Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: pdf | 14 trang

0
442
lượt xem
53
download

Tham khảo tài liệu 'các công thức lượng giác cần nhớ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
Nội dung Text

  1. www.VNMATH.com G.NTH 1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m 1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n π 1 + 1 + tg2α = + cos 2 α + 2 α = 1 ( α≠ +kπ) sin cos α 2 2 kπ 1 + tgα . cotgα = 1 (α ≠ + 1 + cotg2α = ( α≠ kπ) ) sin 2 α 2 1.2. C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tg α±tgβ π + tg (α ± β) = ( α β≠ +kπ) ; 1  tg αtgβ 2 cot g αcot gβ  1 . + cotg(α ± β) = ( ;α β≠kπ) cot g α±cot gβ 1.3. C«ng thøc nh©n + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 2 tgα π π + tg2α = ( α≠ + k ) 1 −tg α 2 4 2 cot g 2 α− 1 kπ + cotg2α = ( α≠ ) 2 cot gα 2 + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tg α−tg 3α π π + tg3α = ( α≠ + k ) 1 − tg α3 6 3 3 1.4. C«ng thøc h¹ bËc 1 +cos 2α 1 − 2α cos + cos2α = + sin2α = 2 2 π 1 − 2α cos ( α≠ +kπ) + tg2α = 1 +cos 2α 2 1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch: α +β α−β + cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 + β αβ α + cosα - cosβ = - 2sin sin 2 2 + β αβ α + sinα + sinβ = 2sin cos 2 2 α +β α−β + sinα - sinβ = = - 2cos sin 2 2 1
  2. www.VNMATH.com G.NTH sin( α±β) π ( α β≠ +kπ) + tgα ± tgβ = ; cos αcos β . 2 1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng: 1 + cosα.cosβ = [cos( α ) β cos( α−β)] ++ 2 1 + sinα.sinβ = [cos( α−β + α +β)] ) cos( 2 1 + sinα.cosβ = [sin( α ) β sin( α−β)] ++ 2 BiÓu thøc l­îng gi¸c BiÓu thøc ®¹i sè C«ng thøc l­îng gi¸c t­¬ng tù 1 1+tan2t = 1 + x2 1 + tan2t cos 2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2 tan t 2 tan t = tan2t 1 − tan 2 t 1 − tan 2 t 1− x2 2x 2 tan t 2 tan t = sin2t 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t 1+ x2 x+y tan  + tan  tan  + tan  = tan(α+β) 1 − tan  tan  1 − tan  tan  1 − xy 1 1 − 1 = tan2α −1 x2 - 1 cos α cos α 2 2 ... .... ...... mét sè ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1 1) Ph­¬ng ph¸p: x =sin α víi α ∈ [0, 2π] a) NÕu thÊy x2 + y2 = 1 th× ®Æt   y =cos α  x = r sin  víi α ∈ [0, 2π] b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) th× ®Æt   y = r cos  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 2
  3. www.VNMATH.com G.NTH Gi¶i: c = sin v a = sin u ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) §Æt  vµ  d = cos v b = cos u ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) π  ⇔ S = 2sin (u + ) −  ∈,− 2] ⇒ 2 ≤ = (c + ) +(c −d)≤ 2 (®pcm) − Sa db v [ 2   4 2 2  1  1 25 VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng:  a 2 + 2  +  b 2 + 2  ≥ 2 2  a  b 2 Gi¶i: §Æt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α ≤ 2π. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi. 2 2 2 2  2 1  2 1  1  1 a + 2  + b + 2  = cos 2 α + + sin 2 α + 2     cos 2 α  sin α   a  b   cos 4 α + 4 α 1 1 sin = cos4α + sin4α + +4 4 = 4 α+ 4α+ + cos +4 sin cos 4 α sin α cos 4 αsin 4 α . ( )   1 = cos 4 α + 4 α 1 + +4 sin  cos αsin α  4 4 . [( ] )α 2 cos   1 α +2 − α 2 α 1 + +4 = cos 2 2 sin sin  cos αsin α  4 4 . 1  16   1 17 25 = 1 − sin 2 2α 1 + 4  + ≥1 − (1 + 16) + 4 = + 4 = (®pcm) 4  sin 2α  2  2 2 2 B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét b­íc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng: A = a 2 b− 2+ 3ab 2(1 2 3 )a (+ − 3 )b + 3 −3 ≤ 2 − + 2 42 4 Gi¶i: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1 a − =sin α a = + α 1 1 sin ⇒ A⇒ sin 2 = α− 2 α 2 3 sin α α + §Æt  cos cos b − =cos α b =2 + α 2 cos π 3 1 = cos − α2 α = sin 2 α−cos 2 α = sin( 2 α− ) ≤ 2 (®pcm) A 3 sin 2 2 2 2 2 6 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + 7 = 13 3
  4. www.VNMATH.com G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Gi¶i: BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1 a − =R sin α a =R sin α + 1 1 víi R ≥ 0 ⇔ ⇔(a − 1) 2 + (b + 1) 2 = R 2 §Æt   b + =R cos α b = cos α− 1 1 R Ta cã: 5a 12b 7 +13 = ⇔ R sin α 1) 12(R cos α− 1) + 7 = 13 + ++ 5(  5 5 12 ⇔ α+ 13 α = ⇔ = sin α + cos α = sin α + arccos  ≤ R 5Rsin 12Rcos 1R R  13 13 13 Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (®pcm) II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin |α 1 ; | cos α| ≤ 1 ≤ 1. Ph­¬ng ph¸p:      x = sin  khi  ∈  − 2 ; 2  a) NÕu thÊy |x| ≤ 1 th× ®Æt     x = cos  khi  ∈ [ 0;  ]       x = m sin  khi  ∈  − 2 ; 2  b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) th× ®Æt     x = m cos  khi  ∈ [ 0;  ]  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Gi¶i: §Æt x = cosα víi α ∈ [0, π], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p α  α α α α α    =  2 cos 2  +  2 sin 2  = 2 p  cos 2 p + sin 2 p  ≤ 2 p  cos 2 + sin 2  = 2 p  2  2  2  2 2 2 (®pcm) 3−2 3+2 VD2: Chøng minh r»ng: ≤ 3 x 2 + 1 −x 2 ≤ x 2 2 Gi¶i: Tõ ®k 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nªn §Æt x = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 1 − x 2 = sinα. Khi ®ã ta cã: P= 2 3 x 2 +2 x 1 − x 2 = 2 3 cos 2  + 2 cos  sin  = 3 (1 + cos 2 ) + sin 2 4
  5. www.VNMATH.com G.NTH 3  π  1 = 2 cos2 α + sin2  + 3 = sin 2α +  + 3 α ⇒3 − ≤A ≤ 3 + 2 (®pcm) 2 2  3 2  2 [ ] 1 a − (1 a+3 +2 −(1 − )3 ≤2 2 + 2 − 2a 2 (1) VD3: Chøng minh r»ng: 1 ) a Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn α α §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ 1 − a = 2 sin ; 1 + a = 2 cos ; 1 − 2 =sin α a 2 2 αα α α αα  (1)⇔ 1 + 2 sin cos .2 2 cos 3 − sin 3  ≤ 2 2 + 2 2 sin cos  2 2 2 2 2 2 α α  α α  α αα α αα ⇔  sin + cos  cos − sin  cos2 + sin cos + sin 2  ≤ 1 + sin cos  2  2  2 2 2 2 2 2 2 2 α α  α α α α ⇔  sin + cos  cos − sin  = cos 2 − sin 2 = α≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) cos  2  2 2 2 2 2 ) 3+(a ) ( VD4: Chøng minh r»ng: S = 4 (1 a −)3 − − 1 −a 2 ≤ 2 a3 2 Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 1 − a 2 = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos 3 α− 3(cos + sin α− α α3 sin (= 4 sin 3 ) α (+ cos 3 α− cos α) α− S= 4(sin 3 ) ) 4 3 π  = sin 3 α cos 3 α = 2 sin  3α +  ≤ 2 ⇒ (®pcm) +  4 ) ( VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 b 2− b +1 a − + ab −(1 − 2 )(1 −b 2 ) ≤ 2 a 2 3 Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.  π π §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ;   2 2 Khi ®ã A = sin cosα β+ α β− 3 cos( α +β) = cos sin π  1 3 3cos( + −) 2 α + = ) αβ β α+ − β cos( α + 2=  ( α +) −  ≤ 2 ) β sin β = sin( ) sin(  3 2 2 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] 5
  6. www.VNMATH.com G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn |a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta cã: + ( αcos ) + 452 + ) + 26 −4 3 = − α cos α cos 3− α = 3 α 1 cos cos ≤ α A = 42 (3 cos2 24 ) ( 2 (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π]. Ta cã: A = (2 1 cos + ( α −cos ) 2 −3( 1 cos ) +3 −α +α = 1 − 2 α − 3 cos α ) cos 1 1  π  3 α 2 sin α− cos α  =2 sin  α +  ≤ 2 (®pcm) α3 cos − = = sin 2   3   2 π 1 1 III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 = −1 (α ≠ + π) ⇔ α= k tg2 cos α cos α 2 2 2 1) Ph­¬ng ph¸p: a) NÕu |x| ≥ 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x2 −1  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪π,  th× ®Æt x = cos α  2  2  b) NÕu |x| ≥ m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x 2 − m2  π   3π  m víi α∈ 0;  ∪π,  th× ®Æt x = cos α  2  2  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: a2 −1 + 3 VD1: Chøng minh r»ng A = ≤ 2 ∀ a ≥1 a Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn :  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪π,  ⇒ a 2 1 = tg 2 α =tgα . Khi ®ã: − §Æt a = cos α  2  2  a2 − 1 + 3 π  (tg= α3) cos + αsin α +3 cos α = sin α +  ≤ 2 (®pcm) = A= 2  3 a 5 − a2 −1 12 VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A = ≤ 9 ∀ a ≥1 a2 Gi¶i: 6
  7. www.VNMATH.com G.NTH Do |a| ≥ 1 nªn:  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪π,  ⇒ a 2 1 = tg 2 α =tgα . Khi ®ã: − §Æt a = cos α  2  2  5(1 + 2α) 5− a −1 12 2 cos − sin2α = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= A= 6 2 2 a 5 13  5  5 13  5 12 = +  cos 2 α− sin 2α  = + cos 2α + arccos  2 2  13 22  13  13 5 13  5  5 13 5 13 ⇒-4= + ( 1) ≤A = + cos 2α + arccos  ≤ + .1 = 9 (®pcm) −  13  2 2 22 22 a 2 − + b2 − 1 1 ∀ a ; b ≥1 ≤1 VD3: Chøng minh r»ng: A = ab Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn .  π   3π  1 1 víi α∈ 0;  ∪π,  . Khi ®ã ta cã: §Æt a = ;b= cos β cos α  2  2  tg ) α + β cos cos α sin = cosα β β+ β α sin( α +β ≤ 1 (®pcm) = A = ( tg sin cos ) a ≥ 2 2 ∀ a >1 VD4: Chøng minh r»ng: a + a −1 2 Gi¶i: Do |a| > 1 nªn:  π 1 a 1 1 1 víi α∈  0;  ⇒ = = §Æt a = . Khi ®ã: . cos α a 2 − 1 cos α tg 2 α sin α  2 a 1 1 1 1 22 = + ≥ 2. = ≥ 2 2 (®pcm) a+ . cos α sin α cos α sin α sin 2α a2 −1 VD5: Chøng minh r»ng y x 2 − + y 2 − +3 ≤ xy 26 ∀ x ; y ≥ 1 14 1 Gi¶i: 1  4 y2 − 1 3  x2 − 1  +  ≤ 26 (1) BÊt ®¼ng thøc ⇔ +  y x x y    π 1 1 Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = víi α, β∈  0 . ; y= , cosβ cos α  2 7
  8. www.VNMATH.com G.NTH Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 2 + βcos 2 )β sin α + cos α + = 32 )(sin 2 5 ≤ (12 + 52 )(sin 2  + cos2  ) = 26 ⇒ (®pcm) 1 IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 = cos 2 α 1. Ph­¬ng ph¸p:  π π a) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tgα víi α ∈  − ,   2 2  π π b) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtgα víi α ∈  − ,   2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: 3x 4x 3 − ≤1 VD1: Chøng minh r»ng: S = 1 + x2 (1 + x 2 )3 Gi¶i:  π π 1 §Æt x = tgα víi α ∈  − ,  ⇒ 1 + x 2 = , khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos α  2 2 S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (®pcm) 3 + 8a 2 + 12a 4 VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = (1 + 2a 2 ) 2 Gi¶i:  π π 3 4tg 2 α + tg 4 α + 3 §Æt a 2 = tgα víi α ∈ − ,  th× ta cã: A =  2 2 (1 +tg α) 2  2 α4+ 2 α 2 α + sin 4 α 3 cos 4 sin cos 3 = α + 2 ) 2 2 sin 2 α 2 α α− = 3(sin 2 cos cos (cos α +sin α) 2 2 2 sin 2 2α sin 2 2α 5 1 0 ⇒ 3 − ≤A =3 − = ≤2 − = 3 =3- 2 2 2 2 2 π 1 5 Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = 2 4 2 (a +b)(1 − ab) 1 ≤ ∀ a, b ∈ R VD3: Chøng minh r»ng: (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 Gi¶i: 8
  9. www.VNMATH.com G.NTH (a +b )(1 − ab) (tg α + )(1 − α β) tg β tg tg §Æt a = tgα, b = tgβ. Khi ®ã = (1 + a )(1 + b ) (1 + 2 α 1 +tg 2β) tg )( 2 2 sin( α +β) cos . cos β− αsin β α sin . = cos 2 αcos 2 β. . cos αcos β cos αcos β . . α ) β = sin[2( α +β ≤ ] (®pcm) 1 1 αcos( ) +β + = sin( ) 2 2 − − − |a b| |b c| |c a| + ≥ ∀ a,bc VD4: Chøng minh r»ng: , +21 2 1+ +21 2 1+ +21 2 1+ ( a )( b ) ( b )( c ) ( c )( a ) Gi¶i: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ −tg α | ⇔ + ≥ (1 + 2 α 1 + tg 2 β ) (1 +tg 2β)( 1 + tg 2 γ ) (1 + 2 γ 1 +tg 2 α ) tg )( tg )( sin( α−β) sin( β− γ ) sin( γ− ) α ⇔ cos αcos β. +cos βcos γ. ≥cos γ α. cos cos αcos β cos β cos γ cos γcos α . . . ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) + cd ≤ (a + )(b + ) (1) ∀a , b, c, d > 0 VD5: Chøng minh r»ng: ab c d Gi¶i: cd (1) ⇔ ab cd 1 ab + 1⇔ ≤ + ≤1 ( a + c )( b + d ) ( a + c )( b + d )  c  b  c  b  1 +  1 +   1 +  1 +   a  d   a  d   π c d §Æt tg2α= , tg2β= víi α,β ∈  0,  ⇒ BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc  2 a b tg2 α 2β .tg 1 ⇔ + = α β + 2 α 2 β≤ 1 2 2 cos cos sin sin (1 + α 1 +tg β) (1 + α 1 +tg β) 2 2 2 2 tg )( tg )( ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) cd DÊu b»ng x¶y ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔ = ab 6a +4 | a 2 − 1 | VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 +1 9
  10. www.VNMATH.com G.NTH Gi¶i: α α α α + 4 | tg 2 − 1 | tg 2 − 1 6 tg 2 tg α 2 2 + 4. 2 = 3. 2 §Æt a = tg . Khi ®ã A = α α α 2 tg 2 + 1 1 + tg 2 tg 2 + 1 2 2 2 A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5 sin α | cos α | Víi sinα = 1 ⇔ a = 1 th× MinA = - 3 ; víi = th× MaxA = 5 3 4 V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®­a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c 1) Ph­¬ng ph¸p: π  x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) th× ∃ ABC :  ∆ a) NÕu  2 2 x + y 2 + z 2 + 2xyz = 1  x = cos A; y = cos B; z = cos C  π  x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) th× ∃ ABC :  ∆ b) NÕu  2 x + y + z = xyz x = tgA; y = tgB; z = tgC  π  A; B; C ∈ (0; 2 )  x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC x; y, z > 0  th× ∃ ABC :  ∆ c) NÕu  xy + yz + zx = 1 A; B; C ∈(0; π)   A B C x = tg ; y = tg ; z = tg   2 2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. 111 + + − 3( x + y + z) S= xyz Gi¶i: α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  Tõ 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg  2 2 2 2 αβ βγ γα Do xy + yz + zx = 1 nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 22 22 22 10
  11. www.VNMATH.com G.NTH β γ tg + tg α β βγ γ 2 = 1 ⇔ tg β + γ  = cot g α ⇔ tg  tg + tg  = 1 - tg tg ⇔ 2   2 2 1 − tg β tg γ tg α 2 2 2 2 2 2 22 2 β γ  π α βγπα α +β + γ π ⇔ tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔ = ⇔α +β + γ =π 2 2 2 2 2222 2 2 α β γα β γ 111 + + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3  tg + tg + tg  S= 22 2 2 xyz 2 2 α α  β β  γ γ  α β γ  S =  cot g − tg  +  cot g − tg  +  cot g − tg  − 2 tg + tg + tg   2  2  2  2 2 2 2 2 2 α β γ S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg  2 2 2 γ α β S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg ) 2 2 2 sin( α +β) 2 sin γ 2 sin γ = = §Ó ý r»ng: cotgα + cotgβ = sin αsin β 2 sin αsin β cos( α) β − α +β) − cos( . . γ γ 4 sin cos 2 sin γ 2 sin γ 2 = 2 tg γ γ 2 ≥ = = ⇒ g α + g β− 2 tg ≥0 cot cot γ 1 − α +β) 1 +cos γ cos( 2 2 2 cos 2 2 1 T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z = th× MinS = 0 3 x y z 4 xyz + + = VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ 1− x 1− y 1− z (1 − )(1 −y 2 )(1 − z 2 ) 2 2 2 2 x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  Do 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg  2 2 2 2 2x 2y 2z Khi ®ã tgα = ; tgβ = ; tgγ = vµ ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt 1− x2 1 − y2 1 − z2 2x 2y 2z 8xyz ⇔ ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ + + = 1− x 1− y 1− z (1 − )(1 −y 2 )(1 − z 2 ) 2 2 2 2 x 11
  12. www.VNMATH.com G.NTH tg α +tgβ ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) 1 − αtgβ tg .  π Do α, β, γ ∈  0,  nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:  2 αβ βγ γα tg + tg tg + tg tg = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c: tg 22 22 22 [ ] 1 ( x y) 2 (+ − ) 2 +z −x ) 2 ≥ 0 − (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = yz ( 2 1 ⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z = th× MinS = 1 3  x , y, z > 0 x y z 9 + + ≤ VD3: Cho  . Chøng minh r»ng: S = x + y + z = 1 x + yz y + zx z + xy 4 Gi¶i:  π α β γ yz xz xy = tg víi α, β, γ ∈ = tg ; = tg ;  0,  §Æt  2 x 2 y 2 z 2 yz zx zx xy xy yz + +. Do =x+y+z=1 . . . x y y z z x αβ βγ γα nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 22 22 22 α β γ πα β γ  β γ  π α ⇔ tg  +  = cotg ⇔ tg  +  = tg  −  ⇔ + = - 2 2 2 2 2 2 2222 2 α +β + γ π = ⇔α +β + γ =π ⇔ 2 2 1  2 x  3   2y   2z x y z =  − 1 +  − 1 +  − 1  + + + S= x + yz y + zx z + xy 2  x + yz   y + zx   z + xy  2      xy  yz 1 − zx  1−  1− 1  x − yz y − zx z − xy  3 1  z + 3 y x+ = + = + + + 2  x − yz y + zx z + xy  2 2  1 + yz 1 + zx 1 + xy  2    z   x y (cos + cosβ + cosγ) + = [( cos + β − cos β α + β)] + 1) 31 3 1 α . (cos α sin sin − cos = 2 22 2 12
  13. www.VNMATH.com G.NTH 1 1 3339 ( (cos )1+ ≤ cos α+ 1) β + (sin α2 ) βcos α β + = + = (®pcm) + − cos 2 2 sin 2 2  2424 2 3. C¸c bµi to¸n ®­a ra tr¾c nghiÖm Tr­íc khi t«i d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cña t«i cho häc sinh cña 2 líp 11A1 vµ 11A2 ë tr­êng t«i, t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn bÞ tr­íc trong thêi gian 2 tuÇn. Víi c¸c bµi tËp sau: Bµi 1: Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13. Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10. a; b ≥ 0 CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 Bµi 3: Cho  a + b = 2  1  1  1  1  1  1  Bµi 4: Cho a; b ; c ≥ 1 CMR:  a −  b −  c −  ≥ a −  b −  c −   b  c  a  a  b  c x; y; z > 0 Bµi 5: Cho  2 CMR: x + y + z + 2 xyz = 1 2 2 1 a) xyz ≤ 8 3 b) xy + yz + zx ≤ 4 3 c) x2 + y2 + z2 ≥ 4 1 d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + 2 1− x 1− y 1− z + + ≥3 e) 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 2 ∀ a, b ∈ (0, 1] + ≤ Bµi 6: CMR: 1 + ab 1+ a2 1 + b2 Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0 x , y, z > 0 x y z 33 + + ≥ Bµi 8: Cho  CMR : xy + yz + zx = 1 1− x 1− y 1− z 2 2 2 2 x , y, z > 0 x y z 3 + + ≤ Bµi 9: Cho  CMR : x + y + z = xyz 1+ x2 1 + y2 1 + z2 2 13
  14. www.VNMATH.com G.NTH  x,>0 ,yz 1 1 1 2x 2y 2z + + ≥ + + Bµi 10: Cho  CMR :  xy+zx1 +yz = + + +2 + + + 1y 2 1z 1 x 2 1 y 2 1 z2 2 1x 14

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản