Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

2
1.047
lượt xem
209
download

Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức newton (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải)

  1. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 02 tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 02-04 Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton. Bài 1: Tìm hệ số của x3 trong khai triển: n  2 2  . Biết n thõa mãn: C1 + C 3 + ... + C 2 n −1 = 223 x +  2n 2n 2n  x Bài 2: Cho Cn + 2Cn + 2 Cn ... + 2 Cn = 6561 . 0 1 2 2 n n Tìm hệ số của số hạng chứa x7 và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển: n  2 3 x −   x Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển: 28  3 y x −   x Bài 4: Tìm hệ số của x2008 trong khai triển Newton của đa thức: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1) 670 670 Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển: f ( x) = ( 1 + 2 x + 3x 2 ) n Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức: Cn .Cn − 2 + 2Cn .Cn + Cn .Cn −3 = 100 2 n 2 3 3 n ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
  2. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 02-04 Bài 1: Tìm hệ số của x3 trong khai triển: n  2 2  . Biết n thõa mãn: C1 + C 3 + ... + C 2 n −1 = 223 x +  2n 2n 2n  x Giải: (1 + x) 2 n = C2 n + C2 n .x + C2 n .x 2 + ... + C2 n −1.x 2 n −1 + C2 n .x 2 n  0 1 2 2n 2n − 2 n −1 2 n −1 (1 − x) = C2 n − C2 n .x + C2 n .x − ... − C2 n .x + C2 n . x 2 n 2n 0 1 2 2 2n Ta có :  (1 + x) 2 n − (1 − x) 2 n = 2 ( xC2 n + ... + x 2 n −1C2 n −1 ) 1 2n 2 n −1 22 n Cho x = 1 ⇒ C + ... + C 1 2n 2n = = 22 n −1 = 223 ⇒ 2n − 1 = 23 ⇒ n = 12 2 12 12 − k  2 2 12 2k  2  12 ⇒  x +  = ∑ C12 .x .   k =∑ C12 .212− k .x 3k −12 k  x k =0  x k =0 ⇒ 3k − 12 = 3 ⇒ k = 5 ⇒ HS x 3 là : C12 .27 = 101376 5 Bài 2: Cho Cn + 2Cn + 2 Cn ... + 2 Cn = 6561 . 0 1 2 2 n n Tìm hệ số của số hạng chứa x7 và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển: n  2 3 x −   x Giải: Page 2 of 7
  3. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Ta có : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn .x 2 + ... + Cn −1.x n −1 + Cnn .x n 0 1 2 n khi x = 2 ⇒ 6561 = Cn + 2Cn + 22 Cn ... + 2n Cn = 3n ⇒ n = 8 0 1 2 n 8  2 3 8 8 ⇒  x −  = ∑ C8 x ( −3) .x = (−1) 3 ∑ C8k x 3k −8 k 2k 8− k k −8 k 8− k  x  k =0 k =0 ⇒ 3k − 8 = 7 ⇒ k = 5 ⇒ HS x 7 là : − 33 C85 = −1512 8 ∑ các HS = ∑ C k =0 k 8 (−3)8− k = ((1 − 3)8 = (−2)8 = 256 Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển: 28  3 y x −   x Giải: 28− k y 28 28 k 3k 28− k  y  28 Ta có : ( x − ) = ∑ C28 x .(−1) .   3 = ∑ C28 .( −1) 28− k .x 4 k − 28 . y 28− k k x k =0 x k =0 Do SM ( x) = 2 SM ( y ) ⇒ 4k − 28 = 2(28 − k ) ⇔ k = 14 => Số hạn cần tìm là: 14 C28 Bài 4: Tìm hệ số của x2008 trong khai triển Newton của đa thức: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1) 670 670 Giải: Coi n = 670 ⇒ 2008 = 3n − 3 ta có bài toán : Tìm hệ số a3n-3 của x3n-3 trong khai triển đa thức: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1) n n Page 3 of 7
  4. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Ta có: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1) n n ( x 2 − 2 ) = ( −2 + x 2 ) = Cn0 (−2)n + Cn1 (−2)n−1 x 2 + Cn3 (−2)n−2 .x 4 + ... + Cnn x 2n n n ( 1+ x) n = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n 0 1 2 n ⇒ a3n −3 = Cn ( Cnn −3 ) + (−2)Cn −1.Cn −1 = Cn −3 − 2n 2 = C670 − 2.6702 = 49005140 n n n n 667 Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển: f ( x) = ( 1 + 2 x + 3x 2 ) n Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức: Cn2 .Cnn − 2 + 2Cn2 .Cn + Cn .Cn −3 = 100(*) 3 3 n Giải: (*) ⇔ ( Cn ) + 2Cn .Cn + ( Cn ) = 100 ⇔ ( Cn + Cn ) = 100 2 2 2 3 3 2 3 2 2 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) ⇒ Cn2 + Cn = 10 ⇔ 3 + = 10 ⇔ n3 − n − 60 = 0 ⇒ n = 4 2 6 4 ⇒ f ( x) = ( 1 + 2 x + 3 x ) = ∑ C ( 3x ) . ( 1 + 2 x ) 2 4 2 2 k k 4 k =0 4 k = ∑ C .3 .xk 4 4−k 8− 2 k .∑ (2 x) m .Ckm k =0 m=0 Page 4 of 7
  5. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  m − 2k + 8 = 4  2k − m = 4 4 k   = ∑∑ ( C4 .Ckm .34− k .2m ) .x m − 2 k +8 ⇒ 0 ≤ k ≤ 4 k ⇒ 0 ≤ k ≤ 4 k =0 m =0 0 ≤ m ≤ k 0 ≤ m ≤ k    m = 2k − 4  k = 2; m = 0   m = 2k − 4  ⇒ 0 ≤ k ≤ 4 ⇔  ⇒  k = 3; m = 2 0 ≤ m ≤ k 2 ≤ k ≤ 4    k = 4; m = 4 ⇒ HS = C4 .C2 .32 + 3C4 .C32 .4 + C4 .C4 .30.24 = 54 + 144 + 16 = 214 2 0 3 4 4 • BTVN NGÀY 05-04 Bài 1: Tìm n nguyên dương thõa mãn: C2 n +1 22 n − 2C2 n +1.3.22 n −1 + 3C2 n +1.32.22 n − 2 − .... − 2nC2 n +1 32 n −1.2 1 2 3 2n 2 n +1 + (2n + 1)C2 n +1 32 n = 2011 Giải: Xét khai triển: ( 2 − x) 2 n +1 = C2 n +1.22 n +1 − C2 n +1.22 n.x 2 + ... + C2 n +1.2.x 2 n − C2 n +1 .x 2 n +1 0 1 2n 2 n +1 Đạo hàm 2 vế: ( 2 − x) 2 n +1 = C20n +1.22 n +1 − C2 n +1.22 n.x + ... + C22nn+1.2.x 2 n − C22nn++11.x 2 n +1 1 ⇒ − (2n + 1) ( 2 − x ) 2n = − C2 n +1.22 n + 2C22n +1.22 n −1.x + ... + 2nC22nn+1.2.x 2 n −1 − (2n + 1)C22nn++11.x 2 n 1 Cho x = 3 ⇒ 2n + 1 = C2 n +1.22 n − 2C22n +1.22 n −1.3 − ... − 2nC22nn+1.2.32 n −1 + (2n + 1)C22nn++11.32 n = 2011 1 ⇒ n = 1005 Page 5 of 7
  6. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Bài 2: Tính tổng: 0 1 1.Cn 2.Cn 3.Cn2 (n + 1).Cn n S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 A1 A2 A3 An +1 Với: Cn 0 + Cn + Cn2 = 211 1 Giải: n (k + 1)Cnk (k + 1)Cn (k + 1)Cn k k S =∑ vì : = = Cn k k =0 1 Ak +1 1 Ak +1 (k + 1)! k! ⇒ S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn = (1 + 1) n = 2n 0 1 2 n n(n − 1) Mà : 211 = Cn + Cn + Cn ⇔ 1 + n + 0 1 2 = 211 ⇔ n 2 + n − 420 = 0 2 ⇔ n = 20 ⇒ S = 220 Bài 3: Chứng minh hệ thức: 2.1Cn2 + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n − 2 3 4 Giải: Ta có : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn2 .x 2 + ... + Cnn −1.x n −1 + Cnn .x n 0 1 Đạo hàm 2 vế ta có: n(1 + x ) n −1 = Cn + 2Cn2 .x + ... + (n − 1)Cnn −1.x n − 2 + nCnn .x n −1 1 Đạo hàm lần nữa ta có: n(n − 1)(1 + x)n− 2 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 x + ... + (n − 1)(n − 2)Cnn−1 x n− 3 + n(n − 1)Cnn .x n− 2 Cho x=1 ta có: VT = n(n − 1)2n − 2 = VP ⇒ dpcm Page 6 of 7
  7. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Bài 4: Tính tổng: S = ( Cn ) + 2 ( Cn ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cnn ) 1 2 2 23 2 2 Giải: Ta có :(1 + x) n .(1 + x) n = (1 + x) 2 n Đạo hàm 2 vế ta có: 2 (1 + x) n  '.(1 + x) n = (1 + x) 2 n  '       (1 + x ) n  ' = Cn + 2Cn .x + ... + (n − 1)Cn −1.x n −2 + nCn .x n −1 (1) 1 2 n n    Mà : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn .x 2 + ... + Cn −1.x n −1 + Cn .x n (2) 0 1 2 n n    (1 + x )  ' = C2 n + 2C2 n .x + ... + (2n − 1)C2 n .x 2 n −1 2 n − 2  2n  1 2 + 2nC2 n .x 2 n −1 2n  ⇒ Qua (1) và (2) ⇒ HS x n −1 là: ( Cn ) + 2 ( Cn2 ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cn ) 1 2 3 2 n 2 2 Mà qua (3) : HS x n −1 là:nC2 n n ⇒ S = ( Cn ) + 2 ( Cn ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cn ) = nC2 n 1 2 2 32 n2 n 2 Bài 5: Tính tổng: 2 2 2 2 C  C  C  1 2  C  3 n S =  + n  +   + ... +  n  n n  2   3   4   n +1 Cách làm bài này tương tự bài trên nhưng các bạn dung phương pháp đạo hàm 2 vế. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 7 of 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản