Các bài toán về Tích phân

Chia sẻ: nambien

Tài liệu tham khảo các bài toán về tích phân, sử dụng các phép biến đổi sơ cấp , phép biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số, phuongq pháp tích phân từng phần , phương pháp tích phân phụ, .....

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Các bài toán về Tích phân

                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    13

PHẦN TÍCH PHÂN
I-SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI VI PHÂN
Tính các tích phân sau :
π
4 2 4 4 1 x 3 dx 5 xdx
1) ∫  3 x + 1  dx

 
 ; 2) ∫ dx ; 3) ∫ ; 4) ∫
1 x π sin 2 2 x 0 x2 +1 2 x −1
6
π
2 2 1 x 2 dx 1 e 3 x dx 3 dx
5) ∫ 2 sin x (sin x − 1)dx ; 6) ∫ ; 7) ∫ x ; 8) ∫ 2
0 1 + cos x 0 ( x + 1) 3 0 e +1 2 x ( x − 1)
 4 
2 x 2 x − 1 + 1dx 1 (3 x 2 − 3)dx e x 3 + 2 + ln x
9)   ; 10) ∫ 2 ; 11) ∫ dx
∫ 0 ( x + 1)( x 2 + 3 x + 1) x
1 2 +1 1
x
ln e (e 3 x + e x ) dx π
2 x3 + x 2 − x + 1 ∫ 3 2
12) ∫ 4 − 2x 2 + 1
dx ; 13) 1 (e 2 x − 1) 2 ; 14) ∫ ( tan x + cot x ) dx
2 x π
2 4
3 2 x x − 2 x + ln(1 + x ) 4 x + 4 x x + ln x
15) ∫ dx ; 16) ∫ dx
1 2 x (1 + x ) 1 2x
π  2 
2 1 x + ln x + x + 1 
17) ∫ cot x[1 + ln(sin x)] dx ; 18)   dx
π ∫
4 0 x2 +1
2 x2 −1 1 e 2 x + e x . ln(e x + 1) − 1 e2 ln 3 x + 1
19) ∫ dx ; 20) ∫ dx ; 21) ∫ dx
1 2 x ( x 2 + 1) 0 ex +1 e x ln 3 x
π
3 dx π π
4 3 sin 2 xdx
22) ∫ ; 23) ∫ dx ; 24) ∫
π sin 4 x
0 ( 2 sin x + cos x ) 0 2 sin 2 x + 3 cos 2 x
2

4
π π
1 1 2+ x 3 4 4 + sin 3 2 x
25) ∫ ln dx ; 26) ∫ sin 3x cos xdx ; 27) ∫ dx
−1 4 − x 2 2 − x 0
π sin 2 2 x
6
π π π
4 4 4
28) ∫ sin 2 x 1 + sin 2 x dx ; 29) ∫ sin x + 1 + tan x dx ; 30) ∫ sin 2 x(cos 4 x + sin x)dx
2
0 0 cos x 0
π π π
6 2 dx 4 1 + cos 2 x
31) ∫ dx ; 32) ∫ ; 33) ∫ dx
π sin 2 x
0 1 − sin 2 x 0 1 + sin x 6




(13) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    14
π
1 11 dx 2 3 1 (4 x 2 − x + 1)dx
34) ∫ 2 x (1 − x ) ; 35) ∫ 2 sin xdx ; 36) ∫
0 0 1 + cos x 0 x3 + 1


