Biến phức định lý và áp dụng P8

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

0
133
lượt xem
60
download

Biến phức định lý và áp dụng P8

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến phức định lý và áp dụng P8 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Biến phức định lý và áp dụng P8

  1. 352 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Đi u này d n đ n lim xsn −1−m = 0. n→∞ M t khác, xsn = λxsn −1 + H(xsn −1−m , xsn −1−m ) λxsn + H(xsn , xsn −1−m ) (1 − λ)xsn H(xsn , xsn −1−m ) (vì xsn xsn −1−m và H(x, y) là hàm đ ng bi n theo bi n x) nên ta nh n đư c H(x, y) H(xsn , xsn −1−m ) lim inf lim inf 1−λ (x,y)→(0,0) x n→∞ xsn đi u này trái v i (4.48). Đ nh lý đư c ch ng minh. Đ nh nghĩa 6.13. V i m t nghi m gi i n i ng t {xn }n c a (4.43) ta g i t p t t c các đi m t c a dãy các véc tơ {vn = (xn−m , xn−m+1 , · · · , xn )}n là t p gi i h n ô mê ga c a {xn }n và kí hi u là ω(x). Nh n xét 6.6. T p gi i h n ω(x) compact và b t bi n đ i v i ánh x T : Rm+1 −→ Rm+1 + + xác đ nh b i T vn = vn+1 . N u m t nghi m {xn }n là tu n hoàn thì t p h p gi i h n ω(x) g m h u h n đi m. Ngư c l i, n u t p h p gi i h n ω(x) g m h u h n đi m, thì b n thân nó là m t nghi m tu n hoàn (xem [?]). Hơn n a, ánh x T : ω(x) −→ ω(x) là toàn ánh. Vì v y, t n t i hai nghi m có ngu n g c {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z (giá tr ban đ u đư c ch n trong t p gi i h n ω(x)) c a phương trình (4.43) v i m i n sao cho lim sup xn = P0 , lim inf xn = Q0 n→∞ n→∞ và Q0 Pn P0 , Q0 Qn P0 , ∀n ∈ Z.
  2. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 353 Ta có P0 = λP−1 + F (P−m−1 ), Q0 = λQ−1 + F (Q−m−1 ), và h qu là, F (P−m−1 ) F (Q−m−1 ) P0 , Q0 . 1−λ 1−λ T công th c này ta có 1 1 · inf F (x) lim inf xn lim sup xn · sup F (x). 1 − λ x>0 n→∞ n→∞ 1 − λ x>0 T đây ta luôn gi s r ng phương trình x = λx + F (x) có nghi m duy nh t x = x ∈ (0, ∞). Ta s xác đ nh đi u ki n đ m i nghi m c a (4.43) h i t t i tr ng thái cân b ng duy nh t x v i t t c các ch m. Đ nh lý 6.41. Gi s F là hàm đơn đi u tăng và F (x) lim sup < 1 − λ, (4.49) x→∞ x F (x) lim inf > 1 − λ. (4.50) x→0 x Khi đó m i nghi m {xn }n c a (4.43) h i t đ n x. Ch ng minh: V i m i x ∈ [0, ∞) đ t H(x, y) = F (x), ∀y ∈ [0, ∞), th thì đi u ki n (4.47) và (4.48) là th a mãn và đ nh lý 6.40 đư c áp d ng. Đi u này có nghĩa r ng m i nghi m c a (4.43) là gi i n i ng t. Vì v y, v i m i nghi m {xn }n c a (4.43), t n t i hai nghi m có ngu n g c {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z c a (4.43) sao cho lim sup xn = P0 , lim inf xn = Q0 (4.51) n→∞ n→∞ và Q0 Pn P0 , Q0 Qn P0 , ∀n ∈ Z. Hơn n a, F (P−m−1 ) F (P0) P0 (4.52) 1−λ 1−λ
  3. 354 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân và tương t F (Q−m−1) F (Q0) Q0 . (4.53) 1−λ 1−λ Đ t F (x) ξ(x) = − (1 − λ). x T (4.52) và (4.53) ta thu đư c ξ(P0 ) 0 và ξ(Q0 ) 0. M t khác, t (4.49) suy ra lim supx→∞ ξ(x) < 0, và t (4.50) ta nh n đư c lim inf x→0 ξ(x) > 0. Do đó, hai trư ng h p sau có th x y ra: Ho c là trong (0, Q0 ] và [P0 , ∞) có hai đi m K , K khác nhau sao cho ξ(K ) = ξ(K ) = 0, ho c P0 = Q0 = x. Theo gi thi t thì trư ng h p th hai x y ra. Đ nh lý đư c ch ng minh. Đ nh lý 6.42. Gi s F là hàm đơn đi u gi m. Đ t F (x) f (x) = . 1−λ Gi thi t thêm r ng h hai phương trình sau α = f (β), β = f (α) có nghi m duy nh t α = β. Khi đó m i nghi m {xn }n c a (4.43) h i t đ n x. Ch ng minh: V i m i y ∈ [0, ∞) đ t H(x, y) = F (y), ∀x ∈ [0, ∞), th thì đi u ki n (4.47) và (4.48) là th a mãn và đ nh lý 6.40 đư c áp d ng. Do v y, v i m i nghi m {xn }n c a (4.43), t n t i hai nghi m có ngu n g c {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z c a (4.43) sao cho lim sup xn = P0 , lim inf xn = Q0 n→∞ n→∞ và Q0 Pn P0 , Q0 Qn P0 , ∀n ∈ Z. Vì v y, F (P−m−1 ) F (0) P0 = f (0) =: b1 1−λ 1−λ
  4. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 355 và tương t F (Q−m−1 ) Q0 f (∞) =: a1. 1−λ Xét h các phương trình sai phân sau an+1 = f (bn ), bn+1 = f (an ) v i n ∈ N. Th thì c P0 và Q0 cùng thu c vào đo n [an, bn ] v i m i n ∈ N. Dãy {an }n là đơn đi u tăng và dãy {bn }n là đơn đi u gi m. Vì v y t n t i hai gi i h n tương ng là α và β. Hơn n a, các gi i h n này th a mãn h α = f (β), β = f (α). Theo gi thi t c a ta thì α = β = x. Vì v y, limn→∞ an = limn→∞ bn = x và do đó, P0 = Q0 = x. Đ nh lý đư c ch ng minh. Ti p theo, ta gi s r ng v i y0 > 0, ta có F (y0) = max F (x) x 0 và F là hàm đơn đi u tăng trong [0, y0], đơn đi u gi m trong (y0, ∞). Trong trư ng h p này F đư c g i là hàm hình chuông. Đ t F (x) f (x) = . 1−λ Gi thi t thêm r ng {xn }n là m t nghi m gi i n i ng t c a (4.43). G i {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z là hai nghi m có ngu n g c c a phương trình (4.43) sao cho lim sup xn = P0 , Q0 Pn P0 , ∀n ∈ Z. (4.54) n→∞ Vì v y, F (P−m−1 ) F (y0) P0 = f (y0 ). (4.55) 1−λ 1−λ
  5. 356 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Đ nh lý 6.43. Gi s r ng f (y0 ) y0 và (4.50) cũng đư c gi thi t là đúng. Gi s {xn }n là m t nghi m gi i n i ng t c a (4.43). Th thì {xn }n h i t đ n x. Ch ng minh: T (4.54) và (4.55) ta có Pn P0 y0 , ∀n ∈ Z. Nhưng F là hàm tăng trong [0, y0 ] nên ta thu đư c F (P−m−1 ) F (P0) P0 (4.56) 1−λ 1−λ và tương t F (Q−m−1) F (Q0) Q0 . (4.57) 1−λ 1−λ Đ t F (x) ξ(x) = − (1 − λ). x T (4.56) và (4.57) suy ra ξ(P0 ) 0, ξ(Q0 ) 0. M t khác, rõ ràng lim supx→∞ ξ(x) < 0 và t (4.50) ta có lim inf x→0 ξ(x) > 0. Do đó, hai trư ng h p sau có th x y ra: Ho c là trong (0, Q0] và [P0, ∞) có hai đi m K , K khác nhau sao cho ξ(K ) = ξ(K ) = 0, ho c P0 = Q0 = x. Do gi thi t c a ta trư ng h p th hai x y ra. Đ nh lí đư c ch ng minh. Xét trư ng h p f (y0 ) > y0. Trư c tiên, ta nh c l i đ nh lý sau c a Ivanov đã đư c trình bày trong [?]: Đ nh lý 6.44. [?] Gi s t n t i m t đo n I trong R là b t bi n đ i v i ánh x f ∈ C(R), t c là f (I) ⊂ I. Gi thi t thêm r ng, có duy nh t m t đi m x ∈ intI là đi m hút toàn c c c a f , t c là f (x) = x và limn→∞ f n (x) = x v i m i x ∈ intI. Th thì, m i nghi m {xn }n∈N−m , xi ∈ intI, i = −m, 0 c a phương trình µ 1 xn+1 = xn + f (xn−m ), µ>0 µ+1 µ+1 h i t t i x.
  6. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 357 Đ t I là đo n [0, f(y0 )]. Rõ ràng hàm f đưa I vào chính nó. T (4.55) ta có xn ∈ I v i t t c n tr m t s h u h n ch s n. M t khác, vì x là nghi m dương duy nh t c a phương trình x = λx + F (x) nên nó cũng là nghi m dương duy nh t c a phương trình f (x) = x. Đi u này có nghĩa x ∈ intI là đi m c đ nh duy nh t c a f . Ta có b đ sau: B đ 6.4. Gi s r ng limn→∞ f n (x) = x v i t t c x ∈ I. Th thì m i nghi m gi i n i ng t c a (4.43) h i t t i x. Ch ng minh: Như đã đ c p trên v i m t nghi m gi i n i ng t {xn }n ta ph i có xn ∈ I v i t t c n tr m t s h u h n ch s n. Vì v y không m t tính t ng quát ta gi s r ng xn ∈ I v i m i n. Theo đ nh lý 6.44 ta có đi u ph i ch ng minh. B đ 6.5. Gi s hàm f có đ o hàm đ n c p 3 trên I, |f (x)| 1 và đ o hàm Schwarzian f (x) 3 f (x) Sf (x) = − 2 f (x) 2 f (x) c a f âm trong I \ {x}. Th thì limn→∞ f n (x) = x v i t t c x ∈ I. Phép ch ng minh c a b đ 6.5 có th tìm th y [?], [?]. B đ 6.4 và 6.5 cho ta đ nh lý sau: Đ nh lý 6.45. Gi s hàm f có đ o hàm đ n c p 3 trên I, |f (x)| 1 và đ o hàm Schwarzian f (x) 3 f (x) Sf (x) = − 2 f (x) 2 f (x) c a f âm trong I \ {x}. Th thì m i nghi m gi i n i ng t c a (4.43) h i t t i x.
  7. 358 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Bây gi chúng ta nghiên c u hi u su t c a ch m m đ i v i s h i t c a nghi m phương trình (4.43) t i tr ng thái cân b ng dương x. Ta gi thi t f (y0 ) > y0 . Đi u này kéo theo x > y0 . M nh đ 6.3. V i m i nghi m gi i n i ng t {xn }n c a (4.43) ta có λm+1 x < lim inf xn x lim sup xn f (y0 ). n→∞ n→∞ Ch ng minh: G i {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z là các nghi m có ngu n g c c a phương trình (4.43) v i P0 = lim supn→∞ xn và Q0 = lim inf n→∞ xn . Ta có Q0 = λQ−1 + F (Q−1−m ) λQ0 + F (Q−1−m ), do đó Q0 f (Q−1−m ). Nhưng Q0 Q−1−m , vì v y Q−1−m f (Q−1−m ). M t khác, ta có y < f(y) v i m i y ∈ (0, x). Vì v y, Q−1−m x. T đây suy ra P0 x. Hơn n a, t công th c bi n thiên h ng s ta có Q0 = λQ−1 + F (Q−1−m) = λ(λQ−2 + F (Q−2−m )) + F (Q−1−m ) = λ2 Q−2 + λF (Q−2−m ) + F (Q−1−m) m = λm+1 Q−1−m + λj F (Q−1−m−j ) > λm+1 x. j=0 M t khác, P0 = λP−1 + F (P−1−m ) λP0 + F (P−1−m ), nên P0 f (P−1−m ) < f (y0 ). Nhưng P0 P−1−m , do đó P−1−m f (P−1−m ). M t khác, ta có y > f (y) v i m i y ∈ (x, ∞). Vì v y, P−1−m x. T đây suy ra Q0 x. M nh đ đư c ch ng minh. Đ nh lý 6.46. Gi s t n t i các h ng s dương L1 , L2 sao cho hàm f tho mãn đi u ki n 0 f (x) − x L1 (x − x) v i m i x ∈ [λm+1 x, x],
  8. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 359 0 x − f (x) L2 (x − x) v i m i x ∈ [x, f(y0 )]. (4.58) Khi đó m i nghi m gi i n i ng t {xn }n c a (4.43) h i t đ n x n u 1 λm+1 > 1 − √ . L1 L2 Ch ng minh: G i {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z là các nghi m có ngu n g c c a phương trình (4.43) v i P0 = lim supn→∞ xn và Q0 = lim inf n→∞ xn . T m nh đ 6.3 ta có λm+1 x < Q0 P−m−1 x Q−m−1 P0 f (y0 ). T công th c bi n thiên h ng s ta có m m+1 x − Q0 = x − λ Q−1−m − λj F (Q−1−m−j ) j=0 m m+1 x 1−λ − (1 − λ) λj f (Q−1−m−j ) j=0 m = (1 − λ) λj (x − f (Q−1−m−j )) j=0 (1 − λ) λj (x − f (Q−1−m−j )) {0 j m: x f (Q−1−m−j )} m+1 (1 − λ )(P0 − x)L2 . Tương t , m m+1 P0 − x = λ P−1−m − x + λj F (P−1−m−j ) j=0 m m+1 (λ − 1)x + (1 − λ) λj f (P−1−m−j ) j=0 m = (1 − λ) λj (f (P−1−m−j ) − x) j=0 (1 − λ) λj (f (P−1−m−j ) − x) {0 j m: f (P−1−m−j ) x}
  9. 360 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân m = (1 − λ) λj L1(x − Q0) j=0 m+1 = 1−λ L1 (x − Q0) 2 1 − λm+1 L1 L2 P0 − x . Nhưng t gi thi t c a ta, 2 1 − λm+1 L1 L2 < 1, nên P0 = Q0 = x. Đ nh lý đư c ch ng minh. M nh đ 6.4. Gi s các gi thi t c a đ nh lý 6.46 đư c tho mãn. Cho m0 0 là m t s nguyên sao cho m0 < m và 1 λm0 +1 > 1 − √ . L1 L2 Th thì m i nghi m (khác h ng) {xn }n c a (4.43) không tu n hoàn v i chu kì m − m0 . Ch ng minh: Gi s trái l i, t c t n t i {xn }n là m t nghi m tu n hoàn (khác h ng) v i chu kì m − m0 . Th thì {xn }n là nghi m c a phương trình xn+1 = λxn + F (xn−m0 ). Ch m trong phương trình này là m0 , nên áp d ng đ nh lý 6.46, ta có lim xn = x. n→∞ Nhưng {xn }n là dãy tu n hoàn nên xn = x v i m i n. Đi u này mâu thu n v i gi thi t {xn }n là nghi m khác h ng. M nh đ đư c ch ng minh. Trên đây ta đã nghiên c u hi u su t c a ch m m đ i v i s h i t c a nghi m phương trình (4.43). Ta đã ch ng minh r ng v i ch m nh và F là hàm phi tuy n hình chuông, thì m i nghi m gi i n i ng t h i t đ n tr ng thái
  10. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 361 cân b ng dương x. Bây gi ta s nghiên c u tính tu n hoàn c a nghi m trong trư ng h p ch m m đ l n. V i gi thi t f (x) > x khi x < x và f (x) < x khi x > x, ta đã ch ng minh r ng t t c các nghi m gi i n i ng t {xn }n c a (4.43) th a mãn λm+1 x < lim inf xn x lim sup xn max f (x). (4.59) n→∞ n→∞ λm+1 x x x H qu là, n u m t nghi m gi i n i ng t không dao đ ng xung quanh tr ng thái cân b ng dương x, thì nó ph i h i t đ n x. Cũng v y, rõ ràng r ng m i nghi m tu n hoàn khác h ng s ph i dao đ ng xung quanh x. Cho nên, trong m c này ta ch quan tâm nghi m dao đ ng xung quanh tr ng thái cân b ng dương x. Ta gi s t n t i m t đo n compact I = [a, b] x sao cho f (I) ⊆ I, f (x) > x v i x ∈ (a, x) và f (x) < x v i x ∈ (x, b]. Kí hi u K là kh i [x, b]m+1 . Rõ ràng, K là t p l i compact c a Rm+1 . Ta nghiên c u nghi m dao đ ng c a (4.43) xu t phát t K. M nh đ 6.5. Gi s {xn }n là m t nghi m c a (4.43) xu t phát t K. Th thì xn ∈ I v i t t c n ∈ N. Ch ng minh: Ta ch ng minh quy n p theo n. Gi s xk ∈ I = [a, b] v i t t c k n. Th thì xn+1 = λxn + (1 − λ)f (xn−m ) λa + (1 − λ)a = a, b i vì f ánh x đo n I vào chính nó. Tương t , xn+1 b, và do đó, xn+1 ∈ I. M nh đ đư c ch ng minh. M nh đ 6.6. T n t i m t nghi m dao đ ng c a (4.43) xu t phát t K. Ch ng minh: Gi s trái l i r ng m i nghi m xu t phát t K là không dao đ ng. Th thì t (4.59) ta suy ra t t c các nghi m đ u h i t đ n tr ng thái
  11. 362 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân cân b ng x. M t khác, xét ánh x K : K −→ K (x−m , x−m+1 , · · · , x0) → (xm , xm+1 , · · · , x2m). Rõ ràng K là m t ánh x liên t c. Đ nh (¯, x, · · · , x) là m t đi m b t đ ng x ¯ ¯ c c biên c a ánh x K. Theo đ nh lý đi m b t đ ng (không c c biên) Browder (xem [?]), K có m t đi m b t đ ng khác bên trong K. G i {yn }n là m t nghi m c a (4.43) xu t phát t đi m b t đ ng này. Th thì {yn }n là m t nghi m tu n hoàn khác h ng c a (4.43). Đi u này mâu thu n v i gi thi t r ng m i nghi m xu t phát t K h i t t i tr ng thái cân b ng dương. M nh đ đư c ch ng minh. Đ nh nghĩa 6.14. M t nghi m {xn }n c a (4.43) xu t phát t K đư c g i là dao đ ng ch m xung quanh tr ng thái cân b ng dương x n u t n t i dãy các s nguyên dương n1 < n2 < · · · < nk < · · · sao cho nk+1 − nk > m và xn2k , xn2k +1 , · · · , xn2k +m x, xn2k−1 , xn2k−1 +1 , · · · , xn2k−1 +m < x v i t t c các s nguyên dương k. M nh đ 6.7. M i nghi m dao đ ng c a (4.43) xu t phát t K là dao đ ng ch m. Ch ng minh: Xét m t nghi m dao đ ng {xn }n xu t phát t K. T đ nh nghĩa c a K ta có x−m , x−m+1 , · · · , x0 x. Gi s n1 là ch s nh nh t sao cho xn1 < x. Th thì xn1 , xn1 +1 , · · · , xn1 +m < x. Th t v y, gi s trái l i, t c là có k ∈ [0, m) sao cho xn1 +k+1 x và xn1 +k < x. Khi đó, (1 − λ)f (xn1 +k−m ) = xn1 +k+1 − λxn1 +k > x − λx,
  12. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 363 suy ra f (xn1 +k−m ) > x. Nh gi thi t trên hàm f , ta nh n đư c xn1 +k−m < x. Đi u này mâu thu n v i tính nh nh t c a n1 . Vì v y, xn1 , xn1 +1 , · · · , xn1 +m < x. Bây gi gi s n2 > n1 là ch s nh nh t sao cho xn2 x. Rõ ràng, n2 > n1 +m. Ta s ch ng minh r ng xn2 , xn2 +1 , · · · , xn2 +m x. Th t v y, gi s trái l i, t n t i k ∈ [0, m) tho mãn xn2 +k+1 < x và xn2 +k x. Khi đó, (1 − λ)f (xn2 +k−m ) = xn2 +k+1 − λxn2 +k < x − λx, kéo theo f (xn2 +k−m ) < x. Nh gi thi t c a hàm f , ta nh n đư c xn2 +k−m > x. Đi u này mâu thu n v i tính nh nh t c a n2 . Vì v y, (xn2 , xn2 +1 , · · · , xn2 +m ) ∈ K. B ng quy n p, ta có th xác đ nh dãy n1 < n2 < · · · < nk < · · · các s nguyên dương sao cho nk+1 − nk > m và xn2k , xn2k +1 , · · · , xn2k +m x, xn2k+1 , xn2k+1 +1 , · · · , xn2k+1 +m < x v i t t c các s nguyên dương k. M nh đ đư c ch ng minh. Bây gi ta nghiên c u s t n t i nghi m tu n hoàn không t m thư ng c a (4.43) khi ch m m đ l n. Tuy n tính hoá (4.43) t i tr ng thái cân b ng (đ t xn = x + yn , v i > 0 là m t s nh tuỳ ý) ta đư c yn+1 = λyn + F (x)yn−m . Tìm nghi m dư i d ng yn = z n , ta nh n đư c phương trình đ c trưng z m+1 = λz m + F (x).
  13. 364 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân S n đ nh tuy n tính đây đư c xác đ nh nh đ l n c a z. Đi u ki n n đ nh là | z |< 1 và không n đ nh khi | z |> 1. Trư ng h p | z |= 1 thì hi n tư ng r nhánh Hopf x y ra. H s r nhánh đư c xác đ nh như sau: Ch n z = cos θ + i sin θ và đ t D = F (x), ta có (cos θ + i sin θ)m+1 = λ(cos θ + i sin θ)m + D, cos(m + 1)θ + i sin(m + 1)θ = λ(cos mθ + i sin mθ) + D. T đây ta nh n đư c cos(m + 1)θ = λ cos mθ + D, sin(m + 1)θ = λ sin mθ. Suy ra 1 = λ2 + D2 + 2λD cos mθ, hay 1 − λ2 − D 2 cos mθ = , 2λD hay 1 − λ2 − D 2 mθ = arccos . 2λD M t khác, ta cũng có cos mθ cos θ − sin mθ sin θ = λ cos mθ + D, sin mθ cos θ + cos mθ sin θ = λ sin mθ. Gi i h này ta đư c 1 + λ2 − D 2 cos θ = , 2λ hay 1 + λ2 − D 2 θ = arccos . 2λ
  14. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 365 Do đó, h s r nhánh là 2 2 ∗ arccos 1−λ −D 2λD m = 2 2 , arccos 1+λ2λ −D trong đó F (x) ∈ [−1 − λ, −1 + λ] ∪ [1 − λ, 1 + λ]. Theo nguyên lý r nhánh Hopf ta có k t qu sau cho s t n t i nghi m tu n hoàn không t m thư ng c a (4.43). Đ nh lý 6.47. N u hàm F kh vi t i x và ch m m tho mãn đi u ki n 2 2 arccos 1−λ −D 2λD m> 2 2 D = F (x) ∈ [−1−λ, −1+λ]∪[1−λ, 1+λ] (4.60) arccos 1+λ2λ −D thì (4.43) nh n m t nghi m tu n hoàn không t m thư ng, xu t phát t K và dao đ ng ch m xung quanh tr ng thái cân b ng dương x. Đ nh nghĩa 6.15. M t nghi m {xn }n c a mô hình qu n th (4.43) đư c g i là di t vong n u limn→∞ xn = 0; đư c g i là trư ng t n n u 0 < lim inf xn lim sup xn < ∞ n→∞ n→∞ và đư c g i là phát tri n b n v ng n u t n t i gi i h n limn→∞ xn ∈ (0, ∞). Ví d 6.51. (Mô hình qu n th chim cút bang Wisconsin) Kh o sát s di t vong, trư ng t n, phát tri n b n v ng và tu n hoàn c a mô hình qu n th chim cút bang Wisconsin h p ch ng qu c Hoa Kỳ µxn−m xn+1 = λxn + (0 < λ < 1, µ, k > 0). 1 + xk n−m Phương trình này thu c d ng (4.43) v i µx F (x) F (x) = , f (x) = . 1 + xk 1−λ S di t vong
  15. 366 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân N u λ+µ 1 hay µ 1 − λ thì µx (1 − λ)x F (x) = < (1 − λ)x, x > 0. 1 + xk 1 + xk Theo đ nh lý 6.39 ta có limn→∞ xn = 0. S trư ng t n Ti p theo ta xét λ + µ > 1. Đ t 1 H(x, y) = µx . 1 + yk Rõ ràng, H là hàm đ ng bi n trên [0, +∞) đ i v i x và ngh ch bi n trên [0, +∞) đ i v i y; hơn n a H liên t c và F (x) = H(x, x). Ta có 1 µx 1+yk µ lim sup = lim sup = 0 < 1 − λ, (x,y)→(∞,∞) x y→∞ 1 + yk 1 µx 1+yk µ lim inf = lim inf = µ > 1 − λ. (x,y)→(0,0) x y→0 1 + yk V y theo đ nh lý 6.40 ta có 0 < lim inf xn lim sup xn < ∞. n→∞ n→∞ b S phát tri n b n v ng Ta có 1 + (1 − k)xk F (x) = µ · . (1 + xk )2 Do đó n u k 1 thì F (x) > 0 và F là hàm đ ng bi n. Hơn n a các đi u ki n (4.49) và (4.50) c a đ nh lý 6.41 đư c th a mãn. T c là F (x) µ lim sup = lim sup k = 0 < 1 − λ, x→∞ x x→∞ 1 + x F (x) µ lim inf = lim inf = µ > 1 − λ. x→0 x x→0 1 + xk
  16. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 367 µx Xét phương trình F (x) = (1 − λ)x, x > 0 ta có 1+xk = (1 − λ)x t đó ta k λ+µ−1 thu đư c x = 1−λ duy nh t (vì x > 0). Theo đ nh lý 6.41 ta có k λ+µ−1 lim xn = . n→∞ 1−λ Bây gi ta xét trư ng h p k > 1. Trong trư ng h p này dùng đ nh lý 6.43 ta tính đư c F (x) = 0 =⇒ 1 + (1 − k)xk = 0 k 1 =⇒ x = > 0. k−1 1 Xét y0 = k k−1 > 0 ta có F (y0) = max F (x) x 0 µy0 (k − 1)µ F (y0) = k = y0 1 + y0 k µ và ta nh n đư c r ng n u 0 < k < λ+µ−1 thì 1 λ+µ−1 F (y0) = (1 − )µy0 (1 − )µy0 = (1 − λ)y0 , k µ t đó suy ra k λ+µ−1 lim xn = . n→∞ 1−λ Ti p theo ta xét trư ng h p µ k> . λ+µ−1 Đ áp d ng đ nh lí 6.45, trư c h t ta tính f (x). Ta có 1 f (x) = {µ − k(λ + µ − 1)}. µ Ta c n tìm đi u ki n đ | f (x) | 1. Đi u này cho ta 2µ k . λ+µ−1
  17. 368 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Ta s ch ng minh r ng v i k 2 đ o hàm Schwarzian Sf là âm trên đo n [0, f(y0 )]. Ta có k(k − 1)xk {(k − 1)(k − 2)xk + 2(k + 1)} Sf (x) = − . 2x2 {(k − 1)xk − 1}2 Vì v y Sf (x) < 0 v i m i x > 0 n u k 2. Trong trư ng h p 1 < k < 2 ta ph i gi thi t thêm r ng µ k 2(k + 1) k · 1−λ 2−k k−1 đ nh n đư c s n đ nh ti m c n toàn c c c a x. Th t v y, đi u ki n đ đ o hàm Schwarzian âm trong [0, f(y0)] là (k − 1)(k − 2)xk + 2(k + 1) > 0 k 2(k + 1) k 1 k 2(k + 1) ⇐⇒ x < = · y0 . 2−k k−1 2−k Ngoài ra ta còn c n k 2(k + 1) (k − 1)µ · y0 f (y0 ) = · y0 2−k k(1 − λ) k 2(k + 1) (k − 1)µ 2−k k(1 − λ) µ k 2(k + 1) k · . 1−λ 2−k k−1 Đ áp d ng đ nh lí 6.46 ta tìm s L sao cho |f (x) − x| L|x − x| v i m i x ∈ [y0, f(y0 )]. Ta có F (x) µ [(1 + xk ) − kxk−1 x] µ [1 + (1 − k)xk ] f (x) = = = . 1−λ 1−λ (1 + xk )2 1 − λ (1 + xk )2 Đ t µ [1 + (1 − k)y] φ(y) = , v i y = xk . 1 − λ (1 + y)2
  18. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 369 Vì φ(y) luôn âm nên ta xét µ (k − 1)y − 1 k ϕ(y) =| φ(y) |= , y y0 . 1 − λ (1 + y)2 D dàng tính đư c µ ϕ (y) = [(1 − k)y 2 + 2y + k + 1] (1 − λ)(1 + y)4 k+1 và phương trình ϕ (y) = 0 có 2 nghi m y1 = −1, y2 = k−1 . V y k+1 µ (k − 1)2 max ϕ(y) = ϕ( )= · = L = L1 = L2 . k y∈[y0 ,f (y0 )k ] k−1 1−λ 4k Do đó, n u 1 λm+1 > 1 − L và n u f (λm+1 x) x, t c là, n u λ+µ−1 1 − λm+1 , 1−λ λm+1 − λ(m+1)k thì ta có lim xn = x n→∞ v i m i nghi m {xn }n c a (4.43). T ng h p l i các k t qu trên ta đư c: N u λ+µ 1 thì m i nghi m di t vong. N u λ + µ > 1 thì m i nghi m trư ng t n. V i đi u ki n này thì tr ng thái cân b ng dương duy nh t c a mô hình là k λ+µ−1 x= . 1−λ Khi đó m i nghi m phát tri n b n v ng (limn→∞ xn = x) n u m t trong hai đi u ki n sau đây tho mãn: µ 2µ (i) k ∈ 0, λ+µ−1 ∪ 2, λ+µ−1 , 4k 1−λ 1−λm+1 λ+µ−1 (ii) 1 − λm+1 < (k−1)2 · µ và λm+1 −λ(m+1)k 1−λ .
  19. 370 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Nh n xét 6.7. K t qu này là m i và có ý nghĩa, b i vì trư c đây (xem [?], [?], [?]), các tác gi đã ch ng minh s n đ nh toàn c c v i t t c các ch m, tuy nhiên s d ng thêm gi thi t khác. Trong [?] các tác gi đã ch ng minh r ng n u 2 µ k< · 1−λ λ+µ−1 thì tr ng thái cân b ng dương x là n đ nh ti m c n đ a phương. K t qu c a ta là n đ nh ti m c n toàn c c nên đòi h i ph i thêm đi u ki n v các tham s . Bây gi ta nghiên c u tính ch t tu n hoàn c a nghi m. Gi s 2µ k 1 k> và y0 = . λ+µ−1 k−1 Th thì (k − 1)µ F (y0) = y0 = max F (x), k x 0 và 1−λ F (x) = [µ − k(λ + µ − 1)] < 0. µ Rõ ràng, f (y0) > y0 và f đơn đi u tăng trong đo n [y0, f(y0 )]. T n t i m t đo n đóng I = [a, b] ⊆ [y0, f(y0)] sao cho f ánh x đo n này vào chính nó. Khi đó, v i ch m m đ l n t n t i m t nghi m tu n hoàn khác h ng s xu t phát t kh i [x, b]m+1. Chú ý r ng, đ nh n đư c (4.60) đòi h i ph i có 2µ 1 k< · . λ+µ−1 1−λ Ví d 6.52. (Mô hình qu n th ru i xanh Nicholson). Kh o sát s di t vong, trư ng t n, phát tri n b n v ng và tu n hoàn c a mô hình qu n th ru i xanh Nicholson xn+1 = λxn + pxn−m e−qxn−m , λ ∈ (0, 1), p, q ∈ (0, ∞).
  20. 6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 371 Phương trình này thu c d ng (4.43) v i F (x) F (x) = pxe−qx , f (x) = . 1−λ Rõ ràng, hàm phát tri n trong mô hình này là hàm hình chuông v i b t kì p, q ∈ (0, ∞); trong khi đó, v i 0 < k 1 thì hàm phát tri n trong mô hình qu n th chim cút là hàm đơn đi u tăng trên [0, ∞). Ta d dàng nh n đư c các đi u ki n sau cho s di t vong, trư ng t n, phát tri n b n v ng và tu n hoàn c a qu n th ru i xanh Nicholson: N up 1 − λ thì m i nghi m di t vong. N u p > 1 − λ thì m i nghi m trư ng t n. N u p > 1 − λ thì tr ng thái cân b ng dương duy nh t là 1 p x= ln . q 1−λ Khi đó n u m t trong 2 đi u ki n sau tho mãn thì m i nghi m là phát tri n b n v ng: (i) p e2 (1 − λ), p−(1−λ)e2 ln (ii) e2 (1 − λ) < p < e2 và m < pλ ln λ . N up e2 và p 1−λ2 −[(1−λ)(1−ln 1−λ )]2 arccos p 2λ[(1−λ)(1−ln 1−λ )] m> 1+λ2 −[(1−λ)(1−ln p )]2 1−λ arccos 2λ thì t n t i nghi m tu n hoàn khác h ng s . Bài t p
Đồng bộ tài khoản