Biến phức định lý và áp dụng P5

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

0
152
lượt xem
75
download

Biến phức định lý và áp dụng P5

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến phức định lý và áp dụng P5 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Biến phức định lý và áp dụng P5

  1. 202 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c B1 P1 B2 P6 B6 A1 A2 P2 −π 3 A6 A3 O P5 A5 A4 B3 P3 B5 P4 B4 bk +bk+1 Do Pk là trung đi m c a Bk Bk+1 nên pk = 2 ∀k = 1, 2, . . . , 6 T đó bk + bk+1 bk+3 + bk+4 (bk + bk+3 ) + (bk+1 + bk+4 ) pk + pk+3 = + = =0 2 2 2 do đó l c giác P1 P2 P3 P4 P5 P6 nh n O làm tâm đ i x ng. Ký hi u f là phép quay tâm O góc quay − π . Ta có 3 b1 + b2 1 f (p1 ) = ω · ( ) = · ω · (ωa2 + ωa1 + ωa3 + ωa2) 2 2 1 = ω (a2 + ωa1 + ωa3) 2 1 = · a3 + ωa2 + ω 2 a1 2 1 = · (a3 + ωa2 + ωa4 ) = p2 2 Do đó, f (p1 ) = p2 . Tương t , cũng đư c f (p2 ) = p3 , f(p3 ) = p4 , đpcm. Ví d 5.4 (IMO 1977). Cho hình vuông ABCD. D ng v phía trong hình vuông các tam giác đ u ABK, BCL, CDM và DAN . Ch ng minh r ng trung
  2. 5.2. M t s ví d áp d ng 203 đi m các đo n th ng KL, LM, MN, N K, BK, BL, CL, DM, DN và N A là đ nh c a m t th p nh giác đ u. L i gi i. Gi s hình vuông ABCD đ nh hư ng dương. Ch n tâm O c a hình vuông làm g c, g i x là t a v c a đi m X trong m t ph ng ph c. Khi đó b = ia, c = −a, d = −ia. π Đ t ei· 3 = ω ta có k = (iω + ω)a, = (−ω + iω)a, m = (−iω − ω)a, n = (ω − iω)a Đ ý r ng đa giác P1 Q1S1 P2 Q2S2 P3 Q3S3 P4 Q4 S4 nh n O làm tâm đ i x ng, do đó v i f là phép quay tâm O, góc quay + π thì ch c n ch ng minh f (pk ) = 6 qk , f(qk ) = sk và f (sk ) = pk+1 (k = 1, 2) là đ D C K P1 S4 Q4 P4 Q1 S3 L N S1 Q3 P3 P2 Q2 S2 M A B T cách d ng, ta có 1 a a p1 = (k + ) = [(i − 1)ω + (i + 1)ω] , p2 = [−(i + 1)ω + (i − 1)ω] , 2 2 2
  3. 204 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c a a q1 = − [i(1 + ω) + ω] , s1 = [1 + iω + ω] 2 2 π Khi đó, v i ε = ei· 6 thì a f (p1 ) = εp1 = [(i − 1)εω + (i + 1)εω] = q1 2 a f (q1 ) = εq1 = [iε + iεω + εω] = s1 2 a f (s1 ) = εs1 = [ε + iεω + εω] = p2 2 M t cách tương t , cũng đư c f (p2 ) = q2 , f(q2) = s2 , f(s2) = p3 (ĐPCM) Nh n xét. Bài toán này hoàn toàn có th gi i b ng phương pháp t a đ như trong [5], hay phương pháp t ng h p như trong [6], tuy nhiên l i gi i quá dài. L i gi i đư c trình bày trên đư c xu t phát t ý tư ng s d ng phép quay véc-tơ, tuy nhiên b ng công c s ph c, đã làm gi m đi đáng k các đ ng tác bi n đ i ph c t p trên các véc-tơ Ví d 5.5 (SEA-MO 1998). Cho tam giác ABC. L y đi m P khác phía v i C đ i v i đư ng th ng AB, đi m Q khác phía v i B đ i v i đư ng th ng CA và đi m R cùng phía v i A đ i v i đư ng th ng BC sao cho các tam giác BCR, ACQ và BAP đ ng d ng. Ch ng minh r ng t giác AP RQ là m t hình bình hành. L i gi i 1. Gi s tam giác ABC đ nh hư ng dương và g i x là t a v c a BP AQ BR đi m X. Đ t BA = AC = BC = t, ∠ABP = ∠CAQ = ∠CBR = ϕ, ω = eiϕ . Khi đó, t gi thi t suy ra p = (tω + 1)b − tωa, q = (tω + 1)a − tωc và r = (tω + 1)b − tωc
  4. 5.2. M t s ví d áp d ng 205 Q A ϕ R P ϕ ϕ B C Khi đó p+q = (tω+1)(a+b)−tω(a+c) = (tω+1)b−tωc+(tω+1)a−tωa = a+r (ĐPCM) L i gi i 2. T gi thi t, suy ra các tam giác BCR, ACQ và BAP đ ng d ng cùng hư ng. V y r−b q−a p−b = = =z∈C r−c q−c p−a T đó b − za a − zc b − zc p= ; q= ; r= 1−z 1−z 1−z Suy ra b − zc + (1 − z)a p+q = = a+r 1−z Ví d 5.6. Trong m t ph ng cho b n tam giác ABC, AB1C1, A2BC2 và A3B3 C đ ng d ng, cùng hư ng. G i A0, B0 và C0 theo th t là trung đi m c a A2A3 , B1B3 và C1 C2. Ch ng minh r ng A0B0 C0 ABC L i gi i. G i x là t a v c a đi m X. Gi s phép đ ng d ng f1 (z) = α1 z + β1 bi n tam giác ABC thành tam giác AB1C1 , phép đ ng d ng f2 (z) = α2 z + β2 bi n tam giác ABC thành tam giác A2BC2, phép đ ng d ng f3 (z) = α3 z + β3 bi n tam giác ABC thành tam giác A3B3 C.
  5. 206 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c Khi đó 1 1 b0 − a0 = (b1 + b3 − a2 − a3) = [(b1 − a) + (a − b) + (b − a2) + (b3 − a3)] 2 2 1 = (α1 + α2 + α3 − 1) (b − a) 2 1 Tương t , cũng đư c c0 − a0 = (α1 + α2 + α3 − 1) (c − a) 2 c0 − a0 c − a Vy = (ĐPCM) b0 − a0 b − a − − → → Nh n xét 5.3. N u đ t AB = t và α = (AC; AB), thì b ng cách làm tương t AC như l i gi i 1 bài toán 5, ta cũng ch ng minh đư c b0 − a0 = teiα(c0 − a0) và cũng đư c đi u ph i ch ng minh. B ng nh ng cách làm như trên, không nh ng ta ch ng minh đư c các tam giác đ ng d ng, mà còn ch ra đư c chúng đ ng d ng cùng hư ng, và cũng tìm đư c t s đ ng d ng theo các t s đã cho. Ví d 5.7 (Italy MO 1996). Cho đư ng tròn (O) và đi m A ngoài (O). V i m i đi m P trên đư ng tròn, d ng hình vuông AP QR, v i các đ nh theo ngư c chi u kim đ ng h . Tìm qu tích đi m Q khi P ch y kh p trên (O). L i gi i. Không m t t ng quát, coi đư ng tròn (O) có tâm t i g c, bán kính b ng 1, g i x là t a v c a đi m X trên m t ph ng. Khi đó, ta có π q = e−i· 2 (a − p) + p ⇐⇒ q = −ia + (1 − i)p Do đó, qu tích c a đi m Q là đư ng tròn có tâm t i đi m A (−ia) (t c là −π √ A = QO 2 (A)), bán kính R = |(1 − i)p| = 2 Ví d 5.8 (Bulgaria MO 1997). Cho hai hình vuông đơn v K1 , K2 v i tâm M, N trong m t ph ng sao cho MN = 4. Bi t r ng hình vuông K1 có hai c nh song song v i MN , hình vuông K2 có m t đư ng chéo n m trên đư ng th ng MN , tìm qu tích trung đi m XY , trong đó X là m t đi m trong c a K1 , Y là m t đi m trong c a K2
  6. 5.2. M t s ví d áp d ng 207 L i gi i. Không m t t ng quát, coi M(−2), N(2) và g i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Khi đó a1 = − 5 − 2 , b1 = − 3 − 2 , c1 = − 3 + 2 , d1 = 2 i 2 i 2 i −5 + 2 i 2 và a2 = 2 − 1 √ , b2 2 =2− i √ , c2 2 =2+ 1 √ , d2 2 =2+ √i 2 D2 D1 C1 X Z Y C2 M A2 N A1 B1 B2 Ta có X n m trong hình vuông A1B1 C1D1 khi và ch khi x = x1 + x2i, xk ∈ R v i |x2| < 1 , |x1 + 2| < 2 1 2 Và Y n m trong hình vuông A2 B2C2 D2 khi và ch khi y = y1 + y2 i, yk ∈ R v i 1 1 |y1 + y2 − 2| < √ 2 và |y1 − y2 − 2| < √ 2 x1 +y1 x2 +y2 V y, v i Z là trung đi m XY thì z = 2 +i· 2 = u + iv. √ 1 T −2 − 2 < x1 < −2 + 1 , 2 − 2 √1 2 < y1 ± y2 < 2 + √ 1 2 suy ra |u| < 2+1 2 √ √ 1+ 2 2+1 Tương t , cũng đư c |v| < 2 , |u + v|, |u − v| < √ 2 2 √ V y, qu tích đi m Z là mi n√ giác gi i h n b i các đư ng th ng |x| = √ bát √ 2+1 2+1 2+1 2+1 , |y| = , |x + y| = √ , |x − y| = √ 2 2 2 2 2 2 Nh n xét. V m t hình h c, qu tích đi m Z là mi n trong đa giác đ u có đ nh là trung đi m các đo n n i các đ nh c a hai hình vuông là nh c a −→ − A1B1 C1D1 , A2B2 C2D2 tương ng qua các phép t nh ti n theo các véc-tơ 1 MN 2 −→ − và 1 N M (hình v ) 2 Ví d 5.9 (Poland MO 1999). Cho l c giác l i ABCDEF có ∠A+∠C +∠E = 360◦ và AB · CD · EF = BC · DE · F A. Ch ng minh r ng AB · F D · EC = BF · DE · CA
  7. 208 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c L i gi i. G i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Đ t b − a = x, c − b = y, d − c = z, e − d = t, f − e = u, a − f = v. Do AB · CD · EF = BC · DE · F A nên |xzu| = |ytv| (1) x z u Do ∠A + ∠C + ∠E = 360◦ nên arg −v · −y · −t = 0 đi u này có nghĩa là x z u −v · −y · −t là m t s th c dương. (2) T (1),(2) suy ra xzu = −vyt hay xzu + vyt = 0 Do x + y + z + t + u + v = 0 nên xt(x + y + z + t + u + v) + (xzu + vyt) = 0 ⇐⇒x2 t + xty + xtz + xt2 + xtu + xtv + xzu + vyt = 0 ⇐⇒(xt2 + xtz + xtu + xzu) + (x2 t + xty + xtv + vyt) = 0 ⇐⇒x(t + z)(t + u) + t(x + y)(x + v) = 0 Do đó |x(t + z)(t + u)| = |t(x + y)(x + v)| (ĐPCM) Ví d 5.10. Cho t giác l i ABCD. D ng các hình vuông AMBN và CP DQ cùng hư ng. Ch ng minh r ng |MQ2 − N P 2 | = 4SABCD Gi i. Coi t giác ABCD đ nh hư ng âm (hình v ). G i X, Y, Z, T theo th t là trung đi m các c nh AB, BC, CD, DA c a t giác ABCD. G i w là t a −→ − v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Đ ý r ng MP 2 − N Q2 = (M P + −→ − → −→ − − − NQ)(MP − NQ) Ta có (p − m)2 − (q − n)2 = 2 < z − x; n − m + p − q > = 2 < z − x; i(a − b + d − c) > = −4i· < z − x; t − y > V y |(p − m)2 − (q − n)2 | = 4SABCD (Do SABCD = 2SXY ZT )
  8. 5.2. M t s ví d áp d ng 209 M B X A N Q T Y D Z C P Ví d 5.11. Xét t giác ABCD không có hai c nh nào song song. G i Ga , Gb , Gc , Gd theo th t là tr ng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Ch ng minh r ng n u AGa = BGb và CGc = DGd thì ABCD là m t hình thang cân. L i gi i. G i x là t a v c a đi m X trong m t ph ng ph c và đ t s = a + b + c + d. Ta có b+c+d s−a s−b s−c s−d ga = = , gb = , gc = , gd = 3 3 3 3 3 Do AGa = BGb nên |a − ga | = |b − gb | ⇔ |4a − s| = |4b − s| ⇔< 4a − s; 4a − s >=< 4b − s; 4b − s > T đó 2(|a|2 − |b|2) =< (a − b); s > (1) Tương t , t CGc = DGd cũng đư c 2(|c|2 − |d|2) =< (c − d); s > (2)
  9. 210 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c Tr (1) cho (2) v đ i v , ta đư c 2(|a|2 − |b|2 − |c|2 + |d|2 ) =< (a − b − c + d); (a + b + c + d) > ⇔2(|a|2 − |b|2 − |c|2 + |d|2 ) = |a + d|2 − |b + c|2 ⇔aa − ad − ad + dd = bb − bc − bc + cc ⇔|a − d|2 = |b − c|2 T c là AD = BC (3) C ng (1) v i (2) v đ i v , ta đư c 2(|a|2 − |b|2 + |c|2 − |d|2 ) =< a − b − d + c; a + b + c + d > và tương t như trên, thu đư c AC = BD (4) T (3) và (4) suy ra đi u ph i ch ng minh. Ví d 5.12. G i G là tr ng tâm t giác ABCD. Ch ng minh r ng GA ⊥ GD ⇐⇒ AD = MN , trong đó M, N theo th t là trung đi m AD, BC. L i gi i. G i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Do G(g) là a+b+c+d tr ng tâm t giác ABCD nên g = 4 Ta có GA ⊥ GD ⇔< a − g; d − g >= 0 a+b+c+d a+b+c+d ⇔< a − ;d − >= 0 4 4 ⇔< 3a − b − c − d; 3d − b − c − a >= 0 ⇔< (a − b − c + d) + 2(a − d); (a − b − c + d) − 2a − d) >= 0 ⇔< a + d − b − c; a + d − b − c >= 4 < a − d; a − d > 2 a+d b+c ⇔ − = |a − d|2 ⇔ MN = AD 2 2 Ví d 5.13 (St. Petersburg 2000). Cho tam giác ABC nh n n i ti p trong đư ng tròn ω. Đư ng th ng là ti p tuy n c a ω t i B, K là hình chi u c a tr c tâm H c a tam giác ABC trên , và g i M là trung đi m AC. Ch ng minh r ng tam giác BKM cân.
  10. 5.2. M t s ví d áp d ng 211 L i gi i. Không m t t ng quát, coi ω là đư ng tròn đơn v , a = x + yi, b = x+z y+t i, c = z + ti. Khi đó = 2 +i· 2 Do H là tr c tâm c a tam giác, nên h = x + z + (y + t + 1)i. Khi đó k = x + z + i. x+z 2 y+t−2 2 1 Ta có |b − | = 2 + 2 = 2 (x + z)2 + (y + t − 2)2 (1) x+z 2 2−y−t 2 1 Và |k − | = 2 + 2 = 2 (x + z)2 + (y + t − 2)2 (2) T (1),(2) suy ra đi u ph i ch ng minh. Ví d 5.14. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn ω. G i A1 là trung đi m c nh BC và A2 là hình chi u c a A1 trên ti p tuy n c a ω t i A. Các đi m B1 , B2, C1 , C2 đư c xác đ nh m t cách tương t . Ch ng minh r ng các đư ng th ng A1A2 , B1B2 , C1C2 đ ng quy. Hãy xác đ nh v trí hình h c đi m đ ng quy. L i gi i. Không m t t ng quát, coi ω là đư ng tròn đơn v . G i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. A2 A HN O C B A1 b+c Ta có a1 = 2 và đư ng th ng A1A2 là đư ng th ng đi qua A1 (a1), song
  11. 212 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c song v i OA, do đó A1 A2 có phương trình b+c b+c az − az = a · −a· 2 2 Do aa = 1 nên phương trình đư c vi t l i dư i d ng b+c b+c z − a2z = − a2 · 2 2 hay a+b+c a+b+c z − a2z = − a2 2 2 a+b+c G i N là tâm đư ng tròn Euler c a tam giác, thì n = 2 do đó A1A2 đi qua N . Tương t cũng có B1 B2 , C1C2 đi qua N (ĐPCM) 5.3 Ch ng minh b t đ ng th c hình h c Vi c bi u di n các đi m trong m t ph ng b ng các s ph c (to v ) cho phép chúng ta đưa các b t đ ng th c hình h c v các b t đ ng th c v mô-đun s ph c. Khi đó, các h ng đ ng th c đ i s và b t đ ng th c tam giác đơn gi n: |z1 + z2| ? |z1| + |z2|, trong r t nhi u trư ng h p, là chìa khoá cho l i gi i bài toán. Ví d 5.15 (B t đ ng th c Ptolemy). Cho t giác ABCD. Ch ng minh r ng ta luôn có AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD. D u đ ng th c x y ra khi và ch khi A, B, C, D theo th t là đ nh c a m t t giác l i n i ti p m t đư ng tròn. L i gi i. Xét m t ph ng ph c, g i a, b, c, d là t a v c a các đ nh A, B, C, D trong m t ph ng ph c. Ta có AB.CD + AD.BC = |a − d| × |d − c| + |d − a| × |c − b| ≥ |(a − d) × (d − c) + (d − a) × (c − b)| = |(c − a)(d − b)| = AC.BD
  12. 5.3. Ch ng minh b t đ ng th c hình h c 213 D u đ ng th c x y ra khi (b − a)(d − c) = t(d − a)(c − b), t > 0. Khi đó d−a 1 d−c d−a d−c = × ⇔ arg = arg b−a t c−b b−a c−b hay ∠DAB = π − ∠DCB hay t giác ABCD n i ti p đư ng tròn. Ví d 5.16. Cho tam giác ABC và m t đi m M tùy ý n m trong m t ph ng tam giác. Ch ng minh r ng MB.MC MC.MA MA.MB + + ≥ 1· AB.AC BC.BA CA.CB D u đ ng th c x y ra khi nào? L i gi i. Ta có (m − a)(m − b) (m − b)(m − c) (m − c)(m − a) + + = 1. (5.1) (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) Ch n h t a đ nh n đư ng tròn ngo i ti p tam giác làm đư ng tròn đơn v . G i m, a, b, c tương ng là to v c a M, A, B, C tương ng. Khi đó MA = |m − a|, MB = |m − b|, MC = |m − c|, AB = |a − b|, AC = |a − c|, BC = |b − c|. Áp d ng b t đ ng th c v giá tr tuy t đ i, t (5.1) suy ra |m − a| × |m − b| |m − b| × |m − c| |m − c| × |m − a| + + ≥ 1. |c − a| × |c − b| |a − b| × |a − c| |b − c| × |b − a| và đó chính là đi u ph i ch ng minh. Ví d 5.17. Cho tam giác ABC và m t đi m M b t kỳ n m trong m t ph ng tam giác. Ch ng minh r ng MB.MC MC.MA MA.MB + + ≥ 1. AB.AC BC.BA CA.CB D u đ ng th c x y ra khi nào?
  13. 214 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c L i gi i. Ta có (m − a)(m − b) (m − b)(m − c) (m − c)(m − a) + + = 1. (5.2) (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) Ch n h t a đ nh n đư ng tròn ngo i ti p tam giác làm đư ng tròn đơn v . G i m, a, b, c tương ng là to v c a M, A, B, C, tương ng. Khi đó MA = |m − a|, MB = |m − b|, MC = |m − c| AB = |a − b|, BC = |b − c|, CA = |c − a|. Áp d ng b t đ ng th c tr tuy t đ i, t (5.3), suy ra |m − a||m − b| |m − b||m − c| |m − c||m − a| + + ≥ 1, |c − a||c − b| |a − b||a − c| |b − c||b − a| và đó chính là đi u ph i ch ng minh. 5.4 Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán S ph c có ng d ng to l n và hi u qu trong các bài toán hình h c. B ng cách bi u di n to v các đi m c a m t hình hình h c b ng các s ph c, ta có th bi u di n các đi u ki n đ bài có b n ch t hình h c b ng các đ ng th c đ i s và chuy n k t lu n hình h c v các đ ng th c đ i s . Như v y, bài toán ch ng minh hình h c có th đưa v vi c ki m tra m t h ng đ ng th c, ho c m t h ng đ ng th c có đi u ki n. Ví d 5.18. Cho tam giác ABC. Trong n a m t ph ng b AB ch a đi m C, d ng hình vuông ABDE. Trong n a m t ph ng b BC ch a đi m A, d ng hình vuông BCF G. Ch ng minh r ng GA vuông góc v i CD và GA = CD. L i gi i. L y h t a đ vuông góc có g c t i B, véctơ BC là chi u dương c a tr c th c. Ký hi u nhãn c a các đ nh c a tam giác ABC tương ng là a, b = 0, c.
  14. 5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 215 Khi đó t a đ c a G là ic. T a đ c a đi m D là −ia. G i góc gi a GA và CD ký hi u là ϕ thì −ia − c ϕ = arg . a − ic −ia−c (−ia−c)(a+ic) −i(a2 +c2 ) Xét a−ic = = = −i. (a−ic)(a+ic) a2 +c2 π Do arg (−i) = − nên GA vuông góc v i CD. Ngoài ra thì 2 |GA| = |a − ic| = | − ia − c| = |CD|. V y ta có đi u ph i ch ng minh. Nh n xét 5.4. Đ ý đ n bi u th c to đ c a các phép bi n hình, ta th y phép t nh ti n tương ng v i phép c ng s ph c, phép quay là phép nhân v i s ph c có mô-đun b ng 1, phép v t là phép nhân v i s th c, phép v t quay là phép nhân v i s ph c b t kỳ. Ví d 5.19 (IMO 1986). Trong m t ph ng cho tam giác A1A2A3 và đi m P0 . V i m i s ≥ 4 ta đ t As = As−3 . D ng dãy đi m P0 , P1 , . . . sao cho đi m Pk+1 2π là nh c a Pk v i phép quay tâm Ak+1 (k = 0, 1, . . . ) m t góc theo chi u 3 kim đ ng h . Ch ng minh r ng n u P1986 = P0 thì tam giác A1A2A3 là tam giác đ u. 2π L i gi i. V i m i k k ≥ 0, tam giác Ak+1 Pk Pk+1 cân v i Pk Ak+1 Pk+1 = . 3 G i pk , ak là t a đ c a các đi m Pk , Ak tương ng v i k = 0, 1, . . . . 2π 2π Thì pk+1 − ak+1 = α(pk − ak+1 v i α = cos + i sin . 3 3 C th , p1 = a1 + α(P0 − a1 ), p2 = a2 + α(p1 − a2 ), p3 = a3 + α(p2 − a3 ). Do đó p2 = a2 − αa2 + α[a1 + α(p0 − a1)] = (1 − α)a2 + α(1 − α)a1 + α2 p0 ,
  15. 216 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c p3 = a3 −αa3 +α[(1−α)a2 +α(1−α)a1 +α2p0 ] = (1−α)(a3 +αa2 +α2 a1 ]+α3p0 , L i do α3 = 1 nên p3 = (1 − α)(a3 + αa2 + α2 a1 + p0 , Nh n xét r ng p0 .p3 , p6 , . . . l p thành c p s c ng v i s h ng đ u tiên p0 và v i công sai (1 − α)(a3 + αa2 + α2 a1). V y nên n u P1986 = P0 thì 3 × 662(1 − α)(a3 + αa2 + α2 a1 ) + p0 = p0 . Suy ra a3 + αa2 + α2 a1 (5.3) π π Mà α = β 2 = β − 1 và α2 = β 4 == β 3β = −β v i β = cos + i sin . 3 3 Thay vào (5.3) ta có a3 + (β − 1)a2 + βa1 = 0 suy ra a3 = a2 + β(a1 − a2) nên tam giác A1A2A3 đ u. Ví d 5.20. Cho tam giác ABC tr c tâm H, v đư ng tròn đư ng kính CH, c t các c nh AB và AC t i P và Q. Ch ng minh r ng nh ng ti p tuy n t i đi m P và Q đ i v i đư ng tròn c t nhau t i đi m gi a c a AB. L i gi i. Ch n h t a đ v i đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là đư ng tròn đơn v . Do P, Q là chân đư ng cao c a tam giác h t A, B nên p = 1 (a + b + c − bc¯) 2 a q = 2 (a + b + c − ac¯ 1 b)
  16. 5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 217 Tâm O c a đư ng tròn đư ng kính CH là trung đi m CH nên 1 1 1 a = (c + h) = (c + a + b + c) = a + (a + b). 2 2 2 a+b G i M là trung đi m c a AB, thì m = . 2 Ta có 1 m−p 2 (a + b) − 1 (a + b + c − bc¯) 2 a = 1 1 0−p c + 2 (a + b) − 2 (a + b) − bc¯ a bc¯ − c a b¯ − 1 a b−a = = = · c + bc¯ a 1 + b¯ a b+a Tương t ta có: m−q a−b = · 0−q a+b a−b Các t s trên là s o. Th t v y n u b = x0 + iy0, a = x1 + iy1 thì a+b có ph n th c là phân s v i t s b ng 0: (x0 − x1 )(x0 + x1 ) + (y0 − y1 )(y0 + y1 ) = (x2 + y0 ) − (x2 + y1 ) = 0. 0 2 1 2 Ch ng t MP ⊥ OP , MQ ⊥ OQ. nghĩa là MP, MQ là ti p tuy n c a đư ng tròn (đpcm). Nh n xét r ng, s ph c t ra đ c bi t hi u qu v i các bài toán liên quan đ n vuông góc. Ví d 5.21. V phía ngoài c a t giác l i ABCD, l n lư t d ng các hình vuông nh n AB, BC, CD, DA làm c nh. Các hình vuông này có tâm là O1 , O2 , O3 , O4 . Ch ng minh r ng O1 O3 vuông góc v i O2 O4 và O1 O3 = O2 O4 . L i gi i. Gi s các hình vuông là ABMM , BCNN , CDP P , DAQQ có tâm là O1 , O2 , O3 , O4 . Ta quy u c ch cái thư ng là to v c a các đ nh, ch ng h n a là to v c a đi m A. Ta nh n th y r ng, đi m M nh n đư c t phép quay tâm B, góc quay π/2. T đó suy ra m = b + (a − b)i.
  17. 218 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c Tương t n = c + (b − c)i, p = d + (c − d)i, q = a + (d − a)i. Do đó a+m a + b + (a − b)i b + c + (b − c)i o1 = = , o1 = , 2 2 2 c + d + (c − d)i d + a + (d − a)i o3 = , o4 = · 2 2 Suy ra o3 − o1 (c + d − a − b) + i(c − d − a − b) = = −i. o4 − o2 a + d − b − c + i(d − a − b + c) Do đó O1 O3 vuông góc O2 O4 . Hơn n a, o3 − o1 = | − i| = 1 o4 − o2 nên O1 O3 = O2 O4 . . Ví d 5.22 (IMO 17, 1975). V phía ngoài c a tam giác ABC, l n lư t d ng các tam giác ABR, BCP , CAQ sao cho ∠P BC = ∠CAQ = 450 , ∠BCP = ∠QCA = 300 , ∠ABR = ∠RAB = 150 . Ch ng minh r ng ∠QRP = 900 , RQ = RP. L i gi i. Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c. G i M là chân đư ng vuông góc h t đi m P xu ng đư ng th ng BC. Ta qui ư c ch cái thư ng là t a v c a đ nh tương ng, ch ng h n, a là t a v c a đi m A. Vì MP = M B và MC √ = 3 nên MP √ p−m c−m = i và = i 3. b−m p−m Do đó √ c + 3b b−c p= √ +i √ · 1+ 3 1+ 3 Tương t ta cũng tính đư c √ c + 3a a−c q= √ +i √ · 1+ 3 1+ 3
  18. 5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 219 Đi m B nh n đư ng t đi m A b ng phép quay tâm R, góc quay q = 1500 . Do đó √ 3 1 b=a − + i . 2 2 T đó, b ng các phép bi n đ i đ i s , ta đư c √ √ p c + 3b b−c c + 3a a−c = √ +i √ : √ +i √ = i. q 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 Suy ra QR vuông góc v i P R hay ∠QRP = 900 . Hơn n a, |p| = |iq| = |q| nên RQ = RP . Bên c nh các bài toán ch ng minh vuông góc, s ph c cũng t ra hi u qu trong các bài toán v th ng hàng, đ ng quy. Ví d 5.23. Cho ABCD và BN MK là hai hình vuông không giao nhau, E là trung đi m c a AN . G i F là chân đư ng vuông góc h t B xu ng đư ng th ng CK. Ch ng minh r ng các đi m E, F, B th ng hàng. L i gi i. Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c. Ch n F làm g c to đ và CK, F B l n lư t là tr c hoành và tr c tung. G i c, k, bi l n lư t là to v c a các đi m C, K, B v i c, k, b ∈ R. Phép quay tâm B, góc quay q = 900 bi n đi m C thành đi m A, do đó A có to v là a = b(1 − i) + ci. Tương t , đi m N là nh c a đi m K qua phép quay tâm B, góc quay q = −900 nên đi m N có to v là n = b(1 + i) − ki. T đó suy ra to v đi m E, trung đi m c a đo n th ng AN là a+n c−k e= =b+ . 2 2 T đó suy ra đi m E n m trên đư ng th ng F B hay các đi m E, F, B th ng hàng. Ví d 5.24. Trên các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC ta l n lư t d ng các tam giác đ ng d ng có cùng hư ng là ADB, BEC, CF A. Ch ng minh r ng các tam giác ABC và DEF có cùng tr ng tâm.
  19. 220 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c L i gi i. Ta qui ư c ch cái thư ng là t a v c a đ nh tương ng, ch ng h n, a là t a v c a đi m A. Vì ADB, BEC, CF A là các tam giác đ ng d ng có cùng hư ng nên d−a e−b f −c = = = z. b−a c−b a−c Do đó d = a + (b − a)z, e = b + (c − b)z, f = c + (a − c)z. Suy ra c+d+f a+b+c = . 3 3 Hay các tam giác ABC và DEF có cùng tr ng tâm. Ví d 5.25 (IMO Shortlist). Cho ABC là m t tam giác đ u có tâm là S và A B O là m t tam giác đ u khác có cùng hư ng. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các đo n th ng A B và AB . Ch ng minh r ng các tam giác SB M và SA N đ ng d ng. L i gi i. G i R là bán kính c a đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABO, đ t 2p 2p e = cos + i sin · 3 3 Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c. Ch n S là g c t a đ và SO là tr c th c (tr c hoành). Khi đó, to đ c a các đi m O, A, B là R, Re, Re2 . G i R + z là t a đ c a đi m B , thì R − ze là t a đ c a đi m A . Suy ra to đ c a M, N là zB + zA Re2 + R − ze R(e2 + 1) − ze −Re − ze −e(R + z) zM = = = = = , 2 2 2 2 2 R zA + zB Re + R − z R(e + 1) + z −Re2 + z z− e R − ze zN = = = = = = · 2 2 2 2 2 −2e Ta có zB − zS zA − zS R+z R − ze = ⇔ −e(R+z) = R−ze ⇔ e¯ = 1 ⇔ |e|2 = 1. e zM − zS zN − zS −2e 2 T đó suy ra các tam giác SB M và SA N đ ng d ng.
  20. 5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 221 5.4.1 S ph c và đa giác đ u Căn b c n c a đơn v là các s ph c có bi u di n trên m t ph ng to đ là đ nh c a m t n-giác đ u. Tính ch t đơn gi n này có th s d ng đ gi i nhi u bài toán liên quan đ n n- giác đ u. Ví d 5.26 (Romania 1997). Cho n > 2 là m t s nguyên và f : R2 → R là m t hàm s sao cho v i m i n-giác đ u A1A2 . . . An , ta có f (A1 ) + f (A2 ) + · · · + f (An ) = 0. Ch ng minh r ng f (A) = 0 v i m i A thu c R2 . L i gi i. Ta đ ng nh t R2 v i m t ph ng ph c và đ t ε = e2πi/n . Khi đó đi u ki n đ bài chính là ng v i m i s ph c z và s th c t ta đ u có n (z + tε)j = 0. j=1 T đó, như nh ng trư ng h p riêng, ta có v i m i k = 1, 2, . . . , n n (z − εk + tε)j = 0. j=1 C ng các đ ng th c này l i, ta đư c n n (z − (1 − εm )ε)k = 0. m=1 k=1 V i m = n t ng trong b ng nf (z); v i các giá tr m khác, t ng trong l i ch y qua đ nh c a n-giác đ u, do đó b ng 0. V y f (z) = 0 v i m i z ∈ C. Ví d 5.27 (Balkan MO 2001). M t ngũ giác l i có các góc b ng nhau và có các c nh là các s h u t . Ch ng minh r ng ngũ giác đó đ u. L i gi i. Ta dùng s ph c đ gi i. Gi s đ nh c a đa giác l i là các s ph c v1, v2, . . . , v5. Xét z1 = v2 − v1 , z2 = v3 − v2, z3 = v4 − v3, z4 = v5 − v4, z5 = v1 − v5.
Đồng bộ tài khoản