Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Các bài toán về Tích phân

Chia sẻ: | Ngày: doc 14 p | 412

6
1.680
views

Tài liệu tham khảo các bài toán về tích phân, sử dụng các phép biến đổi sơ cấp , phép biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số, phuongq pháp tích phân từng phần , phương pháp tích phân phụ, .....

Các bài toán về Tích phân
Nội dung Text

  1.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    13 PHẦN TÍCH PHÂN I-SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI VI PHÂN Tính các tích phân sau : π 4 2 4 4 1 x 3 dx 5 xdx 1) ∫  3 x + 1  dx     ; 2) ∫ dx ; 3) ∫ ; 4) ∫ 1 x π sin 2 2 x 0 x2 +1 2 x −1 6 π 2 2 1 x 2 dx 1 e 3 x dx 3 dx 5) ∫ 2 sin x (sin x − 1)dx ; 6) ∫ ; 7) ∫ x ; 8) ∫ 2 0 1 + cos x 0 ( x + 1) 3 0 e +1 2 x ( x − 1)  4  2 x 2 x − 1 + 1dx 1 (3 x 2 − 3)dx e x 3 + 2 + ln x 9)   ; 10) ∫ 2 ; 11) ∫ dx ∫ 0 ( x + 1)( x 2 + 3 x + 1) x 1 2 +1 1 x ln e (e 3 x + e x ) dx π 2 x3 + x 2 − x + 1 ∫ 3 2 12) ∫ 4 − 2x 2 + 1 dx ; 13) 1 (e 2 x − 1) 2 ; 14) ∫ ( tan x + cot x ) dx 2 x π 2 4 3 2 x x − 2 x + ln(1 + x ) 4 x + 4 x x + ln x 15) ∫ dx ; 16) ∫ dx 1 2 x (1 + x ) 1 2x π  2  2 1 x + ln x + x + 1  17) ∫ cot x[1 + ln(sin x)] dx ; 18)   dx π ∫ 4 0 x2 +1 2 x2 −1 1 e 2 x + e x . ln(e x + 1) − 1 e2 ln 3 x + 1 19) ∫ dx ; 20) ∫ dx ; 21) ∫ dx 1 2 x ( x 2 + 1) 0 ex +1 e x ln 3 x π 3 dx π π 4 3 sin 2 xdx 22) ∫ ; 23) ∫ dx ; 24) ∫ π sin 4 x 0 ( 2 sin x + cos x ) 0 2 sin 2 x + 3 cos 2 x 2 4 π π 1 1 2+ x 3 4 4 + sin 3 2 x 25) ∫ ln dx ; 26) ∫ sin 3x cos xdx ; 27) ∫ dx −1 4 − x 2 2 − x 0 π sin 2 2 x 6 π π π 4 4 4 28) ∫ sin 2 x 1 + sin 2 x dx ; 29) ∫ sin x + 1 + tan x dx ; 30) ∫ sin 2 x(cos 4 x + sin x)dx 2 0 0 cos x 0 π π π 6 2 dx 4 1 + cos 2 x 31) ∫ dx ; 32) ∫ ; 33) ∫ dx π sin 2 x 0 1 − sin 2 x 0 1 + sin x 6 (13) Nguyeãn Coâng   Maäu
  2.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    14 π 1 11 dx 2 3 1 (4 x 2 − x + 1)dx 34) ∫ 2 x (1 − x ) ; 35) ∫ 2 sin xdx ; 36) ∫ 0 0 1 + cos x 0 x3 + 1 37) ∫ 1 ( x 4 + 1) dx 6 +1 1 x ; 38) ∫ 2 0 x +1 [ ] 1 + ln(1 + x 2 ) dx ; 39) ∫ 1 (e x − e − x ) ln(e x + e − x ) 0 e x + e−x dx 0 x π π π ( ) 4 ln(tan x) 2 6 40) ∫ dx ; 41) ∫ sin 6 x + cos 6 x dx ; 42) ∫ cos 4 xdx π sin 2 x 6 0 0 π π π ( ) 6 4 x 43) ∫ cos 3 xdx ; 44) ∫ sin 4 x − cos 4 x dx ; 45) ∫ cos 3 x cos x. sin dx 0 2 0 0 π π π ( ) 3 4 46) ∫ ( tan x − 2 cot x ) dx 2 4 2 1 ; 47) ∫ tg x + tg 4 x dx ; 48) ∫ dx π 4 0 0 cos 2 x tan x + 3 π π ( ) 1 6 7 )dx 2 5 6 2 49) ∫ x (1 − x ; 50) ∫ sin 2 x 3 − cos 2 x dx ; 51) ∫ ( 2 cos x − 1)dx 0 0 0 1 − sin 2 x π π 6 ( 4 cos 2 x − 3) cos xdx 2 1 8x − 4 52) ∫ ; 53) ∫ sin x e cos x + sin x  dx   ; 54) ∫ dx −1 ( x + 2)( x + 1) 2 0 (1 + sin 3 x) 2 0   π π π 2 sin xdx 3 1 2 55) ∫ ; 56) ∫ dx ; 57) ∫ sin xdx π sin x. cos x 2 2 0 1 + sin x 4 0 cos x + sin x π π π 4 dx 2 3 2 58) ∫ ; 59) ∫ sin x(1 + cos x ) dx ; 60) ∫ cos 4 x(1 + sin x ) dx π sin 2 x 6 0 0 II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : Tính các tích phân sau : 3 dx 2 x3 + x 2 + 1 1 e 3 x dx 3 dx 1) ∫ ; 2) ∫ dx ; 3) ∫ ; 4) ∫ 2 x x2 −1 1 x4 +1 0 e2x + 1 1 x x2 + 1 π 2 x3 + x 2 − 2 13 x − 2 3 5) ∫ dx ; 6) ∫ 3 dx ; 7) ∫ sin xdx 4 +4 0 2x + 1 1 x 0 cos 2 x − cos x − 6 2 ( 2 x + 1) dx 3 ( x − 1)dx 2 x +1 2 ( x + 1) dx 8) ∫ ; 9) ∫ ; 10) ∫ dx ; 11) ∫ 2 0 x2 + 4 1 4 − x2 2 x2 −1 0 x +4 π π e 2 2 3 ( 12) ∫ cos x.e sin x dx ; 13) ∫ e cos x + 4 + 3 cos x sin xdx ) ; 14) ∫ ln x 1 + ln x dx x 0 0 1 (14) Nguyeãn Coâng   Maäu
  3.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    15 π π e ln x 1 + ln x 4 4 2 sin x  15) ∫ dx ; 16) ∫  sin 3 x − tan x  cos 2 xdx   ; 17) ∫  cot x + dx x π 1 + 3 cos x  1 0  6 π 3 1 1  1 5 4 3 4 x3 + x 2 + 2 x + 1 18) ∫  4 +  ; 19) ∫ (3 x + x + 1)dx ; 20) ∫ dx π  sin x cos 4 x    0 x6 + 1 1 x 4 + x2 + 1 4 1+ 5 2 5 1 ( x 4 + x)dx 3 2 dx 21) 2 4 x + x − 2 x + 1 dx ; 22) ∫ ; 23) ∫ ∫ 3 x x 2 + 16 −1 x 2 + 1 1 x4 − x2 + 1 π π 1 ( x 4 + tan x) dx 2 sin 3 xdx 1 xdx 4 sin 3 xdx 24) ∫ ; 25) ∫ ; 26) ∫ 10 ; 27) ∫ −1 x2 +1 −π 1 + cos 2 x −1 x + 1 −π 1 + cos x 2 4 7 3 1 (2 x + 2)dx 3 dx 4 2 10 28) ∫ x 3 1 + x 2 dx ; 29) ∫ 2 ; 30) ∫ 4 2 ; 31) ∫ x ( x − 3) dx 0 0 x + 3x + 2 1 x ( x + 1) 3 π π 1 x 3 dx ln 3 dx 2 dx 4 32) ∫ 4 ; 33) ∫ x +1 ; 34) ∫ ; 35) ∫ dx 0 ( x + 1) 0 e π sin x 3 0 cos 6 x π  2  2  36) ∫ sin 2 x 1 + sin 2 x  2 + (1 + cos x ) 2  dx ; 37) e ln x1 + 4 + ln x dx    ∫ 0       1 x π π x sin x π x sin x π 2 x. sin xdx 6 2 38) ∫ x cos ; 39) ∫ 2x dx ; 40) ∫ 2x dx ; 41) ∫ tan xdx 0 01 + sin 01 + cos 0 cos 2 x π π π 2 2 2 sin 4 x 42) ∫ cos 2 2 x. sin xdx ; 43) ∫ (1 − sin x) n cos xdx(n ∈ N ) ; 44) ∫ dx 0 sin x + cos x 4 4 0 0 π 2π π x 3 π 2 dx 2 45) ∫ ; 46) ∫ cos x.e sin x dx ; 47) ∫ x sin xdx ; 48) ∫ x cos xdx 01 + sin x 0 π 0 3 π π π 2 2 sin 2 x + cos x 2 3 cos x(1 − sin x ) 49) ∫ ( sin 2 x + cos x ) 2 + sin x dx ; 50) ∫ dx ; 51) ∫ dx 0 0 4 − 3 sin x 0 2 + 1 + 3 sin x 2 2x3 + 5x 2 + 8x + 4 ( ; 53) ∫ e 0 cos x ) + sin 2 x − 2 sin x sin xdx 52) ∫ ( )( −1 x 2 + 4 x 2 + 2 x + 4 ) dx −π 2 54) ∫ 3 e 1 + ln x . ln x dx ; 55) e 1 + ln x . ln 2 x ∫ ( 2 2 dx ; 56) ∫ x + 3 dx ) 1 x 1 x 3 3 x x3 + 1 e e (15) Nguyeãn Coâng   Maäu