37) ∫
1 ( x 4 + 1) dx
6 +1
1 x
; 38) ∫ 2
0 x +1
[ ]
1 + ln(1 + x 2 ) dx ; 39) ∫
1 (e x − e − x ) ln(e x + e − x )
0 e x + e−x
dx
0 x
π π π
( )
4 ln(tan x) 2 6
40) ∫ dx ; 41) ∫ sin 6 x + cos 6 x dx ; 42) ∫ cos 4 xdx
π sin 2 x
6 0 0
π π π
( )
6 4 x
43) ∫ cos 3 xdx ; 44) ∫ sin 4 x − cos 4 x dx ; 45) ∫ cos 3 x cos x. sin dx
0 2
0 0
π π π
( )
3 4
46) ∫ ( tan x − 2 cot x ) dx
2 4 2 1
; 47) ∫ tg x + tg 4 x dx ; 48) ∫ dx
π
4 0 0 cos 2 x tan x + 3
π π
( )
1 6 7 )dx 2 5 6 2
49) ∫ x (1 − x ; 50) ∫ sin 2 x 3 − cos 2 x dx ; 51) ∫ ( 2 cos x − 1)dx
0 0 0 1 − sin 2 x
π π
6 ( 4 cos 2 x − 3) cos xdx 2
1
8x − 4
52) ∫ ; 53) ∫ sin x e cos x + sin x  dx
  ; 54) ∫ dx
−1 ( x + 2)( x + 1)
2
0 (1 + sin 3 x) 2 0  
π π π
2 sin xdx 3 1 2
55) ∫ ; 56) ∫ dx ; 57) ∫ sin xdx
π sin x. cos x
2 2
0 1 + sin x 4 0 cos x + sin x
π π π
4 dx 2 3 2
58) ∫ ; 59) ∫ sin x(1 + cos x ) dx ; 60) ∫ cos 4 x(1 + sin x ) dx
π sin 2 x
6 0 0
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
Tính các tích phân sau :
3 dx 2 x3 + x 2 + 1 1 e 3 x dx 3 dx
1) ∫ ; 2) ∫ dx ; 3) ∫ ; 4) ∫
2 x x2 −1 1 x4 +1 0 e2x + 1 1 x x2 + 1
π
2 x3 + x 2 − 2 13 x − 2 3
5) ∫ dx ; 6) ∫ 3 dx ; 7) ∫ sin xdx
4 +4 0 2x + 1
1 x 0 cos 2 x − cos x − 6
2 ( 2 x + 1) dx 3 ( x − 1)dx 2 x +1 2 ( x + 1) dx
8) ∫ ; 9) ∫ ; 10) ∫ dx ; 11) ∫ 2
0 x2 + 4 1 4 − x2 2 x2 −1 0 x +4
π π
e 2
2 3
(
12) ∫ cos x.e sin x dx ; 13) ∫ e cos x + 4 + 3 cos x sin xdx ) ; 14) ∫ ln x 1 + ln x dx
x
0 0 1


(14) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    15
π π
e ln x 1 + ln x 4 4 2 sin x 
15) ∫ dx ; 16) ∫  sin 3 x − tan x  cos 2 xdx
  ; 17) ∫  cot x + dx
x π 1 + 3 cos x 
1 0 
6
π
3 1 1  1 5 4 3 4 x3 + x 2 + 2 x + 1
18) ∫  4 +  ; 19) ∫ (3 x + x + 1)dx ; 20) ∫ dx
π  sin x cos 4 x 
  0 x6 + 1 1 x 4 + x2 + 1
4
1+ 5 2 5 1 ( x 4 + x)dx
3 2 dx
21) 2 4 x + x − 2 x + 1 dx ; 22) ∫ ; 23) ∫
∫ 3 x x 2 + 16 −1 x 2 + 1
1 x4 − x2 + 1
π π
1 ( x 4 + tan x) dx 2 sin 3 xdx 1 xdx 4 sin 3 xdx
24) ∫ ; 25) ∫ ; 26) ∫ 10 ; 27) ∫
−1 x2 +1 −π 1 + cos 2 x −1 x + 1 −π 1 + cos x
2 4
7 3 1 (2 x + 2)dx 3 dx 4 2 10
28) ∫ x 3 1 + x 2 dx ; 29) ∫ 2 ; 30) ∫ 4 2 ; 31) ∫ x ( x − 3) dx
0 0 x + 3x + 2 1 x ( x + 1) 3
π π
1 x 3 dx ln 3 dx 2 dx 4
32) ∫ 4 ; 33) ∫ x +1 ; 34) ∫ ; 35) ∫ dx
0 ( x + 1) 0 e π sin x
3 0 cos 6 x
π  2 
2 
36) ∫ sin 2 x 1 + sin 2 x  2 + (1 + cos x ) 2  dx ; 37) e ln x1 + 4 + ln x dx
 
 ∫
0    
  1 x
π π x sin x π x sin x π
2 x. sin xdx 6 2
38) ∫ x cos ; 39) ∫ 2x
dx ; 40) ∫
2x
dx ; 41) ∫ tan xdx
0 01 + sin 01 + cos 0 cos 2 x
π π π
2 2 2 sin 4 x
42) ∫ cos 2 2 x. sin xdx ; 43) ∫ (1 − sin x) n cos xdx(n ∈ N ) ; 44) ∫ dx
0 sin x + cos x
4 4
0 0
π 2π
π x 3 π 2
dx 2
45) ∫ ; 46) ∫ cos x.e sin x dx ; 47) ∫ x sin xdx ; 48) ∫ x cos xdx
01 + sin x 0 π 0
3
π π π
2 2 sin 2 x + cos x 2 3 cos x(1 − sin x )
49) ∫ ( sin 2 x + cos x ) 2 + sin x dx ; 50) ∫ dx ; 51) ∫ dx
0 0 4 − 3 sin x 0 2 + 1 + 3 sin x
2 2x3 + 5x 2 + 8x + 4
(
; 53) ∫ e
0 cos x
)
+ sin 2 x − 2 sin x sin xdx
52) ∫
( )(
−1 x 2 + 4 x 2 + 2 x + 4 ) dx
−π
2

54) ∫
3
e 1 + ln x . ln x
dx ; 55)
e 1 + ln x . ln 2 x

(
2 2
dx ; 56) ∫ x + 3 dx )
1 x 1 x 3 3 x x3 + 1
e e



(15) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    16
2 x3 4 3 2 x dx 2 x +1
57) ∫ dx ; 58) ∫ ; 59) ∫ 2 dx
1 1+ x2 −1 0 1 + 3 2x 2 ( ) 0x +4
1 7 4 1 2n − 1
60) ∫ x (1 − x )dx Tổng quát : ∫ x (1 − x n ) m dx với m,n ∈ N
0 0
π π
2 dx 2 cos xdx 2
61) ∫ m + 1) ; 62) ∫ ; 63) ∫ sin xdx
1 x( x 0 2 + cos 2 x 0 sin x + cos x

III-PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
Tính các tích phân sau :
π 2
π 
2 x cos x 


 π2 4
1) ∫ 2x
dx ; 2)  3  3 ; 3) ∫ sin x dx ; 4) ∫ x ln xdx
π sin ∫ cos x dx 0 1
4 0
π
1 2x 2 2 π 2 1 x
5) ∫ x.e dx ; 6) ∫ x sin xdx ; 7) ∫ x cos xdx ; 8) ∫ x.2 dx
0 −π 0 0
2
π π
e 2 3 4 x
4
9) ∫ ( 2 x + 1). sin 2 xdx ; 10) ∫ x ln xdx ; 11) ∫ x log 3 xdx ; 12) ∫ dx
0 1 1 0 cos 2 x
π π 1
4 x sin x 1 x 4 ln(cos x) 1
x ∫ dx
13) ∫ dx ; 14) ∫ .e ln(e + 1) dx ; 15) ∫ dx ; 16) 0
x 2 + 1 2
π cos 2 x 0 π sin 2 x  
6 6  
eπ e ln x e 2 1 x
17) ∫ sin(ln x )dx ; 18) ∫ 2 dx ; 19) ∫ ln xdx ; 20) ∫ x.4 dx
1 1x 1 0

π π
3 x 2 e2 ln x 1 2
21) ∫ dx ; 22) ∫ x cos 2 xdx ; 23) ∫ dx ; 24) ∫ x ln( x + 1)dx
π sin 2 x e x3 0
6 0
π π
4 2 2 + x + 2)dx 2
25) 2
∫ x tan xdx ; 26) ∫ (2 x + 1) ln( x ; 27) ∫ cos x ln(1 + sin x )dx
0 1 0
π
2 3 1 2 x
28) ∫ sin x ln(1 + cos x )dx ; 29) ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx ; 30) ∫ x .e dx
0 0 0
π 1
2 x 2 1 3 x2
31) ∫ e sin xdx ; 32) 2 x. ln 1 + x dx ; 33) ∫ x .e dx
∫ 0
0 0 1− x2
π
1 x e2 1 1 4
34) ∫ x .e dx ; 35) ∫ ( − ) dx ; 36) ∫ cos x. ln(tan x)dx
0 e ln 2 x ln x π
6
(16) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    17
π
3 ln(cos x) 1 x.e x 1 x2
37) ∫ dx ; 38) ∫ dx ; 39) ∫ dx
0 cos 2x 0 ( x + 1) 2 0 x2 +1
1 e4x
π
4 4
40) ∫ dx ; 41) ∫ ( 2 x + 1) ln xdx ; 42) ∫ x + sin 2 x dx
0 e2x + 1 1 0 1 + cos 2 x

π π π
2 sin x 4 tgx 2
43) ∫ e sin 2 xdx ; 44) ∫ e . sin x dx ; 45) ∫ x cos xdx
0 0 cos 3 x 0

3 π 2 −x e−1
46) ∫ x sin xdx ; 47) ∫ x (e + cos 2 x)dx ; 48) 1 2
∫ x. ln(` + x )dx
π 0 β 0
PHƯƠNG PHÁP: Giả sử phải tính tích phân I = ∫ f ( x)dx ,trong đó :
3
α
ln 4
49) ∫ P 2e
(
f(x) = 0  =
m x  a m −1
m

3 3 dx
 x ) 2 x a+ e x  xdx x m; 1 50) +∫a xx a
+ −
+ ... 1 + 0
0 1 2 (a m , bn ≠ 0)
;
2 2
1
( x
; 51) ∫ x − 1 .e dx )
Q( x) bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + +0x
b
*Khi m ≥ n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức
IV)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ:
thực sự (phân thức đúng).
*Khi m < n thì f(x) là m: + phân sthức phải tính tích phân I.
PHƯƠNG PHÁP ột Giả ử ta đúng.
Vì mỗi đa thức bậc n với Ta đố a vào Q(x)phân phụ J tích đượvithành tích những thừa
+ hệ s ư thực tích luôn phân sao cho c ệc tính I + J
số là nhị thức bậc nhất hoặc tam ện được dễ dàng. ệm trong đó có thể có những
thực hi thức bậc hai vô nghi
thừa số trùng nhau .Do v+ y trong các I-J thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức
ậ Tính I+J v phân
cơ bản sau : Nếu I+J=a và I-J=b thì I= ½(a+b)
A A Ax + B
Dạng I: ; Dạng II : ( x − a) k ; Dạng III : x 2 + px + q ; Dạng IV:
Tính các tích − a sau :
x phân
Ax + Bπ π π
2 k sin n xdx 2 cos n xdx 6 2
( x1)+I px + q ) n
2
= ∫ và J = ∫ . ; 2) ∫ cos xdx
n n n
0 cos x + sin x 0 cos x + sin x
Trong đó k ∈ N ; k ≥ 2và A,B,a,p,q ∈ R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm). 0 cos 2 x
3π π
*Mộ4 phân 2 ức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu
t th π 2 2
cos xdx
trên (Dùng phương pháp đồng4) 2 t hai xdx thức).
3) ∫ ; nhấ sin đa ; 5) ∫ x sin xdx
π sin x + cos x ∫ 0
2 Tổng quát cho cách phân tích : cos x 0 sin x +
P ( x )π P( x) A1 A2 π Aα +
= α β δ 1 e x dx γ = + + ... +
Q6) )4 ( xdx a ) ( x − b) ( x + px + q ) 7) x + lx + s )
(x − 2
; ( ∫ x
2
x − a ( x − a ) ; 8) 2( x − a) α
2

∫ −x x 2
0 1 + tan x 0e + e ∫ e sin xdx
0
B1π B2 Bβ M 1 x + N1 M δ x + N δ π P1 x + Q1 Pγ x + Qγ
+ + + ... + π
+ 2 + ... + 2 + 2 + ... + 2 .
x − 6 ( x − b)
b 2 β
+ x +q δ n+ x cos
( x − b) 2 xsin 4px cos xdx ( x + px + q ) 2 x + lx1+ s xdx ( x + lx + s) γ
9) sin 2 x ; 10) ∫ tổng quát ∫ sin .
∫ tính dx
*Cáchcos 2 xtích phân của các phân x +ức dạng cơ bản : n n ; (n ∈ Z )
0 0 cos 3 th sin 3 x 0 cos x + sin x
A
Dạng ∫ dx = A ln x − a + c .
V)TÍCH PHÂN− a x HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ :
A A
Dạng ∫ ( x − a) k dx = A∫ ( x − a) d ( x − a) = − k + 1 ( x − a) + c
−k − k +1



Ax + B du dt
Dạng ∫ x 2 + px + q dx = b1 ∫ u + b2 ∫ t 2 + a 2 với b1,b2,a là hằng số.
(17) Nguyeãn Coâng  
Maäu
Ax + B du dt
Dạng ∫ ( x 2 + px + q) k = b1 ∫ u k + b2 ∫ (t 2 + a 2 ) k
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    18




Tính các tích phân sau:
2 2 2 2
dx (2 x − 1)dx dx dx
1) ∫ 2 ; 2) ∫ 2 ; 3) ∫ 2 ; 4) ∫ x(x + 1)
0 (x + 4)
2
1 x − 2x + 2 1 x − 2x + 2
4
1
1 1 2 3 +1
( x + 2)dx (4 x − 2)dx ( 2 x 2 − 3x − 3)dx
5) ∫ ; 6) ∫ ; 7) ∫
0 x2 +1 0 ( x + 2)( x + 1)
2
3 ( x − 1)( x 2 − 2 x + 5)




(18) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    19


dt dt 1 (t 2 + a 2 ) − t 2 1 dt
Để tính Ik = ∫ (t 2 + a 2 ) k ta có : Ik = ∫ (t 2 + a 2 ) k = a 2 ∫ (t 2 + a 2 ) k dt = a 2 ∫ (t −
2
+ a 2 ) k −1
1 2tdt 1 1  t 
2 ∫
− t. 2 2 k = I + 2
2 k −1  2 − I k −1 
2a (t + a ) a 2 k −1
2a (k − 1)  (t + a ) 
⇒ I k = A0 + A1 .I k −1 (1)
dt
Dựa vào (1) ta tính được Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong đó I1= ∫
t + a2
2


1 2tdt 1  t 
Chú y : − 2a 2 ∫ t. (t 2 + a 2 ) k = 2  2 − I k −1  tính nhờ phương pháp tích
2a (k − 1)  (t + a 2 ) k −1 
phân từng phần
1 1
dx (3 x + 4)dx 3
3x 2 + 3 x + 3
3
x2 + x +1
8) ∫ 2 ; 9) ∫ 2 ; 10) ∫ 3 dx ; 11) ∫ ( x − 1) 3 dx
0 (x + 1) 0 ( x + 1)
2 2
2 x − 3x + 2 2
6+ 2
1 1
x 3 dx ( x 2 + 1)dx & 14)
3
( x 2 + 1)dx ( x 2 − 2)dx
12) ∫ 8 ∫ x 4 + 3x 2 + 4 &
2

0 x −2
;13)
∫ ∫ x 4 + x 2 + 1 & 15)
1 x4 +1 1 0

2
( x − 1)dx
2
16) ∫
1 x4 +1
Dạng tổng quát :
β x2 ± a
∫ dx
α x 4 ± bx 2 + a 2
VI)TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :

A)Tích phân dạng: ∫ F (sin x; cos x)dx
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx.
1)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là :
F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
2)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là:
F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx.
3)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là:
F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx.




(19) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    20


4)Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn
2t 1− t2
Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : sin x = và cos x =
1+ t2 1+ t2
B)Tích phân dạng : ∫ sin m x. cos n xdx với m, n ∈ Z
1)Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :
+ Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx
+ Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx
2)Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến
đổi hàm số dưới dấu tích phân:
1 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x
sin x cos x = sin 2 x ; sin 2 x = ; cos 2 x =
2 2 2
3)Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo
sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C)Tích phân dạng : ∫ cos ax. cos bxdx ; ∫ sin ax. cos bxdx ; ∫ sin ax. sin bxdx
Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:
1
cos ax. cos bx = [ cos(a + b) x − cos(a − b) x]
2
1
sin ax. sin bx = − [ cos(a + b) x − cos(a − b) x ]
2
1
sin ax. sin bx = [ sin( a + b) + sin(a − b) x ]
2
D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:
a
1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ f ( x)dx = 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách
−a
đổi biến x = -t.
b a+bb
2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì ∫ xf ( x)dx = ∫ f ( x)dx
a 2 a
π ππ
( thường gặp : ∫ xf (sin x )dx = ∫ (sin x)dx )
0 20
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = π − x )
3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì :
b f ( x)dx 1 b  b 
∫ x = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx  .Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
−b a + 1 2 −b  
 0 
b b
• Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .Cách chứng minh điều này
−b 0
b 0 b 0
như sau: ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx rồi tính ∫ f ( x)dx bằng cách đặt x=-t
−b −b 0 −b


(20) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    21

Bài tập : Tính các tích phân sau :
π π
π 2 dx π 2 cos 3 dx
4 dx 4 4
1) ∫ ; 2) ∫ ; 3) ∫ tg xdx ; 4) ∫
6x π sin 4 x π sin 4 x
0 cos 0
6 3
π π π
2 4 2
5) ∫ (sin 4 x + sin 5 x )dx ; 6) ∫ (tan 4 x + tan 3 x) dx ; 7) ∫ (sin 3 x + sin 2 x ) cos 2 xdx ;
0 0 0
π π π
4 3
8) ∫ ( cos 2 x
+
sin 3 x
)dx ; 9) ∫ sin 3 x(cos x + sin 5 x )dx ; 10) ∫ 1 + sin x dx
0 1 + sin x cos x cos x 0 0 1 − sin x
π π π
2 (1 + cos x )dx π 3 dx 3
4 sin 2 x dx
11) ∫ ; 12) ∫ ; 13) ∫ ; 14) ∫
π sin x dx π sin 4 x cos 4 x π sin 3 x cos 3 x
0 cos 4 x
6 6 4
π π

( 2
15) ∫ sin x + 1 + sin x dx
0
) ; 16) ∫
2 dx 2 3
; 17) ∫ 4 sin xdx
0 1 + sin x + cos x 0 1 + cos x
π
π x sin 3 x π x sin x 2 x 2 + cos x
18) ∫ dx ; 19) ∫ dx ; 20) ∫ x dx
01 + cos 2 x 01 + sin 2 x −π 2 + 1
2
π π
1
x 6 + sin 3 x 4 sin 4 x + cos 4 x
21) ∫ dx ; 22) ∫ x +1 dx ; 23) 4 dx
x +1
2
π 3 ∫
−1 − 0 1 + tan x
4
π π π
3 tan x 4 2 dx
24) ∫ dx ; 25) ∫ tan 6 xdx ; 26) ∫
0 cos 2 x 0 0 2 + cos x
π π
π 3 dx
4 4 sin x
27) ∫ sin 2 x
dx ; 28) ∫ 3x ; 29) ∫ dx
4 x + sin 4 x π sin x cos 0 cos x 1 + sin 2 x
0 cos
4
π
3 dx π π
2 2
30) ∫ 4 ; 31) ∫ cos 3 x cos 3 xdx ; 32) ∫ sin 2 x cos 4 xdx
π tg x
0 0
6
π π π
2 dx 2 4 cos 3 xdx 2
33) ∫ ; 34) ∫ ; 35) ∫ cos x cos 2 x sin 4 xdx
0 3 + 2 cos x 0 1 + sin x 0
π x sin x π 2 π
2
36) ∫ dx ; 37) 4 x sin x ;38) ∫ (sin x − cos x + 1) dx
0 7 + cos 2 x ∫
0 0 sin x + 2 cos x + 3

(21) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    22

VII)TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ :

Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x.
n p m q
1)VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, x , x ,..., x dx
r s
 
 
*Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r .Gọi k = BCNN(n,m,…,r).
Đổi biến số x = tk .
ax + b  
2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, n

dx
cx + d   
ax + b
*Cách giải : Đổi biến số t = n .
cx + d
 2 
3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, ax + bx + c dx
 
*Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t = ax + bx + c . 2




*Cách giải thứ hai : Biến đổi ax 2 + bx + c theo một trong ba kết quả sau :
ax 2 + bx + c = A2 − u 2(1)
Bài tập : Tính các tích phân sau : + bx + c = A + u
ax 2 (2)
2 2


81 4 x − 8 x ax 2 + bx + 15 = u 2dx A 2
c − (3) 3 dx
1) ∫ 4 dx ; 2) ∫ ; 3) ∫
(Trong đó)A là hằng số dương0; u xlà 1 + 3 x + 1 số của x )
1 x( x + 1 + một hàm 1 x x2 + 1
−π π
-Với (1) thì đổi biến u = Acost. 17ới 0 ≤ t ≤ π (hoặc u = Asint , với 11 ≤ x ≤ 2dx
3 dx V dx t− )
4) ∫ ; 5) ∫ ; 6) 2∫ 2
1 x 2x 2 + 2x + 1 − π ) x 2 + 4x + 5
π 6 x − 2 −1
-Với (2) thì đổi biến u = Atant. Vớ(ix + 2 < t
0
26) ∫ Tổng quát : ∫
0 (1 + x 2 ) 2 0 (a + x 2 ) 2
0 1+ x 0 a+x
27) ∫ dx Tổng quát : ∫ dx ; với a > 0
−1 1 − x −a a − x
1 7 4 1 2n − 1
28) ∫ x (1 − x )dx Tổng quát : ∫ x (1 − x n ) m dx với m,n ∈ N
0 0
e x ln x π π
dx 2 cos 2 x 4
29) ∫ 2 2 ; 30) ∫ e cos x sin 5 xdx ; 31) ∫ ln (1 + tgx ) dx
1 ( x + 1)
0 0
3
π π
2  (1 + sin x )1 + cos x  2 9 + 2x 2
dx 2 dx
32) ∫ ln   dx ; 33) ∫ 2 ; 34) ∫
0  1 + cos x  3 x 0 sin x + cos x + 3
 
2
π 1 2 xdx 1 x + ln(1 + x)
2
35) ∫ e x (cos x + sin xdx ; 36) ∫ ; 37) ∫ dx
0 0 x4 + x2 +1 0 1+ x2
π π
1  2 dx 2 2
38) ∫ ln x + 1 + x  ; 39) ∫ cos x ln(1 + sin x )dx ; 40) ∫ sin x ln(1 + sin x )dx
0  
0 0

π
4 π
3 x +1 dx 2 1
41) ∫ x.e ; 42) ∫ cos x ln(cot gx)dx ; 43) ∫ ln(cos x )dx
0 π
0 cos 2 x
6
π
1 x.e x 1 4 − x3 2
44) ∫ dx ; 45) ∫ x .e dx ; 46) ∫ x + sin x dx
0 ( x + 1) 2 0 0 1 + cos x



(24) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    25
π sin x − cos x + 1 π
2 x 3dx 4
47) ∫ ; 48) ∫ dx ; 49) ∫ sin 2 x
dx
3
0 4 + x2 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin 4 x + cos 4 x
π π π
2 cos 4 x sin x 2 1  2 dx
50) ∫ dx ; 51) ∫  − tg 2 (cos x)  dx ; 52) ∫
3 x + cos 3 x 2 (sin x)
0 sin 0  cos
 
 0 2 + cos x
π π
2 2
53) 3
∫ cos x sin 5 xdx tổng quát : ∫ cos n x sin( n + 2) xdx = 1
0 0 n +1
π 3 π n π
54) ∫ cos x sin 5 xdx tổng quát : ∫ cos x cos nxdx = n
0 0 2
x
3 3 x2 − x−6 dx 2 2n+1.e ax2 +bx+c dx = 0
55) ∫ (2 x − 1) .e tổng quát : ∫ (2ax + b) ; với :
−2 x
1
x1,x2 là 2 nghiệm phân biệt của ax2+bx+c ;a ≠ 0 & n ∈ N
3
2 x ln( x + 1 + x 2 ) 1
dx 2
dx
56) ∫
−2 (5 x + 1) 1 + x 2
dx & 57) ∫ (e x
+ 1)( x 2 + 1)
& 58) ∫ (3 + 1) 1 − x 2
x
−1 3

2
b f ( x)dx b
Tổng quát : ∫ x = ∫ f ( x)dx ; với f(x) là hàm số chẵn (a,b > 0).
−b a +1 0
π π
2 sin 6 x + cos 6 x 4 x sin x
59) ∫ dx ; 60) ∫ dx
−π 3x + 1 −π cos 2 x
2 4

PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

PHƯƠNG PHÁP :1)Dùng các tính chất sau :
b

a)Nếu hàm số f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a; b] thì ∫ f ( x)dx ≥ 0 .
a
b b

b)Nếu hàm số f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [ a; b] thì ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx
a a
b

c)Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a )
a
b
BÀI TẬP: Chứng m ≤ f(x) ≤ấM ẳngxthức sau :[ a; b] ⊂ D thì
*Chú y: Nếu minh các b t đ , ∀ ∈ D và m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) .
a
π π
π 4 3π 3 5π 2 3π
1) ≤ ∫ (5 cos x − cos 5 x)dx ≤ ; 2) 8 4
≤ ∫ ( 2 sin x + cos 2 x ) dx ≤
2 −π 2 4 0 2
4
π 2

3) ≤ ∫ ( x − cos 2 x)dx ≤ π (π + 2)
π 4 ; 4) -4 ≤ ∫ (x + 2 − x 2 )dx ≤ 4 2
4 0 8 − 2

(25) Nguyeãn Coâng  
Maäu
                        CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN    26
π 1
π 2 1 π x 2 dx 1
5) ≤ ∫ dx ≤ ; 6) 0 ≤ ∫ ≤
0 1+ x
4
16 0 5 + 3 cos 2 x 10 2
π

7) ( )
2 −1 ≤ ∫ 2
2
1
x 2 − 2x + 2
dx ≤ ( )
2 +1
2
(
; 8) − 5 + 19 ≤ )
2 + cos x
2
( )
− 5 + 19 π
0 x + 2x + 2 4 ∫ sin x + cos x − 2 dx ≤
0
4
π


16
x + 9 + 16 − x 2
1 + sin x
9) 1 ≤ ∫
−9
125
dx ≤ 2 ; 10) 0 ≤ ∫π 2 + cos x dx ≤ 3

2
π
3 − 2 3 1 x +1
11) − π ≤ 2 sin x + 2 cos x + 1 dx ≤ π
∫ ; 12) ≤∫ dx ≤ 3+2 3
3 2 − x +1 3
0 cos x + sin x + 2 2 0x
1
1
2
π x 2 dx 1
13) 1 ≤ dx ; 14) 0 ≤ ∫ ≤
2 0 ∫ 1 − x 2n ≤ 6 (n=1;2;3…) 0 (1 + x )
2 2
4




(26) Nguyeãn Coâng  
Maäu
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản