CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

0
463
lượt xem
263
download

CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC là tài liệu dành cho các bạn học sinh rèn luyện và nâng cao kỹ năng giãi bài tập, ôn tập kiến thức, góp phần giúp ích cho các kỳ thi sắp tới, rất ích cho các bạn ôn thi vào đại học bách khoa

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC

  1. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC sè phøc PHẦN I. CÁC DẠNG TOÁN VẤN ĐỀ 1 d¹ng ®¹i sè cña sè phøc Céng, trõ, nh©n, chia sè phøc A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Sè phøc Mét biÓu thøc d¹ng z = a + bi, trong ®ã a vµ b lµ nh÷ng sè thùc vµ i tháa m·n i 2 = -1 ®­îc gäi lµ mét sè phøc. a ®­îc gäi lµ phÇn thùc, b ®­îc gäi lµ phÇn ¶o, i ®­îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. TËp c¸c sè phøc ®­îc kÝ hiÖu lµ . Sè phøc cã phÇn ¶o b»ng 0 gäi lµ sè thùc nªn R  . Sè phøc cã phÇn thùc b»ng 0 gäi lµ sè ¶o. 0 = 0 + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o. 2. Hai sè phøc b»ng nhau a  a ' z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'  ); z  z'   b  b ' 3. Céng, trõ hai sè phøc z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'   ) z + z'  (a + a' ) + (b + b') i, z  z'  (a - a') + (b - b' )i Sè ®èi cña sè phøc z = a + bi lµ sè phøc ; - z = - a – bi. 4. Nh©n hai sè phøc z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'   ); zz'  aa '  bb '  (ab '  a 'b)i 5. M«®un cña sè phøc, sè phøc liªn hîp z = a +bi (a, b   ) th× m«®un cña z lµ z = a 2 +b2 z = a +bi (a, b   ) th× sè phøc liªn hîp cña z lµ z = a - bi. Ta cã: 2 zz' = z z' , zz  a 2  b2  z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z * z lµ sè thùc khi vµ chØ khi z = z 6. Chia cho sè phøc kh¸c 0 1 NÕu z = a + bi (a, b   ) kh¸c kh«ng th× sè phøc nghÞch ®¶o cña z lµ z-1= z. 2 z z' z'z z' z'  z' z' Th­¬ng cña z' cho z kh¸c kh«ng lµ:  z'z-1  . Ta cã:  ,   . z zz z z z z 7. BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc Sè phøc z = a + bi (a, b   ) ®­îc biÓu diÔn bëi M(a; b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy hay cßn gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. Trôc Ox biÓu diÔn c¸c sè thùc gäi lµ trôc thùc, trôc Oy biÓu diÔn c¸c sè ¶o gäi lµ trôc ¶o  Sè phøc z = a + bi (a, b   ) còng ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u  ( a; b) , do ®ã M(a; b) lµ ®iÓm   biÓu diÔn cña sè phøc z = a + bi (a, b   ) còng cã nghÜa lµ OM biÓu diÔn sè phøc ®ã.   Ta cã:NÕu u , v theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× http://violet.vn/kinhhoa 1 Ngọc Vinh
  2. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC      u  v biÓu diÔn sè phøc z + z', u  v biÓu diÔn sè phøc z – z-1, k u (k   ) biÓu diÔn sè phøc kz,    OM  u  z , víi M lµ ®iÓm biÓu diÔn cña z. B. C¸c d¹ng bµi tËp I. X¸c ®Þnh tæng, hiÖu, tÝch, th­¬ng cña c¸c sè phøc 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i Áp dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n, chia hai sè phøc, chó ý c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp ®èi víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m ph©n thùc, phÇn ¶o cña c¸c sè phøc sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1  i )3  (2i )3 Bµi gi¶i a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. VËy sè phøc ®· cho cã phÇn thùc lµ - 1, phÇn ¶o lµ - 1. b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã (1  i)3  (1)3  3(1)2 i  3(1)i 2  i3  2  2i, (2i )3  (2)3 (i )3  8i Do ®ã nhËn ®­îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n lµ 2 + 10i 1 VÝ dô 2: TÝnh 1 3  i 2 2 Bµi gi¶i 1 3 1 3  i  i 2 2 1 3 Ta cã : 2 2   i 1 3  1 3  1 2 2   i   i  2 2  2 2  VÝ dô 3: TÝnh 1  i  i 2  i3  ...  i 2009 Bµi gi¶i Ta cã: 1  i 2010  (1  i)(1  i  i 2  i3  ...  i 2009 ) . Mµ 1  i 2010  2 . Nªn 2 1  i  i 2  i3  ...  i 2009  ,  1  i  i 2  i3  ...  i 2009  1  i . 1 i VÝ dô 4: TÝnh (1  i)100 Bµi gi¶i NhËn thÊy (1  i)2  (1  i)(1  i )  2i . Suy ra (1  i)100  ((1  i )2 )50  (2i )50  (2)50 (i )50  250 . 1 3 VÝ dô 5: Cho sè phøc z    i. 2 2 1 H·y chøng minh r»ng: z 2  z  1  0; z  z 2  ; z3  1. . z Bµi gi¶i 1 3 1 3 1 3 Do z 2    i . Nªn z 2  z  1  (  i )  (  i)  1  0 ; 2 2 2 2 2 2 http://violet.vn/kinhhoa 2 Ngọc Vinh
  3. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 1 3 1 1   i L¹i cã   2 2   1  3 i . Suy ra z 2  z  1 . z 1 3 1 2 2 z   i 2 2 H¬n n÷a ta cã z3  1 . VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu z 2  z  0 . Bµi gi¶i §Æt z = x + yi, khi ®ã   z 2  z  0  ( x  yi)2  x 2  y 2  0  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0  x  0   x  0   2  x  y  x  y  0  2 2 2 2   y  y  0    y (1  y )  0     2 xy  0   y  0   y  0   2  x  x  0   x (1  x )  0    x  0    x  0, y  0  y  0   x  0, y  1   y  1      x  0, y  1   x  0 (do x  1  0)      y  0, x  0   y  0  VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i. II. BiÓu diÔn sè phøc trong mÆt ph¼ng to¹ ®é 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i §Ó biÓu diÔn mét sè phøc cÇn dùa vµo®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt sau:  NÕu sè phøc z ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u , sè phøc z' ®­îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ' , th×      z + z' ®­îc biÓu diÔn bëi u  u ' ; z - z' ®­îc biÓu diÔn bëi u  u ' ; - z ®­îc biÓu diÔn bëi u . 2) C¸c vÝ dô. VÝ dô 1: Gi¶ sö M(z) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®« biÓu diÔn sè phøc z. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau a) z  1  i  2 ; b) 2  z  i  z . Bµi gi¶i a) §Æt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nªn hÖ thøc z  1  i  2 trë thµnh ( x  1) 2  ( y  1) 2  2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  4. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é biÓu diÔn c¸c sè phøc z tháa m·n gi¶ thiÕt lµ ®­êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = 2. b) Gäi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi ®ã 2  z  i  z  z  (2)  z  i hay lµ M(z)A = M(z)B. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB. NhËn xÐt: Víi phÇn b ta cã thÓ thøc hiÖn c¸ch gi¶i nh­ ®· lµm ë phÇn a. Tuy nhiªn ®Ó thÓ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nh­ vËy lµ ta ®· dùa v¸o nhËn xÐt sau:    NÕu vÐct¬ u cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z th× ®é dµi cña vect¬ u lµ u  z , vµ tõ  ®ã nÕu c¸c ®iÓm A, B theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× AB  z  z ' . http://violet.vn/kinhhoa 3 Ngọc Vinh
  4. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 3 VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z  2  3i  . T×m sè phøc z cã modul nhá 2 nhÊt. Bµi gi¶i 3 XÐt biÓu thøc z  2  3i  (1). §Æt z = x + yi. Khi ®ã (1) trë thµnh 2 3 9 ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2  . 2 4 Do ®ã c¸c ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tho¶ m·n (1) n»m trªn ®­êng trßn ( ) t©m 3 I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R = . y 2 O H 2 x M -3 I Ta cã z ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ®iÓm M n»m trªn ®­êng trßn ( ) vµ gÇn O nhÊt. Do ®ã M lµ giao ®iÓm cña ( ) vµ ®­êng th¼ng OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n. Ta cã OI = 4  9  13 . KÎ MH  Ox. Theo ®Þnh lÝ talet cã 3 13  MH OM 2  13MH  3 13  9  6 13  9  MH  6 13  9  78  9 13 .   3 OI 13 2 2 2 13 26 3 13  OH 2  OH  2 13  3  26  3 13 . L¹i cã  2 13 13 13 26  3 13 78  9 13 VËy sè phøc cÇn t×m lµ : z   i. 13 26 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z  w  z  w . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo? Bµi gi¶i Gäi A, B, C lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c sè phøc z, w, z + w. Ta cã z  OA, w  OB, z  w  OC . Tõ OC  OA + AC suy ra z  w  z  w . H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC.    Khi O  A (hay z  0) ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ cã sè k  0 ®Ó AC  kOA tøc lµ w = kz. (Cßn khi z = 0, râ rµng z  w  z  w ). VËy z  w  z  w khi vµ chØ khi z = 0 hoÆc nÕu z  0 th× tån t¹i k  R ®Ó w = kz. c. bµi tËp 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w ta ®Òu cã z  w  z  w . DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? 2. Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w, u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt: http://violet.vn/kinhhoa 4 Ngọc Vinh
  5. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC a) z  w  u  v  1 ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m  R a) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn ®­êng ph©n gi¸c thø hai y = - x; 2 b) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn hypebol y   ; x c) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch cña ®iÓm biÓu diÔn sè phøc ®Õn gèc to¹ ®é lµ nhá nhÊt. 4. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc tho¶ m·n hÖ thøc z 3. z i 5. XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc 4i 2  6i ; (1  i)(1  2i ); . i 1 3 i a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n; b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng. ………………………………… VẤN ĐỀ 2 C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph­¬ng tr×nh bËc hai A. KiÕn thøc cÇn nhí I. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®­îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w. a) NÕu w lµ sè thùc + w < 0 th× cã hai c¨n bËc hai:  wi &   wi + w  0 th× cã hai c¨n bËc hai: w &  w . b) NÕu w lµ sè phøc khi ®ã ta thùc hiÖn c¸c b­íc: + Gi¶ sö w= a + ib, ®Æt z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña w tøc lµ: z 2  w khi ®ã ta cã  x 2  y 2  a (1) hÖ:  2 xy  b (2) 2 2 B×nh ph­¬ng 2 vÕ cña (1) vµ (2) råi céng l¹i ta ®­îc x  y  a 2  b2  x 2  y 2  a (1)  Do vËy ta ®­îc hÖ:  2 2 2 2 x  y  a  b  (2') 2 Gi¶i hÖ t×m ®­îc x vµ y 2 suy ra x vµ y ®Ó t×m z. Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > 0 th× x, y cïng dÊu. NÕu b < 0 th× x, y tr¸i dÊu. II. C«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai hÖ sè phøc Cho PT: ax  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0) vµ cã   b  4ac 2 2 b   b   + NÕu   0 pt cã hai nghiÖm lµ x1  ; x2  2a 2a Trong ®ã  lµ mét c¨n bËc hai cña  . b + NÕu  = 0 th× pt cã nghiÖm kÐp: x1  x2   . 2a B. C¸c d¹ng bµi tËp I. Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i http://violet.vn/kinhhoa 5 Ngọc Vinh
  6. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC B BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng Az + B = 0, A, B  , A  0 . ViÕt nghiÖm z   A 2) VÝ dô VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2iz + 1 - i = 0 Bµi gi¶i (1  i ) 1 1 1 1 NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ z      i. 2i 2i 2 2 2 II. TÝnh c¨n bËc hai vµ gi¶iph­¬ng tr×nh bËc hai 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i Sö dông c«ng thøc tÝnh c¨n bËc hai cña sè phøc ®Ó tÝnh c¨n bËc hai. Sö dông c«ng thøc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh víi chó ý ph¶i ®­a vÒ ®óng d¹ng cña ph­¬ng tr×nh. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: a )  5  12i b) 8  6i c) 33  56i d )  3  4i Bµi gi¶i a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ 2  x  iy   5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i  x 2  y 2  5  2 2  x  y  5  2 x  4  x  2   2 2  2  2 xy  12  x  y  13  y  9   y  3 x  2  x  2 Do b = 12 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã  hoÆc  y  3  y  3 VËy -5 + 12i cã 2 c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i. b) T­¬ng tù ta gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 8+ 6i tøc lµ 2  x  iy   8  6i  x 2  y 2  2ixy  8  6i  x2  y 2  8  x2  y 2  8  x2  9   x  3   2 2  2  2 xy  6  x  y  10  y 1   y  1 x  3  x  3 Do b= 6> 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã  hoÆc  y 1  y  1 VËy 8 + 6i cã 2 c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i. c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ 2  x  iy   33  56i  x 2  y 2  2ixy  33  56i  x 2  y 2  33  2 2  x  y  33  x 2  49   x  7   2 2  2  2 xy  56  x  y  65   y  16   y  4 x  7  x  7 Do b = -56 < 0 nªn x vµ y tr¸i dÊu tõ ®ã cã  hoÆc   y  4 y  4 VËy 2 c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4. d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ 2  x  iy   3  4i  x 2  y 2  2ixy  3  4i http://violet.vn/kinhhoa 6 Ngọc Vinh
  7. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC  x 2  y 2  3  2 2  x  y  3  2 x  1  x  1   2 2  2  2 xy  4 x  y  5  y  4   y  2 x  1  x  1 Do b = 4 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã  hoÆc  y  2  y  2 VËy 2 c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ 1 + 2i vµ -1-2i. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a ) x 2   3  4i  x  5i  1  0; (1) b) x2   1  i x  2  i  0; (2) Bµi gi¶i 2 a) Ta cã    3  4i   4  5i  1  3  4i Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1d) th×  cã hai c¨n bËc hai lµ 1+ 2i vµ -1 - 2i. Do ®ã pt (1) cã hai nghiÖm lµ: 3  4i  1  2i 3  4i  1  2i x1   2  3i; x2  1 i 2 2 2 b) T­¬ng tù ta cã   1  i   4  i  2   8  6i Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1b) th×  cã hai c¨n bËc hai lµ 3 + i vµ -3 - i. Do ®ã pt (2) cã hai nghiÖm lµ: 1  i  3  i 1  i  3  i x1   1; x2   2  i 2 2 Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = 0 VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a ) 3 x 2  x  2  0; (1); b) x 2  x  1  0; (2); c ) x3  1  0 (3) Bµi gi¶i a) Ta cã  = 12- 4.3.2 =-23
  8. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2 Gi¶ sö PT bËc hai: ax  bx  c  0;  a, b, c   , a  0  nhËn sè phøc    lµ nghiÖm 2 tøc lµ ta cã: a  b  c  0 . (1) LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta ®­îc: 2 a 2  b  c  0  a     b  c  0 . §iÒu nµy chøng tá  lµ nghiÖm cña pt. 2 ¸p dông: Chøng tá 1+i lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x  3 x  3  5i  0 . T×m nghiÖm cßn l¹i cña pt ®ã. VÝ dô 5: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ ®¶o vµ thuËn cña ®Þnh lÝ Vi-et cña ph­¬ng t×nh bËc hai víi hÖ sè phøc. ThuËn: NÕu hai sè x1 & x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh b c ax 2  bx  c  0;  a, b, c  , a  0  th× x1  x2   & x1 x2  . a a Chøng minh Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã: b    b    b x1  x2     2a  2a  a 2 2  b     b    b   c x1 x2   .  2   2a   2a  4a a §¶o: NÕu hai sè  ;  tho¶ m·n:     S & .   P th×  ;  lµ nghiÖm cña pt: x 2  Sx  P  0 .(1) Chøng minh 2 x   Ta cã: (1)  x      x    0   x    x     0   x   §iÒu nµy chøng tá  ;  lµ nghiÖm cña (1). ¸p dông: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm   4  3i;   2  5i Bµi gi¶i Theo bµi ra ta cã:     2  8i vµ  .    4  3   2  5i   23  14i i 2 Theo kÕt qu¶ Vd5 ta ®­îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: x   2  8i  x  14i  23  0 2 VÝ dô 6: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh: x  mx  3i  0 cã tæng b×nh ph­¬ng 2 nghiÖm b»ng 8. Bµi gi¶i 2 2 2 Theo bµi ra ta cã: x1  x2  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (1). Theo Vi-et ta cã  x1  x2  m 2 2  Thay vµo (1) ta ®­îc m  6i  8  m  8  6i . Tøc m lµ mét c¨n bËc hai  x1 x2  3i cña 8+6i. Theo kÕt qu¶ Vd1b ta cã 2 gi¸ trÞ cña m lµ: 3 + i vµ -3 - i.  z12  z2  5  2i (1) 2 VÝ dô 7: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh   z1  z2  4  i (2) Bµi gi¶i http://violet.vn/kinhhoa 8 Ngọc Vinh
  9. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2 2 Tõ (2) ta cã z1  z2  2 z1 z2  15  8i. KÕt hîp víi (1) ta cã z1 z2  5  5i vËy ta cã hÖ  z1  z2  4  i ph­¬ng tr×nh:  Do ®ã z1 , z2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh  z1 z2  5  5i z 2   4  i  z  5  5i  0 . Ta cã   5  12i theo Vd1a ta biÕt  cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + 3i vµ -2 - 3i.  4  i  2  3i  z1  3i  2  z1  1  2i VËy ta cã  HoÆc  . z  4  i  2  3i  z2  3  i  1  2i  2  2   2 VÝ dô 8: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 1  i 2 z   3  2i  z  1  i  0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: z1 z2 a ) A  z12  z2 2 b) B  z12 z2  z1 z2 2 c) C   z2 z1 Bµi gi¶i  3  2i 3  2 2 2  3 2  z1  z2    i  1 i 2 3 3 Theo Vi-et ta cã:  z z  1 i  1  2  1  2 i  1 2 1 i 2  3 3 a) Ta cã 2 2  3 2 2 23 2   1  2 1  2  11  30 2 6  4 2 A   z1  z2   2 z1 z2     i   2   3  3 i    i  3 3    9 9 b)  3  2 2 2  3 2  1  2 1  2  5  2 2 1 10 2 B  z1 z2  z1  z2     i   i   i  3 3  3 3  9 9 2 2 z  z2 A 6  26 2 i c) Ta cã C  1   . z1 z2 1 2 1 2 18  i 3 3 4 2 VÝ dô 9: Gi¶i pt: z  6 z  25  0 (1) Bµi gi¶i 2 2 §Æt z  t. Khi ®ã (1) cã d¹ng: t  6t  25  0 (2). Ta cã:  '  16 cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ t1  3  4i vµ t2  3  4i . MÆt kh¸c 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + i vµ -2 - i cßn 3 - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã 4 nghiÖm lµ: z1  2  i; z2  2  i; z3  2  i; z4   2  i C. bµi tËp Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: http://violet.vn/kinhhoa 9 Ngọc Vinh
  10. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 3 i a) 8+6i b) 3+4i c) 1 i 3 2 2 1 1 1 i  1 i 3  d)  e)   f)   1 i 1 i 1 i   3 i  Bµi 2: Gäi u1 ; u2 lµ hai c¨n bËc hai cña z1  3  4i vµ v1 ; v2 lµ hai c¨n bËc hai cña z2  3  4i . TÝnh u1  u2  v1  v2 ? Bµi 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a ) z 2  2iz  2i  1  0; b) z 2   5  14i  z  2 12  5i   0 2 c) z 2  80 z  4099  100i  0; d )  z  3  i   6  z  3  i   13  0 e) z 2   cos   i sin   z  i cos  sin   0. Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña 8 vµ -8. Bµi 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng: a ) z 4  8 1  i  z 2  63  16i  0; b) z4  24  1  i z2  308  144 i  0 2   Bµi 6: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: z  1  i 2 z  2  3i  0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: z1 z2 a ) A  z12  z2 2 b) B  z12 z2  z1 z2 2 c) C   z2 z1 1 2 1 2 d ) D  z13  z2 3 e) E  z2 z13  z1 z2 3 f ) F  z1     z2     z2 z1   z1 z2  Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ PT u 2  v 2  4uv  0  z  2i  z  a)  b)  u  v  2i  z  i  z 1  ……………………………………………………. VẤN ĐỀ 3 D¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc A. KiÕn thøc cÇn nhí I. Sè phøc d­íi d¹ng l­îng gi¸c. 1. Acgumen cña sè phøc z  0 y Cho sè phøc z  0. Gäi M lµ ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z. Khi ®ã sè ®o (radian) cña mçi gãc l­îng b gi¸c tia ®Çu Ox, tia cuèi OM ®­îc M gäi lµ mét Acgumen cña z. O a x Chó ý: + NÕu  lµ Acgumen cña z th× mäi Acgumen cña z ®Òu cã d¹ng:  + k2  , k  Z. + Acgumen cña z  0 x¸c ®Þnh sai kh¸c k2  , k  Z. II. D¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc http://violet.vn/kinhhoa 10 Ngọc Vinh
  11. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b  R), víi r = a 2  b 2 lµ modun cña sè phøc z vµ  lµ Acgumen cña sè phøc z. D¹ng z = r (cos  +isin  ) ®­îc gäi lµ d¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc z  0, cßn d¹ng z = a + bi ®­îc gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z. II. Nh©n vµ chia sè phøc d­íi d¹ng l­îng gi¸c NÕu z = r(cos  +isin  ), z' = r' (cos  '+isin  ') (r  0 vµ r'  0 ) th× z r zz' = rr ( cos (    ' )  i sin(   ' ));   cos(   ')  i sin(   ') (khi r' > 0). z' r' III. C«ng thøc Moa-Vr¬ vµ øng dông 1. C«ng thøc Moa- Vr¬ n  r (cos   i sin  )  r n (cos n  i sin n ) cos   i sin  n  cos n  i sin n , n  N * . 2. C¨n bËc n cña mét sè phøc Víi z = r(cos  +isin  ), r > 0, cã hai c¨m bËc hai cña z lµ       r (cos  i sin ) ;  r (cos  i sin )  r (cos(   )  i sin(   )) . 2 2 2 2 2 2 B. c¸c d¹ng Bµi tËp I. ViÕt sè phøc d­íi d¹ng l­îng gi¸c 1) Ph­¬ng ph¸p Víi mçi sè phøc z = a + bi: a b TÝnh r = a 2  b2 ; TÝnh cos  = ,sin   tõ ®ã suy ra acgumen cña z r r Sö dông c«ng thøc l­îng gi¸c cña sè phøc cho ta z = r (cos   i sin ) . 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: ViÕt c¸c sè phøc sau d­íi d¹ng l­îng gi¸c 1 i 3 a )(1  i 3)(1  i ); b ) ; c ) z  sin   i cos  1 i Bµi gi¶i        a) Ta cã 1  i 3  2 cos(  )  i sin(  )  ; cßn 1  i  2 cos  i sin  . Do ®ã  3 3   4 4     (1  i 3)(1  i )  2 2  cos(  )  i sin(  )  .  12 12  b) Tõ phÇn trªn ta cã ngay kÕt qu¶ 1 i 3   7   7    2 cos     i sin    . 1 i   12   12       c) Ta cã z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) . VËy z  cos(   )  i sin(   ) . 2 2 2 2 VÝ dô 2: Tuú theo gãc  , h·y viÕt sè phøc sau d­íi d¹ng l­îng gi¸c (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ). Bµi gi¶i XÐt sè phøc z = (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta cã http://violet.vn/kinhhoa 11 Ngọc Vinh
  12. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC       z  (2sin 2  i.2sin cos )(2cos 2  i.2sin cos ) 2 2 2 2 2 2        4sin cos (sin  i cos )(cos  i sin ) 2 2 2 2 2 2        2sin  (sin cos  sin cos  i (cos2  sin 2 ))  2sin   sin   i cos  . 2 2 2 2 2 2 Hay z = 2sin  (sin  - icos  ) (*)     + NÕu sin   0 , th× tõ (*) cã z = 2sin  cos(  )  i.sin(  )  lµ d¹ng sè phøc cÇn t×m.  2 2  + NÕu sinh  < 0, th× tõ (*) ta cã :     z  2sin  (  sin   i cos  )  2sin  cos(  )  i.sin(  )  lµ dang l­îng gi¸c cÇn t×m.  2 2  + NÕu sinh  = 0, th× z = 0, nªn kh«ng cã d¹ng l­îng gi¸c x¸c ®Þnh. II. C¸c bµi tËp tÝnh to¸n tæng hîp vÒ d¹ng l­îng gi¸c cña sè phøc 1) Ph­¬ng ph¸p gi¶i §­a sè phøc vÒ d¹ng l­îng gi¸c råi sö dông c¸c c«ng thøc Moivre ®Ó tÝnh to¸n c¸c ®¹i l­îng theo yªu cÇu cña bµi tËp. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau (1  i )10    1 1 a) 9 ; b)  cos  i sin  i 5 (1  3i )7 ; c) z 2009  2009 , nÕu z   1 . ( 3  i)  3 3 z z Bµi gi¶i a) XÐt sè phøc 10     5 5  2(cos  i sin )  25 (cos  i sin ) (1  i )10 4 4   9  2 2 ( 3  i) 9    3 3 29 (cos  i sin )  2(cos 6  i sin 6    2 2 1 1  4 (cos   i sin  )   2 16 1 VËy phÇn thùc b»ng  , phÇn ¶o b»ng 0. 16 b) XÐt sè phøc 7             cos  i sin  i 5 (1  3i )7   cos( )  i sin( )  i  2(cos  i sin )   3 3  3 3   3 3      7 7  27 cos( )  i sin( )  (cos  i sin )i  27  cos 2  i sin 2  i  27 i.  3 3  3 3 VËy phÇn thùc cña sè phøc b»ng 0, phÇn ¶o b»ng 27  128 . c) Tõ  1  3i   1 z   cos  i sin 2 3 3 z   1  z2  z  1  0   z  1  3i   z   cos( )  i sin( ).  2 3 3 http://violet.vn/kinhhoa 12 Ngọc Vinh
  13. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC   Víi z  cos  i sin , ta cã 3 3 1   1 z 2009  2009  (cos  i sin )2009  ( )2009 z 3 3   cos  i sin 3 3   2009   2009  (cos  i sin )  (cos(  )  i sin(  )) 3 3 3 3 2009 2009 2009 2009 2 2  (cos  i sin )(cos  i sin )  2cos(669  )  2cos 1. 3 3 3 3 3 3 VËy phÇn thùc c¶u sè phøc b»ng 1, phÇn ¶o b»ng 0. VÝ dô 2: TÝnh tæng sau S  (1  i ) 2008  (1  i ) 2008 Bµi gi¶i Ta cã   1  i  2(cos  i sin )  (1  i )2008  21004 (cos502  i sin 502 ) 4 4     1  i  2(cos  i sin )  2(cos(  )  i sin(  ))  (1  i )2008  21004 (cos( 502 )  i sin( 502 )). 4 4 4 4 Do ®ã S  21005 cos(502 )  21005 . VÝ dô 3: Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c c¨n bËc ba cña 1 lËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu. Bµi gi¶i XÐt ph­¬ng tr×nh z 3  1 trªn  , cã nghiÖm d¹ng z  r (cos   i sin  ) . Khi ®ã r  1 z 3  1  r 3 (cos3  i sin 3 )  1   3  k 2, k  . Do ®ã ph­¬ng tr×nh trªn cã ®óng ba nghiÖm øng víi ba gi¸ trÞ cña k lµ Víi k = 0 ta cã z 0 = cos0 + isin0 = 1; 2 2 1 3 Víi k = 1 ta cã z 1 = cos  i sin   i ; 3 3 2 2 4 4 1 3 Víi k = 2 ta cã z 2 = cos  i sin   i . 3 3 2 2 Nªn 1 cã ba c¨n bËc ba ®ã lµ c¸c sè phøc ®­îc x¸c ®Þnh nh­ trªn. Trong mÆt ph¼ng phøc, gäi A, B, C lÇn l­ît lµ ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè phøc z 0 , z 1 , z 2 . Khi ®ã     2  2 OA  OB  OC  1;   AOB ; BOC  3 3 Tõ ®ã suy ra tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. C. bµi tËp Bµi 1: ViÕt c¸c sè phøc sau d­íi d¹ng l­îng gi¸c: 1 i 3 a. 1 - i 3 b. ( 1 - i 3 )(1  i ) c. 1 i  5 d. 1 - itan e. tan i f. 1-cos   i sin  (   R,   k 2 , k  Z ) 5 8 Bµi 2: Cho 2 sè phøc: 4 – 4i vµ 1+ i 3 . http://violet.vn/kinhhoa 13 Ngọc Vinh
  14. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC T×m Modun vµ Acgumen cña c¸c sè phøc lµ ®èi liªn hîp cña 2 sè phøc trªn vµ viÕt chóng d­íi d¹ng l­îng gi¸c. 1 Bµi 4: T×m d¹ng l­îng gi¸c cña c¸c sè phøc sau: z ; , biÕt: z a. z = r ( cos   i sin ) , r >0; b. z = 1 + 3 i Bµi 5: T×m c¸c c¨n bËc 5 cña 1? CMR tæng cña chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gän hÕt dÊu c¨n ë mçi biÓu thøc sau 1 3 a. 4 1 b. 8 1 c. 1  i d. 3 i 2 2 Bµi 7: Cho sè phøc z = a + bi . Mét h×nh vu«ng t©m lµ gèc to¹ ®é 0, c¸c c¹nh song song víi c¸c trôc to¹ ®é vµ cã ®é dµi b»ng 4. X¸c ®Þnh a,b ®Ó t×m ®iÓm biÓu diÔn cña sè thùc z. a, N»m trong h×nh vu«ng b, N»m trªn ®­êng chÐo cñah×nh vu«ng Bµi 8: Chøng minh r»ng 2 2 2 1 z z a. z1 z 2  1 + z1  z2 = (1+ z1 )(1+ z 2 ) 2 b. z1  z 2  ( z1  z 2 ) 1  2 . 2 z1 z2 Bµi 9: TÝnh a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb). ………………………………. http://violet.vn/kinhhoa 14 Ngọc Vinh
  15. CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC PHẦN 2. LUYỆN TỔNG HỢP Bµi 1. a.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : 2 z  2  2i  1 h·y t×m sè z cã moidule nhá nhÊt b.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : z  5i  3 h·y t×m sè z cã acgumen d­¬ng nhá nhÊt 1 c. Cho | z  |  2009 . Tìm số phức có modun lớn nhất z Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau : a. z  z n 1 ( n  N ) b. ( z  a ) n  z n ( n  N , a  R, a  0) Bµi 3. Cho hai ®iÓm M(z) vµ I(z1) t­¬ng øng víi sè phøc z=x+yi , x, y R vµ sè phøc z1=a+bi a) Chøng minh hÖ thøc : (z-z1).( z  z 1 ) =(x-a)2+(y-b)2 b) suy ra hÖ thøc : (z-z1).( z  z 1 ) =R2 ( R> 0) Lµ ph­¬ng tr×nh mét ®­êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R Bµi 4. 0  x  y  1  T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M biÓu diÔn c¸c sè phøc z =x+yi tháa m·n ®iÒu kiÖn sau :   y  x 2  1    Bµi 5. 2 2 Hãy tính tổng S  1  z  z 2  z3  ... zn 1 biết rằng z  cos  i sin n n Bµi 6. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2 4 3 z 1 a. z -z + +z+1 = 0 ( Èn phô =z- ); b. (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 2 z Bµi 7. T×m sè thùc a, b ®Ó cã ph©n tÝch : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b) Tõ ®ã gi¶i ph­¬ng tr×nh : f(z) = 0 Bµi 8. Với z là số phức. Chứng minh rằng: Bµi 9. z Tính giới hạn: lim |1 |n với z  C n  n Bµi 10. Cho a, b, c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a| = |b| = |c|. Chứng minh rằng nếu mỗi phương trình: az2 + bz + c = 0, bz2 + cz + a = 0 có một nghiệm có modun bằng 1 thì: |a – b| = |b – c| = |c – a| http://violet.vn/kinhhoa 15 Ngọc Vinh

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản