Biến đổi đồng nhất

Chia sẻ: kittenes2003

Tài liệu ôn tập môn toán tham khảo về các ví dụ và phương pháp giải chuyên đề Biến đổi đồng nhất, cùng với các dạng bài tập vận dụng - tự luyện giúp các bạn củng cố kiến thức toán học.

Nội dung Text: Biến đổi đồng nhất

 

  1. Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Các ví dụ và phương pháp giải Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. a ( x 2 + 1) − x( a 2 + 1) b. x − 1 + x n +3 − x n . Giải: a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung a ( x 2 + 1) − x ( a 2 + 1) = ax 2 + a − a 2 x − x = ax( x − a ) − ( x − a ) = ( x − a )( ax − 1) b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức x − 1 + x n +3 − x n . = x ( x − 1) + ( x − 1) n 3 ( ) [ ( = x n ( x − 1) x 2 + x + 1 + ( x − 1) = ( x − 1) x n x 2 + x + 1 + 1 ) ] ( = ( x − 1) x n + 2 + x n +1 + x n + 1 ) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x8 + 3x4 + 4. b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 . Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) [( ) ( = x 2 x 4 − 2x 2 + 1 + x 2 − 2x + 1 )] = x2 [( x 2 ) 2 2 ] − 1 + ( x − 1) = x 2 ( x − 1) 2 [( x + 1) 2 ] +1 = x2 ( x − 1) [ x 2 2 + 2x + 2 ] Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc b. x 4 + 2007 x 2 + 2006 x + 2007 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp: 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc
  2. 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc = 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c − 2abc + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 2abc = = 2ab( a + 2b ) − ac( a + 2b ) + c 2 ( a + 2b ) − 2bc( a + 2b ) = ( a + 2b ) ( 2ab − ac + c 2 − 2bc ) = ( a + 2b ) [ a( 2b − c ) − c( 2b − c ) ] = ( a + 2b )( 2b − c )( a − c ) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức ( ) = x 4 − x + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 ( x 4 + 2007 x 2 + 206 x + 2007 = x( x − 1) x + x + 1 + 2007 x + x + 1 2 2 ) ( ) ( = x 2 + x + 1 x 2 − x + 2007 )( ) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. a 3 + b 3 + c 3 − 3abc b. ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 . Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức ( a 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 + b 2 − ab ) [ = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab 2 ] = ( a + b ) − 3ab( a + b ) .Do đó: 3 [ a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = = ( a + b ) + c 3 ] − 3ab( a + b) − 3abc 3 [ = ( a + b + c) ( a + b) 2 − ( a + b ) c + c ] − 3ab( a + b + c ) 2 ( = ( a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) [ b. ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 = ( a + b + c ) 3 − a 3 − ( b + c ) 3 ] [ = ( b + c ) ( a + b + c ) + a ( a + b + c ) + a 2 − ( b + c ) b 2 − bc + c 2 2 ] ( ) ( ) = ( b + c ) 3a 2 + 3ab + 3bc + 3ca = 3( b + c )( a + c )( a + b ) Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc. ⇒ ( a + b ) = −c 3 ⇒ a 3 + b 3 + 3ab( a + b ) = −c 3 3 Giải: Vì a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ab Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính P = 2 4a − b 2 Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0 ⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔ a = b. ab a2 1 Do đó P = = 2 = 4a 2 − b 2 3a 3 Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: a b c x y z 2 2 2 + + = 0; + + = 1 thì ; x 2 + y 2 + z 2 = 1 x y z a b c a b c a b c ayz + bxz + cxy Giải: + + = 0 ⇒ = 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0 x y z xyz
  3. 2 x y z x y z + + =1⇒  + +  a b c a b c x2 y2 z2 ayz + bxz + cxy = 2 + 2 + 2 + 2. =1 a b c abc x2 y2 z2 ⇒ 2 + 2 + 2 =1 a b c
  4. Bài tập vận dụng - Tự luyện 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x 2 − x − 12 b. x 2 + 8 x + 15 c. x 2 − 6 x − 16 d. x 3 − x 2 + x + 3 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : ( x 2 − x ) 2 − 2( x 2 − x ) − 15 . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3. 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz. 4. Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14. 5. Cho a +| b + c + d = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương. 8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: a ( a + 1) − b 2 ( b − 1) + ab − 3ab( a − b + 1) 2 x + y + z = 1  2 9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:  x + y + z = 1 . Hãy 2 2 x 3 + y 3 + z 3 = 1  tính giá trị biếu thức P = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) 17 9 1997 . 10. a.Tính 12 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + ... + 99 2 − 100 2 + 1012 . b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. Tính ab + bc + ca. 11.Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007 1 1 1 1 12.Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : + + = . a b c a+b+c Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008). ==========o0o==========
  5. HƯỚNG DẪN: 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3) b. x 2 + 8 x + 15 = ( x + 3)( x + 5) c. x 2 − 6 x − 16 = ( x + 2 )( x − 8) ( d. x 3 − x 2 + x + 3 = ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 ) 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : ( x 2 − x ) 2 − 2( x 2 − x ) − 15 = ( x 2 − x − 5)( x 2 − x + 3) . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 = ( x − y )( x − a )( y − a )( x + y + a ) 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc = ( a + b )( b + c )( c + a ) 3.x y + xy + x z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz 2 2 2 ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 2 2 4. x + 4y + z = 2x + 12y - 4z - 14 ⇔ ( x − 1) + ( 2 y − 3) | +( z − 2 ) 2 2 2 5. Từ a + b + c + d = 0 ⇒ ( a + b ) = −( c + d ) Biến đổi tiếp ta 3 3 được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd). 6. Nếu x + y + z = 0 thì : x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz ⇒ (x 3 )( ) ( + y 3 + z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz x 2 + y 2 + z 2 ) ⇔ x 5 + y 5 + z 5 − xyz ( xy + yz + zx ) = 3 xyz x 2 + y 2 + z 2 ( ) Như ( ) ⇔ 2 x 5 + y 5 + z 5 − 2 xyz ( xy + yz + zx ) = 6 xyz x 2 + y 2 + z 2 ; ( *) ( ) ( − 2 xyz ( xy + yz + zx ) = xyz x 2 + y 2 + z 2 ) ng: ( x + y + z ) = 0 ⇒ −2 xyz ( xy + yz + zx ) = x 2 + y 2 + z 2 (**) 2 Thay (**) vào (*) ta được: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2). 7. Với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) = ( x 2 + 5 xy + 5 y 2 ) 2 8. Biến đổi a 2 ( a + 1) − b 2 ( b − 1) + ab − 3ab( a − b + 1) = ( a − b ) ( a − b + 1) 2 x + y + z = 1 9. Từ  x + y + z = 1 3 3 3 ⇒ ( x + y + z ) − x 3 − y 3 − z 3 = 3( x + y )( y + z )( z + x ) 3
  6. x + y = 0 y + z = 0  ⇒ P = −2 z + x = 0  10. a. Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 11. Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0 1 1 1 1 12. Từ: + + = . : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 a b c a+b+c Tính được Q = 0 ==========o0o==========
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản