
Tính ab + bc + ca.
11.Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 +
(z+1)2007
1 1 1 1
12.Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : + + = .
a b c a+b+c
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008).
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3)
b. x 2 + 8 x + 15 = ( x + 3)( x + 5)
c. x 2 − 6 x − 16 = ( x + 2 )( x − 8)
(
d. x 3 − x 2 + x + 3 = ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 )
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( x 2 − x ) 2 − 2( x 2 − x ) − 15 = ( x 2 − x − 5)( x 2 − x + 3) .
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3
= ( x − y )( x − a )( y − a )( x + y + a )
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
= ( a + b )( b + c )( c + a )
3.x y + xy + x z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz
2 2 2

( x + y )( y + z )( z + x )
2 2 2
4. x + 4y + z = 2x + 12y - 4z - 14
⇔ ( x − 1) + ( 2 y − 3) | +( z − 2 )
2 2 2


5. Từ a + b + c + d = 0 ⇒ ( a + b ) = −( c + d ) Biến đổi tiếp ta
3 3


được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
6. Nếu x + y + z = 0 thì :
x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz ⇒
(x 3
)( ) (
+ y 3 + z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz x 2 + y 2 + z 2 )
⇔ x 5 + y 5 + z 5 − xyz ( xy + yz + zx ) = 3 xyz x 2 + y 2 + z 2 ( ) Như
( )
⇔ 2 x 5 + y 5 + z 5 − 2 xyz ( xy + yz + zx ) = 6 xyz x 2 + y 2 + z 2 ; ( *) ( )
(
− 2 xyz ( xy + yz + zx ) = xyz x 2 + y 2 + z 2 )
ng: ( x + y + z ) = 0 ⇒ −2 xyz ( xy + yz + zx ) = x 2 + y 2 + z 2 (**)
2


Thay (**) vào (*) ta được:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7. Với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
= ( x 2 + 5 xy + 5 y 2 )
2




8. Biến đổi
a 2 ( a + 1) − b 2 ( b − 1) + ab − 3ab( a − b + 1) = ( a − b ) ( a − b + 1)
2


x + y + z = 1
9. Từ 
x + y + z = 1
3 3 3


⇒ ( x + y + z ) − x 3 − y 3 − z 3 = 3( x + y )( y + z )( z + x )
3
x + y = 0
y + z = 0
 ⇒ P = −2
z + x = 0

10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14
11. Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

1 1 1 1
12. Từ: + + = . : (a + b)(b + c)(c + a) = 0
a b c a+b+c
Tính được Q = 0
==========o0o==========
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản