Các bài toán hàm đa thức (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

0
138
lượt xem
53
download

Các bài toán hàm đa thức (Bài tập và hướng dẫn giải)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các bài toán hàm đa thức (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các bài toán hàm đa thức (Bài tập và hướng dẫn giải)

  1. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 24 tháng 06 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN HÀM ĐA THỨC Câu 1: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (C) 1.1 Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) 1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn: a) xCT < 2 b) Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 1 c) x1 − x2 > , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị 3 d) Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0) Câu 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có: 2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3 2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc 45o .  5 17  2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I  ; −  3 3  3 1 2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ 2 2 2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5. 2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn 2. 2.8. Cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 3x2 = 4 . Câu 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác: a. Vuông cân b. Đều c. Tam giác có diện tích bằng 4. 3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
  2. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M ( ) 2;1 Câu 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3x + 2 (C) 4.1. Tìm điểm trên trục hoành sao từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C); 4.2. Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx; 4.3. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(-1; 3); 4.4. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 2x – y + 2 = 0; 4.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 3 a) − x + 3 x + m −1 = 0 m +1 b) x − x − 2 = 2 2 x +1 4.6. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Câu 5: Cho hàm số (C): y = x 3 − 3mx 2 − mx và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d: 5.1. Tại đúng 2 điểm phân biệt. 5.2. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 5.3. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC 5.4. Tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân. Câu 6: Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 4 2 6.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng; 6.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 2 of 26
  3. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN Câu 1: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (C) 1.3 Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) 1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn: a. xCT < 2 b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 1 c. x1 − x2 > , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị 3 d. Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0) Lời giải: 1.1. Hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇔ y ' = 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ 0 với ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 3x 2 + 2x + 2 ⇔ f ( x) = ≥ m với ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 4x +1 2 ( 6 x 2 + x − 3) −1 ± 73 Ta có: f ' ( x ) = = 0 ⇔ 6 x2 + x − 3 = 0 ⇔ x = ( 4 x + 1) 2 12 Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên ( 0; +∞ ) , từ đó ta đi đến kết luận:  −1 + 73  3 + 73 f  12 ≥m⇔  ≥m   8 1.2. Ta có: y ' = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  5 ⇔ ∆ ' = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − 5 > 0 ⇔ 2 2  m > 4 (*)   m < −1 Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 . 2m − 1 + 4m 2 − m − 5 a. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x2 = ⇒ xCT = x2 3 2 m − 1 + 4m 2 − m − 5 Do đó: xCT < 2 ⇔
  4. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 ⇔ 4m 2 − m − 5 < 7 − 2m 7 − 2 m > 0  ⇔ 2 2 ⇔ m< 2  4m − m − 5 < ( 7 − 2m )  5  Kết hợp với (*), kết luận các giá trị cần tìm của m là: m ∈ ( −∞; −1) ∪  ; 2  4  b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 đều lơn hơn -1   ∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0  ∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0    2(1 − 2m) 5 ⇔  x1 + x2 > −2 ⇔ − > −2 ⇔m>  x +1 x +1 > 0  3 4 ( 1 )( 2 )  2(1 − 2m) 2 − m −  3 + 3 >0  2(1 − 2m)  x1 + x2 = −  3 c. Áp dụng định lí viet, ta có:  x x = 2−m  1 2  3 1 1 ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 > 2 2 Ta có: x1 − x2 > 3 9 ⇔ 4 ( 1 − 2m ) − 4 ( 2 − m ) > 1 ⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0 2 3 + 29 3 − 29 ⇔m> ∨m< 8 8 3 + 29 Kết hợp (*), ta suy ra m > ∨ m < −1 8 d. Để hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2; 0) ⇔ y ' = f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và có ít nhất  −2 < x1 < x2 < 0;(1)  1 nghiệm thuộc (-2; 0) ⇔  −2 < x1 < 0 ≤ x2 ;(2)  x1 ≤ −2 < x2 < 0;(3)  Ta có: Page 4 of 26
  5. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  4m 2 − m − 5 > 0 ∆ ' = 4m − m − 5 > 0 2    −2 < 2 m − 1 < 0  −2 < x1 + x2  3  0 4 + + >0 7  1 2  3 3  x1 x2 > 0  2 − m  3 >0   4m 2 − m − 5 > 0 ∆ ' = 4m − m − 5 > 0 2   m ≥ 2  f ( 0) = 2 − m ≤ 0  (2) ⇔  ⇔  2 m − 1 > −2 ⇔m≥2 ( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) > 0  3 ( x + 2 ) ( x + 2 ) > 0  2 − m 4 ( 2m − 1)  1 2  + +4>0  3 3  4m 2 − m − 5 > 0  ∆ ' = 4m − m − 5 > 0 2   3m + 5 ≥ 0  f ( −2 ) = 10 + 6m ≤ 0  5 (3) ⇔  ⇔  2m − 1 < 0 ⇔ − ≤ m < −1  x1 + x2 < 0  3 3 x x > 0 2 − m  1 2  >0  3  5  Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m ∈  − ; −1 ∪ [ 2; +∞ )  3  Câu 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có: 2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3 2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc 45o .  5 17  2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I  ; −  3 3  3 1 2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ 2 2 2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5. 2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn 2. 2.8. Cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 3x2 = 4 . Page 5 of 26
  6. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Lời giải: Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*) Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 ; gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) Thực hiện phép chia y cho y’ ta được: 1 1  2m   m y =  x −  y '−  + 2 x +  2 −  3 3  3   3  2m   m y1 = y ( x1 ) = −  + 2  x1 +  2 −   3   3 ⇒  2m   m y2 = y ( x2 ) = −  + 2  x2 +  2 −   3   3  2m   m ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = −  + 2 x +  2 −   3   3 2.1. Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x – 1  2m  3 ⇔ − + 2  = 1 ⇔ m = − (thỏa mãn)  3  2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x – 1 y1 + y2 x1 + x2 ⇔ y I = xI − 1 ⇔ = −1 2 2  2m   m ⇔ − + 2  ( x1 + x2 ) + 2  2 −  = ( x1 + x2 ) − 2  3   3  2m  2m ⇔ + 3  .2 = 6 − ⇔m=0  3  3  3 Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0; −   2 2.2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3   2m  −  3 + 2  = −4    ⇔ ⇔ m = 3 (thỏa mãn)  2 − m  ≠ 3   3   2m  2.3. Đặt k = −  + 2  là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực trị.  3  Page 6 of 26
  7. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Đường thẳng x + 4y – 5 = 0 có hệ số góc bằng -1/4 1  1 1  3  39 k+ k + 4 = 1 − 4 k k = 5  m = − 10 Ta có: tan 45 = o 4 ⇔ ⇔ ⇔ 1  k + 1 = −1 + 1 k k = − 5 m = − 1 1− k 4   4 4   3   2 1 Kết hợp đk (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = − 2  5 17  2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm M  ; −  3 3  17  2m 5  m ⇔ M ∈d ⇔ − = − + 2  +  2 −  ⇔ m = 3 (thỏa mãn) 3  3 3  3 Vậy m = 3  x1 + x2 = 2  2.5. Theo định lí viet ta có:  m  x1 x2 = − 3  Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 1; − m ) . 3 1 d ⊥ ∆ Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ ⇔  2 2 I ∈ ∆   2m  3  −  3 + 2  . 2 = −1  ⇔   ⇔ m = −2 (thỏa mãn (*)) 3 1 − m = +   2 2 Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn bài toán 2.6. Các điểm cực trị A, B nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5. 2 m  ⇔  + 3  ( 4 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1) < 0 3  2 m   4m  ⇔  + 3  5 −  5 − 4m < 0 4   3 Page 7 of 26
  8. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 15 Vậy m > là các giá trị cần tìm. 4  2 m  2  2.7. Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + 2  + 1 ( x1 − x2 ) 2 2 2 2 =   3      2 m  2  2m  =  + 2  + 1  4 +   3     3  2m Với m thỏa mãn đk (*) ⇒ + 2 > 0 ⇒ AB 2 > 2 ⇒ AB > 2 3 Vậy khi hàm số có cực trị thì khoảng cách cực trị luôn lớn hơn 2 2.8. Áp dụng định lí viet, kết hợp điều kiện ta có hệ:  5  x1 + x2 = 2  x1 = 2    m  1 m 5 15  x1 x2 = − ⇔  x2 = − ⇒− =− ⇒m= (thỏa mãn (*))  3  2 3 4 4  x1 − 3 x2 = 4   m  x1 x2 = − 3  15 Vậy m = 4 Câu 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác: a. Vuông cân b. Đều c. Tam giác có diện tích bằng 4. 3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị. 3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M ( 2;1 ) Lời giải: x = 0 3.1. Ta có: y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔  3  g ( x) = x − m = 0 2 Vì hệ số a = 1 > 0 nên nếu hàm số có 1 cực trị thì đó là điểm cực tiểu, do đó điều kiện để hàm có cực tiểu mà không có cực đại là y’ = 0 đổi dấu tại duy nhất 1 điểm ⇔ ∆g = m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0 Page 8 of 26
  9. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 3.2. Hàm số có 3 cực trị ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ g = m > 0 ⇔ m > 0 (*) Với đk (*), phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm x1 = − m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A ( 0; 2m + m ) ; B 4 ( ) ( ) m ; m4 − m 2 + 2m ; C − m ; m 4 − m 2 + 2m là 3 điểm cực trị. Ta có: AB 2 = AC 2 = m4 + m; BC 2 = 4m ⇒ ∆ABC cân đỉnh A a. ∆ABC vuông cân ⇔ ∆ABC vuông cân tại A ⇔ BC 2 = AB 2 + AC 2 m = 0 ⇔ 4 m = 2 m 4 + 2m ⇔ m = m 4 ⇔  m = 1 Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm m = 1 m = 0 b. ∆ABC đều ⇔ BC = AB = AC ⇔ m4 + m = 4m ⇔ 3m = m ⇔  4 m = 3 3 Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm m = 3 3 c. Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M ( 0; m − m + 2m ) ⇒ AM = m = m 4 2 2 2 Vì ∆ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: 1 1 S ∆ABC = AM .BC = .m 2 . 4m = 4 2 2 5 ⇔ m 2 = 4 ⇔ m5 = 16 ⇔ m = 5 16 Vậy m = 5 16 1 3.3. Chia y cho y’ ta được: y = x. y '+ ( −mx 2 + 2m + m 4 ) 4 Do hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của y’ = 0 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là parabol: ( Pm ) : y = − mx + 2m + m 2 4 3.4. ( P ) đi qua điểm M ( ) 2;1 ⇔ 1 = m 4 + 2m − 2m ⇔ m = ±1 Kết hợp điều kiện, ta lấy nghiệm m = 1. Vậy ( P ) : y = − x + 3 2 1 Câu 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3x + 2 (C) 4.1. Tìm điểm trên trục hoành sao từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C); 4.2. Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx; 4.3. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(-1; 3); 4.4. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 2x – y + 2 = 0; 4.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: Page 9 of 26
  10. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 3 a. − x + 3 x + m − 1 = 0 m +1 b. x − x − 2 = 2 2 x +1 4.6. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Lời giải: 4.1. Điểm M thuộc trục hoành Ox ⇒ M ( a;0 ) . Nhận thấy đường thẳng x = a không là tiếp tuyến của (C), xét đường thẳng đi qua M có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − a) tiếp xúc với (C) − x 3 + 3 x + 2 = k ( x − a )  ⇔ có nghiệm.  −3 x + 3 = k 2  Suy ra: − x + 3 x + 2 = ( −3 x + 3) ( x − a ) 3 2 ⇔ ( x + 1) ( 2 x 2 + ( 3a − 2 ) x + 3a + 2 ) = 0  x = −1 ⇔  f ( x ) = 2 x + ( 3a − 2 ) x + 3a + 2 = 0 2 Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) thì f ( x ) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1  6+4 3 ∆ = ( 3a − 2 ) 2 − 8 ( 3a + 2 ) > 0 3a − 12a − 4 > 0 2 a >  3 ⇔ ⇔ ⇔  f ( −1) ≠ 0  6 ≠ 0  6−4 3 a <  3  6−4 3   6+4 3  Vậy các điểm M thỏa mãn có tọa độ ( a;0 ) với a ∈  −∞;  ∪ ; +∞   3   3     − x 3 + 3 x + 2 = mx 4.2. Hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx ⇔   có nghiệm  −3 x + 3 = m 2  Suy ra: − x 3 + 3 x + 2 = ( −3 x 2 + 3) x ⇔ 2 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) = 0 ⇔ x = −1 Thay vào ta được m = 0. Vậy m = 0 thì (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 0. 4.3. Gọi A ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , B ∈ ( C ) là điểm đối xứng với A qua điểm M ( −1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 ) Page 10 of 26
  11. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  y0 = − x0 + 3x0 + 2  3 Vì A, B ∈ ( C ) ⇒ 6 − y0 = − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2 3  ⇒ 6 = − x0 + 3x0 + 2 − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2 3 3 ⇒ 6 x0 + 12 x0 + 6 = 0 2 ⇒ x0 = −1 ⇒ y0 = 0 Vậy 2 điểm cần tìm là: ( −1;0 ) và ( −1;6 ) 4.4. Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x + x y + y2  I là trung điểm của AB nên I  1 2 ; 1  , ta có I ∈ d  2 2  y1 + y2 ( − x1 + 3 x1 + 2 ) + ( − x2 + 3 x2 + 2 ) 3 3 Có: x +x = = 2. 1 2 + 2 2 2 2 ⇒ − ( x1 + x2 ) + 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 ( x1 + x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) 3  x1 + x2 = 0 ⇒ 2  x1 − x1 x2 + x2 = 1 2 Lại có: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1 ) .1 + ( y2 − y1 ) .2 = 0 ⇒ 7 ( x2 − x1 ) − 2 ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) = 0 2 7 ⇒ x12 + x1 x2 + x2 = 2 2 7 7 - Xét x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = ± ; x2 = m 2 2  2 9  x12 − x1 x2 + x2 = 1 2  x1 + x2 = 4 2   - Xét  2 7⇔ ⇒ vô nghiệm  x1 + x1 x2 + x2 = x x = 5 2  2  1 2 4   7 1 7  7 1 7 Vậy 2 điểm đối xứng của đồ thị hàm số là:   2 ;2 − ; − ; 2 +   2 2  2   2 2  4.5. Bạn đọc tự vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = − x + 3 x + 2 3 3 3 a. Ta có: − x + 3 x + m − 1 = 0 ⇔ − x + 3 x + 2 = 3 − m 3 Vẽ đồ thị hàm số y = − x + 3 x + 2 như sau: - Giữ nguyên phần đồ thị ( C p ) hàm số (C) bên phải trục Oy Page 11 of 26
  12. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 - Lấy ( C ' p ) đối xứng phần đồ thị ( C p ) qua Oy ⇒ ( C1 ) = ( C ' p ) ∪ ( C p ) từ đó dựa vào đồ thị hàm số biện luận m +1 m +1 b. x − x − 2 = 2 ⇔ ( − x2 + x + 2) x + 1 = − với x ≠ −1 2 x +1 2 Vẽ đồ thị hàm số ( C2 ) y = ( − x + x + 2 ) x + 1 như sau: 2 - Giữ nguyên phần đồ thị ( C p ) của ( C ) - ứng với x > -1 - Lấy ( C ) đối xứng với phần đồ thị của ( C ) - ứng ' p với x < -1 qua trục hoành Ox ⇒ ( C ) = ( C ) ∪ ( C ) (Các bạn tự vẽ hình). Từ đó dẫn tới kết luận ' p p 4.6. Ta có: y ' = −3 x 2 + 3 ; y " = −6 x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ U ( 0; 2 ) là điểm uốn của đồ thị hàm số Hệ số góc của tiếp tuyến tại U là: k = y ' ( 0 ) = 3 Với điểm M ( x0 ; y0 ) bất kì thuộc đồ thị hàm số, thì hệ số góc tại M là: k1 = y ' ( x0 ) = 3 x0 + 3 ≤ 3 2 Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Câu 5: Cho hàm số (C): y = x 3 − 3mx 2 − mx và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d: 5.1. Tại đúng 2 điểm phân biệt. 5.2. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 5.3. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC 5.4. Tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân. Lời giải: 5.1. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x3 − x − 2 x 3 − 3mx 2 − mx = x + 2 ⇔ f ( x ) = =m 3x 2 + x 3 x 4 + 2 x3 + 3 x 2 + 12 x + 2 Ta có: f ' ( x ) = = 0 ⇔ 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 12 x + 2 = 0 ⇔ ... ( 3x + x) 2 2 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x), từ đó dựa vào bảng biến thiên kết luận bài toán 5.2. Tương tự như câu a Page 12 of 26
  13. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 5.3. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3mx 2 − mx = x + 2 ⇔ g ( x ) = x 3 − 3mx 2 − ( m + 1) x − 2 = 0 Hàm số (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC ⇔ g ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và điểm uốn của đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm trên trục hoành Ox. Phương trình g ' ( x ) = 3 x − 6mx − ( m + 1) = 0 có ∆ ' = 9m 2 + 3m + 3 > 0 nên luôn có 2 nghiệm phân biệt 2 - với mọi m Hàm y = g ( x ) có điểm uốn là U ( m; −2m − m − m − 2 ) ∈ Ox khi và chỉ khi: 3 2 - −2m3 − m 2 − m − 2 = 0 ⇔ ( m + 1) ( 2m 2 − m + 2 ) = 0 ⇔ m = −1 Vậy m = −1 5.4. Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: g ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )  x1 + x2 + x3 = 3m  Suy ra:  x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = −m − 1 x x x = 2  1 2 3 5 Vì x1 x3 = x2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x2 = 3 2 nên ta có: −m − 1 = 4 + 2.3m ⇔ m = − 2 3 3 3 2 +1 3 5 Đk đủ: Với m = − , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 33 2 +1 5 Vậy m = − 3 2 +1 3 Câu 6: Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 4 2 6.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng; 6.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Lời giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 ; (1) 4 2 Đặt t = x 2 , t ≥ 0 thì (1) thành: f (t ) = t − 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 . 2 Page 13 of 26
  14. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 6.1. Điều kiện để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt ∆ ' = m 2 > 0  1  m > − ⇔  S = 2 ( m + 1) > 0 ⇔  2 (*)  P = 2m + 1 > 0 m ≠ 0   Với (*), gọi t1 < t2 là 2 nghiệm của f(t), khi đó hoành độ giao điểm của hàm số với Ox lần lượt là: x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 Các giao điểm lập thành cấp số cộng ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1 ⇔ m +1+ m = 9 ( m +1− m ) m = 4 5m = 4m + 4 ⇔ 5 m = 4 ( m + 1) ⇔  ⇔  −5m = 4m + 4 m = − 4  9  4 Vậy m =  4; −   9 6.2. Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 0 = t1 < t2 < 3 ⇔ f ( t ) có 2 nghiệm phân biệt t1 ; t2 sao cho:  0 < t1 < 3 ≤ t2 ∆ ' = m 2 > 0 ∆ ' = m > 0 2    f ( 3) = 4 − 4m ≤ 0 ⇔  f (0) = 2m + 1 = 0   S = 2 m + 1 < 3  S = 2 ( m + 1) > 0  ( )  P = 2m + 1 > 0  1 ⇔ m = − ∨ m ≥1 2 1 Đáp số m = − ∨ m ≥ 1 . 2 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 14 of 26
  15. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN Câu 1: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (C) 1.4 Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) 1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn: a. xCT < 2 b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 1 c. x1 − x2 > , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị 3 d. Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0) Lời giải: 1.1. Hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇔ y ' = 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ 0 với ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 3x 2 + 2x + 2 ⇔ f ( x) = ≥ m với ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 4x +1 2 ( 6 x 2 + x − 3) −1 ± 73 Ta có: f ' ( x ) = = 0 ⇔ 6 x2 + x − 3 = 0 ⇔ x = ( 4 x + 1) 2 12 Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên ( 0; +∞ ) , từ đó ta đi đến kết luận:  −1 + 73  3 + 73 f  12 ≥m⇔  ≥m   8 1.2. Ta có: y ' = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  5 ⇔ ∆ ' = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − 5 > 0 ⇔ 2 2  m > 4 (*)   m < −1 Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 . 2m − 1 + 4m 2 − m − 5 a. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x2 = ⇒ xCT = x2 3 2 m − 1 + 4m 2 − m − 5 Do đó: xCT < 2 ⇔
  16. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 ⇔ 4m 2 − m − 5 < 7 − 2m 7 − 2 m > 0  ⇔ 2 2 ⇔ m< 2  4m − m − 5 < ( 7 − 2m )  5  Kết hợp với (*), kết luận các giá trị cần tìm của m là: m ∈ ( −∞; −1) ∪  ; 2  4  b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 đều lơn hơn -1   ∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0  ∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0    2(1 − 2m) 5 ⇔  x1 + x2 > −2 ⇔ − > −2 ⇔m>  x +1 x +1 > 0  3 4 ( 1 )( 2 )  2(1 − 2m) 2 − m −  3 + 3 >0  2(1 − 2m)  x1 + x2 = −  3 c. Áp dụng định lí viet, ta có:  x x = 2−m  1 2  3 1 1 ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 > 2 2 Ta có: x1 − x2 > 3 9 ⇔ 4 ( 1 − 2m ) − 4 ( 2 − m ) > 1 ⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0 2 3 + 29 3 − 29 ⇔m> ∨m< 8 8 3 + 29 Kết hợp (*), ta suy ra m > ∨ m < −1 8 d. Để hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2; 0) ⇔ y ' = f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và có ít nhất  −2 < x1 < x2 < 0;(1)  1 nghiệm thuộc (-2; 0) ⇔  −2 < x1 < 0 ≤ x2 ;(2)  x1 ≤ −2 < x2 < 0;(3)  Ta có: Page 16 of 26
  17. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  4m 2 − m − 5 > 0 ∆ ' = 4m − m − 5 > 0 2    −2 < 2 m − 1 < 0  −2 < x1 + x2  3  0 4 + + >0 7  1 2  3 3  x1 x2 > 0  2 − m  3 >0   4m 2 − m − 5 > 0 ∆ ' = 4m − m − 5 > 0 2   m ≥ 2  f ( 0) = 2 − m ≤ 0  (2) ⇔  ⇔  2 m − 1 > −2 ⇔m≥2 ( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) > 0  3 ( x + 2 ) ( x + 2 ) > 0  2 − m 4 ( 2m − 1)  1 2  + +4>0  3 3  4m 2 − m − 5 > 0  ∆ ' = 4m − m − 5 > 0 2   3m + 5 ≥ 0  f ( −2 ) = 10 + 6m ≤ 0  5 (3) ⇔  ⇔  2m − 1 < 0 ⇔ − ≤ m < −1  x1 + x2 < 0  3 3 x x > 0 2 − m  1 2  >0  3  5  Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m ∈  − ; −1 ∪ [ 2; +∞ )  3  Câu 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có: 2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3 2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc 45o .  5 17  2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I  ; −  3 3  3 1 2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ 2 2 2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5. 2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn 2. 2.8. Cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 3x2 = 4 . Page 17 of 26
  18. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Lời giải: Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*) Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 ; gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) Thực hiện phép chia y cho y’ ta được: 1 1  2m   m y =  x −  y '−  + 2 x +  2 −  3 3  3   3  2m   m y1 = y ( x1 ) = −  + 2  x1 +  2 −   3   3 ⇒  2m   m y2 = y ( x2 ) = −  + 2  x2 +  2 −   3   3  2m   m ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = −  + 2 x +  2 −   3   3 2.1. Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x – 1  2m  3 ⇔ − + 2  = 1 ⇔ m = − (thỏa mãn)  3  2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x – 1 y1 + y2 x1 + x2 ⇔ y I = xI − 1 ⇔ = −1 2 2  2m   m ⇔ − + 2  ( x1 + x2 ) + 2  2 −  = ( x1 + x2 ) − 2  3   3  2m  2m ⇔ + 3  .2 = 6 − ⇔m=0  3  3  3 Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0; −   2 2.2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3   2m  −  3 + 2  = −4    ⇔ ⇔ m = 3 (thỏa mãn)  2 − m  ≠ 3   3   2m  2.3. Đặt k = −  + 2  là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực trị.  3  Page 18 of 26
  19. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Đường thẳng x + 4y – 5 = 0 có hệ số góc bằng -1/4 1  1 1  3  39 k+ k + 4 = 1 − 4 k k = 5  m = − 10 Ta có: tan 45 = o 4 ⇔ ⇔ ⇔ 1  k + 1 = −1 + 1 k k = − 5 m = − 1 1− k 4   4 4   3   2 1 Kết hợp đk (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = − 2  5 17  2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm M  ; −  3 3  17  2m 5  m ⇔ M ∈d ⇔ − = − + 2  +  2 −  ⇔ m = 3 (thỏa mãn) 3  3 3  3 Vậy m = 3  x1 + x2 = 2  2.5. Theo định lí viet ta có:  m  x1 x2 = − 3  Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 1; − m ) . 3 1 d ⊥ ∆ Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ ⇔  2 2 I ∈ ∆   2m  3  −  3 + 2  . 2 = −1  ⇔   ⇔ m = −2 (thỏa mãn (*)) 3 1 − m = +   2 2 Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn bài toán 2.6. Các điểm cực trị A, B nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5. 2 m  ⇔  + 3  ( 4 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1) < 0 3  2 m   4m  ⇔  + 3  5 −  5 − 4m < 0 4   3 Page 19 of 26
  20. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 15 Vậy m > là các giá trị cần tìm. 4  2 m  2  2.7. Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + 2  + 1 ( x1 − x2 ) 2 2 2 2 =   3      2 m  2  2m  =  + 2  + 1  4 +   3     3  2m Với m thỏa mãn đk (*) ⇒ + 2 > 0 ⇒ AB 2 > 2 ⇒ AB > 2 3 Vậy khi hàm số có cực trị thì khoảng cách cực trị luôn lớn hơn 2 2.8. Áp dụng định lí viet, kết hợp điều kiện ta có hệ:  5  x1 + x2 = 2  x1 = 2    m  1 m 5 15  x1 x2 = − ⇔  x2 = − ⇒− =− ⇒m= (thỏa mãn (*))  3  2 3 4 4  x1 − 3 x2 = 4   m  x1 x2 = − 3  15 Vậy m = 4 Câu 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác: a. Vuông cân b. Đều c. Tam giác có diện tích bằng 4. 3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị. 3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M ( 2;1 ) Lời giải: x = 0 3.1. Ta có: y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔  3  g ( x) = x − m = 0 2 Vì hệ số a = 1 > 0 nên nếu hàm số có 1 cực trị thì đó là điểm cực tiểu, do đó điều kiện để hàm có cực tiểu mà không có cực đại là y’ = 0 đổi dấu tại duy nhất 1 điểm ⇔ ∆g = m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0 Page 20 of 26

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản