Các công thức tích phân

Chia sẻ: trien_19_9x

tài liệu hệ thống các công thức tích phân...

Nội dung Text: Các công thức tích phân

COÂNG THÖÙC TÍCH PHAÂN
COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN COÂNG THÖÙC MÔÛ ROÄNG
∫ dx = x + C ∫ du = u + C
xα + 1 u α +1
∫ x dx = ∫ u du =
α α
+C +C
α +1 α +1
dx 1 1
∫ ∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C
= ln x + C
x
1 ( ax + b )
n +1
1 1
∫ (ax + b) dx = a n + 1 ∫ u n dx = ∫ u dx = − (n − 1).u n − 1 + C
−n
+C
n




∫e 1
dx = e x + C
x
au
∫ e ax + b dx = e ax + b + C ; ∫ a u du = +C
a ln u
ax
∫ a dx = +C
x
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
ln a
1
∫ cos x.dx = sin x + C ∫ cos(nx).dx = n sin nx + C
; 1
∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
1
∫ sin x.dx = − cos x + C ; ∫ sin nx.dx = − n cos nx + C u' du
∫ u dx = ∫ = ln u + C ;
u
1
∫ cos dx = ∫ (1 + tg 2 x) = tgx + C
u' u' 1
2
x
∫ ∫u
dx = 2 u + C dx = − +C
;
1 2
u
u
∫ sin dx = ∫ (1 + cot 2 gx) = − cot gx + C
2
x
CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
b


b
f ( x) = F ( x) = F (b) − F (a )
I/ COÂNG THÖÙC NEWTON –LEPNIC: a
a
II/ PP ÑOÅI BIEÁN :
β
b

∫ f ( x).dx = α f (ϕ ( x)).ϕ ' ( x).dx
∫ ; Vôùi ϕ (a ) = α ; ϕ (b) = β
DAÏNG I :
a

* Caùch laøm : Ñaët t = ϕ ( x) . Ñoåi caän .
β
b
+ Laáy vi phaân 2 veá ñeå tính dx theo t & tính
∫ f ( x).dx = α g (t ).dt .
∫ dt
I =
+ Bieåu thò : f(x).dx theo t & dt .(f(x)dx= g(t) dt )
a


DAÏNG II : Ñaët x = ϕ (t ) . (Töông töï treân ).
III/ PP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN :
* Caùch laøm :bieåu dieãn f(x)dx veà daïng tích u.dv
= u.v’dx.
b b

∫ ∫
b
u.dv = u.v a − v.du + choïn u sao cho du deã tính .
+ chon dv sao cho deã tính v = ∫ dv .
a a
+ aùp duïng ct .
sin ax  sin ax 
cos ax   
 dx ; Thì ñaët u = p(x) : ña thöùc ; dv = cos ax  dx suy ra v
b

∫ p( x).tgax 
DAÏNG I :
tgax 
a
 ax   ax 
e  e 
   
.
b

∫ p( x). ln x.dx
DAÏNG II : ; Thì ñaët u = lnx ; dv = p(x).dx
a



MOÄT SOÁ DAÏNG TÍCH PHAÂN THÖÔØNG GAËP
I/ Tích Phaân haøm Höõu Tæ :
b
P( x)
∫ Q( x) dx
I= ; * Caùch laøm :
a

1 1
∫ (ax + b) dx = a ln ax + b  Neáu baäc töû nhoû hoûn baäc maãu :
Löu yù CT:
1 1
∫u dx = − + Phaân tích:
(n − 1).u n − 1
n


Cx + D
P( x) A B
= + +2
Q( x) x − α ( x − β ) ax + bx + c
2


+ Ñoàng nhaát 2 veá ñaúng thöùc tìm A,B,C,D
vaø ñöa veà t/phaân cô baûn
 Neáu baäc töû lôùn hôn maãu thì chia ña thöùc vaø
ñöa veà daïng treân .
II/ Tích Phaân Haøm Löôïng Giaùc :
b b

∫ f (sin x). cos xdx ; Ñoåi bieán t = sinx . ∫ f (cos x). sin xdx
1. 2. ; Ñoåi
a a

bieán t = cosx .
b

∫ f (tgx)dx
3. ; Ñoåi bieán t = tgx .
a

1 + cos 2 x
2
cos x =
b
 2
∫ f (sin
2n
x, cos 2 n x )dx ; Duøng CT haï baäc : 
4.
1 − cos 2 x
sin 2 x =
a

 2
b
1
[ sin ( A + B ) + sin ( A − B ) ]
5. ∫ sin ax. cos bx.dx ; Duøng CT : sin A. cos B =
2
a
b
1
[ cos( A − B ) − cos( A + B ) ]
∫ sin ax. sin bx.dx sin A. sin B =
;
2
a
b
1
[ cos( A + B ) + cos( A − B ) ]
∫ cos ax. cos bx.dx cos A. cos B =
;
2
a
b
2t
dx x
∫ a cos x + b sin x ;
6. Ñoåi bieán t = tg . Thì sinx = ; cosx =
1+ t2
2
a

1− t2
.
1+ t2
III/ Tích Phaân Haøm Voâ Tæ :
ax + b ax + b
b

∫ f ( x, giaûi tìm x = ϕ (t ) .Tính dx
).dx ;Ñoåi bieán t =
Daïng 1. n n
cx + d cx + d
a

theo dt
b

∫ f ( x, a 2 − x 2 ).dx ;
Daïng 2. Ñoåi bieán x= asint ; Tính dx theo dt .
a
b
a
∫ f ( x, x 2 − a 2 ).dx ;
Daïng 3. Ñoåi bieán x = ; Tính dx theo dt .
sin t
a
b
b
dx
dx

∫ ; Hoaëc : ; Ñoåi bieán x = atgt ; Tính
Daïng 4.
x + a2
2
x2 + a2
a
a

dx theo dt .
1
IV/ Tích Phaân Truy Hoài : ( 1 + tg2x = )
cos 2 x
b

∫ f (n; x)dx .Vôùi n∈N.Tính I1; I2.Laäp coâng thöùc lieân heä giöõa
Cho In =
a

In & In + 1 . Suy ra In
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản