CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Chia sẻ: trancongphuc

Các định lý về giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học, và được thường xuyên khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán địa phương, quốc gia và quốc tế (ở cấp độ học sinh THPT hoặc sinh viên Đại học). Chúng tỏ ra là một công cụ rất hiệu lực trong việc giải các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của nhiều dạng phương trình khác nhau. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như thế nhờ ứng dụng các...

Nội dung Text: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

LỚP CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ
TRUNG BÌNH
ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE
THEOREMS


LÊ HOÀNG TRÍ
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
LÊ HOÀNH PHÒ
HV Cao học khoá 2004-2007


TÓM TẮT
Các định lý về giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học, và được
thường xuyên khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán địa phương, quốc gia và quốc tế (ở cấp
độ học sinh THPT hoặc sinh viên Đại học). Chúng tỏ ra là một công cụ rất hiệu lực trong việc
giải các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của
nhiều dạng phương trình khác nhau. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như
thế nhờ ứng dụng các định lý về giá trị trung bình trong ba lĩnh vực: liên tục, khả vi và khả
tích.
ABSTRACT
Theorems of the so-called mean-value kind play an important role in mathematical analysis
and are frequently exploited in regional, national and international olympiads (of high-school or
university level). They are the most powerful tool in solving problems concerning the existence
and quantitative property of solutions to various equations. In this paper, we investigate some
kinds of problems using such theorems in the three subjects: continuity, differentiability and
integrability.



1. Phương pháp sử dụng hàm số liên tục
Định lý 1.1 Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì có ít nhất một điểm
c ∈ (a;b) để f(x) = 0.
Định lý 1.2 Giả sử f là một hàm liên tục trên [a;b] và f(a) = A, f(b) = B. Lúc đó nếu C là
một số bất kỳ nằm giữa A và B thì có ít nhất một điểm c ∈ (a;b) để f(c) = C.
Định lý 1.3 Nếu f là một hàm liên tục trên [a;b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá
trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó.
Các bài toán áp dụng:
Bài toán 1: Chứng minh phương trình: x3 − x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Tính tổng
các luỹ thừa bậc 8 của 3 nghiệm đó.
(Olympic Việt Nam)
Giải: Xét hàm số: y = f(x)= x3 − x + 1 thì f liên tục trên D = R.
1 2
Ta có: f(-2)= -5 < 0; f(0)= 1 >0; f( )= 1− 0
3 3
nên phương trình cho có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Theo định lý Viet: x1 + x2 + x3 = 0; x1x2 + x2x3 + x3x1 = −1; x1x2x3 = −1
Ta có: x i − xi + 1 = 0 ⇒ x i = xi − 1
3 3


⇒ x5 = x 3 − x i = −x i + xi − 1 nên: x8 = 2 x i − 3xi + 2
2 2 2
i i i
3 3 3
Do đó: T = ∑x
i =1
i
8
= 2 ∑ xi 2 − 3 ∑ xi + 6
i =1 i =1
3

= 2[( ∑ xi )2 − 2 i∑1
3 3

] − 3 ∑ xi + 6 =10.
xi x j
, j=
i =1 i≠ j i =1

Bài toán 2: Chứng minh tập nghiệm của bất phương trình:
1 2 70 5
+ + ... + ≥
x −1 x − 2 x − 70 4
là hợp các khoảng rời nhau và có tổng độ dài là 1988.
(Olympic Quốc tế)
1 2 70 5 70 k 5
Giải:Ta có: + + ... + − =∑ −
x −1 x − 2 x − 70 4 k =1 x − k 4
∑ k ∏ ( x − j)
j≠k 5
4∑ k ∏ ( x − j ) − 5∏ ( x − j )
j≠k
= − =
∏ ( x − j) 4 4∏ ( x − j )
f ( x)
= với qui ước k, j = 1,70.
g ( x)
Rõ ràng g(x) = 0 có 70 nghiệm x = 1,2,..., 70
Và f liên tục trên R, f(k).f(k+1) < 0 với k = 1,69 và xlim f(x) < 0 , f(70) > 0 nên cũng có
→ +∞

đủ 70 nghiệm xen kẽ là: 1 < x1 < 2 < x2
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản