CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

0
451
lượt xem
54
download

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các công thức lượng giác cần nhớ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

  1. www.VNMATH.com G.NTH 1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m 1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n π 1 + 1 + tg2α = + cos 2 α + 2 α = 1 ( α≠ +kπ) sin cos α 2 2 kπ 1 + tgα . cotgα = 1 (α ≠ + 1 + cotg2α = ( α≠ kπ) ) sin 2 α 2 1.2. C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tg α±tgβ π + tg (α ± β) = ( α β≠ +kπ) ; 1  tg αtgβ 2 cot g αcot gβ  1 . + cotg(α ± β) = ( ;α β≠kπ) cot g α±cot gβ 1.3. C«ng thøc nh©n + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 2 tgα π π + tg2α = ( α≠ + k ) 1 −tg α 2 4 2 cot g 2 α− 1 kπ + cotg2α = ( α≠ ) 2 cot gα 2 + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tg α−tg 3α π π + tg3α = ( α≠ + k ) 1 − tg α3 6 3 3 1.4. C«ng thøc h¹ bËc 1 +cos 2α 1 − 2α cos + cos2α = + sin2α = 2 2 π 1 − 2α cos ( α≠ +kπ) + tg2α = 1 +cos 2α 2 1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch: α +β α−β + cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 + β αβ α + cosα - cosβ = - 2sin sin 2 2 + β αβ α + sinα + sinβ = 2sin cos 2 2 α +β α−β + sinα - sinβ = = - 2cos sin 2 2 1
  2. www.VNMATH.com G.NTH sin( α±β) π ( α β≠ +kπ) + tgα ± tgβ = ; cos αcos β . 2 1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng: 1 + cosα.cosβ = [cos( α ) β cos( α−β)] ++ 2 1 + sinα.sinβ = [cos( α−β + α +β)] ) cos( 2 1 + sinα.cosβ = [sin( α ) β sin( α−β)] ++ 2 BiÓu thøc l­îng gi¸c BiÓu thøc ®¹i sè C«ng thøc l­îng gi¸c t­¬ng tù 1 1+tan2t = 1 + x2 1 + tan2t cos 2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2 tan t 2 tan t = tan2t 1 − tan 2 t 1 − tan 2 t 1− x2 2x 2 tan t 2 tan t = sin2t 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t 1+ x2 x+y tan  + tan  tan  + tan  = tan(α+β) 1 − tan  tan  1 − tan  tan  1 − xy 1 1 − 1 = tan2α −1 x2 - 1 cos α cos α 2 2 ... .... ...... mét sè ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1 1) Ph­¬ng ph¸p: x =sin α víi α ∈ [0, 2π] a) NÕu thÊy x2 + y2 = 1 th× ®Æt   y =cos α  x = r sin  víi α ∈ [0, 2π] b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) th× ®Æt   y = r cos  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 2
  3. www.VNMATH.com G.NTH Gi¶i: c = sin v a = sin u ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) §Æt  vµ  d = cos v b = cos u ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) π  ⇔ S = 2sin (u + ) −  ∈,− 2] ⇒ 2 ≤ = (c + ) +(c −d)≤ 2 (®pcm) − Sa db v [ 2   4 2 2  1  1 25 VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng:  a 2 + 2  +  b 2 + 2  ≥ 2 2  a  b 2 Gi¶i: §Æt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α ≤ 2π. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi. 2 2 2 2  2 1  2 1  1  1 a + 2  + b + 2  = cos 2 α + + sin 2 α + 2     cos 2 α  sin α   a  b   cos 4 α + 4 α 1 1 sin = cos4α + sin4α + +4 4 = 4 α+ 4α+ + cos +4 sin cos 4 α sin α cos 4 αsin 4 α . ( )   1 = cos 4 α + 4 α 1 + +4 sin  cos αsin α  4 4 . [( ] )α 2 cos   1 α +2 − α 2 α 1 + +4 = cos 2 2 sin sin  cos αsin α  4 4 . 1  16   1 17 25 = 1 − sin 2 2α 1 + 4  + ≥1 − (1 + 16) + 4 = + 4 = (®pcm) 4  sin 2α  2  2 2 2 B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét b­íc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng: A = a 2 b− 2+ 3ab 2(1 2 3 )a (+ − 3 )b + 3 −3 ≤ 2 − + 2 42 4 Gi¶i: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1 a − =sin α a = + α 1 1 sin ⇒ A⇒ sin 2 = α− 2 α 2 3 sin α α + §Æt  cos cos b − =cos α b =2 + α 2 cos π 3 1 = cos − α2 α = sin 2 α−cos 2 α = sin( 2 α− ) ≤ 2 (®pcm) A 3 sin 2 2 2 2 2 6 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + 7 = 13 3
  4. www.VNMATH.com G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Gi¶i: BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1 a − =R sin α a =R sin α + 1 1 víi R ≥ 0 ⇔ ⇔(a − 1) 2 + (b + 1) 2 = R 2 §Æt   b + =R cos α b = cos α− 1 1 R Ta cã: 5a 12b 7 +13 = ⇔ R sin α 1) 12(R cos α− 1) + 7 = 13 + ++ 5(  5 5 12 ⇔ α+ 13 α = ⇔ = sin α + cos α = sin α + arccos  ≤ R 5Rsin 12Rcos 1R R  13 13 13 Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (®pcm) II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin |α 1 ; | cos α| ≤ 1 ≤ 1. Ph­¬ng ph¸p:      x = sin  khi  ∈  − 2 ; 2  a) NÕu thÊy |x| ≤ 1 th× ®Æt     x = cos  khi  ∈ [ 0;  ]       x = m sin  khi  ∈  − 2 ; 2  b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) th× ®Æt     x = m cos  khi  ∈ [ 0;  ]  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Gi¶i: §Æt x = cosα víi α ∈ [0, π], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p α  α α α α α    =  2 cos 2  +  2 sin 2  = 2 p  cos 2 p + sin 2 p  ≤ 2 p  cos 2 + sin 2  = 2 p  2  2  2  2 2 2 (®pcm) 3−2 3+2 VD2: Chøng minh r»ng: ≤ 3 x 2 + 1 −x 2 ≤ x 2 2 Gi¶i: Tõ ®k 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nªn §Æt x = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 1 − x 2 = sinα. Khi ®ã ta cã: P= 2 3 x 2 +2 x 1 − x 2 = 2 3 cos 2  + 2 cos  sin  = 3 (1 + cos 2 ) + sin 2 4
  5. www.VNMATH.com G.NTH 3  π  1 = 2 cos2 α + sin2  + 3 = sin 2α +  + 3 α ⇒3 − ≤A ≤ 3 + 2 (®pcm) 2 2  3 2  2 [ ] 1 a − (1 a+3 +2 −(1 − )3 ≤2 2 + 2 − 2a 2 (1) VD3: Chøng minh r»ng: 1 ) a Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn α α §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ 1 − a = 2 sin ; 1 + a = 2 cos ; 1 − 2 =sin α a 2 2 αα α α αα  (1)⇔ 1 + 2 sin cos .2 2 cos 3 − sin 3  ≤ 2 2 + 2 2 sin cos  2 2 2 2 2 2 α α  α α  α αα α αα ⇔  sin + cos  cos − sin  cos2 + sin cos + sin 2  ≤ 1 + sin cos  2  2  2 2 2 2 2 2 2 2 α α  α α α α ⇔  sin + cos  cos − sin  = cos 2 − sin 2 = α≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) cos  2  2 2 2 2 2 ) 3+(a ) ( VD4: Chøng minh r»ng: S = 4 (1 a −)3 − − 1 −a 2 ≤ 2 a3 2 Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 1 − a 2 = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos 3 α− 3(cos + sin α− α α3 sin (= 4 sin 3 ) α (+ cos 3 α− cos α) α− S= 4(sin 3 ) ) 4 3 π  = sin 3 α cos 3 α = 2 sin  3α +  ≤ 2 ⇒ (®pcm) +  4 ) ( VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 b 2− b +1 a − + ab −(1 − 2 )(1 −b 2 ) ≤ 2 a 2 3 Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.  π π §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ;   2 2 Khi ®ã A = sin cosα β+ α β− 3 cos( α +β) = cos sin π  1 3 3cos( + −) 2 α + = ) αβ β α+ − β cos( α + 2=  ( α +) −  ≤ 2 ) β sin β = sin( ) sin(  3 2 2 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] 5
  6. www.VNMATH.com G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn |a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta cã: + ( αcos ) + 452 + ) + 26 −4 3 = − α cos α cos 3− α = 3 α 1 cos cos ≤ α A = 42 (3 cos2 24 ) ( 2 (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π]. Ta cã: A = (2 1 cos + ( α −cos ) 2 −3( 1 cos ) +3 −α +α = 1 − 2 α − 3 cos α ) cos 1 1  π  3 α 2 sin α− cos α  =2 sin  α +  ≤ 2 (®pcm) α3 cos − = = sin 2   3   2 π 1 1 III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 = −1 (α ≠ + π) ⇔ α= k tg2 cos α cos α 2 2 2 1) Ph­¬ng ph¸p: a) NÕu |x| ≥ 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x2 −1  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪π,  th× ®Æt x = cos α  2  2  b) NÕu |x| ≥ m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x 2 − m2  π   3π  m víi α∈ 0;  ∪π,  th× ®Æt x = cos α  2  2  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: a2 −1 + 3 VD1: Chøng minh r»ng A = ≤ 2 ∀ a ≥1 a Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn :  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪π,  ⇒ a 2 1 = tg 2 α =tgα . Khi ®ã: − §Æt a = cos α  2  2  a2 − 1 + 3 π  (tg= α3) cos + αsin α +3 cos α = sin α +  ≤ 2 (®pcm) = A= 2  3 a 5 − a2 −1 12 VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A = ≤ 9 ∀ a ≥1 a2 Gi¶i: 6
  7. www.VNMATH.com G.NTH Do |a| ≥ 1 nªn:  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪π,  ⇒ a 2 1 = tg 2 α =tgα . Khi ®ã: − §Æt a = cos α  2  2  5(1 + 2α) 5− a −1 12 2 cos − sin2α = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= A= 6 2 2 a 5 13  5  5 13  5 12 = +  cos 2 α− sin 2α  = + cos 2α + arccos  2 2  13 22  13  13 5 13  5  5 13 5 13 ⇒-4= + ( 1) ≤A = + cos 2α + arccos  ≤ + .1 = 9 (®pcm) −  13  2 2 22 22 a 2 − + b2 − 1 1 ∀ a ; b ≥1 ≤1 VD3: Chøng minh r»ng: A = ab Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn .  π   3π  1 1 víi α∈ 0;  ∪π,  . Khi ®ã ta cã: §Æt a = ;b= cos β cos α  2  2  tg ) α + β cos cos α sin = cosα β β+ β α sin( α +β ≤ 1 (®pcm) = A = ( tg sin cos ) a ≥ 2 2 ∀ a >1 VD4: Chøng minh r»ng: a + a −1 2 Gi¶i: Do |a| > 1 nªn:  π 1 a 1 1 1 víi α∈  0;  ⇒ = = §Æt a = . Khi ®ã: . cos α a 2 − 1 cos α tg 2 α sin α  2 a 1 1 1 1 22 = + ≥ 2. = ≥ 2 2 (®pcm) a+ . cos α sin α cos α sin α sin 2α a2 −1 VD5: Chøng minh r»ng y x 2 − + y 2 − +3 ≤ xy 26 ∀ x ; y ≥ 1 14 1 Gi¶i: 1  4 y2 − 1 3  x2 − 1  +  ≤ 26 (1) BÊt ®¼ng thøc ⇔ +  y x x y    π 1 1 Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = víi α, β∈  0 . ; y= , cosβ cos α  2 7
  8. www.VNMATH.com G.NTH Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 2 + βcos 2 )β sin α + cos α + = 32 )(sin 2 5 ≤ (12 + 52 )(sin 2  + cos2  ) = 26 ⇒ (®pcm) 1 IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 = cos 2 α 1. Ph­¬ng ph¸p:  π π a) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tgα víi α ∈  − ,   2 2  π π b) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtgα víi α ∈  − ,   2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: 3x 4x 3 − ≤1 VD1: Chøng minh r»ng: S = 1 + x2 (1 + x 2 )3 Gi¶i:  π π 1 §Æt x = tgα víi α ∈  − ,  ⇒ 1 + x 2 = , khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos α  2 2 S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (®pcm) 3 + 8a 2 + 12a 4 VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = (1 + 2a 2 ) 2 Gi¶i:  π π 3 4tg 2 α + tg 4 α + 3 §Æt a 2 = tgα víi α ∈ − ,  th× ta cã: A =  2 2 (1 +tg α) 2  2 α4+ 2 α 2 α + sin 4 α 3 cos 4 sin cos 3 = α + 2 ) 2 2 sin 2 α 2 α α− = 3(sin 2 cos cos (cos α +sin α) 2 2 2 sin 2 2α sin 2 2α 5 1 0 ⇒ 3 − ≤A =3 − = ≤2 − = 3 =3- 2 2 2 2 2 π 1 5 Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = 2 4 2 (a +b)(1 − ab) 1 ≤ ∀ a, b ∈ R VD3: Chøng minh r»ng: (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 Gi¶i: 8
  9. www.VNMATH.com G.NTH (a +b )(1 − ab) (tg α + )(1 − α β) tg β tg tg §Æt a = tgα, b = tgβ. Khi ®ã = (1 + a )(1 + b ) (1 + 2 α 1 +tg 2β) tg )( 2 2 sin( α +β) cos . cos β− αsin β α sin . = cos 2 αcos 2 β. . cos αcos β cos αcos β . . α ) β = sin[2( α +β ≤ ] (®pcm) 1 1 αcos( ) +β + = sin( ) 2 2 − − − |a b| |b c| |c a| + ≥ ∀ a,bc VD4: Chøng minh r»ng: , +21 2 1+ +21 2 1+ +21 2 1+ ( a )( b ) ( b )( c ) ( c )( a ) Gi¶i: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ −tg α | ⇔ + ≥ (1 + 2 α 1 + tg 2 β ) (1 +tg 2β)( 1 + tg 2 γ ) (1 + 2 γ 1 +tg 2 α ) tg )( tg )( sin( α−β) sin( β− γ ) sin( γ− ) α ⇔ cos αcos β. +cos βcos γ. ≥cos γ α. cos cos αcos β cos β cos γ cos γcos α . . . ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) + cd ≤ (a + )(b + ) (1) ∀a , b, c, d > 0 VD5: Chøng minh r»ng: ab c d Gi¶i: cd (1) ⇔ ab cd 1 ab + 1⇔ ≤ + ≤1 ( a + c )( b + d ) ( a + c )( b + d )  c  b  c  b  1 +  1 +   1 +  1 +   a  d   a  d   π c d §Æt tg2α= , tg2β= víi α,β ∈  0,  ⇒ BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc  2 a b tg2 α 2β .tg 1 ⇔ + = α β + 2 α 2 β≤ 1 2 2 cos cos sin sin (1 + α 1 +tg β) (1 + α 1 +tg β) 2 2 2 2 tg )( tg )( ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) cd DÊu b»ng x¶y ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔ = ab 6a +4 | a 2 − 1 | VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 +1 9
  10. www.VNMATH.com G.NTH Gi¶i: α α α α + 4 | tg 2 − 1 | tg 2 − 1 6 tg 2 tg α 2 2 + 4. 2 = 3. 2 §Æt a = tg . Khi ®ã A = α α α 2 tg 2 + 1 1 + tg 2 tg 2 + 1 2 2 2 A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5 sin α | cos α | Víi sinα = 1 ⇔ a = 1 th× MinA = - 3 ; víi = th× MaxA = 5 3 4 V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®­a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c 1) Ph­¬ng ph¸p: π  x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) th× ∃ ABC :  ∆ a) NÕu  2 2 x + y 2 + z 2 + 2xyz = 1  x = cos A; y = cos B; z = cos C  π  x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) th× ∃ ABC :  ∆ b) NÕu  2 x + y + z = xyz x = tgA; y = tgB; z = tgC  π  A; B; C ∈ (0; 2 )  x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC x; y, z > 0  th× ∃ ABC :  ∆ c) NÕu  xy + yz + zx = 1 A; B; C ∈(0; π)   A B C x = tg ; y = tg ; z = tg   2 2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. 111 + + − 3( x + y + z) S= xyz Gi¶i: α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  Tõ 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg  2 2 2 2 αβ βγ γα Do xy + yz + zx = 1 nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 22 22 22 10
  11. www.VNMATH.com G.NTH β γ tg + tg α β βγ γ 2 = 1 ⇔ tg β + γ  = cot g α ⇔ tg  tg + tg  = 1 - tg tg ⇔ 2   2 2 1 − tg β tg γ tg α 2 2 2 2 2 2 22 2 β γ  π α βγπα α +β + γ π ⇔ tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔ = ⇔α +β + γ =π 2 2 2 2 2222 2 2 α β γα β γ 111 + + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3  tg + tg + tg  S= 22 2 2 xyz 2 2 α α  β β  γ γ  α β γ  S =  cot g − tg  +  cot g − tg  +  cot g − tg  − 2 tg + tg + tg   2  2  2  2 2 2 2 2 2 α β γ S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg  2 2 2 γ α β S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg ) 2 2 2 sin( α +β) 2 sin γ 2 sin γ = = §Ó ý r»ng: cotgα + cotgβ = sin αsin β 2 sin αsin β cos( α) β − α +β) − cos( . . γ γ 4 sin cos 2 sin γ 2 sin γ 2 = 2 tg γ γ 2 ≥ = = ⇒ g α + g β− 2 tg ≥0 cot cot γ 1 − α +β) 1 +cos γ cos( 2 2 2 cos 2 2 1 T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z = th× MinS = 0 3 x y z 4 xyz + + = VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ 1− x 1− y 1− z (1 − )(1 −y 2 )(1 − z 2 ) 2 2 2 2 x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  Do 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg  2 2 2 2 2x 2y 2z Khi ®ã tgα = ; tgβ = ; tgγ = vµ ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt 1− x2 1 − y2 1 − z2 2x 2y 2z 8xyz ⇔ ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ + + = 1− x 1− y 1− z (1 − )(1 −y 2 )(1 − z 2 ) 2 2 2 2 x 11
  12. www.VNMATH.com G.NTH tg α +tgβ ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) 1 − αtgβ tg .  π Do α, β, γ ∈  0,  nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:  2 αβ βγ γα tg + tg tg + tg tg = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c: tg 22 22 22 [ ] 1 ( x y) 2 (+ − ) 2 +z −x ) 2 ≥ 0 − (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = yz ( 2 1 ⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z = th× MinS = 1 3  x , y, z > 0 x y z 9 + + ≤ VD3: Cho  . Chøng minh r»ng: S = x + y + z = 1 x + yz y + zx z + xy 4 Gi¶i:  π α β γ yz xz xy = tg víi α, β, γ ∈ = tg ; = tg ;  0,  §Æt  2 x 2 y 2 z 2 yz zx zx xy xy yz + +. Do =x+y+z=1 . . . x y y z z x αβ βγ γα nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 22 22 22 α β γ πα β γ  β γ  π α ⇔ tg  +  = cotg ⇔ tg  +  = tg  −  ⇔ + = - 2 2 2 2 2 2 2222 2 α +β + γ π = ⇔α +β + γ =π ⇔ 2 2 1  2 x  3   2y   2z x y z =  − 1 +  − 1 +  − 1  + + + S= x + yz y + zx z + xy 2  x + yz   y + zx   z + xy  2      xy  yz 1 − zx  1−  1− 1  x − yz y − zx z − xy  3 1  z + 3 y x+ = + = + + + 2  x − yz y + zx z + xy  2 2  1 + yz 1 + zx 1 + xy  2    z   x y (cos + cosβ + cosγ) + = [( cos + β − cos β α + β)] + 1) 31 3 1 α . (cos α sin sin − cos = 2 22 2 12
  13. www.VNMATH.com G.NTH 1 1 3339 ( (cos )1+ ≤ cos α+ 1) β + (sin α2 ) βcos α β + = + = (®pcm) + − cos 2 2 sin 2 2  2424 2 3. C¸c bµi to¸n ®­a ra tr¾c nghiÖm Tr­íc khi t«i d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cña t«i cho häc sinh cña 2 líp 11A1 vµ 11A2 ë tr­êng t«i, t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn bÞ tr­íc trong thêi gian 2 tuÇn. Víi c¸c bµi tËp sau: Bµi 1: Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13. Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10. a; b ≥ 0 CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 Bµi 3: Cho  a + b = 2  1  1  1  1  1  1  Bµi 4: Cho a; b ; c ≥ 1 CMR:  a −  b −  c −  ≥ a −  b −  c −   b  c  a  a  b  c x; y; z > 0 Bµi 5: Cho  2 CMR: x + y + z + 2 xyz = 1 2 2 1 a) xyz ≤ 8 3 b) xy + yz + zx ≤ 4 3 c) x2 + y2 + z2 ≥ 4 1 d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + 2 1− x 1− y 1− z + + ≥3 e) 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 2 ∀ a, b ∈ (0, 1] + ≤ Bµi 6: CMR: 1 + ab 1+ a2 1 + b2 Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0 x , y, z > 0 x y z 33 + + ≥ Bµi 8: Cho  CMR : xy + yz + zx = 1 1− x 1− y 1− z 2 2 2 2 x , y, z > 0 x y z 3 + + ≤ Bµi 9: Cho  CMR : x + y + z = xyz 1+ x2 1 + y2 1 + z2 2 13
  14. www.VNMATH.com G.NTH  x,>0 ,yz 1 1 1 2x 2y 2z + + ≥ + + Bµi 10: Cho  CMR :  xy+zx1 +yz = + + +2 + + + 1y 2 1z 1 x 2 1 y 2 1 z2 2 1x 14

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản