Bộ đề thi hoc sinh giỏi cấp thành phố p1

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
312
lượt xem
74
download

Bộ đề thi hoc sinh giỏi cấp thành phố p1

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập đề thi toán cấp thành phố nhằm giúp các bạn ôn thi luyện thi toán học sinh giỏi cấp thành, các bạn có thể đào sâu kiến thức của mình về toán học. Tai liệu mang tính chất tham khảo

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bộ đề thi hoc sinh giỏi cấp thành phố p1

  1. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc ® o t¹o K× thi häc sinh giái th nh phè h néi N¨ m h ä c 1 9 9 4 - 1 9 9 5 M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 1 ) Thêi gian: 150 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò Ng y thi :5 th¸ng 01 n¨m 1995 B i 1 (4 ®iÓm) XÐt sè A = 444...............4 v B = 1644428 1 4 4 2 4 43 1995 chu so 9 Hái sè A cã chia hÕt cho sè B hay kh«ng , t¹i sao ? B i 2 (4 ®iÓm) B¹n ViÖt nãi víi b¹n Nam : “NÕu mét tø gi¸c cã hai gãc ®èi b ng nhau ®ång thêi cã mét ®−êng chÐo ®i qua trung ®iÓm cña ®−êng chÐo kia th× tø gi¸c ®ã l h×nh b×nh h nh. ”. B¹n Nam nãi “§iÒu b¹n nãi l sai råi !”. Ai nãi ®óng , ai nãi sai . T¹i sao ? B i 3 (4 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 1 5 8x 2 + = x 2 B i 4 (4 ®iÓm) Cho ∆ABC vu«ng t¹i A. Mét ®−êng trßn (O) thay ®æi lu«n lu«n ®i qua hai ®iÓm A, B v c¾t c¸c c¹nh AC, BC t¹i c¸c ®iÓm thø hai t−¬ng øng D, E. Gäi F l ®iÓm ®èi xøng víi E qua OD v I l giao ®iÓm cña BF víi ®−êng trung trùc cña AF . T×m quÜ tÝch ®iÓm I. B i 5 ( 4 ®iÓm) S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 1
  2. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Trªn mÆt ph¼ng cã 1994 ®iÓm t« xanh sao cho kh«ng cã 3 ®iÓm n o th¼ng h ng. Chøng minh r»ng cã thÓ kÎ ®−îc hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹o th nh cÆp gãc ®èi ®Ønh sao cho víi mçi cÆp gãc ®èi ®Ønh ®ã, sè ®iÓm xanh trªn miÒn trong gãc n y b»ng sè ®iÓm xanh trªn miÒn trong gãc kia. Së gi¸o dôc ® o t¹o K× thi häc sinh giái th nh phè h néi N¨ m h ä c 1 9 9 4 - 1 9 9 5 M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 2 ) Thêi gian: 180 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò Ng y thi :13 th¸ng 01 n¨m 1995 B i 1 (4 ®iÓm) XÐt 1995 sè tù nhiªn a 1 , a 2 , .... a 1 9 9 5 cã tæng b»ng 1994x1995. §Æt P = a 1 3 +a 2 3 +a 3 3 + .....a 1 9 9 5 3 . Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 3. B i 2 (4 ®iÓm) Cho ngò gi¸c ABCDE néi tiÕp ®−êng trßn (O;R). Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña CD, EA. BiÕt AB = CD =DE = R. Chøng minh r»ng ∆BMN ®Òu. B i 3(4 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh :(x+2) 2 + (x+3) 3 + (x+4) 4 = 2 B i 4(4 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®−êng trßn (O). Gäi A / B / C / D / l ¶nh cña tø gi¸c ABCD trong phÐp quay t©m D. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng th¼ng AA / , BB / , CC / , DD / ®ång qui t¹i mét ®iÓm. B i 5 (4 ®iÓm) Cho lôc gi¸c ®Òu ABCDEF, c¸c ®iÓm M, N, P theo thø tù l giao ®iÓm cña c¸c cÆp ®−êng th¼ng: AB víi CD; CD víi EF ; EF víi AB. Ng−êi ta t« c¸c ®iÓm A,B,C,D,E,F,M,N,P hoÆc xanh hoÆh ®á. Hái cã c¸ch n o t« sao cho bÊt cø ba ®iÓm n o cïng mÇu ®Òu kh«ng ph¶i l ba ®Ønh cña mät tam gi¸c vu«ng hay kh«ng , t¹i sao ? S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 2
  3. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc ® o t¹o K× thi häc sinh giái th nh phè h néi N¨ m h ä c 1 9 9 4 - 1 9 9 5 M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 3 ) Thêi gian: 180 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò Ng y thi :14 th¸ng 01 n¨m 1995 B i 1 (4 ®iÓm ) XÐt biÓu thøc N = a 1 9 9 5 + b 1 9 9 5 + c 1 9 9 5 + d 1 9 9 5 Trong ®ã a, b, c, d l c¸c sè tù nhiªn sao cho ab = cd ≠ 0. Chøng minh r»ng N l hîp sè . B i 2 ( 4 ®iÓm ) Cho hai ®−êng trßn (O), (O / ) c¾t nhau t¹i A, B , hai c¸t tuyªn MAN, PAQ b»ng nhau (M, P ∈(O); N, Q (O / )). Gäi I, K lÇn l−ît l giao ®iÓm cña c¸c ®−êng th¼ng MN, PQ víi OO / . So s¸nh BI víi BK. B i 3( 4 ®iÓm ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 3 2−x + x−1 − 1 = 0 B i 4( 4 ®iÓm ) Cho gãc xOy cã ®é lín b»ng α (0 0 < α < 45 0 ) v ®iÓm P ëbªn trong gãc Êy. Dùng gãc x / Oy / cã ®é lín b»ng 2α ; Px / c¾t Ox t¹i ®iÓm A; Py / c¾t Oy t¹i ®iÓm B sao cho hai tam gi¸c OPA, OPB cã diÖn tÝch b»ng nhau. B i 5 ( 4 ®iÓm ) Ng−êi ta dïng m mÇu ®Ó t« c¸c mÆt cña hai h×nh lËp ph−¬ng sao cho trong mçi h×nh kh«ng cã hai mÆt n o cïng mÇu, ®ång thêi kh«ng cã ba mÇu n o ®«i mét kÒ nhau trong c¶ hai h×nh (hai mÇu kÒ nhau trong mét h×nh nÕu chóng ®−îc t« trªn hai mÆt kÒ nhau cña h×nh Êy). H y t×m sè m bÐ nhÊt . S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 3
  4. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc ® o t¹o K× thi häc sinh giái th nh phè h néi N¨ m h ä c 1 9 9 5 - 1 9 9 6 M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 1 ) Thêi gian: 150 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò Ng y thi :5 th¸ng 01 n¨m 1996 B i 1 (4 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 4x 4 – x 3 – 16x 2 + 4x –1995 = 0 víi x ∈ N B i 2 (4 ®iÓm) Cho hai ®−êng trßn (O,r),(O / ; 2 r ) tiÕp xóc trong víi nhau t¹i ®iÓmA.KÎ 3 ®−êng kÝnh AB cña ®−êng trßn(O). D©y BC cña ®−êng trßn (O) c¾t ®−êng trßn (O / ) t¹i hai ®iÓm D, E. TÝnh BC theo r, biÕt r»ng E l trung ®iÓm cña DC. B i 3(4 ®iÓm) Cho bèn sè a,b,c,d cã tæng b»ng 1996. Chøng minh r»ng trong ba sè m=ab+cd; n=ac+bd; P=ad+bc ph¶i cã Ýt nhÊt mét sè bÐ h¬n 500 000. B i 4( ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC víi ®iÓm M n»m gi÷a B,C. Dùng ®−êng trßn qua A,M c¾t AB, AC t¹i c¸c ®iÓm thø hai t−¬ng øng PQ sao cho PQ//BC B i 5(4 ®iÓm) Ng−êi ta t« ®á 7 c¹nh cña mét h×nh lËp ph−¬ng mét c¸ch hó ho¹ .Mâi ®Ønh kÒ víi Ýt nhÊt hai c¹nh ®á dÒu ®−îc gäi l ®Ønh ®á.Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét mÆt cña lËp ph−¬ng ®ã chøa Ýt nhÊt 3®Ønh ®á. Së gi¸o dôc ® o t¹o K× thi häc sinh giái th nh phè h néi N¨ m h ä c 1 9 9 7 - 1 9 9 8 M«n thi :To¸n 9 ( Vßng 2 ) Thêi gian: 150 phót kh«ng kÓ chÐp ®Ò S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 4
  5. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Ng y thi :15 th¸ng 01 n¨m 1998 C©u 1(5 ®iÓm ) 1) Cho x 1 , x 2 l 2 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 2 – 2x – 1 = 0 Chøng minh r»ng x 1 2 k + x 2 2 k + 2 l sè chÝnh ph−¬ng víi mäi sè tù nhiªn ch½n k . 2) Cho m, n l hai sè tù nhiªn tho¶ m n : m 1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ......... − + n 2 3 4 1329 1330 1331 Chøng minh r»ng m Μ1997 C©u 2 (4 ®iÓm) H y gi¶i v biÖn luËn ph−¬ng tr×nh : x 4 – 4x 3 + x 2 + 6x – m = 0 Theo tham sè m C©u 3 (3 ®iÓm) 5 1 Cho biÓu thøc A= + 2 , víi 0< x < 1 1− x2 x H y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. C©u 4 (4 ®iÓm) Cho 37 ®iÓm, kh«ng cã 3 ®iÓm n o th¼ng h ng, n»m bªn trong h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 1. Chøng minh r»ng lu«n t×m ®−îc 5 ®iÓm trong 37 ®iÓm ® cho tho¶ m n : C¸c tam gi¸c ®−îc t¹o bëi 3 ®iÓm bÊt k× trong 5 ®iÓm ®ã cã diÖn tÝch S ≤ 1 . 18 C©u 5 (5 ®iÓm ) Cho ∆ ABC vu«ng ë C. Mét ®−êng th¼ngd ®i qua A kh«ng song song víi BC v c¾t ®−êng trung trùc cña ®o¹n AB t¹i E. Gäi H l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn d, K l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn BC. H y dùng ®−êng th¼ng d tho¶ m n gãc CHK b»ng 30 3 . S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 5
  6. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao §Ò thi thuyÓn sinhvµo líp 10 tr−êng quèc häc huÕ n¨m häc 2004 thêi gian l m b i 120 phót (THTT 5 - 2005) B i 1( 1,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc : A = b ab − a 2 − a a 1) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a, b ®Ó biÓu thøc A ®−îc x¸c ®Þnh . 2) Rót gän biÓu thøc A. B i 2( 2 ®iÓm) 1) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  x + 3 y = 1  2  2 3x − y = 1  2) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : x + x - 1 > 5 B i 3( 1,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng, nÕu ph−¬ng tr×nh X 2 + 2mx + n = 0 (1) 2 cã nghiÖm, th× ph−¬ng tr×nh : x 2 + 2 k +  1  1 mx + n k +  = 0 (2)  k  k còng cã nghiÖm. (m, n, k l c¸c tham sè : k ≠ 0) B i 4( 1,5 ®iÓm) Cho h m sè y = ax+ b cã ®å thÞ (D) v h m sè y = kx 2 cã ®å thÞ (P). a) t×m a, b biÕt r»ng (D) ®i qua A(-1; 3) v B(2; 0) b) T×m k (k ≠ 0) sao cho (P) tiÕp xóc víi ®−¬õng th¼ng (D) vêa t×m ®−îc . ViÕt ph−¬ng tr×nh cña (P). B i 5( 3,5 ®iÓm) Cho ∆ ABC kh«ng c©n cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O. Hai ®−êng cao AI, BE c¾t nhau t¹i H. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 6
  7. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao 1) Chøng minh : Gãc CHI = gãc CBA. 2) Chøng minh : EI ⊥ CO. 3) Cho gãc ACB = 60 0 . Chøng minh CO = CH. ®Ò thi tuyÓn sinh líp 10 khèi THPT chuyªn tr−êng ®¹i häc s− ph¹m vinh 2005 (d nh cho mäi thÝ sinh . Thßi gan l m b i 150 phót) THTH 10 –2005 Vßng 1 C©u1 . a) Rót gän biÓu thøc sau : A = 8 + 15 + 8 − 15 2 2 b) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x+5 + 3− x = 4 C©u2 . Chøng minh r»ng (n 3 + 17n) Μ víi mäi sè tù nhiªn n. 6 C©u3 . Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh x 1 , x 2 l hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x − 4 x = 3 x + m , 2 1− x Trong ®ã m l tham sè. T×m m ®Ó biÓu thøc x 1 - x 2  ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u4 . Cho h×nh vu«ng ABCD. Hai ®iÓm I, J lÇn l−ît thuéc hai c¹nh BC, CD sao cho gãc IAJ = 45 0 . §−êng chÐo BD c¾t AI, AJ t−¬ng øng t¹i H, K. TÝnh tØ sè HK IJ C©u5 . Cho hai ®−êng trßn (O 1 ;R 1 )v (O 2 ;R 2 )cã R 1 > R 2 tiÕp xóc ngo i víi nhau t¹i A. §−êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®−êng trßn(O 1 ;R 1 ) t¹i M v c¾t ®−êng trßn (O 2 ;R 2 ) t¹i N (C¸c ®iÓm M, N kh¸c A). a) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®−êng th¼ng d ®Ó ®é d i ®o¹n th¼ng MN lín nhÊt. b) T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm I cña c¸c ®o¹n th¼ng MN khi ®−êng th¼ng d quay quanh ®iÓm A. Vßng 2 S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 7
  8. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao C©u6 . C©u7 . C©u8 . C©u9 . C©u10 . S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 8
  9. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1991 -1992 * M«n To¸n * Ng y thi 6/8/1991 * Thêi gian 150 phót B i 1: Trªn mét ®−êng giao th«ng ®i qua ba tØnh A, B, C ( B n»m gi÷a A, C) cã hai ng−êi chuyÓn ®éng ®Òu : M xuÊt phÊt tõ A ®i b»ng « t« v N xuÊt ph¸t tõ B ®i b»ng xe ®¹p. Hä xuÊt ph¸t cïng mét lóc v ®i vÒ phÝa C. §Õn C th× M quay trë l¹i A ngay v vÒ ®Õn B ®óng v o lóc N ®Õn C.TÝnh qu ng ®−êng AC biÕt r»ng qu ng ®−êng BC d i gÊp ®«i qu ng ®−êng AB v kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Þa ®iÓm hä gÆp nhau trªn ®−êng ®i (mét lÇn khi hä ®i cïng chiÒu , mét lÇn khi hä ®i ng−îc chiÒu) l 8 km. B i 2 : Cho hai sè tù nhiªn a, b sao cho a.b = 1991 1 9 9 2 . Hái tæng a + b cã thÓ chia hÕt cho 1992 hay kh«ng ? t¹i sao ? B i 3 : Cho gãc nhän xAy víi tia ph©n gi¸c Az , mét ®iÓm B cè ®Þnh trªn Az (B ≠ A). Ng−êi ta kÎ mét ®−êng trßn t©m O ®i qua A, B c¾t Ax, Ay lÇn l−ît t¹i c¸c ®iÓm M, N. Gäi I l trung ®iÓm cña MN, dùng h×nh vu«ng ACID. T×m tËp hîp C, tËp hîp D khi ®−êng trßn (O) thay ®æi lu«n lu«n qua A, B. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 9
  10. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1992 -1993 * M«n To¸n * Ng y thi 11/6/1992 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) XÐt biÓu thøc : 1 a2 + 2 1 P= + − ( ) ( 2 1+ a 2 1− a 1− a 3 ) a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. B i 2 : (2,5 ®iÓm) Mét « t« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30 Km/h . Sau ®ã mét thêi gian , mét xe con còng xuÊt ph¸t tõ A víi vËn tèc 40 Km/h v nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× ®uæi kÞp « t« t¶i t¹i B. Nh−ng ngay sau khi ®−îc nöa qu ng ®−êng AB th× xe con t¨ng vËn tèc th nh 45 Km/h nªn sau ®ã 1 h th× ®uæi kÞp « t« t¶i. TÝnh qu ng ®−êng AB. B i 3 : (4 ®iÓm) Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB trªn ®ã cã mét ®iÓm M. Trªn ®−êng kÝnh AB cã mét ®iÓm C sao cho AC < CB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm M, ng−êi ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB; ®−êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax t¹i P; ®−êng th¼ng qua C vu«ng gãc víi CP c¾t By t¹i ®iÓm Q. Gäi D l giao ®iÓm cña CP, AM; E l giao ®iÓm cña CQ, BM. a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c ACMP, CDME néi tiÕp ®−îc. b) Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng AB, DE song song. c) Chøng minh r»ng ba ®iÓm P, M, Q th¼ng h ng. d) Ngo i ®iÓm M ra , c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c DMP, EMQ cßn cã ®iÓm chung n o n÷a kh«ng , t¹i sao ? B i 4 : (1 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2x 4 – x 3 – 5x 2 + x + 2 = 0 S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 10
  11. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1992 -1993 * M«n To¸n * Ng y thi 12/6/1992 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) Mét gia ®×nh lín gåm 4 thÕ hÖ, trong ®ã cã 7 cÆp «ng néi – ch¸u néi. BiÕt r»ng trong gia ®×nh ®ã, mçi ng−êi chØ cã nhiÒu nhÊt 2 con. Hái gia ®×nh ®ã cã Ýt nhÊt mÊy nam giíi ? t¹i sao ? B i 2 : Trªn mÆt ph¼ng cho 9 ®iÓm A 1 , A 2 ,..., A 9 , trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm n o th¼ng h ng. Ng−êi ta kÓ tªn c¸c tam gi¸c m c¸c ®Ønh l 3 trong 9 ®iÓm ® cho, sao cho bÊt cø 2 tam gi¸c n o còng chØ cã nhiÒu nhÊt 1 ®Ønh chung. a) Hái mçi c¸ch kÓ tªn nh− trªn cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu tam gi¸c ? t¹i sao ? b) H y nªu mét c¸ch kÓ tªn víi sè tªn tam gi¸c nhÊt cã thÓ ®−îc. B i 3 : Cho h×nh lôc gi¸c ®Òu ABCDEG. Ng−êi ta t« ®á 2 ®Ønh A , D v t« xanh tÊt c¶ 4 ®Ønh cßn l¹i. Sau ®ã, ng−êi ta ®æi mÇu c¸c ®Ønh ®ã theo quy t¾c sau ®©y : -Mçi lÇn ®æi mÇu ph¶i chän 3 ®Ønh cña mét tam gi¸c c©n, ®æi mÇu ®ång thêi 3 ®Ønh Êy (®á th nh xanh, xanh th nh ®á). Hái sau mét sè lÇn thùc hiÖn quy t¾c ®ã, th× cã thÓ thu ®−îc kÕt qu¶ l ®Ønh C ®á cßn 5 ®Ønh cßn l¹i l xanh kh«ng ? t¹i sao ? B i 4 : §Ó kØ niÖm kú thi To¸n Quèc tÕ lÇn thø XXIII, mét häc sinh ® lÊy mét sè n b»ng 23 2 råi ghi tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn: 1, 2, ...., n v o tÊt c¶ c¸c « cña mét h×nh vu«ng cì 23×23 « vu«ng, sao cho : a) Mçi mét h ng ®Òu cã Ýt nhÊt mét « l « lín nhÊt trong cét chøa nã, v Ýt nhÊt mét « l « nhá nhÊt trong cét chøa nã. b) Mçi mét cét, ®Òu cã Ýt nhÊt mét « l « lín nhÊt trong h ng chøa nã, v Ýt nhÊt mét « l « nhá nhÊt trong h ng chøa nã. Hái, cã thÓ tho¶ m n ®ång thêi c¶ hai ®iÒu kiÖn a) v b) hay kh«ng ? t¹i sao ? (¤ n y lín h¬n hoÆc nhá h¬n « kia tuú theo sè ghi trong « ®ã lín h¬n hoÆc nhá h¬n sè ghi trong « kia). S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 11
  12. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1993 -1994 * M«n To¸n * Ng y thi 8/7/1993 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) 1− a a  1+ a a  (1 − a )3 XÐt biÓu thøc : P =  ⋅   a − a + 1  1 + a − a  : 1 + a     a) Rót gän P. b) Víi ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa , h y so s¸nh P víi P. B i 2 :(2,5 ®iÓm) Hai bÕn s«ng A, B c¸ch nhau 40 km. Cïng mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A víi vËn tèc 3 km/ h. Sau khi ®Õn bÕn B, ca n« trë vÒ bÕn A ngay v gÆp bÌ ® tr«i ®−îc 8 km. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n«, biÕt reawngf vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi. B i 3 :(4 ®iÓm) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, trùc t©m l H. Ng−êi ta dùng h×nh b×nh h nh BHCD v gäi I l giao ®iÓm cña hai ®−êng chÐo. a) Chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp ®−îc b) So s¸nh c¸c gãc BAH v OAC (O l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC ) c) Gäi G l giao ®iÓm cña AI v OH. Chøng minh G l träng t©m cña ∆ABC. d) T×m ®iÒu kiÖn r»ng buéc gi÷a c¸c gãc B v C ®Ó OH song song víi BC. B i 4 :(1 ®iÓm) T×m ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm n y gÊp 1993 lÇn nghiÖm kia. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 12
  13. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1993 -1994 * M«n To¸n * Ng y thi 9/7/1993 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(4 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè abcd sao cho : a + b = cd c + d = ab B i 2 : (4 ®iÓm) Cho ∆ABC dùng c¸c tam gi¸c c©n ABX, BCY, CAZ ®ång d¹ng nh− sau : ®Ønh X ë cïng phÝa víi C so víi c¹nh AB, ®Ønh Y ë kh¸c phÝa víi A so víi c¹nh BC v ®Ønh Z ë kh¸c phÝa víi B so víi c¹nh CA. a) Chøng minh r»ng nÕu 4 ®iÓm X, Y, Z, C kh«ng th¼ng h ng , th× tø gi¸c XYCZ l h×nh b×nh h nh. b) Khi n o 4 ®iÓm X, Y, Z, C th¼ng h ng ? B i 3 : ( 4 ®iÓm) Cho sè A = 111.....11 cã 1993 ch÷ sè 1. Cã hay kh«ng béi sè d−¬ng cña A, m tæng c¸c ch÷ sè cña nã nhá h¬n 1992 ? B i 4 : (4 ®iÓm) C¸c ®−êng chÐo cña tø gi¸c ABCD c¾t nhau t¹i O ë trong tø gi¸c. Gäi diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c AOB, COD lÇn l−ît l S 1 v S 2 ,dieenhj tÝch tø gi¸c ABCD b»ng S. a) Chøng minh r»ng : S1 + S 2 ≤ S (*) b) HÖ thø (*) trªn sÏ nh− thÕ n o khi ABCD l h×nh thang ? B i 5 : (4 ®iÓm) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 3 =0 4 kh«ng cã nghiÖm. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 13
  14. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1994 -1995 * M«n To¸n * Ng y thi 7/7/1994 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) XÐt biÓu thøc :  2 x 1   x  P=  x x + x − x −1 −  : 1 +     x −1  x +1  a) Rót gän P. b) T×m x ®Ó P ≤ 0 B i 2 : (2,5 ®iÓm ) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : (a − 1)x − 2 y = 1  3x + ay = 1 a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi a = 3 +1 b) Chøng minh r»ng víi mäi a, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. c) T×m a ®Ó x – y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. B i 3 : (4 ®iÓm ) Cho ®−êng trßn (O; R) v ∆ ABC c©n (AB = AC > R) néi tiÕp ®−êng trßn Êy. KÎ ®−êng kÝnhAI.Gäi M l mét ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá AC; Mx l tia ®èi cña tia MC. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy mét ®iÓm D sao cho MD = MC. a) Chøng minh r»ng tia MA l ph©n gi¸c cña gãc BMx. b) Gäi K l gia ®iÓm thø hai cña ®−êng th¼ng DC víi ®−êng trßn (O). Tø gi¸c MIKD l h×nh g×, t¹i sao ? c) Gäi G l träng t©m ∆ MDK. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá AC th× G lu«n n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. d) Gäi N l giao ®iÓm thø hai cña ®−êng th¼ng AD víi ®−êng trßn (O); P l giao ®iÓm thø hai cña ph©n gi¸c gãc IBN víi ®−êng trßn (O). Chøng minh r»ng ®−êng DP lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá AC. B i 4: (1 ®iÓm) T×m ®a thøc P(x) biÕt P(x) chia cho x – 2 d− 2 ; chia cho x + 2 d− –2 ; chia cho x 2 – 4 ®−îc th−¬ng l x v cßn d−. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 14
  15. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1994 -1995 * M«n To¸n chuyªn * Ng y thi 8/7/1994 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn d−¬ng ®Ó ph©n sè x + x + 1 nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 2 xy − 1 b) Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè a, b, c, d h÷u tû sao cho : (a + b 2 ) 1994 ( + c+d 2 ) 1994 ( = 5+4 2 ) B i 2 : (2,5 ®iÓm) a) Cho x > 0 , y > 0 v x 3 + y 3 = x- y Chøng minh r»ng : x 2 + y 2 < 1. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: y = − x 2 + 3x + 18 − − x 2 + 4 x + 5 B i 3 : (3 ®iÓm) Cho tø gi¸c låi ABCD v h×nh ch÷ nhËt MNEF sao cho M, E l trung ®iÓm cña AB, CD ; N ∈ BC ; F ∈ DA. a) Chøng minh diÖn tÝch tø gi¸c ABCD b»ng hai lÇn diÖn tÝch h×nh ch÷ MNEF. b) Chøng minh r»ng diÖn tÝch tø gi¸c ABCD kh«ng v−ît qu¸ : 1 ( AB.CD + BC.DA) 2 B i 4 : (2 ®iÓm) Cho mét sè h÷u h¹n h×nh trßn chiÕm trªn mÆt ph¼ng mét diÖn tÝch b»ng 1. Chøng minh r»ng, cã thÓ chän ra mét v i h×nh trßn ®«i mét kh«ng cã ®iÓm chung trong c¸c h×nh trßn ® cho, cã tæng diÖn tÝch kh«ng lín h¬n 1/9. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 15
  16. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1995 -1996 * M«n To¸n * Ng y thi 11/7/1995 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2 ®iÓm) Cho c¸c biÓu thøc : 3 2x − 3 x − 2 v x − x + 2x − 2 A= B= x −2 x +2 a) Rót gän A v B. b) T×m gi¸ trÞ x ®Ó A = B. B i 2 : (3 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 – 2(m -1)x + m – 5 = 0 (x l Èn) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x =-1 v t×m nghiÖm cßn l¹i. b) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 ; x 2 víi mäi gi¸ trÞ cña m. c) Víi gi¸ trÞ n o cña m th× x 1 2 + x 2 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt v t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. B i 3 : (4 ®iÓm) Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB = 2R v mét ®iÓm C trªn ®−êng trßn (C kh«ng trïng víi A v B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C, kÎ tia Ax tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O). Gäi M l ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC; P l giao ®iÓm cña AC , BM. Tia BC c¾t c¸c tia AM, Ax lÇn l−ît t¹i N v Q. a) Chøng minh ∆ ABN c©n. b) Tø gi¸c APNQ l h×nh g× , t¹i sao ? c) Gäi K l ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB kh«ng chøa ®iÓm C. Hái cã thÓ xÈy ra ba ®iÓm Q, M, K th¼ng h ng ®−îc kh«ng, t¹i sao ? d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm C ®Ó ®−îc ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ MNQ tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O). B i 4 :(1 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x − 2 + y + 1995 + z − 1996 = 1 (x + y + z ) 2 S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 16
  17. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1995 -1996 * M«n To¸n chuyªn * Ng y thi 12/7/1995 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(1,5 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x − 94 + 96 − x = x 2 − 190 x + 9027 B i 2 : (1,5 ®iÓm) Cho 40 sè nguyªn d−¬ng tho¶ m n : 1 ≤ a 1 < a 2 < ..... < a 2 0 ≤ 200 1 ≤ b 1 < b 2 < ..... < b 2 0 ≤ 200 Chøng minh r»ng tån t¹i c¸c sè : 1 ≤ i + j ≤ 40 v 1 ≤ k + 1 ≤ 40 sao cho : ai - aj = bk - bi B i 3 : (2 ®iÓm) H y tÝnh A = 3x 3 + 3x 2 + 1   Víi x = 1  3 23 + 513 + 3 23 − 513 − 1 3 4 4    B i 4 : (1 ®iÓm). Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m nghiÖm nguyªn : x2 + x = y4 + y3 + y2 + y B i 5 : (4 ®iÓm) a) Cho ®−êng trßn t©m O v mét ®−êng th¼ng d c¾t ®−êng trßn t¹i hai ®iÓm A v B. Tõ mét ®iÓm M bÊt k× trªn d v n»m bªn ngo i ®−êng trßn, kÎ hai tiÕp tuyÕn ME v MF (E v F l hai tiÕp ®iÓm) . T×m tËp hîp t©m c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MEF, khi M di ®éng trªn d. b) Cho ∆ ABC, c¸c ®−êng ph©n gi¸c trong v ngo i cña gãc C c¾t ®−êng th¼ng AB t¹i P v Q. Chøng minh r»ng nÕu CP = CQ th× 4R 2 = CB 2 + CA 2 . Trong ®ã R l b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ABC. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 17
  18. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1996 -1997 * M«n To¸n * Ng y thi 2/7/1996 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) 3a + 9a − 3 a −2 1 XÐt biÓu thøc : P = − + −1 a+ a −2 a −1 a +2 1. Rót gän P. 2. T×m a ®Ó  P  = 1. 3. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ∈ N sao cho P ∈ N. B i 2 : (2,5 ®iÓm) Mét l©m tr−êng dù ®Þnh trång 75 ha rõng trong mét sè tuÇn lÔ. Do mçi tuÇn trång v−ît møc 5 ha so víi kÕ ho¹ch nªn ® trång ®−îc 80 ha v ho n th nh sím h¬n 1 tuÇn . Hái mçi tuÇn l©m tr−êng dù ®Þnh trång bao nhiªu ha rõng ? B i 3 : (4 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB v ®iÓm M n»m gi÷a A v B. Trong cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê l ®−êng th¼ng AB dùng c¸c h×nh vu«ng AMCD v MBEF. Hai ®−êng th¼ng AF v BC c¾t nhau ë N. 1. Chøng minh AF vu«ng gãc víi BC, suy ra ®iÓm N n»m trªn hai ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c h×nh vu«ng AMCD v MBEF. 2. Chøng minh ba ®iÓm D, N, E th¼ng h ng v MN ⊥ DE t¹i N. 3. Cho A, B cè ®Þnh cßn M di ®éng trªn ®o¹n AB. Chøng minh ®−êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . 4. T×m vÞ trÝ ®iÓm M sao cho ®o¹n th¼ng MN cã ®é d i lín nhÊt. B i 4 : (1 ®iÓm) Cho hai ph−¬ng tr×nh :ax 2 + bx + c = 0 (1) v cx 2 + bx + a = 0 (2) víi a.c < 0. Gäi α v β t−¬ng øng l nghiÖm lín nhÊt cña ph−¬ng tr×nh (1) v ph−¬ng tr×nh (2), Chøng minh r»ng α + β ≥ 2. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 18
  19. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1996 -1997 * M«n To¸n chuyªn * Ng y thi 3/7/1996 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(4 ®iÓm) ViÕt c¸c sè liªn tiÕp 111, 112, 113, ....., 887, 888 , ta ®−îc sè A = 111112113......887888. Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 1998 B i 2 : (3 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x 4 + (x - 1)(x 2 – 2x + 2) = 0 B i 3 : (3 ®iÓm) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tæng b»ng 2. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : a2 b2 c2 + + ≥1 b+c c+a a+b B i 4 : (5 ®iÓm) Cho ∆ABC néi tiÕp ®−êng trßn O. §−êng ph©n gi¸c gãc A c¾t ®−êng trßn (O) ë D. Mét ®−êng trßn (O) thay ®æi nh−ng lu«n ®i qua hai ®iÓm A v D, c¾t hai ®−êng th¼ng AB v AC ë giao ®iÓm thø hai l M v N ( cã thÓ trïng víi A). 1. Chøng minh r»ng BM = CN. 2. T×m tËp hîp trung ®iÓm cña MN. 3. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®−êng trßn (L) sao cho ®o¹n MN cã ®é d i nhá nhÊt. B i 5 : (5 ®iÓm) H×nh ch÷ nhËt kÝch th−íc 3×4 ®−îc chia bëi c¸c ®−êng th¼ng song song víi c¸c c¹nh th nh 12 h×nh vu«ng ®¬n vÞ. Chøng minh r»ng víi 7 ®iÓm bÊt k× n»m trong h×nh ch÷ nhËt lu«n cã thÓ chän ra 2 ®iÓm cã kho¶ng c¸ch kh«ng v−ît qu¸ 5 . Chøng minh kÕt luËn cña b i to¸n vÉn ®óng khi sè ®iÓm l 6 v kh«ng cßn ®óng khi sè ®iÓm l 5. S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 19
  20. TuyÓn tËp ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo líp chuyªn, líp chÊt luîng cao Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh v o líp 10 hµ néi Tr−êng Chu V¨n An & Amsterdam N¨m häc `1997 -1998 * M«n To¸n * Ng y thi 8/.7/1997 * Thêi gian 150 phót B i 1 :(2,5 ®iÓm) XÐt biÓu thøc : 3( x + x − 3) x +3 x −2 P= + − x+ x −2 x +2 x −1 a) Rót gän P. b) T×m x ®Ó P < 15 4 B i 2 :(2,5 ®iÓm) Mét m¸y b¬m dïng ®Ó b¬m n−íc ®Çy bÓ n−íc cã dung tÝch 60 m 3 víi thêi gian ®Þnh tr−íc. Khi ® b¬m ®−îc 1/2 bÓ , th× mÊy ®iÖn trong 48 phót. §Õn lóc cã ®iÖn trë l¹i, ng−êi ta sö dông thªm m¸y b¬m thø hai cã c«ng suÊt 10 m 3 /h. C¶ hai mÊy b¬m cïng ho¹t ®éng ®Ó b¬m ®Çy bÓ n−íc ®óng thêi gian dù kiÕn. TÝnh c«ng suÊt m¸y b¬m thø nhÊt v thêi gian mÊy b¬m ®ã ho¹t ®éng. B i 3 :(4 ®iÓm) Cho ∆ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp ®−êng trßn (O). tia ph©n gi¸c trong gãc B c¾t ®−êng trßn t¹i D, tia ph©n gi¸c trong cña gãc C c¾t ®−êng trßn t¹i E; hai ph©n gi¸c n y c¾t nhau t¹i F. Gäi I, K theo thø tù l giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC. a) Chøng minh r»ng C¸c tam gi¸c EBF, ADF c©n b) Chøng minh tø gi¸c DKCF néi tiÕp v FK song song víi AB. c) Tø gi¸c AIFK l h×nh g× ? t¹i sao ? d) T×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®Ó tø gi¸c AEFD l h×nh thoi, ®ång thêi cã diÖn tÝch gÊp 3 lÇn diÖn tÝch tø gi¸c AIFK. B i 4 :(1 ®iÓm) T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña x tho¶ m n hÖ thøc sau : (2 − 3 ) x ( + (7 − 4 3 )(2 + 3 ) x = 4 2 − 3 ) S−u tÇm v biªn so¹n : NguyÔn §øc Tr−êng - THCS §a Tèn - Gia L©m - Hµ Néi Tèn- L©m- 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản