Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

Chia sẻ: trang080498

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26,...

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7


DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3, 8, 15, 24, 35, ...
b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
a) n(n+2)
b) (3n-2)3n
n( n + 1)
c)
2
d) 1+n2
e) n(n+5)
f) (3n-2)(3n+1)
n( n + 3)
g)
2
(n + 1)(n + 2)
h)
2
n( n +1)(n + 2)
i) 3
Bài 2: Tính:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tổng quát:
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99

1
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2
A= (n-1)n(2n+1):6

Bài 4: Tính:
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 9900
A = 343200
Bài 5: Tính:
A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Hướng dẫn:
1
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
2
A= 666600
Bài 6: Tính:
A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Hướng dẫn:
2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2
A= 166650
Bài 7: Tính:
A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:
2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2
A = 169125
Bài 8: Tính:
A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2
A = 171600
Bài 9: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101


2
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
A = 2449755
Tổng quát:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
A = 12+22+32+...+992+1002
Hướng dẫn:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát:
A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2
A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
A = n(n+1)(2n+1):6
Bài 11: Tính:
A = 22+42+62+...+982+1002
Hướng dẫn:
A = 22(12+22+32+...+492+502)
Bài 12: Tính:
A = 12+32+52+...+972+992
Hướng dẫn:
A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)
A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)
Bài 13: Tính:
A = 12-22+32-42+...+992-1002
Hướng dẫn:
A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)
Bài 14: Tính:
A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
Hướng dẫn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)
Bài 16: Tính:
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)


3
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
2 2 2 2 2
A = (2 +4 +6 +...+98 +100 )+4(1+2+3+...+49+50)
Bài 17: Tính:
A = 13+23+33+...+993+1003
Hướng dẫn:
A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)
A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)
98.99+(12+22+32+...
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-
+992+1002)
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002)
Bài 18: Tính:
A = 23+43+63+...+983+1003
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
A = 13+33+53+...+973+993
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
A = 13-23+33-43+...+993-1003
Hướng dẫn:

Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
ac
=
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d).
bd
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của t ỉ l ệ th ức; a và d là các s ố h ạng ngoài hay ngo ại
tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
ac
= thì ad = bc
Tính chất 1: Nếu
bd
Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
ac ab dc db
=, =, = =
,
bd cd ba ca
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
a c a+c a−c
ac
= suy ra: = = =
-Tính chất: Từ
b d b+d b−d
bd
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
a+b+c a −b+c
ace ace
== suy ra: b = d = f = b + d + f = b − d + f = ...
bd f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).


4
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
abc
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
235
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
xy
và x + y = 20
=
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
23
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
xy
, suy ra: x = 2k , y = 3k
= =k
Đặt
23
Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = 4
Do đó: x = 2.4 = 8
y = 3.4 = 12
KL: x = 8 , y = 12
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y x + y 20
== = =4
2 3 2+3 5
x
Do đó: = 4 ⇒ x = 8
2
y
= 4 ⇒ y = 12
3
KL: x = 8 , y = 12
Cách 3: (phương pháp thế)
xy 2y
= ⇒x=
Từ giả thiết
23 3
2y
mà x + y = 20 ⇒ + y = 20 ⇒ 5 y = 60 ⇒ y = 12
3
2.12
Do đó: x = =8
3
KL: x = 8 , y = 12
xy yz
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: = , = và 2 x − 3 y + z = 6
34 35
Giải:
xy x y
=⇒=
Từ giả thiết: (1)
34 9 12
yz y z
=⇒ = (2)
35 12 20
xy z
Từ (1) và (2) suy ra: = = (*)
9 12 20
2x − 3y + z 6
xy z 2x 3y z
Ta có: = = = = = = = =3
9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2
x
Do đó: = 3 ⇒ x = 27
9


5
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
y
= 3 ⇒ y = 36
12
z
= 3 ⇒ z = 60
20
KL: x = 27 , y = 36 , z = 60
xy z
= = = k ( sau đó giải như cách 1 của VD1).
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
9 12 20
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
yz 3z
= ⇒y=
35 5
3z
3.
xy 3y 9z
= 5=
= ⇒x=
34 4 4 20
9z 3z z
mà 2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2. − 3. + z = 6 ⇒ = 60 ⇒ z = 60
20 5 10
3.60 9.60
Suy ra: y = = 36 , x = = 27
5 20
KL: x = 27 , y = 36 , z = 60
xy
và x. y = 40
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: =
25
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
xy
, suy ra x = 2k , y = 5k
= =k
Đặt
25
Theo giả thiết: x. y = 40 ⇒ 2k .5k = 40 ⇒ 10k 2 = 40 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2
+ Với k = 2 ta có: x = 2.2 = 4
y = 5.2 = 10
+ Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4
y = 5.(−2) = −10
KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x ≠ 0
xy x 2 xy 40
=
Nhân cả hai vế của với x ta được: = = =8
25 2 5 5
⇒ x 2 = 16
⇒ x = ±4
4y 4.5
+ Với x = 4 ta có = ⇒ y = = 10
25 2
−4 y − 4.5
= ⇒y= = −10
+ Với x = −4 ta có
2 5 2
KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:

6
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
x y z xy yz
và 5 x + y − 2 z = 28 và 2 x + 3 y − z = 124
a) = = b) = , =
10 6 21 34 57
2x 3y 4z xy
và x + y + z = 49 xy = 54
= = d) = và
c)
3 4 5 23
x y z
xy
f) y + z + 1 = = = x+ y+z
e) = và x 2 − y 2 = 4 z + x +1 x + y − 2
53
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x y z xy yz
và 5 x + y − 2 z = 28 và 2 x + 3 y − z = 124
== = =
a) b) ,
10 6 21 34 57
2x 3y 4z xy
và x + y + z = 49 xy = 54
= = d) = và
c)
3 4 5 23
x y z
xy
f) y + z + 1 = = = x+ y+z
e) = và x 2 − y 2 = 4 z + x +1 x + y − 2
53
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x −1 y − 2 z − 3
a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32 và 2 x + 3 y − z = 50
= =
b)
2 3 4
xyz
c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 d) = = và xyz = 810
235
y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1
= = = f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28
e) x+ y+z
x y z
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x −1 y − 2 z − 3
a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32 và 2 x + 3 y − z = 50
= =
b)
2 3 4
xyz
c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 d) = = và xyz = 810
235
y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1
= = = f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28
e) x+ y+z
x y z
Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
= =
18 24 6x
Bài 6: Tìm x, y biết rằng:
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
= =
18 24 6x
a b c d
= = =
Bài 7: Cho a + b + c + d ≠ 0 và
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c
a+b b+c c+d d +a
Tìm giá trị của: A = + + +
c+d a+d a+b b+c
a+b+c+d
a b c d 1
Giải: b + c + d = a + c + d = a + b + d = a + b + c = 3(a + b + c + d ) = 3 ( Vì a + b + c + d ≠ 0 )
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4

Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x 7 x y
a) y = 3 và 5x – 2y = 87; =
b) và 2x – y = 34;
19 21



7
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
2 x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1
3 3 3
x y z
= =
và x2 + y2 + z2 = 14.
= =
b) c)
5 7 6x
8 64 216
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
Giai
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
a b c
Biết a+b+c ≠ 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: .
, ,
b +c c +a a +b
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ l ệ v ới 9;10;11;8. Bi ết r ằng
số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
[ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 0
2 2


thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d  .  ab ( ab − 2 ) + 2(ab + 1)  = 0
22
 

(Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
22
=> ab(ab-2cd)+c d =0
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
AC
=
Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau:
BD
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
A C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số có cùng giá trị.

B D
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
a na
= (n ≠ 0)
+)
b nb
n n
a c
ac
+) = ⇒   =  
b d 
bd
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a+b c+d
ac
= =
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng:
a−b c−d
bd
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd (1)
(a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd (2)
ac
Từ giả thiết: = ⇒ ad = bc (3)
bd


8
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d )
a+b c+d
⇒ = (đpcm)
a−b c−d

Cách 2: (PP2)
ac
= = k , suy ra a = bk , c = dk
Đặt
bd

a+b kb + b b( k + 1) k +1
Ta có: a − b = kb − b = b(k − 1) = k − 1 (1)

c + d kd + d d (k + 1) k + 1
= = = (2)
c − d kd − d d (k − 1) k − 1

a+b c+d
=
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
a−b c−d

Cách 3: (PP3)
ac ab
=⇒=
Từ giả thiết:
bd cd

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a+b a−b
== =
c d c+d c−d

a+b c+d
⇒ = (đpcm)
a−b c−d

Hỏi: Đảo lại có đúng không ?

ab a 2 − b 2
ac
=
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: =
cd c 2 − d 2
bd

Giải:
ac
= ⇒ ad = bc
Cách 1: Từ giả thiết: (1)
bd

( )
ab c 2 − d 2 = abc 2 − abd 2 = acbc − adbd
Ta có: (2)

( )
cd a 2 − b 2 = a 2 cd − b 2 cd = acad − bc.bd (3)
( ) ( )
Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c 2 − d 2 = cd a 2 − b 2

ab a 2 − b 2
⇒ = (đpcm)
cd c 2 − d 2


9
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
ac
Cách 2: Đặt = = k , suy ra a = bk , c = dk
bd

ab bk .b kb 2 b 2
= = =
Ta có: (1)
cd dk .d kd 2 d 2

( )
a 2 − b 2 (bk ) 2 − b 2 b2k 2 − b2 b2 k 2 −1 b2
= = 22 =22 =2 (2)
( )
c 2 − d 2 (dk ) 2 − d 2 d k − d 2 d k − 1 d

ab a 2 − b 2
Từ (1) và (2) suy ra: = (đpcm)
cd c 2 − d 2

ab a 2 b 2 a 2 − b 2
ac ab
Cách 3: Từ giả thiết: =⇒=⇒ = = =
cb c 2 d 2 c 2 − d 2
bd cd

ab a 2 − b 2
⇒ = (đpcm)
cd c 2 − d 2

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
ac
=
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số
bd
đều có nghĩa).
2
3a + 5b 3c + 5d a+b a2 + b2
= =2
1) 2)  
3a − 5b 3c − 5d c+d  c +d2

ab ( a − b )
2
a−b c−d
= =
3) 4)
cd ( c − d ) 2
a+b c+d

2a + 5b 2c + 5d 2005a − 2006b 2005c − 2006d
= =
5) 6)
3a − 4b 3c − 4d 2006c + 2007 d 2006a + 2007b

7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
a c
= =
7) 8)
a+b c+d 7 a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd

ac
=
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: .
bd

Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
2
3a + 5b 3c + 5d a−b c−d
a+b a2 + b2
= =
=2
a) b)  c)
3a − 5b 3c − 5d a+b c+d
c+d  c +d2

ab ( a − b )
2
2a + 5b 2c + 5d 2008a − 2009b 2008c − 2009d
= = =
d) e) f)
cd ( c − d ) 2 3a − 4b 3c − 4d 2009c + 2010d 2009a + 2010b



10
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
7a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd
7 a + 5ac 7b + 5bd
a c 2 2
= =
=
g) h) i)
a+b c+d 11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2
7 a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd
3
 a+b+c
abc a
Bài 3: Cho = = . Chứng minh rằng:  =
b+c+d 
bcd d

3
 a+b+c
abc a
Bài 4: Cho = = . Chứng minh rằng:  =
b+c+d 
bcd d

a b c
= =
Bài 5: Cho
2003 2004 2005

Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2
a a a a
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a = a = a = ... = a
3 2008
1 2

2 3 4 2009
2008
 a + a 2 + a 3 +... + a 2008 
a1
CMR: Ta có đẳng thức: = 1 ÷
 a 2 + a 3 + a 4 +... +a 2009 
a 2009

a a
a a
Bài 7: Cho a = a = ............... = a = a và a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0
8 9
1 2

2 3 9 1



Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a9
a b c
= =
Bài 8: Cho
2003 2004 2005

Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2

a2 + b2 a
ab
=
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : =
thì 2
b +d2 d
bd

a a
a a
Bài 10: Cho a = a = ............... = a = a và a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0
8 9
1 2

2 3 9 1



Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a9
a+b c+a
=
Bài 11: CMR: Nếu a 2 = bc thì . Đảo lại có đúng không?
a−b c−a

a2 + b2 a
ab
=
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : =
thì 2
b +d2 d
bd

a+b c+d ac
= =
Bài 13: Cho . CMR:
a −b c−d bd
a c
a 2 +b 2 ab
=
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
=
c +d
2 2
b d
cd


11
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
( a + b ) = ab ⇒ ( a + b ) ( a + b ) = a.b
2
ab 2ab a + 2ab + b
2 2
a +b
2 2
= =
=
Giải. Ta có : = ;
( c + d ) 2 cd ( c + d ) ( c + d ) c.d
2cd c 2 + 2cd + d 2
c 2 +d 2 cd

c( a + b ) b( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd ac
⇒ = = = = = 1 ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ =
a( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bd bd

u +2 v+3 uv
= =
Bài 15: Chứng minh rằng nếu: thì
u −2 v−3 23

a+b c+a
=
Bài 16: CMR: Nếu a 2 = bc thì . Đảo lại có đúng không?
a−b c−a

Bài 17: CMR nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y )
y−z z−x x− y
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b − c) = b(c − a) = c(a − b)

a+b c+d ac
= =
Bài 18: Cho . CMR:
a −b c−d bd

ac
= . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0
Bài 19: Cho
bd

xa + yb xc + yd
=
Chứng minh rằng:
za + tb zc + td

u +2 v+3 uv
= =
Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thì
u −2 v−3 23

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = ac ; c 2 = bd

và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0

a3 + b3 + c3 a
Chứng minh rằng: =
b3 + c3 + d 3 d

Bài 22: CMR nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
y−z z−x x− y
= =
a(b − c) b(c − a) c(a − b)

ax 2 + bx + c a b c
. Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P không phụ
Bài 23: Cho P =
a1 x + b1 x + c1
2
1 1 1


thuộc vào x.
a b' b c'
Bài 24: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
+ = 1; ' + = 1
a' b bc




12
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
ac
Bài 25: Cho = . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0
bd

xa + yb xc + yd
=
Chứng minh rằng:
za + tb zc + td

Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = ac ; c 2 = bd và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0

a3 + b3 + c3 a
Chứng minh rằng: =
b3 + c3 + d 3 d

ax 2 + bx + c a b c
. Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P không phụ
Bài 27: Cho P =
a1 x + b1 x + c1
2
1 1 1

thuộc vào x.
2a +13b 2c +13d a c
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: b = d .
=
3a −7b 3c −7d
x y z
bz −cy cx −az ay −bx
==.
Bài 29: Cho dãy tỉ số : = = ; CMR:
a b c a b c
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A> MỤC TIÊU
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý
chí vượt qua mọi khó khăn.
1) B> THỜI LƯỢNG
2) Tổng số :(6 tiết)
3) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)
4) 2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết)
1. Lý thuyết
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a(
a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
TQ: Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a
Nếu a < 0 ⇒ a = −a
Nếu x-a ≥ 0=> = x-a
Nếu x-a ≤ 0=> = a-x
*Tính chất
Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
TQ: a ≥ 0 với mọi a ∈ R
Cụ thể:
=0 a=0
≠ 0 a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá
trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.


13
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a = b
TQ: a = b ⇔ 
 a = −b
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuy ệt đ ối c ủa nó và đ ồng th ời nh ỏ h ơn ho ặc
bằng giá trị tuyệt đối của nó.
TQ: − a ≤ a ≤ a và − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ 0
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu a < b < 0 ⇒ a > b
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: Nếu 0 < a < b ⇒ a < b
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
TQ: a.b = a . b
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
a
a
=
TQ:
b b

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
2
TQ: a = a 2
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ: a + b ≥ a + b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0
2. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x tho ả mãn đ ẳng th ức( Vì giá tr ị tuy ệt đ ối c ủa m ọi s ố
đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0
 A( x) = k
- Nếu k > 0 thì ta có: A( x) = k ⇒ 
 A( x) = − k
Bài 1.1: Tìm x, biết:
15 1 1 11 3 7
a) 2 x − 5 = 4 − − 2x = − x+ = − 2x + 1 =
b) c) d)
34 4 2 53 4 8
Giải
a) = 4
x= ± 4
a) 2 x − 5 = 4
2x-5 = ± 4
* 2x-5 = 4


14
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
2x = 9
x = 4,5
* 2x-5 = - 4
2x =5-4
2x =1
x =0,5
Tóm lại: x = 4,5; x =0,5
1 5 1
b) − − 2x =
3 4 4
=-
Bài 1.2: Tìm x, biết:
4
1
b) 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5 c) x + − − 3,75 = − − 2,15
a) 2 2 x − 3 =
15
2
Bài 1.3: Tìm x, biết:
x 21 1 1
a) 2 3x − 1 + 1 = 5 −1 = 3 c) − x + + = 3,5 d) x − =2
b)
2 52 3 5
Bài 1.4: Tìm x, biết:
−5
13 3 1 34 37 31 55
a) x + − = 5% b) 2 − x− = + x− = d) 4,5 − x+ =
c)
44 2 4 4 25 44 42 36
Bài 1.5: Tìm x, biết:
9 1 11 3 17 15 3 1 21 x2
a) 6,5 − : x +=2 b) + : 4 x − = c) − 2,5 : x + = 3 d) + 3 : − = 6
4 3 42 52 4 4 2 5 43
2. Dạng 2: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
a = b  A( x) = B ( x)
Vận dụng tính chất: a = b ⇔  ta có: A( x) = B( x) ⇒ 
 a = −b  A( x) = − B ( x)
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 5 x − 4 = x + 2 b) 2 x − 3 − 3x + 2 = 0 c) 2 + 3x = 4 x − 3 d) 7 x + 1 − 5 x + 6 = 0
a) 5 x − 4 = x + 2
* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6
x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2
x=
Vậy x= 1,5; x=
Bài 2.2: Tìm x, biết:



15
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
3 1 5 75 3 7 2 4 1 7 51
x + = 4 x − 1 b) x − − x + = 0 c) x + = x − d) x + − x + 5 = 0
a)
2 2 4 28 5 5 3 3 4 8 62

3. Dạng 3: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuy ệt đối của
mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x ) = B ( x) (1)
Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
 A( x) = B ( x )
(1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒  ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
 A( x) = − B ( x)
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a
Nếu a < 0 ⇒ a = −a
Ta giải như sau: A( x) = B( x) (1)
• Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đ ối chi ếu giá tr ị x tìm đ ược v ới đi ều
kiện )
VD1:
Giải :
a0) Tìm x ∈ Q biết =2x
* Xét x+ ≥ 0 ta có x+ =2x
*Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài 3.1: Tìm x, biết:
1
x = 3 − 2x b) x − 1 = 3x + 2 c) 5 x = x − 12 d) 7 − x = 5 x + 1
a)
2
Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 9 + x = 2 x b) 5 x − 3x = 2 c) x + 6 − 9 = 2 x d) 2 x − 3 + x = 21
Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 4 + 2 x = −4 x b) 3x − 1 + 2 = x c) x + 15 + 1 = 3x d) 2 x − 5 + x = 2
Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 2 x − 5 = x + 1 b) 3x − 2 − 1 = x c) 3x − 7 = 2 x + 1 d) 2 x − 1 + 1 = x
Bài 3.5: Tìm x, biết:
a) x − 5 + 5 = x b) x + 7 − x = 7 c) 3x − 4 + 4 = 3x d) 7 − 2 x + 7 = 2 x
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x ) + B ( x ) + C ( x) = m
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x − 1 + x − 3 = 2x − 1 (1)



16
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuy ệt đối thành
các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi bi ểu th ức ở v ế trái c ủa
đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
x – 1 = 0 ⇔ x = 1; x – 1 < 0 ⇔ x < 1; x – 1 > 0 ⇔ x > 1
Xét
x- 3 = 0 ⇔ x = 3; x – 3 < 0 ⇔ x < 3; x – 3 > 0 ⇔ x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:

x 1 3
x–1 - 0 + +
x–3 - -0 +
Xét khoảng x < 1 ta có: (1) ⇔ (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
⇔ -2x + 4 = 2x – 1
5
⇔ x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
4
Xét khoảng 1 ≤ x ≤ 3 ta có:
(1) ⇔ (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
⇔2 = 2x – 1
3
⇔ x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
2
Xét khoảng x > 3 ta có: (1) ⇔ (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
⇔ - 4 = -1 ( Vô lí)
3
Kết luận: Vậy x = .
2
VD2 : Tìm x
+ =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu
x -1 1
x+1 - 0 + +
x-1 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x1
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a) 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12 b) 3 x + 4 − 2 x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5
1 1 1 1 1 1
c) 2 − x + x − + 8 = 1,2 d) 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x
5 5 5 2 2 5
Bài 4.2: Tìm x, biết:


17
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a) 2 x − 6 + x + 3 = 8
d) x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2
c) x + 5 + x − 3 = 9
f) 2 x + 2 + 4 − x = 11
e) x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6
Bài 4.3: Tìm x, biết:
b) 3x x + 1 − 2 x x + 2 = 12
a) x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9
d) x + 5 − 1 − 2 x = x
c) x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4
e) x − 2 x + 3 = x − 1 f) x + 1 − x = x + x − 3
Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) x − 2 + x − 5 = 3 b) x − 3 + x + 5 = 8
c) 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4 d) x − 3 + 3x + 4 = 2 x + 1

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1)
Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x b) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5 x − 1
3 1
c) x + 2 + x + + x + = 4x d) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5 x
5 2
Bài 5.2: Tìm x, biết:
1 2 3 100
a) x + + x+ + x+ + ... + x + = 101x
101 101 101 101
1 1 1 1
b) x + + x+ + x+ + ... + x + = 100 x
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1 1
c) x + + x+ + x+ + ... + x + = 50 x
1.3 3.5 5.7 97.99
1 1 1 1
d) x + + x+ + x+ + ... + x + = 101x
1.5 5.9 9.13 397.401
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
14 1 3
a) 2 x − 1 + = b) x + 2 x − = x2 + 2
2
c) x x + 4 = x
2 2

2
25
Bài 6.2: Tìm x, biết:
3
11 1 32
c) x x + =x
2
a) 2 x − 1 − = x +1 − =
b)
2 45
25 4

Bài 6.3: Tìm x, biết:



18
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
 1
3 3 3 1 3 3
a) x x − =x b)  x +  2 x − = 2x −
2
c) x − 2 x − = 2x −
2 4 4
4  2 4 4

Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1 b) x − 1 − 1 = 2 c) 3x + 1 − 5 = 2
7. Dạng 7: A + B = 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và ch ỉ khi
các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A + B = 0
A ≥ 0

⇒ A + B ≥0
B1: đánh giá:
B ≥ 0

A = 0
B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 
B = 0

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
9
a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 b) x − y + y + =0 c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0
25

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
3 2 213 11 23
a) 5 − x + y −3 = 0 − + x + 1,5 − + y =0 c) x − 2007 + y − 2008 = 0
b)
4 7 324 17 13
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A + B ≤ 0 (1)
A ≥ 0

⇒ A + B ≥0 (2)
B ≥ 0

A = 0
Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ 
B = 0

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5 x + 1 + 6 y − 8 ≤ 0 b) x + 2 y + 4 y − 3 ≤ 0 c) x − y + 2 + 2 y + 1 ≤ 0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12 x + 8 + 11y − 5 ≤ 0 b) 3x + 2 y + 4 y − 1 ≤ 0 c) x + y − 7 + xy − 10 ≤ 0
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự nh ư tính ch ất không âm c ủa
luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
2007 2008
a) x − y − 2 + y + 3 = 0 b) x − 3 y + y+4 =0
c) ( x + y ) + 2007 y − 1 = 0 d) x − y − 5 + 2007( y − 3) = 0
2006 2008




19
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0 b) 2( x − 5) + 5 2 y − 7 = 0
5
4


2000
1  1
c) 3( x − 2 y )
2004
+4y+ =0 d) x + 3y −1 +  2 y −  =0
2 2


Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
7
2
a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0
5
b) 3 x − y + 10 y + ≤0
3
2006
13 1 2007 4 6 2008 2007
d) 2007 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 0
c)  x−  + y+ ≤0
24 2 2008 5 25

8. Dạng 8: A + B = A + B
* Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b
Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0

Bài 8.1: Tìm x, biết:
a) x + 5 + 3 − x = 8 b) x − 2 + x − 5 = 3 c) 3x − 5 + 3x + 1 = 6
d) 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11 f) x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2
e) x + 1 + 2 x − 3 = 3x − 2

Bài 8.2: Tìm x, biết:
a) x − 4 + x − 6 = 2 b) x + 1 + x + 5 = 4 c) 3x + 7 + 3 2 − x = 13
d) 5 x + 1 + 3 − 2 x = 4 + 3x e) x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 3 f) x − 2 + x − 7 = 4
1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 6 + x + 3 = 8
Ta lập bảng xét dấu
x -3 3
x+3 - 0 + +
2x-6 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
* Nếu x3)
x
2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong
Bài 1: Tìm x, biết:
14
a) 2 x − 1 + =
25
*+=
=-
=
2x-1= 2x = + 1 x=

2x-1= - 2x = - + 1 x=
* + =-
=- - (không thỏa mãn)
3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x − y − 2 + y + 3 = 0
x-y-2 =0 x=-1

y+3 =0 y= -3

Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a) ( x − 1) + ( y + 3) = 0
2 2


Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a) x + 5 + 3 − x = 8
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A + B = m với m ≥ 0
* Cách giải:
A = 0
* Nếu m = 0 thì ta có A + B = 0 ⇔ 
B = 0
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
A + B = m (1)
Do A ≥ 0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤ m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
c) ( x + y ) + 2 y − 1 = 0
a) x − 2007 + x − 2008 = 0 b) x − y − 2 + y + 3 = 0
2



Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
b) x − y − 5 + ( y − 3) = 0
5
c) x + 3 y − 1 + 3 y + 2 = 0
4
a) x − 3 y + y + 4 = 0

21
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x + 4 + y − 2 = 3 b) 2 x + 1 + y − 1 = 4 c) 3x + y + 5 = 5 d) 5 x + 2 y + 3 = 7
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3 x − 5 + y + 4 = 5 b) x + 6 + 4 2 y − 1 = 12 c) 2 3x + y + 3 = 10 d) 3 4 x + y + 3 = 21
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) y = 3 − 2 x − 3 b) y = 5 − x − 1 c) 2 y = 3 − x + 4 d) 3 y = 12 − x − 2
2 2 2 2


2. Dạng 2: A + B < m với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
A + B < m (1)
A ≥ 0

 ⇒ A + B ≥ 0 (2)
B ≥ 0

Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A + B < m từ đó giải bài toán A + B = k như dạng 1 với 0 ≤ k < m
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x + y ≤ 3 b) x + 5 + y − 2 ≤ 4 c) 2 x + 1 + y − 4 ≤ 3 d) 3x + y + 5 ≤ 4
Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5 x + 1 + y − 2 ≤ 7 b) 4 2 x + 5 + y + 3 ≤ 5 c) 3 x + 5 + 2 y − 1 ≤ 3 d) 3 2 x + 1 + 4 2 y − 1 ≤ 7

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x − 1 + 4 − x = 3 b) x + 2 + x − 3 = 5 c) x + 1 + x − 6 = 7 d) 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x + 2 + y = 6 b) x +y = 4 và 2 x + 1 + y − x = 5
c) x –y = 3 và x + y = 3 d) x – 2y = 5 và x + 2 y − 1 = 6
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x + 1 + y − 2 = 4 b) x – y = 3 và x − 6 + y − 1 = 4
c) x – y = 2 và 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4 d) 2x + y = 3 và 2 x + 3 + y + 2 = 8
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : A( x).B( x) = A( y )
Đánh giá: A( y ) ≥ 0 ⇒ A( x).B( x) ≥ 0 ⇒ n ≤ x ≤ m tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) ( x + 2) ( x − 3) < 0 b) ( 2 x − 1) ( 2 x − 5) < 0 c) ( 3 − 2 x ) ( x + 2) > 0 d) ( 3x + 1) ( 5 − 2 x ) > 0
Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) ( 2 − x ) ( x + 1) = y + 1 b) ( x + 3) (1 − x ) = y c) ( x − 2) ( 5 − x ) = 2 y + 1 + 2
Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) ( x + 1) ( 3 − x ) = 2 y + 1 b) ( x − 2) ( 5 − x ) − y + 1 = 1 c) ( x − 3) ( x − 5) + y − 2 = 0
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:

22
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A ≥ m (1)
Đánh giá: B ≤ m (2)
A = m
Từ (1) và (2) ta có: A = B ⇔ 
B = m
Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
12
a) x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2) b) x − 5 + 1 − x = y + 1 + 3
2



6
10
d) x − 1 + 3 − x = y + 3 + 3
c) y + 3 + 5 =
( 2 x − 6) 2
+2

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
8 16
a) 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2( y − 5) 2 + 2 b) x + 3 + x − 1 = y − 2 + y + 2
12 10
c) 3x + 1 + 3x − 5 = ( y + 3) 2 + 2 d) x − 2 y − 1 + 5 = y − 4 + 2

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
14 20
a) ( x + y − 2) + 7 = y − 1 + y − 3 b) ( x + 2) + 4 = 3 y + 2 + 5
2 2



6 30
c) 2 x − 2007 + 3 = y − 2008 + 2 d) x + y + 2 + 5 = 3 y + 5 + 6

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
• Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1
a) A = x − 3,5 + 4,1 − x b) B = − x + 3,5 + x − 4,1
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A = x + 1,3 − x − 2,5 b) B = − x − 1,3 + x − 2,5
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
1 2
a) A = x − 2,5 + x − 1,7 b) B = x +
− x− c) C = x + 1 + x − 3
5 5
−3 1
a 
x < a
/ x/ < a -a< x< a
B. LUYỆN TẬP:
1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :
Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 2 −2 x + 1 với /x / = 0,5

33
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Giải: / x / = 0,5 x = 0,5 hoặc x = - 0,5
- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75
- Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75
2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối
Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /
Giải : với x - 5 ≥ 0 x ≥ 0 thì / x -5 / = x - 5
với x –5 < 0 x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5
Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x
a/ Nếu x ≥ 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2
b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8
3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:
Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5
Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2
Xét cả hai trường hợp :
a/ 3x – 1 = 2 => x = 1
1
b/ 3x - 1 = 2 => x = -
3
Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?
Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/
/ A / = A A ≥ 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :
a/ a = 0 thì b tùy ý
b/ b = 2 thì a tùy ý
c/ a > 0 thì b < 2
d/ a < 0 thì b > 2
Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)
HD: Xét 4 trường hợp :
a/ a ≥ 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra )
b/ a ≥ 0, b ≤ 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn
đúng.Vậy : a ≥ 0, b ≤ 0 thỏa mãn bài toán .
c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a < 0 và
b = -a thỏa mãn bài toán .
d/ a < 0 , b ≤ 0 thì (1) a + b = -a + b a = -a ( không xảy ra )
Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a ≥ 0, b ≤ 0 hoặc a < 0 , b > 0
4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :
Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4
Với mọi x ta có / 3x – 1 / ≥ 0 => 2 / 3x – 1 / ≥ 0
Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 ≥ - 4
Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3
b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /
HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2
c/ Tìm GTNN của C = /x-3/
HD:Ta có x ≥ 0 = > / x − 3 / ≥ 0 = >GTNN = 0
Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /
Với mọi x ta có / x – 2 / ≥ 0 => - / 4 / x - 2 / ≤ 10


34
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Do đó 10- - 4 / x - 2 / ≤ 10
Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2
b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /
HD: C= - /x+2/ ≤ 0 = >GTLN = 0khix = −2
c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/
HD: D = 1-/2x-3/ ≤ 1 = >GTLNlla 0khix = 3 / 2
6
Bài 8: Tìm GTNN của C = với x là số nguyên
/ x /− 3
- Xét / x / > 3 => C > 0
- Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6
Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 .
Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x /
- Xét x ≥ 0 => C = x - x = 0 (1)
- Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy C ≤ 0
Vậy GTLN của C = 0 x ≥ 0

Tìm giá trị biểu thức :
Bài 10 :
với x = -2/3
a/ A = 6 x −3x 2 + 2 / x / + 4 (đs 20/9)
3


với x = ½ và y = - 3
b/ B = 2/x/ - 4/y/ (đs -8 )
Rút gọn biểu thức :
Bài 11 :
(đs :x – 9 với x ≥ −3 ;5x+ 3 với x < 3)
a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 /
(đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với
b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 /
¼ ≤ x < 3và bằng -2x -5 với x ≥ 3.
Tìm GTNN của các biểu thức :
Bài 12 :
GTNN của A = -1 x = 2/3
a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 =>
GTNN của B = -1 x = 1/4
b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 =>
=> GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2
c/ C = x + 3 / y – 2 / - 1
2


d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 x ≤ 0
Tìm GTLN của các biểu thức :
Bài 13:
=> GTLN của E = 5 x = 1/2
e/ E = 5 - / 2x - 1 /
1
=> GTLN của F =1/3 x =2
f/ F=
/ x − 2 /+ 3
x+2
với x là số nguyên
g/ G=
/ x/

x ≤ −2 < = > ≤ 1
HD : Xét 3 TH : * C
* x = 1 C = 1
x+2 2
x ≥1< = > = =1+
* G
x x
2 2
Ta thấy G lớn nhất khi nhỏ nhất . Mà lớn nhất x nhỏ nhất
x x
tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3
BÀI 14: Tìm x sao cho :
a/ / x - 2 / < 4

35
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
HD: Ta đã biết /x/ < a -a < x < a
Nên /x-2/3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1
Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A không
phụ thuộc vào biến x
II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC
HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/Phương pháp chung :

Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét
các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng :
a/ x − 1 + x − 3 = 6 (1)
GIẢI:
Xét x-1 = 0 x = 1 và xét x-3 = 0 x = 3
x-1< 0 x < 1 x-3 < 0 x < 3
x-1> 0 x > 1 x-3 > 0 x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau :
x 1 3
x-1 - 0 + / +
x -3 - / - 0 +

Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6
-2x=2 0x = 4 2x = 10
(không có giá trị
x=-1 x=5
(giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc
khoảng đang xét) khoảng đang xét)
Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1)




36
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
b/ x + 2 + x − 5 = 7
x -2 5
x+2 - 0 + / +
x-5 - / - 0 +

* Xét khoảng x 5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại)
-2 ≤ x ≤ 5
Kết luận:
c/ x + 3 − 2 x = x − 4

x -3 4
x+3 - 0 + / +
x- 4 - / - 0 +

*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)
*Xét khoảng -3 ≤ x ≤ 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn.
* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét .
Kết luận : vậy x = -3,55
Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x − 1 + x − 3 < x + 1 (2)
Tương tự:
• Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)(x-1)+(3-x) Ta có các giá trị 13 => ta có (x-1)+(x-3) f(x) > a
f(x) < -a
BÀI 23: Tìm x .

a/ Biết; 15 x − 1 > 31


15 x − 1 > 31 32

x>
HD: ......  
15 x − 1 < −31 15

x < −2

b/ Tìm x . Biết 2 x − 5 + 4 ≥ 25
2 x − 5 ≥ 21  x ≥ 13

.......   x ≤ −8
2 x − 5 ≤ −21 
Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau :
a/ x + y = 4
HD: Nếu x =0 thì y = ± 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4)
Nếu x= ± 1 thì y = ± 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3);
(1;-3);(-1;3)
Nếu x= ± 2 thì y = ± 2 ta được 4 cặp số là :...................
Nếu x= ± 3 thì y = ± 1 ta được 4 cặp số là :...................

Nếu x= ± 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là ....................
Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho
b/ x + y < 4
HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho
BÀI 25:
a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0
HD:
a/ Cách 1




40
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
x + 2 / 3 > 0  x > −2 / 3

 
1 / 4 − x > 0 x < 1/ 4
(x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0
 x + 2 / 3 < 0  x < −2 / 3
(khongthedongthoixayra )
 
1/ 4 − x < 0 x > 1/ 4
 
-2/3 < x < 1/4
Cách 2: Lập bảng xét dấu:
Giá trị x -2/3 1/4
dấu x+3/2 - 0 + / +
dấu 1/4-x + / + 0 -
dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 -
Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4
2x − 1
0 x > 1 / 2
2x − 1
0  x > −3
3+ x
Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2
Chuyên đề 2:
CHỨNG MINH TAM GiÁC
$1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC
Kiến thức cần nhớ :
1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ .
2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau .
3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó .
BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK)
b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?
c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?
BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?
b/ Cho ∆ ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D ∈ BC ) Chứng minh :
Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?
HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác .
BÀI 3 Cho ∆ ABC có góc A = α
Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O .
A
a/ Tính góc BOC theo α ?
b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tạD I . Tính góc BIC theo α ?
i
E

O
C
B



41

I
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7




α
α
Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 + và góc I = 90 0 -
2 2
ˆˆˆˆ
BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết A − B = B − C = 20 0
ˆˆ ˆˆˆ
ˆ ˆ
HD : ..=> Â = B + 20 0 , C = B − 20 0 = > A + B + C = 3 B = 180 0 ,
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=> B = 60 , Â = 80 ; C = 40 & B1 = 120 , A1 =100 0 ; C1 = 140 0
0 0 0 0

ˆˆ
BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = A + B
a A


O
b B
$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM Gia
Tam giác Tam giác vuông
Cạnh huyền + Cạnh góc vuông
TH 1. C-C-C
Hai cạnh góc vuông
TH 2. C-G-C
Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn
TH 3. G-C-G
$ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :
∆ . ĐỀU
∆ . Cân ∆ VUÔNG ∆ vuông cân
Tam giác
∆ABC : ˆ
Định nghĩa A,B,C không ∆ ABC: ∆ ABC : ∆ABC : A = 90 0
ˆ = 90 0
thẳng hàng AB = AC AB=BC=AC A AB=AC
ˆ ˆ
Quan hệ các Â+ B ˆ + C =180 0 ˆ =C
B
ˆˆˆ ˆˆ ˆˆ
góc ˆ >Aˆ A = B = C = 60 0 B + C = 90 0 B + C = 45 0
ˆ
ˆ 180 − A
C1
B=
ˆ ˆ 2
C1 > B
ˆ
Â=180 0 −2 B
Quan hệ các 1 cạnh< Tổng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB=AC= c
cạnh và > Hiệu AB=AC AB=BC=AC BC > AB BC= c 2
2cạnh còn lại BC > AC

BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , B = 60 độ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt
ˆ
nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng minh góc BDC = góc C
?
A
HD: Tính góc C = 40 độ . D
Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30)
= 40độ =>gócC =góc
I

C
B

42
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7




ˆ
ˆ ˆ
BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 B và B = 3 C .
a/ Tính góc A ;B ; C ?
b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại
đỉnh C . Tính góc AEC ?
ˆ
HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 C => góc C = 18 0
B
=> B = 54 độ; Â = 108 độ.
ˆ
b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ
=> AC E = 81 độ và
A

 2 = B + C =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27 độ .
C




E
BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là
tam giác gì ?
HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ
=> Tamgiác ABC vuông tại A .
BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB
n= 2
=>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm

B C
BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ; AB =
CD . Chứng minh rằng : a/ ∆ABC = ∆CDA & b / ∆ABD = ∆CDB ?

D
C
HD : ∆ABC = ∆CDA(cgc) & ∆CDB = ∆ABD(cgc)

A B
BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường thẳng qua
A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và

43
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và
b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?


HD : Chứng minh ∆ABC = ∆CNA( gcg ); ∆ABC = ∆BAP = ∆MCB.
A
=>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh
tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;
NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .

B C

M
BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH ⊥ AM và CK ⊥ AM .
Chứng minh : a/ BH // CK
b/ M trung điểm của HK
A
c/ HC // BK ?
H
H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM .
b/ ∆BHM = ∆CKM = >MH = MK
B M C
c/ ∆HCM = ∆KBM = > gocHCB = gocKBC = > HC // BK

BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy
ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?
∆AMN = ∆LMB (cgc) = > NA = BL
HD : ∆ALN = ∆MLC (cgc) = > NA = CM => LB = MC = NA .
L
A


M N


B
BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; B = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt nhau tai I và
ˆ
AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ?
b/ Tính góc BIC ?

A HD:a/ Góc I 1 > góc A 1 Góc ngoài tam giác BIM
Góc I 2 > góc A 2 góc ngoài tam giác CIM
 góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .

b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ .
C
M
B


44
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D .
Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?
ˆ ˆˆ ˆˆ
ˆ ˆˆ
ˆˆ
HD : => Ta có D1 = B + A1; D2 = C + A2 = > D1− D2 = B − C = 20 0
A
ˆ ˆ ˆ ˆ
Mà D1 + D2 = 180 độ => D1 =100 0 , D2 = 80 0


B D C
BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB ( D
khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối với
AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ?
b/ DC ⊥ BE ?
HD : a/ ∆ADC = ∆ABE ( gcg ) => DE = BE
E
c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao
D
điểm DC với BE. ∆ADH & ∆KBHgocDAH = BKH = 900
A



B C
ˆ
BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 C . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên tia đối BD
lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng
minh rằng : AE = AK ?
HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK
=> ∆ABE = ∆KCA(cgc) => AE = AK .
A
D



B C K



E
BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia đối tia KC
lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB . Chứng
minh A là trung điểm của MN ?

HD: ∆AKM = ∆BKC (cgc) = > gocKAM = gocKBC = > AM // BC
∆AEN = ∆CEB = > AN = BC & AN // BC
Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1)
M A N
AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)
Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN .
K E

B C

45
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ∆
ADB ; ∆ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN
vuông góc AH . Chứng minh rằng
a/ DM = AH
b/ MN đi qua trung điểm DE .
N E


D M

HD : a/ ...=> ∆ADM = ∆BAH = > DM = AH
A

b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN
Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và
DE => ∆DMO = ∆ENO( gcg ) = >OD = OE
B H C
BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E
là trung điểm của DF . Chứng minh rằng :
A a/ DB = CF
ˆ
b/ ∆BDC = ∆FCD
1
D E F c/ DE // BC & DE = BC
2
HD: a/ ...=> ∆AED = ∆CEF (cgc) = >AD = CF = >BD = CF
b/ ...=> ∆DBC = ∆FCD(cgc)
B C
1 1
c/ ...=> ∆BDC = ∆FCD = > BC = DF = > DE = DF = > DE = BC .
2 2
BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ
các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh DM + EN = BC ?
HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK
A
EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK
 AD= NK ( vì cùng bằng EB ).
 Chứng minh ∆ADM = ∆NKC (cgc) = > DM = KC ...=>....
E N

B F C
BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại I và cắt
AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ?
ˆˆ
B + C 120
ˆ
ˆ
A HD : ...=> B1 + C1 = = = 60 0
2 2
ˆC = 120 0 = > I = I = 60 0
ˆ ˆ
∆BIC := > BI 1 4

IK phân giác BIˆC = > Iˆ = Iˆ = 60 0
E I D 1 2
∆BIE = ∆BIK ( gcg ) = > IE = IK
∆CDI = ∆CIK ( gcg ) = > ID = IK = > ID = IE

B K C
ˆ ˆ
BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác ACE & DBE

46
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
ˆ ˆ
BAC + BDC
ˆ
cắt nhau ở K . Chứng minh : BKC = ?
2
K
D
HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE
ˆˆ
ˆˆ
Xét ∆KGB & ∆AGC = > K + B1 = A + C1
A H (1)
ˆˆ ˆˆ
Xét ∆KHC & ∆DHB = > K + C 2 = D + B2
G (2)
ˆˆ
A+ D
ˆ
ˆˆˆ
Từ (1) &(2) => 2 K = A + D => K =
E
2

C B
BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB
vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ
AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC .
1
Chứng minh : a/ AM = ED
2
b/ AM ⊥ DE
HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi
H E
AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi
chứng minh DE = AK
A - Xét ∆ABK & ∆DAE : AD = AB( gt ); AE = BK (= AC )
ˆ ˆ ˆ ˆ
Và DAE + A = 180 0 (viA1 + A2 = 180 0 ) (1)
ˆˆ ˆˆˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
B + B1 = B + C = > ABK + A = B + C + A = 180 0 (vibuA) (2)
DE
ˆ
ˆ
Vậy : ABK = DAE = >∆ABK = ∆DAE = > AK = DE = > AM =
2
b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có
B M C
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
BAK + DAH = 90 0 = > D + DAH = 90 0 = > ADH = 90 0
1
BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz = yÔz .Qua điểm A thuộc
2
Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng minh tam
gíc AOD cân ?
HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Ta thấy : AEB = 90 0 − α & ABE = OBH = 90 0 − α = > AEB = ABE
A
=> ∆AOB = ∆ADE (cgc) => AO=AD => ∆ AOD cân


E D
B
O Hh
BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của góc xÔy . M
là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc
Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ?
HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x.


47
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
=> ∆ EOI đều => OC = EK .
y
Vẽ EH ⊥ MA; EK ⊥ OI dễ dàng chứng minh được
z M
B MH = MB ; EK = OC
 MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC
H E
t

C

O I x
A K
BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.
Chứng minh BC = BD + AD trên cạnh
ˆ ˆ
BDK = 60 0 & BDE = 80 0 = >∆BDA = ∆BDK ( gcg ) = > DA = DK (1) Chứng minh tam gíac DKE cân tại D
=>DK = DE (2)
Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3)
Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD

B KE C
BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên
tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB . Chứng minh
∆ AIK vuông cân ?
HD : Ch/minh ∆ABI = ∆KCA(cgc). AI = AK
Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt)
A
Suy ra : tam giác AIK vuông cân


B C




BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm E trên tia
đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA .
a/ Chứng minh AB = E F và AB ⊥ E F
b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam
giác OMN vuông cân ?
HD : a/ ∆OAB = ∆Oß E(2 cgv) = >AB = E F & AB ⊥ E F
b/ ∆OMB = ∆ONE (cgc) = >OM = ON & gocMOM = 90do = >
y OMN vuông cân
B

F



48
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
N M


E O A

BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM
= CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng :
A a/ CM = B N
b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên
AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN.
ˆ ˆ
HD: a/ ∆ACM = ∆CBN (cgc) = >CM = BN & C1 = B1
M
ˆ ˆ
ˆ
b/ ∆BOCcoBOC = 180 0 − ( B1 + C 2 ) = 180 0 − 60 0 = 120 0
N
O


B C
TAM GIÁC VUÔNG
Chuyên đề:

TAM GIÁC CÂN .....
A. TAM GIÁC VUÔNG :
1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ?
2/ Tính chất :
ˆˆ
- Tam giác ABC : Â=90 độ B + C = 90 0
ˆ
- Định lý PyTago: ∆ABC : A = 90 0 ⇔ BC 2 = AB 2 + AC 2
- Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29)....
- Các hệ thức trong tam giác vuông:
ˆ
∆ABC : A = 90 0 ; AH ⊥ BC = > AH .BC = AB. AC
;
AB 2 = BH .BC ; AC 2 = CH .BC.
1
ˆ
∆ABC : A = 90 ; AB = MC < = >AM = BC
-
2
S AMC
S AMB =
- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ)
là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ).
- Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền

Toán nâng cao:
BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD
lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB .
Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF .
ˆ
Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B CF = 135 0


49
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Ch/minh : ∆BAE = ∆FCB(cgc) ⇒ BE = CF
A
ˆ ˆ ˆ
D b/ ∆ABF : A = 90 0 = > ABF + F = 90 0
ˆˆ ˆ ˆ
F = B (cmt ) = > ABF + B = 90 0
A C F Mà: ˆ
hayEBF = 90 0 = > BE ⊥ BF

BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm
BM . Chứng minh : AC = 2 AD

Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA
A
ˆ ˆ
=> ∆ADB = ∆EMD(cgc) = > AB = ME; ABD = EMD
1
=> AB=ME= BC = >ME = MC (1)
2
(1)

Mặt khác:
B D M C
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
EMA = M 1 + M 2 ; CMA = B + BAM ( gocngoai )
ˆ ˆ ˆ
Mà: M = B(cmt ); M = ABM
1 2
ˆ ˆ
Vậy : AME = AMC (2) và AM chung (3)
Từ (1),(2) và(3) suy ra
E
∆MCME = ∆AMC = >AE = AC = >AC = 2AD
BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x ⊥ BC và lấy CE = CA
( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA . Chứng minh : a/ ∆ACE
đều b/ E,A,F thẳng hàng ?
Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => ∆CEAcan
Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ
Suy ra : ∆CAE đều
b/ Ta có : BA = BF (gt) => ∆BFAcan
E
Suy ra : góc BA F = 30 độ;
A
ˆ ˆ
ˆ
Vậy: FBA + BAC + CAE = 30 0 + 90 0 + 60 0 = 180 0
Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF

F B C
BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O . Qua O kẻ
đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E .
Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi .
b/ DE = DB + EC
ˆ ˆ
ˆ
HD : a/ BOC = 180 0 − ( B2 + C 2 ) = 180 0 − 45 0 = 135 0
A
b/ ∆DBOcan = > DB = DO
∆EOC can = > EC = EO
O
Vậy DB+EC=DO+OE=DE
D E

B C


50
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC
(H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn minh :
FH = FA = FC .
ˆ ˆ
Hướng dẫn: Ta có BH= BE => ∆ BEH cân => E = H 1
A
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Mà H 1 = H 2 = >& B = 2 H 1 = B = 2 H 2 = > H 2 + C
Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1)
F
ˆ ˆ ˆ
Mặt khác : Â = 90 0 −C & AHF = 90 0 − H 2
Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2)
B
Từ (1) và (2) => HF = FA = FC
H C
E

Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân
ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF).
a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ?
b/ Từ A và F kẻ các đường D D ' , FF ' vuông góc xuống BC .
Chứng minh : DD ' + FF ' = BC

HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng
∆DBD ' = ∆BAH = >DD ' = BH
b/ Kẻ AH ⊥ BC => ∆CFF ' = ∆AHC = > FF ' = HC
A
= > DD ' + FF ' = BH + HC = BC


B C
ˆ
Bài 7 : Cho ∆ABC : BAC = 120 0 Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE ⊥ AB ;
DF ⊥ AC .
a/ Tam giác DE F tam giác gì ?
b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác
ACM là tam giác gì ?
HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ => ∆ đều
A
b/Tam giác ACM đều .
F
E

B D C
BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc
với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . Chứng minh
rằng:
AB + AC AB − AC
; BE =
a/ BE = CF b/ AE =
2 2
ˆ ˆ
ACB − B
c/ góc BME =
2
HD: a/ Chứng minh góc F = góc E
Kẻ CD // AB =>BE=CD (1)


51
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Mà ∆ CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF
A
b/ Ta có AE = AB - BE
Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC
AB + AC
 AE=
2
AB − AC
Tương tự : 2BE=AB-AC => BE =
E
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
CEF = ACB - F & BME = E - B
M C c/ Ta có : ˆ ˆ
ACB - B
ˆ
ˆ ˆ ˆ
2BME = ACB - B = >BME =
2


F
B. TAM GIÁC CÂN
BỔ SUNG KIẾN THỨC:
1. Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy
bằng nửa cạnh huyền.
2. Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác vuông đó
bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác đều và cạnh đối diện
góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều.
3. Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối
diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ.
4. Trong tam giác cân:
- Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau.
- Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
- Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
TOÁN CHO HS GIỎI:
BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm AB ; AC.
a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ?
b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ?
HD: A
D
M
E N

B C
Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên:
MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân.
Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều.
b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN
đều=>EN=NA=CN=AC:2.
Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông tại E =>
CE vuông góc AB


52
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho
BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ?
HD:
B
N
=1 =M
1

A C
ˆ
180 − B
ˆ
Tam giác BAM cân tại B=> M 1 =
2
ˆ
180 − C
ˆ
Tam giác CAN cân tại C=> N1 =
2
ˆ N = 180 − ( M + N ) = 180 − 135 = 45 0
ˆ ˆ
Vậy : MA 1

BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng
nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ?
b/ Tam giấcBM là tam giác đều ?
HD:
A


I



B H M C
a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh
1 1 ˆ ˆ
∆MAI = ∆MAH (C.h + g .n) = > BH = MH = BM = MC = >C = 30 0 & HAC = 60 0
2 2
Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A.
b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có
một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều.


BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một đoạn CD
sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ?
HD:
A




H

53
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
1 2
2 1 1

B C D
- Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ => góc
1 1ˆ
ˆ ˆ
B1 = 30 0 = >CH = BC = >CH = CD = >∆CDH can = D1 = ACB = 30 0 = >∆HDBcan = > HB = HD(1) - Xét
2 2
tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2).
Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.
1
ˆ ˆ ˆ
Ta suy ra D2 = H 1 = 15 0 = > ADB = 30 + 15 = 45 0
2
ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO
KIẾN THỨC BỔ SUNG:
1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 2
2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ:
A( x1 ; y1 ); B( x 2 ; y 2 ) = > AB 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = > AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32.
Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng :
a/ Tam giác ABC vuông ?
b/ góc AMB = 2góc C.

HD: A
7
M

24 32


B 40 C

a/ Tam giác ABC có: BC 2 = 40.40 = 1600
AB 2 + AC 2 = 24.24 + 32.32 = 1600
Vậy AB 2 + AC 2 = BC 2 = 1600 = >∆ABCvuongtaiA
24 2 − 7 2 = 25
b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM=
AC − AM = 32 − 7 = 25
Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài)
Vậy góc AMB = 2. góc c
BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính BC ?
A A



25 24
24 26 25 26

54
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

B H C HBC
(H1) (H.2)
- Tính được HB= 7 ; HC= 10
- Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1)
- Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2)
BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm.
Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ?
HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k
Ta có AB 2 + AC 2 = (8k ) 2 + (15) 2 = 512 = >289k 2 = 2601 = >k = 3
Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m
BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA
lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng minh EB vuông góc
EF ?
HD: A


D F


B H C


E
Vì AD=HE=>AH=DE
Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được:
BF 2 = AB 2 + A F 2 = ( BH 2 + AH 2 ) + ( AD 2 + DF 2 )
BF 2 = HB 2 + DE 2 + HE 2 + DF 2 = ( BH 2 + HE 2 ) + ( DE 2 + DF 2 ) = BE 2 + E F 2
Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông góc E
BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc 3m . Hỏi
điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ?
HD : B

=

C
x? =

A D
Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là điểm C
thì CB=CD .
AC 2 + AD 2 = CD 2
Tam giác vuông ACD có :
x 2 + 3 2 = (9 − x ) 2 = > x = 4met



55
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1).
Tính các góc tam giác ABC ?
HD x

4 A(5;4)

3 B(2;3)




1 C(6;1)

x
O 2 5 6
Ta có : AB = (5 − 2) + (4 − 3) = 10(1)
2 2
2


AC 2 = (5 − 6) 2 + (4 − 1) 2 = 10(2)
BC 2 = (6 − 2) 2 + (1 − 3) 2 = =20
Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB 2 + AC 2 = BC 2 = 20 = >∆ABCvuong
Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ

CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
CỦTAM GIÁC VUÔNG
BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .
a/ Chứng minh tam giác ABC cân.
b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ?
HD: (H.1) A A


F D
H K

(H.1) B M C (H.2) B E C

a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC.
∆HAM = ∆KAM (ch + gn) = > MH = MKA
Chứng minh ˆˆ
∆HMB = ∆KMC (ch + cgv) = > B = C = >∆ABCcantaiA
b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC
=>BM= AB 2 − AM 2 = 12 = > BC = 24




56
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau.
a/ Chứng minh tam giác đó đều ?
a3
b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài . Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó?
2
HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F.
ˆˆ ˆˆ
a/ Ta chứng minh ∆FBC = ∆ECB(ch + cgv) = > B = C;........ = >C = A = >∆ABCdeu.
b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có
AC 2 = AD 2 + CD 2 = > x = a

:
BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại  và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho
góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.?
M
M

A A


O O


B C B C
(H.1) ( H.2)
HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ
Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)
 góc MCA=60-50=10 độ
ˆ ˆ
 ∆AMB = ∆AMC (CCC ) = > AMB = AMC = 60 0 : 2 = 30 0
 ∆OBC = ∆AMC ( gcg ) = >CO = CA = >∆COAcan.
BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia phân giác
góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ?
HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC).
ˆ
Chứng minh tương tự bài 19=> ∆COAcantaiC = > ACO = 40 : 2 = 20 0
ˆ
Suy ra: CAO = (180 - 20) : 2 = 80 0
Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC
tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D.
a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ?
b/ So sánh AD & CD ?
HD: (H1) A A ( Hình 2)


12 D E



57
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7



B C B M NC
D

ˆ ˆ
(xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> A1 = A2
Suy ra AD phân giác góc Â
b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng)
BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt đi ểm thu ộc
AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM=CN ?
HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C
Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN
BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy đi ểm B. G ọi M trung đi ểm AB. T ừ
A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh AE=BF ?
Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF
HD:
x (Ch+gn)=>AE=BF

A

E M F

O y
BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C c ắt nhau t ại O. K ẻ OE,O F,OG th ứ
tự vuông góc với AC,AB,BC.
a/ Chứng minh OE = O F=O
b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG

∆BOß = ∆BOG(ch + gn) = >OF = OG (1)
a/ Chưng minh: ∆COG = ∆COE(ch + gn) = >OE = OG(2)
T u (1) & (2) = >OE = OF= OG
1ˆˆ 1ˆ ˆ 1ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
b/ ∆AOE = ∆AO F = >A 1 = A2 = A;B 1 = B2 = B & C1 = C 2 = C
2 2 2
ˆ ˆ
Suy ra A1 + B + C 2 = 180 : 2 = 90 (1)
0


ˆ
ˆ
Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> B + BOG = 90 0 (2)
1
ˆ ˆ ˆ
Từ (1) và(2) => A1 + C 2 = BOG (3)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Từ (3) và (4)=> BOG = COD < = >BOG = GOD = COD + GOD, < = >BOD = COG
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1:Tính giá trị của biểu thức :
A = x2 + 4xy – 3y3 với x = 5; y = 1
4x − 9 4y + 9
Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = 3 x + y − 3 y + x ( x ≠ - 3y ; y ≠ - 3x)
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :

58
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
x ( x + 2 y )( x − 2 y )( x + 2 y )( x + 2 y )
2 2 2 4 4 8 8

với x = 4 và y = 8
a) A =
x 16 + 2 y 16
b) B = 2m2 – 3m + 5 với m = 1
c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a = 1 và b = 2
Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa :
ax + by + c
x +1 x −1
a) b) c)
xy − 3 y
x2 − 4 x2 +1
6x 2 + x − 3 1
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N= với x =
2x − 1 2
Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để :
a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0 b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7
Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau :
5x 2 + 3 y 2 xy
=
với
A=
10 x 2 − 3 y 2 35
Bài 8: Cho x, y, z ≠ 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức
z  x 
 y
B = 1 − 1 − 1 + 
 
 x  y  z
Bài 9:
1
a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) 2 – 10
5
4
b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D =
( 2 x − 3) 2 + 5
5− x
Bài 10: Cho biểu thức E = .Tìm các giá trị nguyên của x để :
x−2
a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất
Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau :
c) (x2 – 16)2 + y − 3 - 2
a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1
Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = x − 2 + x − 10
Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
10 x + 15
A=
5x + 1
Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b ∈ Z
Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35
Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm
cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000
Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá
trị của x.
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
7
B = x − 1 − x + 3 với x ≤
11
Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau :
a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2)
c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2

59
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc
e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b)
f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x)
Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau :
a) A = ( 15x + 2y) - [ ( 2 x + 3) − ( 5 x + y ) ] b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - [13x + ( 2 y − 5) ]
Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích :
c) x2 – xy – xy + y2
a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx
d) x2+ 5x + 6
Bài 22: Chứng tỏ rằng :
a) Biểu thức x2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x .
b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng:
1 2
(n ∈ N)
a) x + = 1 b) x + = 5 c) x 3 + 3 = y 3 − x d) (x-2) 25n 2 + 5 + y- 2= 0
x x
Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết:
x+2 2x − 3
y= y=
a) b*)
x −1 x +1
ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :
a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2)
c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :
x x 3x 2 1
++ b) 3ab. ac – 2a.abc - a2bc
a)
362 5 3
2
2 2 1
2 
c)  ac  .c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c2
5 3 4
3 
Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y ∈ Z và x + y chia hết cho
13 thì A + B chia hết cho 13
Bài 4: Cho biểu thức :
P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n ∈ N)
Với giá trị nào của a thì P > 0
Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k ∈ N)
Với giá trị nào của x và k thì Q < 0
Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n ∈ N; n ≠ 0)
Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1
Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz
Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:
153 1
x y ;−3 x 3 y;4 x 2 ;5; ax 5 y 3 ; x 3 y
7 9
Bài9: Tính tổng :




60
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
1 25 3 25 4 25
yz − yz + yz
a)
2 4 3
73
b) axy − bxy + xy
3 3

3
Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :
a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1
d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1
Nâng cao
Bài 1: Cho biểu thức M = 3a x + 4b x - 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a ≠ 0; b ≠ 0)
22 22

Tìm GTNN của M
Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0
Bài 3: Chứngminh rằng với n ∈ N*
a) 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số không
b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25
c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300
Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0
Bài 5: Rút gọn:
a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4
b) 2y – x - { 2 x − y − [ y + 3x − ( 5 y − x ) ]} với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2
c) 5x – 3 - 2 x − 1
Bài 6: Tìm x,biết :
a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6
2  1  1  1 
3
x + 3 ) –  x − 4  -  x + 1 =  x + 4  -  x − 3 
b) (
3  6  3  3 
4
Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : abc + bca + cab = 666
Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc + bca + cab là một số chính phương không ?
Bài9 : Tính tổng :
a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5)
b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2)
c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2)
5 3
x
d) (4x2+x2y -5y3)+( x 3 − 6 xy 2 − x 2 y )+( + 10 y 3 )+ ( 6 y 3 − 15 xy 2 − 4 x 2 y − 10 x 3 )
3 3
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau
a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)
( )( )
b / x 3 + 6x 2 + 5 y 3 − 2x 3 − 5x + 7 y 3
c / ( 5,7 x )( )
y − 3,1xy + 8 y 3 − 6,9 xy − 2,3x 2 y + 8 y 3
2



− 2x  x − 2 7  5x  x 4 
e) M = + 3 x − − −  − 
d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x
6 9 5 2 5 5
3


61
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 11: Tìm x biết:
a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213
x +1 x − 2
1 11 1
x− = x− =
b) c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d)
2 34 6 3 4
x − 6 x − 7 x − 8 x − 9 x − 10 x − 11 x + 32 x + 23 x + 38 x + 27
+ + = + + + = +
e) f)
7 8 9 10 11 12 11 12 13 14
1 2
−1
g) x − 2 = 13 h) 3 x − 2 + 4 x − 8 = − 2 − i) 3x − 2 + 5 = 3 + x − k) x + 2 + x − 2 =3
3 3
11
n) ( x+2)2 = −
m) (2x-1)2 – 5 =20 p) ( x-1)3 = (x-1)
23
r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự nhiên
q*) (x-1)x+2 = (x-1)2
SỐ CHÍNH PHƯƠ NG
Chủ đề:
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ
CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:
1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính ch ất có liên
quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và
giảimột số dạng toán có liên quan.
3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.
II/ LÝ THUYẾT:
1.Định nghĩa:
Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ: 3 2 = 9;15 2 = 225
Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính phương
2. Một số tính chất:
a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8.
b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
(10a + 5) 2 = 100a 2 + 100a + 25.
M = a5 2
Thật vậy ,giả sử =
Vì chữ số hàng chục của 100a 2 và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2
c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6
thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6.
Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ),
Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.
Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ.
d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với
số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .
Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz …trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tố khác
nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thế thì ,
A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…
Từ tính chất này suy ra

62
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
-Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
-Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
3/ Nhận biết một số chính phương:
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)
5. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng :
Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2
a)
họăc 4n +3 (n∈N);
b) Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n∈N).
Giải
a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (k∈N), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho 4
còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k∈N) ,
Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1.
Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4
hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(n∈N)
b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k ± 1 (k∈ N) khi đó bình
phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k ± 1)2=
9k2 ± 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể
viết dưới dạng 3n+2(n∈N).
Ví dụ 2:
Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau
còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.
Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính
phương.
Giải
Cách 1 .
Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là
số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó tổng của
chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương.
Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận
cùng của số a là số chẵn, do đó a 2 nên a2 4.
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ
đó ,ta có :
1+3+5+7+9=25=52là số chính phương
Ví dụ3:
Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương
Trả lời
n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100,
do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ
nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.


63
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :
37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương.
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số
chính phương
Giải Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2
và p không chia hết cho 4 (1)
a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m∈N)
Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .
Đặt m=2k+1 (k∈N)
Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1
do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)
Vậy p+1 không là số chính phương
b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho 3.
Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên
thì p-1 và p+1 không là số chính phương
III/ BÀI TẬP:
BÀI TẬP BÀI GIẢI
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết rằng Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có s ố t ận
trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có ch ữ số t ận cùng
đúng và một mệnh đề sai: là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là
1/ n có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái gi
2/ n + 20 là một số chính phương thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b ∈ N và a > b)
3/ n – 69 là một số chính phương
=> a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1
a + b = 89
suy ra a = 45. Vậy n = 452 – 20 = 2005
Do đó: 
a− b = 1

Gọi N = a2 + b2 (a, b ∈ N)
Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính
phương. Chứng minh rằng: a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab
a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính = (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính phương.
phương. b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2
b/ N cũng là tổng của2 số
2
= (a2 – b2)2 + (2ab)2
chínhphương.
Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính
Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2;
phương. Chứng minh rằng:(A + B) Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) =
(C + D) là tổng của 2 số chính = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d
phương. + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chín
phương.
Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0
cho: x = y + z. Chứng minh rằng: => x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0


64
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
2(xy + xz – yz) là tổng của 3 số => 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2
chính phương.
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên
Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0
thoả mãn: a – b = c + d. Chứng minh=> 2a(a – b – c – d) = 0
rằng: a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng
Nên ta suy ra:
của 3 số chính phương. a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a – b – c – d)
= (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2
Bài 6: Cho 2 số chính phương liên Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 =
tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 = (n2 + n + 1)2
số đó cộng với tích của chúng là n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ.
một số chính phương lẻ. Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ.
a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)
Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 +... + n
(1+ n)n (1+ n + 1)(n + 1) (n + 1 + n + 2)
)(n
a/ Tính an+1
b/ an + an+1 = + = =
b/ Chứng minh rằng an + an+1 là một 2 2 2
= (n + 1)2
số chính phương
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.
Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1,
số B chỉ gồm m chữ số 4.
Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.
Bài 2.
Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết
bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
Bài3.
Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,
hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Bài 4.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các chữ số
khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính
phương không?
Bài 5
Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý .
Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không?




65
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản