Biến phức định lý và áp dụng P6

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

0
152
lượt xem
74
download

Biến phức định lý và áp dụng P6

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến phức định lý và áp dụng P6 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Biến phức định lý và áp dụng P6

  1. 252 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân T đ nh nghĩa ta có ∞ Γ(1) = e−x dx = −e−x |∞ = 0 + 1 = 1 0 (1.12). 0 Tích phân t ng ph n ta đư c t t n−1 −x n−1 −t x e dx = −t e + (n − 1) xn−2 e−x dx. 0 0 Dùng Đ nh lý L’Hospital ta có −tn−1 e−t ti n đ n 0 khi t ra ∞. Vì v y, ∞ ∞ Γ(n) = xn−1 e−x dx = (n − 1) x(n−1)−1 e−x dx (1.13) 0 0 hay Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) (1.14) và thay n b i n + 1 ta đư c Γ(n + 1) Γ(n + 1) = nΓ(n), Γ(n) = . (1.15) n T (1.14) suy ra Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 · Γ(1) = (n − 1)! T (1.12) ta đư c Γ(1) = 1, do đó Γ(n) = (n − 1)!. Ngư i ta đã tính đư c các giá tr c a Γ(n) v i 1 < n < 2 và nh các công th c (1.14) và (1.15) ta có th tính Γ(n) v i m i giá tr dương c a n.
  2. 6.2. Tính t ng b ng phương pháp sai phân 253 Ví d 6.24. a. Γ(3.2) = (2.2)(1.2)Γ(1.2) = (2.2)(1.2)(0.9182) = 2.424. Γ(1.6) 0.8935 b. Γ(0.6) = 0.6 = 0.6 = 1.489. √ c. Γ(0.5) = π. V i n là s th c âm ta s dùng công th c (1.15) đ tính Γ(n). Γ(0.6) Γ(1.6) Ví d 6.25. Γ(−0.4) = −0.4 = (−0.4)(0.6) = −3.723 Chú ý 6.3. Ngư i ta ch ng minh đư c r ng v i n = 0 và n nguyên âm thì Γ(n) không xác đ nh. Hàm Beta Hàm Beta đư c đ nh nghĩa b i 1 β(m, n) = xm−1 (1 − x)n−1 dx (1.16). 0 Hàm Beta xác đ nh v i m i m, n > 0. Đ t y = 1 − x ta có 1 1 m−1 n−1 β(m, n) = x (1 − x) dx = y n−1 (1 − y)m−1 dy = β(n, m). (1.17) 0 0 Ti p theo ta s tìm m i liên h gi a hàm Gamma và hàm Beta. Trong (1.11) đ t x = z 2 , dx = 2zdz; ta đư c ∞ 2 Γ(n) = 2 z 2n−1 e−z dz. 0 T đó ta có ∞ 2 Γ(m) = 2 e−x x2m−1 dx 0 ∞ 2 Γ(n) = 2 e−y y 2n−1 dy 0
  3. 254 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân ∞ ∞ 2 −y 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−x x2m−1 y 2n−1dydx. 0 0 Chuy n sang t a đ c c ta có π ∞ 2 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−r r2m−1 (cos θ)2m−1 r2n−1 (sin θ)2n−1 rdrdθ 0 0 π ∞ 2 2 = 2 e−r r2(m+n)−1 dr · 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ 0 0 π 2 = Γ(m + n) · 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ. 0 Ta s ch ng minh r ng π 2 β(m, n) = 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ. 0 Đ t x = cos2 θ, (1 − x) = sin2 θ, dx = −2 cos θ sin θdθ. Ta đư c π 2 0 ( cos2 θ)m−1 (sin2 θ)n−1 (−2 cos θ sin θdθ) 2m−1 2n−1 (cos θ) (sin θ) dθ = 2 0 π π 2 = 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ. 0 V y ta có Γ(m)Γ(n) = Γ(m + n)β(m, n) hay Γ(m)Γ(n) β(m, n) = . Γ(m + n)
  4. 6.2. Tính t ng b ng phương pháp sai phân 255 π 2 Ví d 6.26. Tính tích phân sinn xdx, n > −1. Đ t y = sin x, dy = cos xdx. 0 dy −1 Suy ra dx = cos x = (1 − y 2 ) 2 dy. Khi đó π 2 1 −1 n sin xdx = y n (1 − y 2 ) 2 dy. 0 0 dz Đ t z = y 2, dz = 2ydy, dy = √ . 2 z Ta có 1 1 −1 n 1 −1 y n (1 − y 2) 2 dy = z 2 − 2 (1 − z) 2 dz 0 0 1 1 n+1 −1 1 = z 2 (1 − z) 2 −1 dz 2 0 1 n+1 1 = β , 2 2 2 n+1 1 Γ 2 Γ 2 = n+1 1 2Γ 2 + 2 √ n+1 π Γ 2 = · . 2 Γ n+2 2 Bài t p 1. Tính các t ng sau: n 1. S = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = k · k!. k=1 n 2. S = 13 + 23 + · · · + n3 = k 3. k=1 3. S = sin x + sin 2x + · · · + sin nx 4. S = cos x + cos 2x + · · · + cos nx 5.S = a + aq + · · · + aq n−1 6. S = sin(a + x) + sin(a + 2x) + · · · + sin(a + nx)
  5. 256 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 7. S = cos(a + x) + cos(a + 2x) + · · · + cos(a + nx) 8. S = 1 · q + 2 · q 2 + · · · + n · q n 12 12 +22 12 +22 +32 12 +22 +32 +···+n2 9. S = 1 + 2 + 3 + ··· + n . 10. 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + n(n + 2). 11. 1 · 22 + 2 · 32 + 3 · 42 + · · · + n(n + 1)2 . 1 1 1 12. S = 1·2 + 2·3 + ··· + n·(n+1) . 1 1 1 1 13. S = 1·2·3 + 2·3·4 + ··· + (n−2)·(n−1)·n + (n−1)·n·(n+1) . 14. S = sin πx + sin π x + · · · + sin n−1 x. 2 π 2 2 2 15. S = 21 sin2 θ 21 + 22 sin2 θ 22 + · · · + 2n sin2 θ 2n . 16. 6 · 9 + 12 · 21 + 20 · 37 + 30 · 57 + 42 · 81 · · · + (n s h ng). 1 1 1 17. S = 1·4 + 4·7 + 7·10 + · · · (n s h ng). 2. Tính các t ng sau: 1. 12 · 2 + 22 · 22 + 32 · 23 + · · · + n2 2n . 2. 2 · 2 + 6 · 22 + 12 · 23 + 20 · 24 + 30 · 25 + · · · (n s h ng). n 3. x sin x. 1 4. Gi s fx là m t hàm kh tích h u t b c n. Ch ng minh r ng, tích phân t ng ph n liên ti p cho ta công th c ax a a 2 a n ∆−1 axfx = fx − ∆fx + ∆2fx +· · ·+(−1)n ∆n fx . a−1 a−1 a−1 a−1 5. S d ng k t qu câu 4 tính n n 3x x(2), 2x (x3 − 3x + 2). 1 1 1 1 1 1 6. S = 1·2·4 + 2·3·3 + 3·4·6 + ··· + n·(n+1)·(n+3) . n 1 7. (5x−2)(5x+3) 1 n 1 8. (2x−1)(2x+1)(2x+5) . 1 1·2 2·3 3·4 4·5 9. S = 3 + 32 + 33 + 34 + · · · (n s h ng). 3. Tính các t ng sau:
  6. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 257 n x 1. fx , fx = (x+1)(x+2) 2x . 1 n 2x−1 2. fx , fx = 2x−1 . 1 n x2 +x−1 3. fx , fx = (x+2)! . 1 n x! 4. fx , fx = 2x · x · (2x+1) !. 1 n (a+x)2 5. fx , fx = 3a+x . 0 4 Ch ng minh các đ ng th c sau: 1 2n+1 √ Γ 2 x2n √ dx π 1. 1−x2 = 2 · . 0 Γ n+1 π n+1 m+1 2 Γ 2 Γ 2 n m 1 2. sin x cos xdx = 2 · . 0 n+m Γ 2 +1 ∞ Γ(n+1) 3. xn e−ax dx = an+1 . 0 √ 1 1 πΓ n 4. √ dx n = . 1−x 1 0 nΓ n +1 2 ∞ √ 2 π 5. e−x dx = 2 . 0 6.3 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng Đ i v i phương trình sai phân tuy n tính thì b ng phép đ i bi n ta đưa v h phương trình tuy n tính c p 1. Trong m c này, h th ng l i m t s k t qu v công th c nghi m phương trình c p cao đư c suy ra m t cách tương t t phương trình c p 1. Đ nh lý 6.6. Nghi m t ng quát xn c a (2.2) b ng t ng xn và x∗ , v i x∗ là ˆ n n m t nghi m riêng b t kì c a (2.2). Đ nh nghĩa 6.5. xn1 , · · · , xnk đư c g i là k nghi m đ c l p tuy n tính c a
  7. 258 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân (2.3) n u t h th c C1xn1 + · · · + Ck xnk = 0 suy ra C1 = · · · = Ck = 0. Đ nh lý 6.7. N u xn1 · · · , xnk là k nghi m đ c l p tuy n tính c a (2.3), thì nghi m t ng quát xn c a (2.3) có d ng ˆ xn = C1 xn1 + · · · + Ck xnk , ˆ trong đó C1, C2 , · · · , Ck là các h ng s tuỳ ý. Đ nh lý 6.8. N u λ1 , λ2 , · · · , λk là k nghi m th c khác nhau c a (2.4) và c1 , c2 , · · · , ck là k h ng s tuỳ ý thì xn = c1 λn + c2 λn + · · · + ck λn ˆ 1 2 k là nghi m t ng quát c a phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t (2.3). Chú ý 6.4. N u phương trình đ c trưng (2.4) có nghi m th c λj b i s, thì ngoài nghi m λn , ta có nλn , n2 λn , · · · , ns λn cũng là các nghi m đ c l p tuy n j j j j tính c a (2.3) và do đó s−1 k xn = ˆ Cj ni λn i j + Ci λn . i i=0 j=i=1 Ví d 6.27. Tìm các hàm f : Z −→ R th a mãn các đi u ki n 5 f (x + y) + f (x − y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ Z, f(0) = 0, f(1) = . 2 Cho x = n ∈ Z, y = 1 ta đư c f (n + 1) + f (n − 1) = f (n)f (1). Đ t f (n) = un ta thu đư c phương trình sai phân 5 5 un+1 = un − un−1 , u0 = f (0) = 0, u1 = . 2 2
  8. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 259 Cho x = 1, y = 0 ta đư c f (1)f (0) = 2f (1), suy ra f (0) = 2 = u0 . Ta d dàng tìm đư c nghi m 1 f (x) = 2x + , ∀x ∈ Z. 2x Đ nh lý 6.9. N u phương trình đ c trưng có nghi m ph c λj = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì k xn = ˆ Ci λn + rn (Cj cos nϕ + Cj sin nϕ). i 1 2 j=i=1 Ví d 6.28. Cho f : N∗ −→ R th a mãn các đi u ki n f (n + 2) = f (n + 1) − f (n), f(1) = 1, f(2) = 0. Ch ng minh r ng √ 2 3 |f (n)| , ∀n ∈ N∗ . 3 Đ t f (n) = un ta đư c bài toán giá tr ban đ u un+2 = un+1 − un , u1 = f (1) = 1, u2 = f (2) = 0. Phương trình đ c trưng có nghi m ph c √ √ 1+i 3 1−i 3 λ1 = , λ2 = . 2 2 Ta có λ = cos π + i sin π . Ta d dàng tìm đư c nghi m c a bài toán giá tr ban 3 3 đ u là √ nπ 3 nπ un = cos + sin . 3 3 3 Do đó √ 3 2 3 |f (n)| 12 + = , ∀n ∈ N∗ . 9 3 Đ nh lý 6.10. N u phương trình đ c trưng có nghi m ph c λj b i s thì k xn = ˆ Ci λn +rn [(A1+A2n+· · ·+As ns−1 ) cos nϕ+(B1 +B2n+· · ·+Bs ns−1 ) sin nϕ]. i j=i=1
  9. 260 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân M t s trư ng h p có th tìm nghi m riêng m t cách đơn gi n. • Trư ng h p fn = Pm (n), m∈N 1. N u λ1 , · · · , λk là các nghi m th c khác 1 c a phương trình (2.4) thì ∗ yn = Qm (n), m ∈ N, v i Qm (n) là đa th c cùng b c m v i fn . 2. N u (2.4) có nghi m λ = 1 b i s thì yn = ns Qm (n), ∗ m ∈ N, v i Qm(n) là đa th c cùng b c m v i fn . Ví d 6.29. Cho f : N∗ −→ R th a mãn các đi u ki n f (n + 1) − 2f (n) + f (n − 1) = n + 1, f(1) = 1, f(2) = 0. Ch ng minh r ng (6f (n) − 24) là b i c a n v i n 6. Đ t f (n) = un ta đư c bài toán giá tr ban đ u un+1 − 2un + un−1 = n + 1, u1 = f (1) = 1, u2 = f (2) = 0. Phương trình đ c trưng có nghi m kép λ = 1. Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t là A + nB. Ta tìm nghi m riêng dư i d ng n2(an + b). D dàng tìm đư c a = 1 , b = 1 . Do đó 6 2 1 1 un = A + Bn + n2 n+ 6 2 và nghi m c a bài toán giá tr ban đ u là 11 n3 n2 un = f (n) = 4 − n+ + . 3 6 2 Do đó (6f (n) − 24) = (n3 + 3n2 − 22n) chia h t cho n. Ví d 6.30. (Đ d tuy n IMO - 1992) Gi s a, b là 2 s th c dương. Tìm t t c các hàm f : [0, ∞) −→ [0, ∞) th a mãn đi u ki n f (f (x)) + af (x) = b(a + b)x.
  10. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 261 Vì phương trình hàm trên đúng v i m i x ∈ [0, ∞) nên f (f (f (x))) + af (f (x)) = b(a + b)f (x), x = f (x). Tương t như v y ta thu đư c f n+2 (x) + af n+1 (x) = b(a + b)f n (x). C đ nh x ta thu đư c phương trình sai phân un+2 + aun+1 = b(a + b)un . Phương trình đ c trưng có 2 nghi m λ = b, λ = −a − b. Khi đó f n (x) = un = K · bn + L · (−a − b)n . Ta có u0 = x = K + l, u1 = f (x) = Kb − L(a + b). Vì f n : [0, ∞) −→ [0, ∞) nên f n (x) b n 0 n =K +(−1)n L. (a + b) a+b n b M t khác, do a+b → 0 khi n → ∞ nên ta ph i có L = 0. V y f (x) = Kb = bx. • Trư ng h p fn = Pm (n)β n ∗ 1. N u các nghi m c a (2.4) đ u là các nghi m th c khác β thì yn = Qm (n)β n, v i Qm (n) là đa th c b c m. 2. N u (2.4) có nghi m λ = β b i s thì yn = ns Qm (n)β n , v i Qm (n) là đa ∗ th c b c m. Ví d 6.31. Xét phương trình sai phân xn+4 − 10xn+3 + 35xn+2 − 50xn+1 + 24xn = 48 · 5n .
  11. 262 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, λ4 = 4 đ u khác 5. T đó ta nh n đư c x∗ = 2 · 5n . n • Trư ng h p fn = α cos nx + β sin nx, α, β ∈ R Tìm nghi m riêng dư i d ng ∗ yn = a cos nx + b sin nx. Ví d 6.32. Tìm nghi m riêng x∗ phương trình sai phân n √ nπ nπ xn+3 − 2xn+2 − xn+1 + 2xn = (2 − 2) cos + 2 sin . 4 4 S d ng phương pháp v a trình bày ta d dàng tìm đư c nπ x∗ = cos n . 4 • Trư ng h p fn = gn1 + · · · + gns ∗ ∗ Tìm nghi m riêng yni ng v i hàm gni , i = 1, · · · , s. Nghi m riêng yn ng v i fn s là s ∗ ∗ yn = yni . i=1 Ví d 6.33. Tìm nghi m riêng x∗ phương trình sai phân n √ 3 nπ 3 nπ xn+4 − 3xn+3 + 3xn+2 − 3xn+1 + 2xn = sin − cos + 10 · 2n + 2. 2 3 2 3 Dùng nguyên lý ch ng nghi m và áp d ng phương pháp trong 3 trư ng h p đã nêu ta đư c nπ x∗ = sin n + n · 2n − n. 3 Bài t p 1. Xác đ nh s h ng t ng quát un c a dãy s n u bi t
  12. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 263 un+1 = un + 2n, a. Đáp s : un = n2 − n + 2. u1 = 2. un+1 = 15un − 14n + 1, b. Đáp s : un = 99 − n2 . u0 = 7. un+1 = 2un + 3n , c. Đáp s : un = 7 · 2n + 3n . u0 = 8. un+1 = 7un + 7n+1 , d. Đáp s : un = (101 + n)7n . u0 = 101. un+1 = √2 un − √2 sin nπ , 1 1 e. 4 Đáp s : un = cos nπ . 4 u0 = 1. 2. Dùng phương pháp bi n thiên h ng s tìm nghi m riêng u∗ c a các phương n trình sai phân sau a. un+1 = un + n · n!. Đáp s : u∗ = n!. n b. un+1 = 2un + 6 · 2n . Đáp s : u∗ = 3n · 2n . n sin n− 1 2 x c. un+1 = un + cos nx. Đáp s : u∗ n = 2 sin x , sin x = 0. 2 2 1−n n d. un+1 = un + 2n+1 . Đáp s : u∗ = n 2n . e. un+1 = 5un + 1 (n2 − 3n + 1)n!. Đáp s : u∗ = 5 n n·n! 5 . 3. Dùng phương pháp phương pháp hàm Green tìm nghi m riêng x∗ c a các n phương trình sai phân sau 1. xn+1 = 2xn + n2 − n + 1. ĐS: x∗ = −n2 − n − 3 n 2. xn+1 = 5xn + n2 + 3n + 2. ĐS: x∗ = − 1 k 2 − 7 k − n 4 8 25 32 3. xn+1 = 3xn + (2 − n)2n . ĐS: x∗ = n2n n 4. xn+1 = 2xn + cos nπ − 2 sin nπ . ĐS: x∗ = sin nπ . 2 2 n 2 4. Xác đ nh s h ng t ng quát un c a dãy s n u bi t un+1 = (n + 1)un + 2n (n − 1), a. u1 = 0. n un+1 = n+1 (un + 1), b. u1 = 0. n(n+1) un+1 = (n+2)(n+3) (un + 1), c. u1 = 0. n(n+1)···(n+k) un+1 = (n+k+1)···(n+2k+1) (un + 1), d. u1 = 0.
  13. 264 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 5. Gi i các phương trình sai phân sau a. xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 0. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 2 (kép), λ2 = 3. b. xn+3 − 5xn+2 + 8xn+1 − 6xn = 0. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 3, λ2 = 1 + i, λ2 = 1 − i. c. xn+6 − 3xn+5 + 4xn+4 − 6xn+3 + 5xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 1, λ2 =, λ3 = i (kép), λ3 = −i (kép). d. xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = n + 1. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 2 (kép), λ2 = 3 đ u khác 1. e. xn+4 − xn+3 − 3xn+2 + 5xn+1 − 2xn = 1. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 1 (b i 3), λ2 = −2. f. xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n). Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 2 (kép), λ2 = 3. 6. Tìm t t c các hàm s f tho mãn đi u ki n a. f : R −→ R, f (f (x)) = 3f (x) − 2x, ∀x ∈ R. Hư ng d n: Vì phương trình hàm trên đúng v i m i x ∈ R nên f (f (x)) = 3f (x) − 2x, ∀x ∈ R. Tương t như v y ta thu đư c f n+2 (x) = 3f n+1 (x) − 2f n (x). C đ nh x ta thu đư c phương trình sai phân un+2 − 3un+1 + 2un , u0 = x, u1 = f (x). b. f : N −→ N, f(1) = 1, 2f (n)f (k + n) − 2f (k − n) = 3f (n)f (k), ∀k n.
  14. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 265 Hư ng d n: Cho k = n = 0 ta đư c f 2 (0) = −2f (0) suy ra f (0) ∈ {0, −2}. Gi s f (0) = 0. Thay n = 0 vào phương trình hàm trên ta đư c −f (k) = 0∀k ∈ N nên f (1) = 0 (vô lý). V y f (0) = −2. Thay n = 1 vào phương trình hàm ta thu đư c bài toán giá tr ban đ u thu n nh t b c 2. c. f : N −→ Z, f(1) = 1, f (k + n) − 2f (n)f (k) + f (k − n) = 3n · 2k . Hư ng d n: Cho k = n = 0 ta đư c −2f 2 (0) + 2f (0) = 0 suy ra f (0) ∈ {0, 1}. Gi s f (0) = 0. Thay n = 0 vào phương trình hàm trên ta đư c 2f (k) = 0∀k ∈ N nên f (1) = 0 (vô lý). V y f (0) = −2. Thay n = 1 vào phương trình hàm ta thu đư c bài toán giá tr ban đ u không thu n nh t b c 2. 7. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u x1 = a, xm+n = xm + xn + mn, ∀m, n. 1 Đáp s : xn = n 2 (n − 1) + a . Th l i th y k t qu này th a mãn đ bài. 8. T n t i hay không m t dãy s {xn } mà ∀m, n ∈ N ta có xm+n = xm + xn + mn. Hư ng d n: Gi s x1 = a. Gi i tương t ví d trên ta đư c 1 xn = n[ (n + 1) + a] − 1. 2 Th l i th y k t qu này không th a mãn đ bài v i m i m, n. 9. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x2 = β, x m+n = xm +xn ∀m, n ∈ N∗ , m+n ∈ N. 2 2 2 Hư ng d n: D th y xn = x (n+1)+(n−1) . 2
  15. 266 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Gi i phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i đi u ki n ban đ u x1 = α, x2 = β ta đư c xn = 2α − β + (β − α)n. 10. Xác đ nh dãy s {xn } n u bi t xmn = xm xn . Hư ng d n: Ta có xm = xm·1 = xm x1 suy ra x1 = 1. xn = xpk1 pk2 ···pk = αk1 αk2 · · · αk . 1 2 1 2 11. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, xn+1 = axn + bx2 + c, n a2 − b = 1, α > 0, a > 1. Hư ng d n: Gi i phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i x1 = α, x2 = √ √ aα + bα2 + c = β ta đư c xn = αλ2 −β λn + αλ1−β λn , λ1 = a + a2 − 1, λ2 = 1−λ2 1 1−λ2 2 1 2 √ a − a2 − 1. 12. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x2 = β 2 xn+1 = xn +a . xn−1 Hư ng d n: Đưa v phương trình x2 xn = t(xn+1 + xn−1 ), t = . x3 + x2 13. Hãy tìm t t c các giá tr c a a ∈ R đ x1 = a xn xn+1 = 2+xn , n∈N xác đ nh m t dãy, hãy tìm s h ng t ng quát c a dãy s .
  16. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 267 1 Hư ng d n: Đ t dãy s ph yn = xn , khi đó ta có yn+1 − 2yn = 1. Gi i phương trình này ta nh n đư c (a + 1)2n−1 − a yn = , a suy ra a xn = . (a + 1)2n−1 − a Ta ph i tìm giá tr c a a sao cho xn = −2, ∀n. 14. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x2 = β x2 +2bxn−1 −bxn−2 +c n−1 xn = xn−2 +b . Hư ng d n: Đ t yn = xn + b. Khi đó ta có 2 yn−1 + c yn = . yn−2 Phương trình d ng này đã bi t cách gi i. 15. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x xn+1 = √n , α > 0, a > 1, a2 − b = 1. a+ b+x2 n 1 Đ t yn = xn , ta đư c yn+1 = ayn + 2 byn + c. Đây là phương trình sai phân đã bi t cách gi i. 16. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, xn+1 = an xn + fn , an = 0. n−1 Đ t dãy s ph xn = yn k=0 ak . n−1 n α fk xn = [ + k ] ak . a0 i=0 ai k=1 k=0
  17. 268 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Trư ng h p an = c = constan, ta có n−1 α fk n xn = [ + k−1 ]c , c > 1. c k=1 c 17. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α > 0, an > 0, ∀n ∈ N, k ∈ R xn+1 = an xk . n Logarit hoá hai v c a phương trình theo cơ s e ta đư c ln xn+1 = ln an + k ln xn . Đ t dãy s ph ln xn = yn đưa v phương trình d ng yn+1 − kyn = ln an . Đ t dãy s ph yn = k n−1 un . n−1 u n−1 [ln α+ n−1 ln ai xn = ek n = xn = ek i=1 ki ] 18. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α > 0, xn+1 = fn+1 xk , fk n fn > 0, ∀n ∈ N, k ∈ R. n Chuy n v d ng xn+1 xk = n, k fn+1 fn xn đ t dãy s ph vn = fn . Ta có k vn+1 = vn . Logarit cơ s e hai v , ta đư c ln vn+1 = k ln vn .
  18. 6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 269 Đ t dãy s ph un = ln vn . α kn−1 xn = fn [ ] . f1 19. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x0 = γ, xn+1 = ax2 − b, n ab = 2, a, b ∈ R. γ Đ t dãy s ph xn = byn suy ra y0 = b = α. Ta có byn+1 = ab2yn − b 2 hay 2 yn+1 = 2yn − 1. Xét trư ng h p |α| < 1 và |α| 1, xn = b cos 2n ϕ hayxn = bch2n ϕ. 20. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x0 = α, xn+1 = ax3 − 3xn , n a > 0. 2 Đ t xn = √ yn . a Ta có √ √ x0 a α a y0 = = =γ 2 2 và 3 yn+1 = 4yn − 3yn . Xét trư ng h p |γ| < 1 và |γ| < 1. 2 1 √ √ n √ √ n xn = √ sin 3n ϕ = √ [(α a + aα2 − 4)3 + (α a − aα2 − 4)3 ], a 2 a và 1 n n xn = √ [(γ + γ 2 − 1)3 + (γ − γ 2 − 1)3 ]. a 21. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x0 = α, xn+1 = ax3 + 3xn , n a > 0.
  19. 270 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 2 Đ t xn = √ yn . a Ta có √ α a y0 = =γ 2 và 3 yn+1 = 4yn + 3yn . Do y0 = γ nên t n t i ϕ sao cho chϕ = γ. Ch ng minh b ng quy n p ta đư c yn = sh3n ϕ. Do đó 2 xn = √ sh3n ϕ. a axn+b 22. Xét phương trình xn+1 = cxn +d , x0 cho trư c, a, b, c, d ∈ R. Ch ng minh r ng: N u (yn , zn ) là nghi m c a h phương trình yn+1 = ayn + bzn zn+1 = cyn + dzn , yn v i n = 0, 1, 2 · · · và y0 = α, z0 = 1 thì xn = zn là nghi m c a phương trình sai phân h u t axn + b xn+1 = , cxn + d v i n = 0, 1, 2 · · · và x0 = α. y0 Hư ng d n: Khi n = 0 thì m nh đ trên đúng do x0 = z0 = α. Gi s m nh đ trên đúng v i n, ta ch ng minh nó đúng v i n + 1. Ta có yn+1 ayn + bzn a yn + b zn axn + b xn+1 = = = yn = . zn+1 cyn + dzn c zn + d cxn + d Đ ý r ng h yn+1 = ayn + bzn zn+1 = cyn + dzn , v i n = 0, 1, 2 · · · và y0 = α, z0 = 1 là h phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t c p 2 đã bi t cách gi i.
  20. 6.4. H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng 271 6.4 H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng Xét h phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t k n d ng U n+1 = AU n , (3.1) trong đó A là ma tr n vuông c p k và U0 là véc tơ cho trư c. Gi s v1 , v2 , · · · , vk là các véc tơ riêng đ c l p tuy n tính tương ng v i các giá tr riêng λ1 , λ2 , · · · , λk c a A. Khi đó t n t i các s α1 , α2, · · · , αk sao cho U 0 = α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αk v k . Ta có U n+1 = AU n = A2U n−1 = · · · = An+1 U 0 và U n = An U 0 = An (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk ) = α1An v 1 + α2 An v 2 + · · · + αk An vk = α 1 λ n v 1 + α 2 λ n v 2 + · · · + α k λn v k . 1 2 k Ta s ch ng t U n = α 1 λn v 1 + α 2 λ n v 2 + · · · + α k λn v k 1 2 k th a mãn (3.1). Th t v y, AU n = α1 λn Av1 + α2λn Av2 + · · · + αk λn Avk 1 2 k = α1 λn+1 v1 + α2 λn+1 v2 + · · · + αk λn+1 vk 1 2 k = U n+1 . Vy U n = α 1 λn v 1 + α 2 λ n v 2 + · · · + α k λn v k 1 2 k
Đồng bộ tài khoản