Các bài toán bất đẳng thức côsi (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: 4everloveyou

Tham khảo tài liệu 'các bài toán bất đẳng thức côsi (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Các bài toán bất đẳng thức côsi (Bài tập và hướng dẫn giải)

 

  1. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 15-03 Bất đẳng thức Côsi. Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. x x x 3 CMR: + + ≤ 2x + y + z 2x + y + z 2x + y + z 4 Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 x2 y2 z2 3 CMR: + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x 2 Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0. CMR: 2 + 4x + 2 + 4 y + 2 + 4z ≥ 3 3 Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c: a b c  Tìm Min: A = 3 4(a + b ) + 3 4(b + c ) + 3 4(c + a ) + 2  + 2+ 2 3 3 3 3 3 3 2 b c a  Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. x 1  y 1  z 1  Tìm Min của: P = x +  + y +  + z +   2 yz   2 zx   2 xy  ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
  2. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG BTVN NGÀY 15-03 Bất đẳng thức Côsi. Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. x x x 3 CMR: + + ≤ 2x + y + z 2x + y + z 2x + y + z 4 Giải: Ta có: 1 1 1 1 1  = ≤  +  2x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) 4  x + y x + z  x 1 x x   ≤  +   2x + y + z 4  x + y x + z   y 1 y y   1 x+ y y+ z x+ z 3 ⇒ ≤  +   ⇒ VT ≤  + + = x + 2y + z 4  x + y y + z   4 x+ y y+ z x+ z 4 z 1 z z  =≤  +  x + y + 2z 4  x + z y + z   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 x2 y2 z2 3 CMR: + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x 2 Giải: Ta có: x2 1 + y  + ≥ x 1+ y 4  y 2 1+ z   3 + ( x + y + z ) 3( x + y + z ) − 3 9 3 xyz − 3 3 + ≥ y  ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − = ≥ = 1+ z 4  4 4 4 2 z2 1+ x  + ≥z 1+ x 4   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 Page 2 of 9
  3. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0. CMR: 2 + 4x + 2 + 4 y + 2 + 4z ≥ 3 3 Giải: Đặt: a = 4 x  a, b, c > 0 b = 4y ⇒  Và : 2 + a + 2 + b + 2 + c ≥ 3 3 (1) c = 4 z  abc = 1   1 1 1 1  Ta có : 2 + a = 1 + 1 + a ≥ 3 a ⇒ 2 + a ≥ 3.a ⇒ VT(1) ≥ 3.  a + b + c 6  3 66 6   1 ≥ 3 3. ( abc ) 18 = 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0 Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:  a b c  Tìm Min: A = 3 4(a + b ) + 3 4(b + c ) + 3 4(c + a ) + 2  + 2+ 2 3 3 3 3 3 3 2 b c a  Giải: a b c  A = 3 4(a 3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a 3 ) + 2  2 + 2 + 2  b c a  Vì :4(a 3 + b3 ) ≥ 8 (ab)3 ⇒ 3 4(a 3 + b3 ) ≥ 2 ab ⇒ 3 4(a 3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a 3 ) ≥ 2 ( ) ab + bc + ca ≥ 6 3 abc  a b c  1  1  Và 2  2 + 2 + 2  ≥ 6 3 ⇒ A ≥ 6  3 abc + 3  ≥ 12 ⇒ Min A = 12  b c a  abc  abc  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. x 1  y 1  z 1  Tìm Min của: P = x +  + y +  + z +   2 yz   2 zx   2 xy  Giải: Page 3 of 9
  4. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Ta có: x2 + y 2 + z 2 x2 y2 z2 x2 + y2 + z 2 x2 + y2 + z 2 1 1  P= + + + = + = ( x2 + y 2 + z 2 )  +  2 xyz xyz xyz 2 xyz  2 xyz  1 1 1 1 1  3 1 Vì : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 3 ( xyz ) 2 Và + = 1 + + ≥ .3 2 xyz 2  xyz xyz  2 ( xyz ) 2 3 1 9 9 ⇒ P ≥ 3 3 ( xyz ) 2 . . = ⇒ MinP = 2 3 ( xyz ) 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 BTVN NGÀY 17-03 Sử dụng chiều biến thiên. Bài 1: Tìm Min, Max của: xy 2 A= (x 2 ( + 3 y 2 ) x + x 2 + 12 y 2 ) Giải: 1 y Ta có : A = . Coi : t =   x 2   y  2 x    + 3   1 + 1 + 12     y   x     ⇒ A= 1 = t2 = ( t 2 1 − 1 + 12t 2 ) 1  (  2 + 3  1 + 1 + 12t t  2 ) ( 1 + 3t ) ( 1 + 2 1 + 12t 2 ) ( 1 + 3t ) ( −12t ) 2 2 1 1 + 12t 2 − 1 u −1 = . Coi : u = 1 + 12t 2 (u ≥ 1) ⇒ 3 A = 2 = f (u ) 3 12t + 4 2 u +3 u = −1 1 1 ⇒ f '(u ) = 0 ⇔  ⇒ 3 A = f (u ) ≤ f (3) = ⇒ MaxA = . u = 3 6 18 Và : lim f (u ) = 0 ⇒ MinA = 0 u →∞ Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1. Tìm Min, Max của: P = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx) Page 4 of 9
  5. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Giải: Đặt: t = x + y + z ⇒ t 2 ≤ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 ⇒ t ∈  − 3; 3    t 2 − 1 −t 2 + 2t + 1 Và P = t − = = f (t ) ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 ∈  − 3; 3    2 2  MaxP = f (1) = 1  Qua BBT ta có :   MinP = f (− 3) = −( 3 + 1)  Bài 3: Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của: 4 1 A= + x 4y Giải: Ta có: 5 16 y + − y 16 y + x 4 60 y + 5 A= = = . 4 xy 5 4 y (5 − 4 y ) 4 y( − y) 4 a = 4 y 0 < a , b < 5 16a + b 16 1 16 1 Coi :  ⇒ Và : A = = + = + = f (a) b = 5 − 4 y a + b = 5 ab b a 5−a a a = 0 16 1 16 ⇒ f '(a) = − 2 =0⇒  5 ⇒ MinA = f (1) = + 1 = 5 ( 5 − a) 2 a a = − 4  3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4 Bài 4: CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có: A A A 1 + cos 1 + cos 1 + cos 2+ 2+ 2 >3 3 A A A Giải: x2 Xét hàm số: y = + cos x − 1 2 Page 5 of 9
  6. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  π y ' = x − sin x và y '' = 1 − cos x > 0; ∀x ∈  o;   2 x2 Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0. Vậy ta có: cos x > 1 − 2 Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có: A A2 B B2 C C2 cos > 1 − ; cos > 1 − ;cos > 1 − 2 8 2 8 2 8 1 1 1 1 9 A+ B+C ⇒ VT > 2  + +  − ( A + B + C ) ≥ 2. − A B C 8 A+ B +C 8 18 π 144 − π 2 = − = >3 3 π 8 8π Bài 5: Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của: x y S= + y +1 x +1 Giải: Ta có: x y ( x 2 + y 2 ) + ( x + y ) 2 − 2 xy S= + = = . y +1 x +1 xy + ( x + y ) + 1 2 + xy ( x + y)2 1  1 2 − 2t 6 Mà : 0 ≤ xy ≤ = . Coi : t = xy ⇒ t ∈ 0;  và S = = −2 + = f (t ) 4 4  4 2+t t+2  1 2 −6  MinS = f ( ) = ⇒S'= <0⇒ 4 3 (t + 2) 2  MaxS = f (0) = 1  BTVN NGÀY 19-03 Sử dụng các phương pháp khác. Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng: Page 6 of 9
  7. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 x2 y2 z2 P= + + ≥1 x+ y+ y z y+z+z x z+x+ x y 3 3 3 Giải: x2 x3 Vì : = 2 x + y + y 3 z x + xy + y 2 x3 − y 3 x3 − y 3 y3 − z3 z 3 − x3 Mà : 2 = x− y⇒ 2 + + =0 x + xy + y 2 x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 x3 y3 z3 y3 z3 x3 ⇔ 2 + + = + + x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 x3 + y 3 y3 + z3 z 3 + x3 ⇔ 2P = 2 + + . x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 x3 + y 3 x 2 − xy + y 2 x 2 − xy + y 2 1 Vì : 2 = ( x + y) 2 . mà : 2 ≥ x + xy + y 2 x + xy + y 2 x + xy + y 2 3 x3 + y 3 x+ y 2 ⇒ 2 ≥ ⇒ 2 P = ( x + y + z ) ≥ 2 3 xyz = 2 ⇒ P ≥ 1. x + xy + y 2 3 3 Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: a−c a −b b−c ≤ + (*) 1+ a . 1+ c 2 2 1+ a . 1+ b 2 2 1+ b . 1+ c 2 2 Giải: Đặt: Page 7 of 9
  8. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 a = tan α  b = tan β ⇒ (*) ⇔ sin(α − β ) + sin( β − γ ) ≥ sin(α − γ ) c = tan γ  Vì : sin(α − γ ) = sin [ (α − β ) + ( β − γ ) ] ) = sin(α − β )cos( β − γ ) + cos(α − β ) sin( β − γ ) ≤ sin(α − β ) cos( β − γ ) + cos(α − β ) sin( β − γ ) ≤ sin(α − β ) + sin( β − γ )  Điều phải chứng minh. Bài 3: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3. Chứng minh: 9+6 2 F = ac + bd − cd ≤ 4 Giải: Gọi: A ( a; b ) ⇒ A ∈ (C ) : x 2 + y 2 = 1 và B ( c; d ) ⇒ B ∈ d : x − y = 3 Ta có : AB 2 = (a − c) 2 + (b − d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd = ( a 2 + b 2 ) + (c − d ) 2 − 2(ac + bd − cd ) = 1 + 9 − 2 F Vì AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O. 3 2 3 2 −2 22 − 12 2 ⇒ AB Min = OB − OA = −1 = ⇒ AB 2 ≥ 2 2 4 22 − 12 2 11 − 6 2 9+6 2 ⇒ 10 − 2 F ≥ ⇒ 5− F ≥ ⇒F≤ 4 4 4 Bài 4: Cho: a ≥ c ≥ 0; b ≥ c Chứng minh: c(a − c) + c(b − c) ≤ ab Giải: Page 8 of 9
  9. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Gọi: r r a ( ) c, b − c ⇒ a = c + b − c = b r r b ( ) a − c, c ⇒ b = a − c + c = a rr r r Do : a.b ≤ a . b ⇔ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab Bài 5: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của: x y z P= + + 1 − x2 1 − y2 1 − z 2 Giải: Đặt  A  x = tan 2 A B C  tan tan tan  B 2 + 2 + 2 = 1 ( t anA + tan B + tan C )  y = tan ⇒ P = A B C 2  2 1 − tan 2 1 − tan 2 1 − tan 2  C 2 2 2  z = tan  2 Vì :Trong ∆ABC ta có : t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C ≥ 3 3 t anA.tan B.tan C 3 3 ⇒ t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C ≥ 3 3 ⇒ P ≥ 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A=B=C=600 hay x = y = z = 3 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 9 of 9
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản