Các bài toán về Idean và vành thương

Chia sẻ: kieudinhtuan

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về idean và vành thương', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Các bài toán về Idean và vành thương

 

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 10. Các Bài Toán V Iđêan Và Vành Thương Indêan trong vành có vai trò tương t như ư c chu n trong nhóm, giúp hình thành nên c u trúc vành thương. Cho vành X, b ph n I = ø trong X đư c g i là m t idêan n u I ⊂ X đ ng th i th a mãn v đi u ki n: ∀x ∈ X, ∀a ∈ I thì ax, xa ∈ I (*). Đi u ki n sau cùng (*) có th đư c g i là đi u ki n hút hai phía (t c ph n t x ∈ X dù "dính" bên trái (xa) hay "dính" bên ph i (ax)) v i các ph n t a ∈ I thì b "hút" vào trong I !) Khi I là idean c a X (Kí hi u : I X) thì t p thương X I = {x + I : x ∈ X} đư c trang b các phép toán (xác đ nh h p lí ! ) sau : • Phép c ng : (x1 + I) + (x2 + I) = (x1 + x2 ) + I. • Phép nhân : (x1 + I)(x2 + I) = x1 x2 + I, s tr thành m t vành, g i là vành thương c a vành X theo idean I và kí hi u là (X I; +, .) hay đơn gi n hơn : X I. N u X là vành giao hoán thì X I giao hoán N u X là vành có đơn v 1 thì X I có đơn v là 1 + I. Tuy nhiên, n u X không có ư c c a 0 thì X I nói chung không đư c th a k vô đi u ki n tính ch t nói trên c a X (đ c gi hãy th suy nghĩ xem, lí do vì sao?) Các bài toán v inđêan và vành thương thư ng g p trư c h t là các bài toán ki m tra m t b ph n nào đó c a m t vành cho trư c là iđêan và mô t c u trúc c a vành thương theo iđêan đó. Đ ki m tra m t iđêan ta dùng tiêu chu n iđêan đư c phát bi u như sau : Cho vành X, t p I = ø trong X là iđêan c a X khi và ch khi : ∀a, b ∈ I : a−b∈I ∀x ∈ X, ∀a ∈ I : ax, xa ∈ I 1
  2. 1. Ví d 1 : Cho các t p s ph c sau : √ √ Z( −5) = a + b −5 : a, b ∈ Z √ I = 5a + b −5 : a, b ∈ Z √ (a) Ch ng minh r √ Z( −5) là vành v i hai phép c ng và nhân thông thư ng các s ng ph c và I Z( −5). √ (b) Ch ng minh r ng vành thương Z( −5)/I là trư ng. Gi i: (a) Chúng tôi dành cho đ c gi dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra √ √ Z( −5) ⊂ (C; +; .), và do đó Z( −5) là m t vành. v √ Đ ki m tra I Z( −5), ta có : √ √ • ∀5a1 + b1√ −5, 5a2 + b2 √ ∈ I : −5 √ (5a1 + b1 −5) − (5a2 + b2 −5) = 5(a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −5 ∈ I √ √ √ • ∀a + b√ −5 ∈ Z( −5), ∀5c + d −5 ∈ I : √ √ (a + b √ −5)(5c + d√−5) = 5(ac − bd) + (5bc + ad) −5 ∈ I và √ √ (5c + d −5)(a + b −5) = (a + b −5)(5c + d −5) ∈ I √ V y I là iđêan c a Z( −5). (b) Ta có vành thương : √ √ Z( −5)/I = {(a + b −5) + I : a, b ∈ Z} √ = {a + I : a ∈ Z} (vì b −5 ∈ I) = {0 + I; 1 + I; 2 + I; 3 + I; 4 + I} √ √ D th y Z( −5) là vành giao hoán, có đơn v nên vành thương Z( −5)/I là vành giao hoán, có đơn v . Ta còn ph i ch ng t b t kì ph n t m + I = 0 + I trong vành thương là có ngh ch đ o. Th t v y khi đó m là s không chia h t cho 5 và do 5 là s nguyên t nên (m, 5) = 1. T c t n t i các s nguyên k và t mà km + 5t = 1, và như v y t n t i ph n t (k + I) mà : (m + I)(k + I) = km + I = 1 − 5t + I =1+I t c (k + I) = (m + I)−1 . √ V y Z( −5)/I là trư ng. √ Nh n xét : Đ ki m tra vành thương Z( −5)/I là trư ng ta đã dùng đ nh nghĩa trư ng đ ki m tra. Sau này ta còn có th kh ng đ nh đi u trên nh vào vi c ch ra I là iđêan √ t i đ i√ a Z( −5). Ta cũng có th kh ng đ nh đi u đó nh vi c thi t l p m t toàn c u c ϕ : Z( −5) −→ Z5 , v i Z5 là trư ng, mà ker ϕ = I. Đ đưa các ví d ti p theo, trư c h t ta nh c l i và đ nh nghĩa v iđêan nguyên t , iđêan t i đ i. Đ nh nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Inđêan I X đư c g i là iđêan nguyên t n u xy ∈ I thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I. Inđêan I X đư c g i là iđêan t i đ i n u I là iđêan th t s c a X và không b ch a 2
  3. trong b t kì iđêan th t s nào khác I. (Nói cách khác n u có J X mà J ⊃ I thì ho c J = X ho c J = I). V các iđêan nguyên t và iđêan t i đ i c a m t vành X giao hoán có đơn v , chúng ta có th cho m t đ nh nghĩa khác tương đương, th hi n trong ví d sau. 2. Ví d 2 : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Ch ng minh r ng, n u I X thì : (a) I là iđêan nguyên t ⇔ vành thương X/I là mi n nguyên. (b) I là iđêan t i đ i ⇔ X/I là trư ng. Gi i : (a) B i X I là vành giao hoán có đơn v nên các đi u ki n đ nh ra trên có th rút g n hơn như sau : I là iđêan nguyên t ⇔ X I không có ư c c a 0 Th t v y : I là iđêan nguyên t ⇔ xy ∈ X thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I ⇔ (x + I)(y + I) = xy + I = 0 thì x + I = 0 ho c y + I = 0 ⇔ X I không có ư c c a 0. (b) Tương t nh n xét trên, do X I là vành giao hoán có đơn v nên đi u c n ch ng minh có th rút g n như sau : I là iđêan t i đ i ⇔ m i ph n t a + I = 0 là kh ngh ch. Th t v y : I là iđêan t i đ i ⇔ ∀a ∈ I thì iđêan / J =< I, a >=I + aX = X ⇔ ∀a ∈ I :1 ∈ I + aX / ⇔ ∀a ∈ I, ∃b ∈ X :1 ∈ ab + I / ⇔ ∀a + I = 0, ∃b + I :(a + I)(b + I) = ab + I = 1 + I ⇔ ∀a + I = 0 đ u kh ngh ch (đpcm). Các k t qu trong ví d 2 cho ta các tiêu chu n ki m tra m t iđêan là t i đ i hay nguyên t thông qua vi c xem xét vành thương theo chúng là trư ng hay mi n nguyên. 3. Ví d 3 : Cho các t p các ma tr n nguyên c p hai sau : m n X= : m, n ∈ Z n m và : m −m A= :m∈Z −m m Ch ng minh r ng X là vành giao hoán có đơn v và A là iđêan nguyên t c a vành X. Gi i : 3
  4. Đ ki m tra X là vành ta dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra 1 0 X ⊂ M2 , trong đó M2 là vành các ma tr n th c c p hai. Đơn v c a X là E = v ∈ 0 1 X. Tính giao hoán c a phép nhân trong X có th ki m tra tr c ti p. M i tính toán chi ti t ph n nói trên xin dành cho đ c gi . Ta ki m tra A X : m −m n −n • ∀ , ∈A: −m m −n n m −m n −n (m − n) −(m − n) − = ∈A −m m −n n −(m − n) (m − n) m n k −k • ∀ ∈ X, ∀ ∈A n m −k k m n k −k k −k m n k(m − n) −k(m − n) = = ∈A n m −k k −k k n m −k(m − n) k(m − n) V y A là iđêan. Vi c ki m tra A là iđêan nguyên t , ta có th ti n hành theo đ nh nghĩa ho c theo tiêu chu n có đư c t ví d 2. N u theo đ nh nghĩa ta có : • Cách 1 : N u m n k l mk + nl ml + nk = ∈A n m l k ml + nk mk + nl thì mk + nl = −(ml + nk) ⇔ mk + ml + nl + nk = 0 ⇔ (m + m)(k + l) = 0 m+n=0 ⇔ [ k+l =0 m = −n ⇔ [ k = −l m n ⇔ ho c ∈A n m k l ho c ∈A l k T c A là iđêan nguyên t . N u theo tiêu chu n t ví d 2, ta c n ki m tra X A là mi n nguyên thì : • Cách 2 : Hi n nhiên X A là vành giao hoán có đơn v . Ta ch còn ph i ki m tra X A không m + k −m có ư c c a 0. Đ ý r ng m i ph n t c a X có th vi t dư i d ng : −m m + k 4
  5. k 0 nên m i ph n t c a X A có th vi t dư i d ng : + A . Vì v y n u : 0 k k 0 l 0 +A +A =0 0 k 0 l kl 0 ⇒ ∈A 0 kl ⇒ kl = 0 k=0 ⇒[ l=0 k 0 ⇒ + A = 0 ho c 0 k l 0 +A=0 0 l V y X A không có ư c c a 0 ; Do v y A là iđêan nguyên t . 4. Ví d 4 : Cho các t p các ma tr n c p hai sau : a b X= : a, b ∈ R b a và a a A= :a∈R a a Ch ng minh X là vành giao hoán có đơn v (v i phép toán c ng và nhân ma tr n) và A là iđêan t i đ i c a X. Gi i : Vi c ki m tra X ⊂ M2 v i M2 là vành các ma tr n th c c p hai, X là vành giao hoán có v 1 0 đơn v E = ∈ X xin đư c giành cho đ c gi . 0 1 Ta ki m tra A X: a a b b • ∀ , ∈A: a a b b a a b b a−b a−b − = ∈ A. a a b b a−b a−b a b c c • ∀ ∈ X, ∀ ∈ A ta có : b a c c a b c c c c a b c(a + b) c(a + b) = = ∈ A. b a c c c c b a c(a + b) c(a + b) 5
  6. V y A là iđêan Đ ch ng minh A là iđêan t i đ i ta dùng đ nh nghĩa. N u BX, B = A và B ⊃ A c d thì ta ph i ch ng minh B = X. Vì B = A, t t n t i ph n t ∈ B mà d c d d c = d. Vì B ⊃ A nên ph n t ∈ A ⊂ B, do đó : d d c d d d c−d 0 − = ∈B d c d d 0 c−d (v i c − d = 0) Vì B là iđêan nên 1   c−d 0  c−d 0  1  ∈B 0 c−d  0 c−d 1 0 hay ∈ B, do v y B = X. T c A t i đ i. 0 1 Nh n xét : Ta cũng có th ch ng minh A t i đ i b ng cách ki m tra X A là a 0 trư ng. Đ ý r ng m i ph n t khác 0 c a X A có d ng +A v i a=0 ;   0 a 1  a 0  và do v y nó có ngh ch đ o là  1 +A 0 a BÀI T P 1. Cho X là vành và n là s nguyên cho trư c và cho A = {x ∈ X : nx = 0}. Ch ng minh A X 2. Ch ng minh r ng trong vành giao hoán có đơn v , m i iđêan t i đ i đ u là iđêan nguyên t . Ch ng minh r ng trong vành Zn vành các s nguyên modul n, m i iđêan nguyên t đ u là iđêan t i đ i. 3. Cho các t p các ma tr n c p hai sau : a 0 X= : a, b ∈ R 0 b và 0 0 :a∈R a 0 (a) Ch ng minh r ng X là vành có đơn v (v i hai phép c ng và nhân ma tr n) (b) Ch ng minh A X và X A là trư ng. 6
  7. m n 4. Cho vành X = : m, n ∈ Z trong ví d 3 và n m m 5n − m A= : m, n ∈ Z Ch ng minh r ng A là iđêan t i đ i c a X. Tìm 5n − m m t t c các iđêan t i đ i c a X? Tìm t t c các iđêan nguyên t nhưng không t i đ i c a X. a b 5. Cho vành X = : a, b ∈ R trong ví d 4 . Tìm t t c các iđêan t i đ i c a b a vành X. 7
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản