Bộ đề ôn thi vào THPT

Chia sẻ: Tran Minh Nhut | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

0
218
lượt xem
103
download

Bộ đề ôn thi vào THPT

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về bộ đề ôn thi vào THPT

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bộ đề ôn thi vào THPT

  1. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 §Ò 1 Bài 1 : (2 đi m) a) Tính : b) Gi i h phương trình : Bài 2 : (2 đi m) Cho bi u th c : a) Rút g n A. b) Tìm x nguyên đ A nh n giá tr nguyên. Bài 3 : (2 đi m) M t ca nô xuôi dòng t b n sông A đ n b n sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng t A v B m t bè n a trôi v i v n t c dòng nư c là 4 km/h. Khi đ n B ca nô quay l i ngay và g p bè n a t i đ a đi m C cách A là 8 km. Tính v n t c th c c a ca nô. Bài 4 : (3 đi m) Cho đư ng tròn tâm O bán kính R, hai đi m C và D thu c đư ng tròn, B là trung đi m c a cung nh CD. K đư ng kính BA ; trên tia đ i c a tia AB l y đi m S, n i S v i C c t (O) t i M ; MD c t AB t i K ; MB c t AC t i H. a) Ch ng minh ∠ BMD = ∠ BAC, t đó => t giác AMHK n i ti p. b) Ch ng minh : HK // CD. c) Ch ng minh : OK.OS = R2. Bài 5 : (1 đi m) Cho hai s a và b khác 0 th a mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Ch ng minh phương trình n x sau luôn có nghi m : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. H−íng dÉn gi¶i B i 3: Do ca n« xuÊt ph¸t tõ A cïng víi bÌ nøa nªn thêi gian cña ca n« b»ng thêi gian bÌ nøa: 8 = 2 (h) 4 Gäi vËn tèc cña ca n« l x (km/h) (x>4) 24 24 − 8 24 16 Theo b i ta cã: + =2⇔ + =2 x+4 x−4 x+4 x−4 x = 0 ⇔ 2 x 2 − 40 x = 0 ⇔   x = 20 Vëy vËn tèc thùc cña ca n« l 20 km/h Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 1
  2. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 B i 4: a) Ta cã BC = BD (GT) → BMD = BAC (2 gãc B néi tiÕp ch¾n 2 cung b¨ng nhau) * Do BMD = BAC → A, M nh×n HK d−êi 1 gãc C D b»ng nhau → MHKA néi tiÕp. b) Do BC = BD (do BC = BD ), OC = OD (b¸n kÝnh) → OB l ®−êng trung trùc cña CD → CD ⊥ AB (1) O Xet MHKA: l tø gi¸c néi tiÕp, AMH = 900 (gãc nt ch¾n nöa ®−êng trßn) → HKA = 1800 − 900 = 900 H K (®l) → HK ⊥ AB (2) M A Tõ 1,2 → HK // CD S B i 5:  x 2 + ax + b = 0 (*) ( x 2 + ax + b)( x 2 + bx + a ) = 0 ⇔  2  x + bx + a = 0 (**) 1 1 (*) → ∆ = α 2 − 4b , §Ó PT cã nghiÖm a 2 − 4b ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ 4b ⇔ ≥ (3) a 2 b 1 1 (**) → ∆ = b 2 − 4a §Ó PT cã nghiÖm th× b 2 − 4a ≥ 0 ⇔ ≥ (4) b 2 a 1 1 1 1 Céng 3 víi 4 ta cã: + ≥ + a b 2 a 2 b 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔  +  ≤ ⇔ ≤ (lu«n lu«n ®óng víi mäi a, b) 2 a 2 b 2 4a 4b 4 4a b 4 8 4 De 2 Đ thi g m có hai trang. PH N 1. TR C NGHI M KHÁCH QUAN : (4 đi m) 3 1. Tam giác ABC vuông t i A có tgB = . Giá tr cosC b ng : 4 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 2
  3. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 3 4 5 5 a). cos C = ; b). cos C = ; c). cos C = ; d). cos C = 5 5 3 4 2. Cho m t hình l p phương có di n tích toàn ph n S1 ; th tích V1 và m t hình c u có V1 di n tích S2 ; th tích V2. N u S1 = S2 thì t s th tích b ng : V2 V1 6 V1 π V1 4 V1 3π a). = ; b). = ; c). = ; d). = V2 π V2 6 V2 3π V2 4 3. Đ ng th c x 4 − 8 x 2 + 16 = 4 − x 2 x y ra khi và ch khi : a). x ≥ 2 ; b). x ≤ –2 ; c). x ≥ –2 và x ≤ 2 ; d). x ≥ 2 ho c x ≤ –2 4. Cho hai phương trình x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. Đ hai phương trình cùng vô nghi m thì : 1 1 a). a > 1 ; b). a < 1 ; c). a > ; d). a < 8 8 5. Đi u ki n đ phương trình x 2 − (m 2 + 3m − 4) x + m = 0 có hai nghi m đ i nhau là : a). m < 0 ; b). m = –1 ; c). m = 1 ; d). m = – 4 6. Cho phương trình x 2 − x − 4 = 0 có nghi m x1 , x2. Bi u th c A = x13 + x2 có giá tr : 3 a). A = 28 ; b). A = –13 ; c). A = 13 ; d). A = 18  x sin α − y cos α = 0 7. Cho góc α nh n, h phương trình  có nghi m :  x cos α + y sin α = 1  x = sin α  x = cos α x = 0  x = − cos α a).  ; b).  ; c).  ; d).   y = cos α  y = sin α y = 0  y = − sin α 8. Di n tích hình tròn ngo i ti p m t tam giác đ u c nh a là : 3π a 2 π a2 a). π a 2 ; b). ; c). 3π a 2 ; d). 4 3 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 3
  4. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 PH N 2. T LU N : (16 đi m) Câu 1 : (4,5 đi m) 1. Cho phương trình x 4 − ( m 2 + 4m) x 2 + 7 m − 1 = 0 . Đ nh m đ phương trình có 4 nghi m phân bi t và t ng bình phương t t c các nghi m b ng 10. 3 2. Gi i phương trình: 4 2 + 5 = 3 x 2 ( x 2 + 1) x + x +1 Câu 2 : (3,5 đi m) 1. Cho góc nh n α. Rút g n không còn d u căn bi u th c : P = cos 2 α − 2 1 − sin 2 α + 1 2. Ch ng minh: (4 + 15 )( 5− 3 ) 4 − 15 = 2 Câu 3 : (2 đi m) V i ba s không âm a, b, c, ch ng minh b t đ ng th c : 2 a + b + c +1 ≥ 3 ( ab + bc + ca + a + b + c ) Khi nào đ ng th c x y ra ? Câu 4 : (6 đi m) Cho 2 đư ng tròn (O) và (O’) c t nhau t i hai đi m A, B phân bi t. Đư ng th ng OA c t (O), (O’) l n lư t t i đi m th hai C, D. Đư ng th ng O’A c t (O), (O’) l n lư t t i đi m th hai E, F. 1. Ch ng minh 3 đư ng th ng AB, CE và DF đ ng quy t i m t đi m I. 2. Ch ng minh t giác BEIF n i ti p đư c trong m t đư ng tròn. 3. Cho PQ là ti p tuy n chung c a (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Ch ng minh đư ng th ng AB đi qua trung đi m c a đo n th ng PQ. -----H T----- Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 4
  5. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 ĐÁP ÁN PH N 1. TR C NGHI M KHÁCH QUAN : (4 đi m) 0,5đ × 8 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 a). x x b). x x c). x x d). x x PH N 2. T LU N : Câu 1 : (4,5 đi m) 1. Đ t X = x2 (X ≥ 0) Phương trình tr thành X 4 − (m 2 + 4m) X 2 + 7 m − 1 = 0 (1) Phương trình có 4 nghi m phân bi t ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t dương + ∆ > 0 (m + 4m) − 4(7m − 1) > 0 2 2   ⇔  S > 0 ⇔  m 2 + 4m > 0 (I) + P > 0 7 m − 1 > 0   V i đi u ki n (I), (1) có 2 nghi m phân bi t dương X1 , X2. ⇒ phương trình đã cho có 4 nghi m x1, 2 = ± X 1 ; x3, 4 = ± X 2 ⇒ x12 + x2 + x3 + x4 = 2( X 1 + X 2 ) = 2(m2 + 4m) 2 2 2 + m = 1 V y ta có 2(m 2 + 4m) = 10 ⇒ m 2 + 4m − 5 = 0 ⇒  +  m = −5 V i m = 1, (I) đư c th a mãn + V i m = –5, (I) không th a mãn. + V y m = 1. 2. Đ t t = x 4 + x 2 + 1 (t ≥ 1) 3 Đư c phương trình + 5 = 3(t − 1) + t 3t2 – 8t – 3 = 0 1 ⇒t=3; t=− (lo i) + 3 V y x4 + x2 + 1 = 3 ⇒ x = ± 1. + Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 5
  6. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 Câu 2 : (3,5 đi m) 1. P = cos 2 α − 2 1 − sin 2 α + 1 = cos 2 α − 2 cos 2 α + 1 P = cos 2 α − 2cos α + 1 (vì cosα > 0) + P = (cos α − 1)2 + P = 1 − cos α (vì cosα < 1) + 2. 2 (4 + 15 )( 5− 3 ) 4 − 15 = ( 5− 3) ( 4 + 15 ) ( 4 − 15 ) + = ( 5 − 3 ) 4 + 15 2 = ( 5 − 3 ) ( 4 + 15 ) + = ( 8 − 2 15 )( 4 + 15 ) + = 2 + Câu 3 : (2 đi m) 2 ( a− b ) ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab + Tương t , a+c≥ 2 ac b+c≥ 2 bc a +1 ≥ 2 a + b +1 ≥ 2 b c +1 ≥ 2 c C ng v v i v các b t đ ng th c cùng chi u trên ta đư c đi u ph i ch ng minh. + Đ ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1 + Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 6
  7. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 Câu 4 : (6 đi m) I E D A + O O’ B C F Q H P 1. Ta có : ABC = 1v ABF = 1v ⇒ B, C, F th ng hàng. + AB, CE và DF là 3 đư ng cao c a tam giác ACF nên chúng đ ng quy. ++ 2. ECA = EBA (cùng ch n cung AE c a (O) + Mà ECA = AFD (cùng ph v i hai góc đ i đ nh) + ⇒ EBA = AFD hay EBI = EFI + ⇒ T giác BEIF n i ti p. + 3. G i H là giao đi m c a AB và PQ Ch ng minh đư c các tam giác AHP và PHB đ ng d ng + HP HA ⇒ = ⇒ HP2 = HA.HB + HB HP Tương t , HQ2 = HA.HB + ⇒ HP = HQ ⇒ H là trung đi m PQ. + Lưu ý : - M i d u “+” tương ng v i 0,5 đi m. - Các cách gi i khác đư c hư ng đi m t i đa c a ph n đó. - Đi m t ng ph n, đi m toàn bài không làm tròn. §Ò 3 I.Tr¾c nghiÖm:(2 ®iÓm) Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 7
  8. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 H y ghi l¹i mét ch÷ c¸i ®øng tr−íc kh¼ng ®Þnh ®óng nhÊt. C©u 1: KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh ( 8 18 − 2 98 + 72 ) : 2 l : A.4 B . 5 2 +6 C . 16 D . 44 C©u 2 : Gi¸ trÞ n o cña m th× ph−¬ng tr×nh mx2 +2 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt : A. m ≠ 0 B. m < 1 C. m ≠ 0 v m < 1 D. m ≠ 0 v m < 1 4 4 C©u 3 :Cho ABC néi tiÕp ®−êng trßn (O) cã B = 600 ; C = 450 . S® BC l : A . 750 B . 1050 C . 1350 D . 1500 C©u 4 : Mét h×nh nãn cã b¸n kÝnh ®−êng trßn ®¸y l 3cm, chiÒu cao l 4cm th× diÖn tÝch xung quanh h×nh nãn l : A 9 π (cm2) B. 12 π (cm2) C . 15 π (cm2) D. 18 π (cm2) II. Tù LuËn: (8 ®iÓm) x +1− 2 x x + x C©u 5 : Cho biÓu thøc A= + x −1 x +1 a) T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa. b) Rót gän biÓu thøc A. c) Víi gi¸ trÞ n o cña x th× ABC). VÏ ®−êng trßn t©m (O') ®−êng kÝnh BC.Gäi I l trung ®iÓm cña AC. VÏ d©y MN vu«ng gãc víi AC t¹i I, MC c¾t ®−êng trßn t©m O' t¹i D. a) Tø gi¸c AMCN l h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh tø gi¸c NIDC néi tiÕp? c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ID v ®−êng trßn t©m (O) víi ®−êng trßn t©m (O'). Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 8
  9. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 §¸p ¸n C©u Néi dung §iÓm 1 C 0.5 2 D 0.5 3 D 0.5 4 C 0.5 5 x ≥ 0 x ≥ 0 a) A cã nghÜa ⇔   ⇔ 0.5  x −1 ≠ 0  x ≠ 1 2 0.5 b) A= ( ) x −1 + x ( x +1 ) x −1 x +1 = x −1 + x 0.25 =2 x − 1 0.25 c) A
  10. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 M D A I B O O' C N a) §−êng kÝnh AB ⊥ MN (gt) ⇒ I l trung ®iÓm cña MN (§−êng 0.5 kÝnh v d©y cung) IA=IC (gt) ⇒ Tø gi¸c AMCN cã ®−¬ng chÐo AC v MN c¾t nhau t¹i 0.5 trung ®iÓm cña mçi ®−êng v vu«ng gãc víi nhau nªn l h×nh thoi. b) ANB = 900 (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®−êng trßn t©m (O) ) ⇒ BN ⊥ AN. AN// MC (c¹nh ®èi h×nh thoi AMCN). ⇒ BN ⊥ MC (1) BDC = 900 (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®−êng trßn t©m (O') ) BD ⊥ MC (2) Tõ (1) v (2) ⇒ N,B,D th¼ng h ng do ®ã NDC = 900 (3). 0.5 NIC = 900 (v× AC ⊥ MN) (4) Tõ (3) v (4) ⇒ N,I,D,C cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh NC ⇒ Tø gi¸c NIDC néi tiÕp 0.5 c) O ∈ BA. O' ∈ BC m BA vafBC l hai tia ®èi nhau ⇒ B n»m gi÷a O v O' do ®ã ta cã OO'=OB + O'B ⇒ ®−êng trßn (O) v ®−êng trßn 0.5 (O') tiÕp xóc ngo i t¹i B 1 MDN vu«ng t¹i D nªn trung tuyÕn DI = MN =MI ⇒ MDI c©n 2 ⇒ IMD = IDM . T−¬ng tù ta cã O ' DC = O ' CD m IMD + O ' CD = 900 (v× MIC = 900 ) 0.25 0 0 0 ⇒ IDM + O ' DC = 90 m MDC = 180 ⇒ IDO ' = 90 do ®ã ID ⊥ DO ⇒ ID l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O'). 0.25 Chó ý: NÕu thÝ sinh l m c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 10
  11. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 §Ò 4 C©u1 : Cho biÓu thøc  x3 − 1  x 3 + 1  x(1 − x 2 ) 2 A=   + x   x + 1 − x :  Víi x≠ 2 ;±1  x −1   x2 − 2 .a, Ruý gän biÓu thøc A .b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x= 6 + 2 2 c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=3 C©u2.a, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ( x − y ) 2 + 3( x − y ) = 4  2 x + 3 y = 12 b. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x 3 − 4 x 2 − 2 x − 15 x = 2 C©u 2 : a)§Æt x - y= a ta ®−îc pt: a2+3a=4 => a=-1; a=-4 ( x − y ) 2 + 3( x − y ) = 4 Tõ ®ã ta cã  2 x + 3 y = 12 x − y = 1 * (1) 2 x + 3 y = 12  x − y = −4 * (2) 2 x + 3 y = 12 Gi¶i hÖ (1) ta ®−îc x=3, y=2 Gi¶i hÖ (2) ta ®−îc x=0, y=4 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm l x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4 b) Ta cã x3- 4x2- 2x- 15 = (x-5)(x2+x+3) m x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x VËy bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x-5>0 =>x>5 C©u 3: Ph−¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 • XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë th nh –x+1=0=> x=1 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 11
  12. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 • XÐt 2m-1≠0=> m≠ 1/2 khi ®ã ta cã ∆, = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) m − m +1 1 víi m≠ 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= = 2m − 1 2m − 1 1 pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1< 0 >0  2m − 1 =>  2m − 1 =>m E,F thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh BK hay 4 ®iÓm E,F,B,K thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh BK. B C O b. ∠ BCF= ∠ BAF M ∠ BAF= ∠ BAE=450=> ∠ BCF= 450 Ta cã ∠ BKF= ∠ BEF M ∠ BEF= ∠ BEA=450(EA l ®−êng chÐo cña h×nh vu«ng ABED)=> ∠ BKF=450 V× ∠ BKC= ∠ BCK= 450=> tam gi¸c BCK vu«ng c©n t¹i B Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 12
  13. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 §Ò 5  x x − 1 x x + 1   2(x − 2 x + 1)  B i 1: Cho biÓu thøc: P =   − :      x− x x+ x   x −1  a,Rót gän P b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. B i 2: Cho ph−¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) a.T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m. 3 3 b.T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m n x1 − x2 =50 B i 3: Cho ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng minh: a,Ph−¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt t1 v t2. b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥ 4 B i 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O . H l trùc t©m cña tam gi¸c. D l mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD l h×nh b×nh h nh. b, Gäi P v Q lÇn l−ît l c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua c¸c ®−êng th¼ng AB v AC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P; H; Q th¼ng h ng. c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é d i lín nhÊt. B i 5: Cho hai sè d−¬ng x; y tho¶ m n: x + y ≤ 1 1 501 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = 2 2 + x +y xy §¸p ¸n B i 1: (2 ®iÓm). §K: x ≥ 0; x ≠ 1 2 a, Rót gän: P = : ( 2 x(x − 1) 2 x − 1 z ) P= x −1 = x +1 x( x − 1) x −1 ( x − 1) 2 x −1 x +1 2 b. P = = 1+ x −1 x −1 §Ó P nguyªn th× Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 13
  14. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 x −1 = 1 ⇒ x = 2 ⇒ x = 4 x − 1 = −1 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0 x −1 = 2 ⇒ x = 3 ⇒ x = 9 x − 1 = −2 ⇒ x = −1( Loai ) VËy víi x= {0;4;9} th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. B i 2: §Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:  ( ∆ = (2m + 1)2 − 4 m 2 + m − 6 ≥ 0) ∆ = 25 > 0   2   x1 x 2 = m + m − 6 > 0 ⇔ (m − 2)(m + 3) > 0 ⇔ m < −3  x + x = 2m + 1 < 0  1  1  2 m < −  2 b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (m − 2)3 − (m + 3) 3 = 50 ⇔ 5(3m 2 + 3m + 7) = 50 ⇔ m 2 + m − 1 = 0  −1+ 5 m1 =  2 ⇔ m = − 1 − 5  2  2 B i 3: a. V× x1 l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0. . 2 1  1 1 V× x1> 0 => c.   1  + b. + a = 0. Chøng tá l mét nghiÖm d−¬ng cña ph−¬ng x  x1 x1 1 tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 = V× x2 l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x1 ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0 2 1 1 1 v× x2> 0 nªn c.   + b.  + a = 0 ®iÒu n y chøng tá x  x  l mét nghiÖm d−¬ng cña  2  2 x2 1 ph−¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 = x2 VËy nÕu ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d−¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× 1 ph−¬ng tr×nh : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 . t1 = ; t2 x1 1 = x2 b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu l nh÷ng nghiÖm d−¬ng nªn Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 14
  15. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 1 1 t1+ x1 = + x1 ≥ 2 t2 + x2 = + x2 ≥ 2 x1 x2 Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 ≥ 4 B i4 a. Gi¶ sö ® t×m ®−îc ®iÓm D trªn cung BC sao cho tø gi¸c BHCD l h×nh b×nh h nh . Khi ®ã: BD//HC; CD//HB v× H l trùc t©m tam gi¸c ABC nªn A CH ⊥ AB v BH ⊥ AC => BD ⊥ AB v CD ⊥ AC . Do ®ã: ∠ ABD = 900 v ∠ ACD = 900 . Q VËy AD l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn t©m O H O Ng−îc l¹i nÕu D l ®Çu ®−êng kÝnh AD P cña ®−êng trßn t©m O th× B C tø gi¸c BHCD l h×nh b×nh h nh. D b) V× P ®èi xøng víi D qua AB nªn ∠ APB = ∠ ADB nh−ng ∠ ADB = ∠ ACB nh−ng ∠ ADB = ∠ ACB Do ®ã: ∠ APB = ∠ ACB MÆt kh¸c: ∠ AHB + ∠ ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 Tø gi¸c APBH néi tiÕp ®−îc ®−êng trßn nªn ∠ PAB = ∠ PHB M ∠ PAB = ∠ DAB do ®ã: ∠ PHB = ∠ DAB Chøng minh t−¬ng tù ta cã: ∠ CHQ = ∠ DAC VËy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng h ng c). Ta thÊy ∆ APQ l tam gi¸c c©n ®Ønh A Cã AP = AQ = AD v ∠ PAQ = ∠ 2BAC kh«ng ®æi nªn c¹nh ®¸y PQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt AP v AQ l lín nhÊt hay AD l lín nhÊt D l ®Çu ®−êng kÝnh kÎ tõ A cña ®−êng trßn t©m O Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 15
  16. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 §Ò 6 x y xy B i 1: Cho biÓu thøc: P= − − ( x + y )(1 − y ) x + ( y) x +1 ) ( )( x + 1 1− y ) a). T×m ®iÒu kiÖn cña x v y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b). T×m x,y nguyªn tháa m n ph−¬ng tr×nh P = 2. B i 2: Cho parabol (P) : y = -x2 v ®−êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . a). Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt b). X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. B i 3: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : x + y + z = 9  1 1 1  + + =1 x y z  xy + yz + zx = 27  B i 4: Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB = 2R v C l mét ®iÓm thuéc ®−êng trßn (C ≠ A ; C ≠ B ) . Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C , kÎ tia Ax tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O), gäi M l ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC . Tia BC c¾t Ax t¹i Q , tia AM c¾t BC t¹i N. a). Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN v MCN c©n . b). Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R. 1 1 1 1 B i 5: Cho x, y, z ∈ R tháa m n : + + = x y z x+ y+z 3 H y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . 4 §¸p ¸n B i 1: a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh l :; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0 . *). Rót gän P: P = x(1 + x ) − y (1 − y ) − xy ( x + y ) = ( ( x − y ) + x x + y y − xy ) ( x + y ) ( x + y )(1 + x )(1 − y ) ( x + )( y 1+ )( x 1− y ) = ( x + y )( x − y +x− xy + y − xy ) ( x + )( )( y ) y 1+ x 1− x ( x + 1) − y ( x + 1) + y (1 + x )(1 − x ) = (1 + x )(1 − y ) x − y + y − y x x (1 − y )(1 + y ) − y (1 − y ) = = = x + xy − y. (1 − y ) (1 − y ) VËy P = x + xy − y. b). P = 2 ⇔ x + xy − y. = 2 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 16
  17. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 ⇔ ( x1+ ) ( y − ) y +1 =1 ( ⇔ x −1 1+ y =1 )( ) Ta cã: 1 + y ≥ 1 ⇒ x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay v o ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) v (2 ; 2) tho¶ m n B i 2: a). §−êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m v ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . Nªn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) l : y = mx + m – 2. Ho nh ®é giao ®iÓm cña (d) v (P) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: - x2 = mx + m – 2 ⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*) V× ph−¬ng tr×nh (*) cã ∆ = m 2 − 4m + 8 = (m − 2 )2 + 4 > 0 ∀ m nªn ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt , do ®ã (d) v (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A v B. b). A v B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung ⇔ ph−¬ng tr×nh : x2 + mx + m – 2 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2. x + y + z = 9 (1)  1 1 1 B i3:  + + =1 (2) x y z  xy + yz + xz = 27 (3)  §KX§ : x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0. 2 ⇒ ( x + y + z ) = 81 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) = 81 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = 81 − 2 ( xy + yz + zx ) ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = 27 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = ( xy + yz + zx ) ⇒ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 ( xy + yz + zx ) = 0 ⇔ ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 = 0 ( x − y ) 2 = 0 x = y   ⇔ ( y − z ) 2 = 0 ⇔y = z ⇔ x= y= z ( z − x ) 2 = 0 z = x   Thay v o (1) => x = y = z = 3 . Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m n hÖ ph−¬ng tr×nh . VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 3. B i 4: Q a). XÐt ∆ ABM v ∆ NBM . Ta cã: AB l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn (O) N nªn :AMB = NMB = 90o . M l ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC C nªn ABM = MBN => BAM = BNM M => ∆ BAN c©n ®Ønh B. Tø gi¸c AMCB néi tiÕp => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB). A B => MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM). O => Tam gi¸c MCN c©n ®Ønh M b). XÐt ∆ MCB v ∆ MNQ cã : Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 17
  18. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 MC = MN (theo cm trªn MNC c©n ) ; MB = MQ ( theo gt) ∠ BMC = ∠ MNQ ( v× : ∠ MCB = ∠ MNC ; ∠ MBC = ∠ MQN ). => ∆ MCB = ∆ MNQ (c. g . c). => BC = NQ . XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AC ⊥ BQ ⇒ AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 − 1) R B i 5: 1 1 1 1 1 1 1 1 Tõ : + + = => + + − =0 x y z x+ y+z x y z x+ y+z x+ y x+ y+z−z => + =0 xy z (x + y + z )  1 1   xy + z ( x + y + z )  = 0 ⇒ ( z + y )     zx + zy + z + xy  2  xyz( x + y + z )  = 0 ⇒ ( x + y )    ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x) = 0 Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) 3 3 VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 4 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 18
  19. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 §Ò 7 B i 1: 1) Cho ®−êng th¼ng d x¸c ®Þnh bëi y = 2x + 4. §−êng th¼ng d/ ®èi xøng víi ®−êng th¼ng d qua ®−êng th¼ng y = x l : 1 1 A.y = x+2; B.y = x - 2 ; C.y = x-2; D.y = - 2x - 4 2 2 H y chän c©u tr¶ lêi ®óng. 2) Mét h×nh trô cã chiÒu cao gÊp ®«i ®−êng kÝnh ®¸y ®ùng ®Çy n−íc, nhóng 2 ch×m v o b×nh mét h×nh cÇu khi lÊy ra mùc n−íc trong b×nh cßn l¹i b×nh. TØ sè gi÷a 3 b¸n kÝnh h×nh trô v b¸n kÝnh h×nh cÇu l A.2 ; B. 3 2 ; C. 3 3 ; D. mét kÕt qu¶ kh¸c. B×a2: 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0 2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x + y B i 3: 1) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - 7 Ph©n tÝch th nh thõa sè ®−îc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam gi¸c nhän x©y, B, C lÇn l−ît l c¸c ®iÓm cè ®Þnh trªn tia Ax, Ay sao MA 1 cho AB < AC, ®iÓm M di ®éng trong gãc xAy sao cho = MB 2 X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. B i 4: Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB v CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iÓm I bÊt kú trªn ®oan CD. a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iÓm cña MN. b) Chøng minh tæng MA + NA kh«ng ®æi. c) Chøng minh r»ng ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh. H−íng dÉn B i 1: 1) Chän C. Tr¶ lêi ®óng. 2) Chän D. KÕt qu¶ kh¸c: §¸p sè l : 1 B i 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph−¬ng kh¸c 1 víi mäi sè nguyªn d−¬ng n. 2) Do A > 0 nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt. XÐt A2 = ( x + y )2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1) x+ y Ta cã: ≥ xy (BÊt ®¼ng thøc C« si) 2 => 1 > 2 xy (2) Tõ (1) v (2) suy ra: A2 = 1 + 2 xy < 1 + 2 = 2 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 19
  20. B đ ôn thi vào THPT Năm h c 2009 - 2010 1 1 Max A2 = 2 x = y = , max A = 2 x = y = 2 2 B i3 C©u 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c) Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c) Cã 2 tr−êng hîp: 4 + b = 1 v 4+b=7 4+c=-7 4+c=-1 Tr−êng hîp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11) Tr−êng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2 Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5) C©u2 (1,5®iÓm) Gäi D l ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho: x 1 AD = AB. Ta cã D l ®iÓm cè ®Þnh 4 B MA 1 AD 1 M = (gt) do ®ã = AB 2 MA 2 D XÐt tam gi¸c AMB v tam gi¸c ADM cã M©B (chung) A M MA AD 1 = = AB MA 2 MB MA Do ®ã ∆ AMB ~ ∆ ADM => = =2 C MD AD => MD = 2MD (0,25 ®iÓm) XÐt ba ®iÓm M, D, C : MD + MC > DC (kh«ng ®æi) Do ®ã MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC DÊu "=" x¶y ra M thuéc ®o¹n th¼ng DC Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MB + 2 MC l 2 DC * C¸ch dùng ®iÓm M. 1 - Dùng ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AB 2 1 - Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = AB 4 1 M l giao ®iÓm cña DC v ®−êng trßn (A; AB) N 2 B i 4: a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N Do M©N = 900 nªn MN l ®−êng kÝnh C VËy I l trung ®iÓm cña MN b) KÎ MK // AC ta cã : ∆INC = ∆IMK (g.c.g) I => CN = MK = MD (v× ∆MKD vu«ng c©n) K VËy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA A O B => AM = AN = AD + AC kh«ng ®æi c) Ta cã IA = IB = IM = IN M VËy ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AMN ®i qua hai ®iÓm A, B cè ®Þnh . D §Ò 8 B i 1. Cho ba sè x, y, z tho m n ®ång thêi : x2 + 2 y + 1 = y 2 + 2 z + 1 = z 2 + 2x + 1 = 0 Sưu t m: ĐOÀN TI N TRUNG - THCS Hoàng Văn Th - NĐ 20
Đồng bộ tài khoản