  4.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    16 2 x3 4 3 2 x dx 2 x +1 57) ∫ dx ; 58) ∫ ; 59) ∫ 2 dx 1 1+ x2 −1 0 1 + 3 2x 2 ( ) 0x +4 1 7 4 1 2n − 1 60) ∫ x (1 − x )dx Tổng quát : ∫ x (1 − x n ) m dx với m,n ∈ N 0 0 π π 2 dx 2 cos xdx 2 61) ∫ m + 1) ; 62) ∫ ; 63) ∫ sin xdx 1 x( x 0 2 + cos 2 x 0 sin x + cos x III-PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Tính các tích phân sau : π 2 π  2 x cos x     π2 4 1) ∫ 2x dx ; 2)  3  3 ; 3) ∫ sin x dx ; 4) ∫ x ln xdx π sin ∫ cos x dx 0 1 4 0 π 1 2x 2 2 π 2 1 x 5) ∫ x.e dx ; 6) ∫ x sin xdx ; 7) ∫ x cos xdx ; 8) ∫ x.2 dx 0 −π 0 0 2 π π e 2 3 4 x 4 9) ∫ ( 2 x + 1). sin 2 xdx ; 10) ∫ x ln xdx ; 11) ∫ x log 3 xdx ; 12) ∫ dx 0 1 1 0 cos 2 x π π 1 4 x sin x 1 x 4 ln(cos x) 1 x ∫ dx 13) ∫ dx ; 14) ∫ .e ln(e + 1) dx ; 15) ∫ dx ; 16) 0 x 2 + 1 2 π cos 2 x 0 π sin 2 x   6 6   eπ e ln x e 2 1 x 17) ∫ sin(ln x )dx ; 18) ∫ 2 dx ; 19) ∫ ln xdx ; 20) ∫ x.4 dx 1 1x 1 0 π π 3 x 2 e2 ln x 1 2 21) ∫ dx ; 22) ∫ x cos 2 xdx ; 23) ∫ dx ; 24) ∫ x ln( x + 1)dx π sin 2 x e x3 0 6 0 π π 4 2 2 + x + 2)dx 2 25) 2 ∫ x tan xdx ; 26) ∫ (2 x + 1) ln( x ; 27) ∫ cos x ln(1 + sin x )dx 0 1 0 π 2 3 1 2 x 28) ∫ sin x ln(1 + cos x )dx ; 29) ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx ; 30) ∫ x .e dx 0 0 0 π 1 2 x 2 1 3 x2 31) ∫ e sin xdx ; 32) 2 x. ln 1 + x dx ; 33) ∫ x .e dx ∫ 0 0 0 1− x2 π 1 x e2 1 1 4 34) ∫ x .e dx ; 35) ∫ ( − ) dx ; 36) ∫ cos x. ln(tan x)dx 0 e ln 2 x ln x π 6 (16) Nguyeãn Coâng   Maäu
  5.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    17 π 3 ln(cos x) 1 x.e x 1 x2 37) ∫ dx ; 38) ∫ dx ; 39) ∫ dx 0 cos 2x 0 ( x + 1) 2 0 x2 +1 1 e4x π 4 4 40) ∫ dx ; 41) ∫ ( 2 x + 1) ln xdx ; 42) ∫ x + sin 2 x dx 0 e2x + 1 1 0 1 + cos 2 x π π π 2 sin x 4 tgx 2 43) ∫ e sin 2 xdx ; 44) ∫ e . sin x dx ; 45) ∫ x cos xdx 0 0 cos 3 x 0 2π 3 π 2 −x e−1 46) ∫ x sin xdx ; 47) ∫ x (e + cos 2 x)dx ; 48) 1 2 ∫ x. ln(` + x )dx π 0 β 0 PHƯƠNG PHÁP: Giả sử phải tính tích phân I = ∫ f ( x)dx ,trong đó : 3 α ln 4 49) ∫ P 2e ( f(x) = 0  = m x  a m −1 m  3 3 dx  x ) 2 x a+ e x  xdx x m; 1 50) +∫a xx a + − + ... 1 + 0 0 1 2 (a m , bn ≠ 0) ; 2 2 1 ( x ; 51) ∫ x − 1 .e dx ) Q( x) bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + +0x b *Khi m ≥ n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức IV)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ: thực sự (phân thức đúng). *Khi m < n thì f(x) là m: + phân sthức phải tính tích phân I. PHƯƠNG PHÁP ột Giả ử ta đúng. Vì mỗi đa thức bậc n với Ta đố a vào Q(x)phân phụ J tích đượvithành tích những thừa + hệ s ư thực tích luôn phân sao cho c ệc tính I + J số là nhị thức bậc nhất hoặc tam ện được dễ dàng. ệm trong đó có thể có những thực hi thức bậc hai vô nghi thừa số trùng nhau .Do v+ y trong các I-J thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức ậ Tính I+J v phân cơ bản sau : Nếu I+J=a và I-J=b thì I= ½(a+b) A A Ax + B Dạng I: ; Dạng II : ( x − a) k ; Dạng III : x 2 + px + q ; Dạng IV: Tính các tích − a sau : x phân Ax + Bπ π π 2 k sin n xdx 2 cos n xdx 6 2 ( x1)+I px + q ) n 2 = ∫ và J = ∫ . ; 2) ∫ cos xdx n n n 0 cos x + sin x 0 cos x + sin x Trong đó k ∈ N ; k ≥ 2và A,B,a,p,q ∈ R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm). 0 cos 2 x 3π π *Mộ4 phân 2 ức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu t th π 2 2 cos xdx trên (Dùng phương pháp đồng4) 2 t hai xdx thức). 3) ∫ ; nhấ sin đa ; 5) ∫ x sin xdx π sin x + cos x ∫ 0 2 Tổng quát cho cách phân tích : cos x 0 sin x + P ( x )π P( x) A1 A2 π Aα + = α β δ 1 e x dx γ = + + ... + Q6) )4 ( xdx a ) ( x − b) ( x + px + q ) 7) x + lx + s ) (x − 2 ; ( ∫ x 2 x − a ( x − a ) ; 8) 2( x − a) α 2 ∫ −x x 2 0 1 + tan x 0e + e ∫ e sin xdx 0 B1π B2 Bβ M 1 x + N1 M δ x + N δ π P1 x + Q1 Pγ x + Qγ + + + ... + π + 2 + ... + 2 + 2 + ... + 2 . x − 6 ( x − b) b 2 β + x +q δ n+ x cos ( x − b) 2 xsin 4px cos xdx ( x + px + q ) 2 x + lx1+ s xdx ( x + lx + s) γ 9) sin 2 x ; 10) ∫ tổng quát ∫ sin . ∫ tính dx *Cáchcos 2 xtích phân của các phân x +ức dạng cơ bản : n n ; (n ∈ Z ) 0 0 cos 3 th sin 3 x 0 cos x + sin x A Dạng ∫ dx = A ln x − a + c . V)TÍCH PHÂN− a x HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ : A A Dạng ∫ ( x − a) k dx = A∫ ( x − a) d ( x − a) = − k + 1 ( x − a) + c −k − k +1 Ax + B du dt Dạng ∫ x 2 + px + q dx = b1 ∫ u + b2 ∫ t 2 + a 2 với b1,b2,a là hằng số. (17) Nguyeãn Coâng   Maäu Ax + B du dt Dạng ∫ ( x 2 + px + q) k = b1 ∫ u k + b2 ∫ (t 2 + a 2 ) k
  6.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    18 Tính các tích phân sau: 2 2 2 2 dx (2 x − 1)dx dx dx 1) ∫ 2 ; 2) ∫ 2 ; 3) ∫ 2 ; 4) ∫ x(x + 1) 0 (x + 4) 2 1 x − 2x + 2 1 x − 2x + 2 4 1 1 1 2 3 +1 ( x + 2)dx (4 x − 2)dx ( 2 x 2 − 3x − 3)dx 5) ∫ ; 6) ∫ ; 7) ∫ 0 x2 +1 0 ( x + 2)( x + 1) 2 3 ( x − 1)( x 2 − 2 x + 5) (18) Nguyeãn Coâng   Maäu
  7.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    19 dt dt 1 (t 2 + a 2 ) − t 2 1 dt Để tính Ik = ∫ (t 2 + a 2 ) k ta có : Ik = ∫ (t 2 + a 2 ) k = a 2 ∫ (t 2 + a 2 ) k dt = a 2 ∫ (t − 2 + a 2 ) k −1 1 2tdt 1 1  t  2 ∫ − t. 2 2 k = I + 2 2 k −1  2 − I k −1  2a (t + a ) a 2 k −1 2a (k − 1)  (t + a )  ⇒ I k = A0 + A1 .I k −1 (1) dt Dựa vào (1) ta tính được Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong đó I1= ∫ t + a2 2 1 2tdt 1  t  Chú y : − 2a 2 ∫ t. (t 2 + a 2 ) k = 2  2 − I k −1  tính nhờ phương pháp tích 2a (k − 1)  (t + a 2 ) k −1  phân từng phần 1 1 dx (3 x + 4)dx 3 3x 2 + 3 x + 3 3 x2 + x +1 8) ∫ 2 ; 9) ∫ 2 ; 10) ∫ 3 dx ; 11) ∫ ( x − 1) 3 dx 0 (x + 1) 0 ( x + 1) 2 2 2 x − 3x + 2 2 6+ 2 1 1 x 3 dx ( x 2 + 1)dx & 14) 3 ( x 2 + 1)dx ( x 2 − 2)dx 12) ∫ 8 ∫ x 4 + 3x 2 + 4 & 2 0 x −2 ;13) ∫ ∫ x 4 + x 2 + 1 & 15) 1 x4 +1 1 0 2 ( x − 1)dx 2 16) ∫ 1 x4 +1 Dạng tổng quát : β x2 ± a ∫ dx α x 4 ± bx 2 + a 2 VI)TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC : A)Tích phân dạng: ∫ F (sin x; cos x)dx Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx. 1)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là : F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx) 2)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx. 3)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là: F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx. (19) Nguyeãn Coâng   Maäu
  8.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    20 4)Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn 2t 1− t2 Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : sin x = và cos x = 1+ t2 1+ t2 B)Tích phân dạng : ∫ sin m x. cos n xdx với m, n ∈ Z 1)Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn : + Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx + Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx 2)Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dưới dấu tích phân: 1 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin x cos x = sin 2 x ; sin 2 x = ; cos 2 x = 2 2 2 3)Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C)Tích phân dạng : ∫ cos ax. cos bxdx ; ∫ sin ax. cos bxdx ; ∫ sin ax. sin bxdx Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức: 1 cos ax. cos bx = [ cos(a + b) x − cos(a − b) x] 2 1 sin ax. sin bx = − [ cos(a + b) x − cos(a − b) x ] 2 1 sin ax. sin bx = [ sin( a + b) + sin(a − b) x ] 2 D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt: a 1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ f ( x)dx = 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách −a đổi biến x = -t. b a+bb 2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì ∫ xf ( x)dx = ∫ f ( x)dx a 2 a π ππ ( thường gặp : ∫ xf (sin x )dx = ∫ (sin x)dx ) 0 20 Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = π − x ) 3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì : b f ( x)dx 1 b  b  ∫ x = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx  .Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t −b a + 1 2 −b    0  b b • Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .Cách chứng minh điều này −b 0 b 0 b 0 như sau: ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx rồi tính ∫ f ( x)dx bằng cách đặt x=-t −b −b 0 −b (20) Nguyeãn Coâng   Maäu
  9.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    21 Bài tập : Tính các tích phân sau : π π π 2 dx π 2 cos 3 dx 4 dx 4 4 1) ∫ ; 2) ∫ ; 3) ∫ tg xdx ; 4) ∫ 6x π sin 4 x π sin 4 x 0 cos 0 6 3 π π π 2 4 2 5) ∫ (sin 4 x + sin 5 x )dx ; 6) ∫ (tan 4 x + tan 3 x) dx ; 7) ∫ (sin 3 x + sin 2 x ) cos 2 xdx ; 0 0 0 π π π 4 3 8) ∫ ( cos 2 x + sin 3 x )dx ; 9) ∫ sin 3 x(cos x + sin 5 x )dx ; 10) ∫ 1 + sin x dx 0 1 + sin x cos x cos x 0 0 1 − sin x π π π 2 (1 + cos x )dx π 3 dx 3 4 sin 2 x dx 11) ∫ ; 12) ∫ ; 13) ∫ ; 14) ∫ π sin x dx π sin 4 x cos 4 x π sin 3 x cos 3 x 0 cos 4 x 6 6 4 π π 2π ( 2 15) ∫ sin x + 1 + sin x dx 0 ) ; 16) ∫ 2 dx 2 3 ; 17) ∫ 4 sin xdx 0 1 + sin x + cos x 0 1 + cos x π π x sin 3 x π x sin x 2 x 2 + cos x 18) ∫ dx ; 19) ∫ dx ; 20) ∫ x dx 01 + cos 2 x 01 + sin 2 x −π 2 + 1 2 π π 1 x 6 + sin 3 x 4 sin 4 x + cos 4 x 21) ∫ dx ; 22) ∫ x +1 dx ; 23) 4 dx x +1 2 π 3 ∫ −1 − 0 1 + tan x 4 π π π 3 tan x 4 2 dx 24) ∫ dx ; 25) ∫ tan 6 xdx ; 26) ∫ 0 cos 2 x 0 0 2 + cos x π π π 3 dx 4 4 sin x 27) ∫ sin 2 x dx ; 28) ∫ 3x ; 29) ∫ dx 4 x + sin 4 x π sin x cos 0 cos x 1 + sin 2 x 0 cos 4 π 3 dx π π 2 2 30) ∫ 4 ; 31) ∫ cos 3 x cos 3 xdx ; 32) ∫ sin 2 x cos 4 xdx π tg x 0 0 6 π π π 2 dx 2 4 cos 3 xdx 2 33) ∫ ; 34) ∫ ; 35) ∫ cos x cos 2 x sin 4 xdx 0 3 + 2 cos x 0 1 + sin x 0 π x sin x π 2 π 2 36) ∫ dx ; 37) 4 x sin x ;38) ∫ (sin x − cos x + 1) dx 0 7 + cos 2 x ∫ 0 0 sin x + 2 cos x + 3 (21) Nguyeãn Coâng   Maäu
  10.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    22 VII)TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ : Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x. n p m q 1)VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, x , x ,..., x dx r s     *Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r .Gọi k = BCNN(n,m,…,r). Đổi biến số x = tk . ax + b   2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, n  dx cx + d    ax + b *Cách giải : Đổi biến số t = n . cx + d  2  3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, ax + bx + c dx   *Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t = ax + bx + c . 2 *Cách giải thứ hai : Biến đổi ax 2 + bx + c theo một trong ba kết quả sau : ax 2 + bx + c = A2 − u 2(1) Bài tập : Tính các tích phân sau : + bx + c = A + u ax 2 (2) 2 2 81 4 x − 8 x ax 2 + bx + 15 = u 2dx A 2 c − (3) 3 dx 1) ∫ 4 dx ; 2) ∫ ; 3) ∫ (Trong đó)A là hằng số dương0; u xlà 1 + 3 x + 1 số của x ) 1 x( x + 1 + một hàm 1 x x2 + 1 −π π -Với (1) thì đổi biến u = Acost. 17ới 0 ≤ t ≤ π (hoặc u = Asint , với 11 ≤ x ≤ 2dx 3 dx V dx t− ) 4) ∫ ; 5) ∫ ; 6) 2∫ 2 1 x 2x 2 + 2x + 1 − π ) x 2 + 4x + 5 π 6 x − 2 −1 -Với (2) thì đổi biến u = Atant. Vớ(ix + 2 < t < 10 2 2 1 π 1 1 1− x -Với (3) thì đổi biến u = A/cost. Với 0 ≤ t ≤ π và t ≠ dx 3 ; 9) ∫ x 1 + x dx dx 7) ∫ ; 8) ∫ 2 0 x + 1− x2 1 x + 1 + x − (αx + β ) 1 1 ∫ dx . 2 4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG15I = dx : 2 + bx + c 1 (xdx + n) ax 10) ∫ 3 mx ; 12) ∫ ( x + 1) x + 2 x + 2dx 2 ; 11) ∫ 3 x +1 ( x − 1)( x + 1) 2 0 x +1 + 1 0 *Cách giải : Đổi biến số t = 1 dx mx0 + n dx 1 xdx 13) ∫x 2x − x 2 ; 14) ∫ − 2 ( x + 1) 3 + 2 x − x 2 ;15) ∫ & 16) 1 0 4 − x4 5 3 1 x 2 dx na 16) ∫ Tổng quát : 2 x n − 1dx với n ∈ N ; n ≥ 2 0 4 − x6 ∫ 0 a 2 − x 2n 2 2 1 dx e ln xdx dx 17) ∫ 2 ; 18) ∫ ; 19) ∫ 0 ( x + 1) 1 + x 2 1 x 1 + ln x 2 6 3 x (x 2 −2 ) 3 (22) Nguyeãn Coâng   Maäu
  11.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    23 1 2 3 1 − x 2 dx 5 x 2 − 1dx 20) ∫ ; 21) 3 x 2 − 1dx ; 22) ∫ 1 2 x6 ∫1 x 1 x3 3 1 + x 2 dx 1 1 3 ; 24) ∫ (1 − x ) dx ; 25) ∫ x 1 − x dx 2 5 2 23) ∫ 1 x2 0 0 2 dx 1 5 3 26) ∫ 5 2 ; 27) ∫ x 1 + x dx ; 28) ∫ x 2 3 − x 2 dx 2 2 x x −1 0 0 0 3 2 1+ x x 3 dx 2 xdx 29) ∫ dx ; 30) ∫ ; 31) ∫ −1 1− x 0 x2 +1 1 x+ x2 −1 3 2 1 xdx 5 dx 32) ∫ x − 1dx ; 35) ∫ 2 ; 33) ∫ x 2 − 1dx ; 34) ∫ 2 1 0 2 + 4x 2 5 + 4x − x 2 *chú ý: Đối với tích phân câu 32 &33 có thể dùng công thức sau để giải quyết : dx 1 ∫ x 2 + k = ln x + x + k + c ; riêng câu 33 có thể giải bằng cách đặt x = cos t 2 BÀI TẬP ( DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI ) Tính các tích phân sau: π π e ln 2 x 2 3 1) ∫ dx ; 2) ∫ (cos x ln x + sin x )dx ; 3) ∫ sin 2 x. ln(cos x) dx 1 x3 1 x 0 π π π 2 2 x sin xdx 2 4) ∫ x cos x sin 2 xdx ; 5) ∫ x cos ; 6) ∫  e 1 + 3 sin x + x  cos xdx   0 0 0  e 1 + 3 ln x dx e  2 ln x 1  e x 1  7) ∫ e ; 8) ∫  e +  ln xdx ; 9) ∫ e  + ln x dx 1 x 1 x 1 x  π π e−1 ln( x + 1) 2 2 10) ∫ dx ; 11) ∫ sin x 3 + sin 2 x.dx ; 12) ∫ 2 cos x + sin 2 x dx 0 x +1 0 0 1 + sin 2 x π 1 x +1 2 3 sin 2 x 3 x 3 .e x + 1 dx 13) ∫ dx ; 14) ∫ ln( tgx ) dx ; 15) ∫ 0 x2 +1 π cos 4 x 4 0 1+ x2 (23) Nguyeãn Coâng   Maäu
  12.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    24 π 4 2 3 3  x2 +1 1  16) ∫ x . sin x dx ; 17) ∫ x 2  e − x + x x 2 + 1 dx ; 18) ∫ x e    + dx 19) 0 cos 3 x 0   0  x +1   π x sin x 2 2 π  ∫ dx 2 + 1dx 2 2  2x ; 20) ∫ x. ln x ; 21) ∫ x 1 + x + sin x dx 22) 0 1 + cos 0 −π   π 4  x2 1  1 2 dx ∫ x e + dx ; 23) ∫ x 2 + 1dx ; 24) ∫   −π  cos 2 x  0 1 x5 + x3 4 1 x7 1 x 2m + 1 25) ∫ dx Tổng quát : ∫ dx 0 (1 + x 2 ) 5 0 (1 + x 2 ) m + 2  2  2 1 1 − x    dx b a − x    dx; a, b > 0 26) ∫ Tổng quát : ∫ 0 (1 + x 2 ) 2 0 (a + x 2 ) 2 0 1+ x 0 a+x 27) ∫ dx Tổng quát : ∫ dx ; với a > 0 −1 1 − x −a a − x 1 7 4 1 2n − 1 28) ∫ x (1 − x )dx Tổng quát : ∫ x (1 − x n ) m dx với m,n ∈ N 0 0 e x ln x π π dx 2 cos 2 x 4 29) ∫ 2 2 ; 30) ∫ e cos x sin 5 xdx ; 31) ∫ ln (1 + tgx ) dx 1 ( x + 1) 0 0 3 π π 2  (1 + sin x )1 + cos x  2 9 + 2x 2 dx 2 dx 32) ∫ ln   dx ; 33) ∫ 2 ; 34) ∫ 0  1 + cos x  3 x 0 sin x + cos x + 3   2 π 1 2 xdx 1 x + ln(1 + x) 2 35) ∫ e x (cos x + sin xdx ; 36) ∫ ; 37) ∫ dx 0 0 x4 + x2 +1 0 1+ x2 π π 1  2 dx 2 2 38) ∫ ln x + 1 + x  ; 39) ∫ cos x ln(1 + sin x )dx ; 40) ∫ sin x ln(1 + sin x )dx 0   0 0 π 4 π 3 x +1 dx 2 1 41) ∫ x.e ; 42) ∫ cos x ln(cot gx)dx ; 43) ∫ ln(cos x )dx 0 π 0 cos 2 x 6 π 1 x.e x 1 4 − x3 2 44) ∫ dx ; 45) ∫ x .e dx ; 46) ∫ x + sin x dx 0 ( x + 1) 2 0 0 1 + cos x (24) Nguyeãn Coâng   Maäu
  13.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    25 π sin x − cos x + 1 π 2 x 3dx 4 47) ∫ ; 48) ∫ dx ; 49) ∫ sin 2 x dx 3 0 4 + x2 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin 4 x + cos 4 x π π π 2 cos 4 x sin x 2 1  2 dx 50) ∫ dx ; 51) ∫  − tg 2 (cos x)  dx ; 52) ∫ 3 x + cos 3 x 2 (sin x) 0 sin 0  cos    0 2 + cos x π π 2 2 53) 3 ∫ cos x sin 5 xdx tổng quát : ∫ cos n x sin( n + 2) xdx = 1 0 0 n +1 π 3 π n π 54) ∫ cos x sin 5 xdx tổng quát : ∫ cos x cos nxdx = n 0 0 2 x 3 3 x2 − x−6 dx 2 2n+1.e ax2 +bx+c dx = 0 55) ∫ (2 x − 1) .e tổng quát : ∫ (2ax + b) ; với : −2 x 1 x1,x2 là 2 nghiệm phân biệt của ax2+bx+c ;a ≠ 0 & n ∈ N 3 2 x ln( x + 1 + x 2 ) 1 dx 2 dx 56) ∫ −2 (5 x + 1) 1 + x 2 dx & 57) ∫ (e x + 1)( x 2 + 1) & 58) ∫ (3 + 1) 1 − x 2 x −1 3 − 2 b f ( x)dx b Tổng quát : ∫ x = ∫ f ( x)dx ; với f(x) là hàm số chẵn (a,b > 0). −b a +1 0 π π 2 sin 6 x + cos 6 x 4 x sin x 59) ∫ dx ; 60) ∫ dx −π 3x + 1 −π cos 2 x 2 4 PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP :1)Dùng các tính chất sau : b a)Nếu hàm số f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a; b] thì ∫ f ( x)dx ≥ 0 . a b b b)Nếu hàm số f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [ a; b] thì ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx a a b c)Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a b BÀI TẬP: Chứng m ≤ f(x) ≤ấM ẳngxthức sau :[ a; b] ⊂ D thì *Chú y: Nếu minh các b t đ , ∀ ∈ D và m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) . a π π π 4 3π 3 5π 2 3π 1) ≤ ∫ (5 cos x − cos 5 x)dx ≤ ; 2) 8 4 ≤ ∫ ( 2 sin x + cos 2 x ) dx ≤ 2 −π 2 4 0 2 4 π 2 3) ≤ ∫ ( x − cos 2 x)dx ≤ π (π + 2) π 4 ; 4) -4 ≤ ∫ (x + 2 − x 2 )dx ≤ 4 2 4 0 8 − 2 (25) Nguyeãn Coâng   Maäu
  14.                         CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    26 π 1 π 2 1 π x 2 dx 1 5) ≤ ∫ dx ≤ ; 6) 0 ≤ ∫ ≤ 0 1+ x 4 16 0 5 + 3 cos 2 x 10 2 π 7) ( ) 2 −1 ≤ ∫ 2 2 1 x 2 − 2x + 2 dx ≤ ( ) 2 +1 2 ( ; 8) − 5 + 19 ≤ ) 2 + cos x 2 ( ) − 5 + 19 π 0 x + 2x + 2 4 ∫ sin x + cos x − 2 dx ≤ 0 4 π 4π 16 x + 9 + 16 − x 2 1 + sin x 9) 1 ≤ ∫ −9 125 dx ≤ 2 ; 10) 0 ≤ ∫π 2 + cos x dx ≤ 3 − 2 π 3 − 2 3 1 x +1 11) − π ≤ 2 sin x + 2 cos x + 1 dx ≤ π ∫ ; 12) ≤∫ dx ≤ 3+2 3 3 2 − x +1 3 0 cos x + sin x + 2 2 0x 1 1 2 π x 2 dx 1 13) 1 ≤ dx ; 14) 0 ≤ ∫ ≤ 2 0 ∫ 1 − x 2n ≤ 6 (n=1;2;3…) 0 (1 + x ) 2 2 4 (26) Nguyeãn Coâng   Maäu
Đồng bộ tài khoản