Các công thức toán 12 (Ôn thi TN + TSĐH)

Chia sẻ: angelary

Tham khảo tài liệu 'các công thức toán 12 (ôn thi tn + tsđh)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Các công thức toán 12 (Ôn thi TN + TSĐH)

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ôn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung “chữ đậm và in nghiêng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm
của thi TNTHPT
VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Các vấn đề liên quan đến hàm số
o Phöông t rì nh t i eáp t uyeán: t aï i M ñi qua moät ñieåm M1 
0;   
hoặc biết  heä soá goùc k 
o Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò :
o Cực trị hàm số
o Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
o Caùch  xaùc  ñònh  iteäm   caän  :
o Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay
sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi thêng gÆp:
……..
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• Tính toán,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,…
• Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logarit
• Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa
• Giải phương trình mũ và logarit :
• Giải bất phương trình mũ và logarit
• Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô baûn)
VấN Đề 3:NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN
• Tính nguyên hàm
o Áp dụng bảng nguyên hàm
o Dùng PP đổi biến(dạng 1 và dạng 2)
o PP nguyên hàm từng phần
b b
• Tính tích phân ∫a f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a )
a
o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
/
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u dx bằng cách đặt t = u(x)
a
β
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx đặt x = asint ;x = atant ;………
α
b b
∫ ∫
b
o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần: u.dv = u.v a − v.du
a a
o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
G V    ạm Đỗ Hải 
: Ph
o Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:
b
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính ∫ f (x) dx
a
• Ứng dụng của tích phân
o Tính diện tích hình phẳng
o Tính thể tích vật thể tròn xoay :
VấN Đề 4:Số PHứC
• Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
• Thực hiện được các phép toán về cộng trừ,nhân,chia các số phức.
• Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)
• Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
• Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Không có ở ban cơ bản)
VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
• Tính thể tích các khối chóp,khối hộp,lăng trụ,…
• Mặt cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,…
o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ
• Mặt nón:
o Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối khối nón
VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHÔNG GIAN
• H toạ độ trong không gian

o Xaùc ñònh ñieåm , tọa độ vectơ trong khoâng gian , c/m tính chaát hình
hoïc ...
o Tích voâ höôùng , tích coù höôùng , goùc giöõa hai veùc tô :
o Veùc tô ñoàng phaúng , khoâng ñoàng phaúng,diện tích tam giác,theå tích khối
chóp,hộp:
• Mặt cầu (S)
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu
o Viết phương trình mặt cầu
o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong không gian
• Mặt phẳng:
o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát)
• Đường thẳng:
o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)
• Vị trí tương đối giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• Tính khoảng cách giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• Tính góc giữa các đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt
phẳng-mặt phẳng )
• Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong không gian
• Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
o Tìm hình chiếu H của M lên (α)
o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d).
• Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
GV : Phạm Đỗ Hải
o Đối xứng quađường thẳng (d).
• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β )
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
1. ( u ± v) / = u / ± v / 6.( C ) = 0
/


2. ( u.v ) / = u / .v + u.v / 7.( x ) = 1
/


3. ( C.v ) / = C.v / ( )
8. x α /
= α ..x α −1
(u )
α /
= α ..x α −1 .u /
/
/ 1 − v/
u u .v − v .u/ /
1 −1
/
  = 2
4.   = (v ≠ 0) 9.  = 2 v v
v v2 x x

5.
C
  =
/
− C.v / ( )
10. x
/
=
1 ( ) /
u =
u/
2. u
v v2 2. x
( )
11. a x /
= a x . ln a
(a )
u /
= a u . ln a.u /

19. y=
ax + b
ta coù 12.( e )x /
=e x (e )
u /
= e u .u /
cx + d u/
ad − bc 13.( log a x ) =
/ 1 ( log a u ) = /

y/ = x. ln a
u. ln a
(cx + d ) 2 /

14.( ln x ) =
/ 1 ( ln u ) / = u
x u
a1 x 2 + b1 x + c1
20. y= ta coù 15.( sin x ) = cos x
/ ( sin u ) = u / . cos u
/

a 2 x 2 + b2 x + c 2
a1 b1 2 a c1 b c1 16.( cos x ) = − sin x
/ ( cos u ) / = −u / . sin u
x +2 1 x+ 1 u/
y =
/ a2 b2 a2 c2 b2 c2 17.( tan x ) =
/ 1 ( tan u ) / =
cos 2 u
(a x 2
2
+ b2 x + c 2 ) 2 cos 2 x
−1 − u/
18.( cot x ) =
/
( cot u ) / =
sin 2 x sin 2 u



Bài toán 1: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
lim y = ... lim y = ...
với xo là nghiệm mẫu
x →±∞ x → xo ±

4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)

GV : Phạm Đỗ Hải
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
1.Haøm soá baäc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d  (a≠ 0)
+ TXĐ : D = R
+ Ñaïo haøm: y/ = 3ax2 + 2bx + c vôùi ∆ / = b2 − 3ac
∆/ ≤ 0 ∆/ > 0
y cuøng daáu vôùi heä
/
y/ = 0 coù hai nghieäm x1;
soá a x2
•KL: haøm soá taêng •KL: haøm soá taêng?
treân? (giaûm treân?) Giaûm?
•Haøm soá khoâng coù • Cöïc tri ̣ cöïc ñaïi? Cöïc
cöïc trò tieåu?
+∞ (a > 0)
+ Giôùi haïn: • lim (ax3 + bx 2 + cx + d ) = 
x → +∞
− ∞ (a < 0)
− (a > 0)

• lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) = 
x→− ∞
 + ∞ (a < 0)
+ Baûng bieán thieân: a>0
x −∞ + x −∞ x1 x2
∞ +∞
y /
+ y/
+ 0 − 0
+
y y CÑ
+∞ +∞
-∞ -∞ CT

x −∞ + x −∞ x1 x2 a0 ; coù 2 CT a0,khoâng CT a 0)
+ Giôùi haïn : lim (ax 4 + bx 2 + c) = 
x →± ∞
− ∞ ( a < 0)
+ Baûng bieán thieân : a>0
x −∞ 0 x −∞ x1 0 x2
+∞ +∞
y/ − 0 + y/
− 0 + 0 − 0
+
y y +∞ CÑ
+∞
+∞
+
CT ∞ CT CT
a

a> 0
a> 0 b 0
a< 0 a< 0
b 0
ax + b
3.Haøm phaân thöùc : y = cx + d
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
 d
+ TXÑ : D = R\ − c 
 
ad − bc
+ Ñaïo haøm : y/ = (cx + d ) 2
ad− < 0
bc ad− > 0
bc
y < 0 ∀ x ∈D
/
y > 0 ∀ x ∈D
/

Haøm soá khoâng coù cöïc trò
Haøm soá nghòch Haøm soá ñoàng bieán
bieán treân D treân D


GV : Phạm Đỗ Hải
ax + b
d lim
+ Tieäm caän: • x = − c laø tieäm caän ñöùng vì  d
±
cx + d = ∞
x → − 
 c

a ax + b a
•y= laø tieäm caän ngang vì xlim =
c →±∞ cx + d c
+Baûng bieán thieân :
x −∞ −d/c + x −∞ −d/c +∞

y/ − || − y/ + || +
y a/c || + ∞ + ∞ ||
−∞ y a/c
a/c a/c −∞

+ Veõ ñoà thò : − Veõ tieäm caän , ñieåm ñaëc bieät
− Cho 2 ñieåm veà 1 phía cuûa tieäm caän ñöùng veõ moät nhaùnh , laáy ñoái
xöùng nhaùnh ñoù qua giao ñieåm hai tieäm caän .


x= − c
d/
x= − c
d/




y= a/c
y= a/c

2
4. Haøm höõu  tæ : 2/1      y = ax + bx + c (ñk : e ≠ 0 ; töû khoâng chia heát
ex + f
cho maãu )

 f
+ TXÑ: D = R\ − e
 
ae.x 2 + 2af .x + (bf − ce)
+ Ñaïo haøm : y/ = coù ∆ / =(af)2 − c e).ae
(bf−
(e.x + f ) 2
∆/ < 0 ∆/ > 0
y cuøng daáu vôùi ae
/
y = 0 coù hai nghieäm x1; x2
/

Haøm soá khoâng coù • Giaù trò cöïc trò tính theo CT : y =
cöïc trò 2ax + b
e
f lim f ( x)
+ Tieäm caän : • x = −e laø tieäm caän vì x →−
f =∞
e
ñöùng
• Vieát laïi haøm soá y = A x + B + ε (x);
lim [ f ( x) − ( Ax + B)] a b af
x →∞ = xlim ε(x) =0 => y = e x + ( e −e2 ) laø t/c xieân
→∞
a.e > 0
+ Baûng bieán thieân :
x −∞ −f/e +∞ x −∞ x1 −f/e x2
+∞
y/ + || y/ + 0 − || − 0
+ +



GV : Phạm Đỗ Hải
y y CÑ || + ∞
+ ∞ ||
+∞
+∞
−∞ −∞ CT
−∞ −∞
a.e < 0

x −∞ −f/e +∞ x −∞ x1 −f/e x2
+∞
y/ − || − y/
− 0 + || + 0

y +∞ || + ∞ y +∞ + ∞ || CÑ
−∞ CT −∞
−∞ −∞

+ Veõ ñoà thò : ( nhö haøm phaân thöùc )


Xieâ
Xieâ n Xieâ
n Xieâ n
(ban cơ bản không khảo sát hàm số này) n
ñöùn




Baøi toaùn 2: Phöông trình tieáp tuyeán :
ñöùn
ñöùn
g




g


Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
g




1.  
Tieáp tuyeán taïi M(x0; f(x0)) 
 
• TT coù phöông trình laø : y - f(x0)= f/(x0)(x− x0)
• Töø x0 tính f(x0) ; Ñaïo haøm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
• P.trình tieáp tuyeán taïi M laø: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)
2. Tieáp tuyeán ñi qua(keû töø) moät ñieåm A(x1; y1) cuûa ñoà thò h/s y =f(x)
• Goïi k laø heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng (d) ñi qua A
Pt ñöôøng thaúng (d) laø : y = k(x − x1) + y1
• Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng (d) tieáp xuùc vôùi Ñoà thò (C) laø
f(x) = k(x − x1) + y1 (1)
heä phöông trình :  / coù nghieäm
f (x) = k (2)

• Thay (2) vaøo (1) giaûi tìm x => k = ? Keát luaän
3. Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k :
Neáu : tieáp tuyeán // ñöôøng thaúng y = a.x + b => heä soá goùc k = a
1
tieáp tuyeán ⊥ ñöôøng thaúng y = a.x + b => heä soá goùc k = −
a
• Giaû söû M(x0; f(x0)) laø tiếp ñieåm => heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán f/(x0).
• Giaûi phöông trình f/(x0) = k => x0 = ? − f(x0) = ?
>
• Phöông trình tieáp tuyeán y = k (x − x0) + f(x0)
Chuù yù : + Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai ñöôøng thaúng song song nhau : k1 = k2
Baøi toaùn 3: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng 
ñoà thò :
Giaû söû phaûi bieän luaän soá nghieäm cuûa Pt : F(x; m) = 0 .
• Bieán ñoåi phöông trình F(x; m) = 0 veà daïng f(x) = g(x) Trong ñoù ñoà thò
haøm soá y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
GV : Phạm Đỗ Hải
• Vẽ đồ thị:y = g(x) ; ñoà thò (C): y =f(x)
• Dựa vào đồ thị xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò (C) vôùi ñoà thò y = g(x)
Baøi t oaùn 4: xeùt t í nh ñôn ñi eäu
Phöông phaùp xaùc ñònh khoaûng t aêng, gi aûm haøm soá :
+ MXĐ: D= ?
+ Ñaïo haøm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu coù ) xeùt daáu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải
tăng dần)
* y/ > 0 thì haøm soá taêng ; y/ < 0 thì haøm soá giaûm
+ Keát luaän : haøm soá ñoàng bieán , nghòch bieán treân khoaûng ...
Ñònh lyù 2 (duøng ñeå tìm giá trị m):
a) f(x) taêng trong khoaûng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giaûm trong khoaûng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).

Bài toán 5: Cực trị hàm số
• D aáu hi eäu I :
+ MXĐ D=?
+ Ñaïo haøm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu coù ) xeùt daáu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng
dần)
+ Tính yCÑ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
y / ( x 0 ) = 0
3) x0 là cực trị của hàm số   /
y ( x ) đổi dấu qua x0
• D aáu h i eäu II:
+ MXĐ
+ Ñaïo haøm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu coù ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Neáu y//(x0) > 0 thì haøm soá ñaït CT taïi x0 , yCT= ?
Neáu y//(x0) < 0 thì haøm soá ñaït CÑ taïi x0 , yCÑ= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo:
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực trị  / /
 f ( x0 ) ≠ 0
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực đại  / /
 f ( x0 ) > 0
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực tiểu  / /
 f ( x0 ) < 0
• Haøm soá ñaït cöïc trò baèng y0
t aï i x0
 f / ( x0 ) = 0

Haøm soá ñaït cöïc trò baèng y0 taïi x0 khi  f ( x 0 ) = y 0
 f // ( x ) ≠ 0
 0

GV : Phạm Đỗ Hải
Chuù yù : daáu hieäu II duøng cho nhöõng h/s maø y/ khoù xeùt daáu (như hàm lượng
giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Daïng 2: Cöïc trò cuûa haøm höõu tæ :
u
Cho h/s y = u(x) ; v(x) laø caùc ña thöùc coù MXÑ: D
v
u′v − v′u g(x)
Vaø y/ = 2 = 2 daáu cuûa y/ laø daáu cuûa g(x)
v v
Neáu h/s ñaït cöïc trò taïi x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/v− /u = 0
v
u′ u u′(x 0 )
=> = . Do ñoù giaù trò cöïc trò y(x0) =
v′ v v′(x 0 )

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
a ≠ 0
- Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị ⇔ f ' ( x ) = 0 có nghiêm ⇔ 
∆ > 0

- Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung
⇔ yCD . yCT < 0

- Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD .xCT < 0

- Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trên trục hoành

 yCD + yCT > 0
⇔
 yCD . yCT > 0

- Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm dưới trục hoành

 yCD + yCT < 0
⇔
 yCD . yCT < 0

- Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành
⇔ yCD . yCT = 0

Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phöông phaùp t ì m G TLN vaø G N cuûa h/ s y = f(x) treân [a;b]:
TN
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Ñaïo haøm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu coù ) x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x1) ; f(x2) ………. So saùnh → KL
f(a) ; f(b)
max y = min y =
• Kết luận: [a;b] ? [a;b] ?


2. P/phaùp tìm GTLN hoaëc GTNN cuûa h/s treân (a;b) hoaëc MX :
Đ
GV : Phạm Đỗ Hải

Mieàn ñang xeùt (a;b) hoaëc TXĐ

Ñaïo haøm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu coù ) xeùt daáu y/
• Lập BBT:
• Từ BBT kết luận
* Neáu treân toaøn mieàn ñang xeùt h/s chæ coù 1 CT thì GTNN baèng giaù trò CT
min y = y
[a;b] ct

* Neáu treân toaøn mieàn ñang xeùt h/s chæ coù 1 CÑ thì GTLN baèng giaù trò CÑ
max y =
[a;b] yCÑ
* Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b).
Chuù yù : Khi gaëp h/s khoâng cho mieàn ñang xeùt thì ta tìm TXĐ cuûa h/s ñoù :
• neáu TXĐ laø moät ñoaïn [a;b]hoaëc nöõa khoaûng thì ta duøng caùch 1
• neáu TXĐ laø moät khoaûng thì duøng caùch 2
• Đôi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một
khoảng nào đó thành bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai ñoà t hò (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) neáu coù
laø nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) voâ nghieäm (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung
• pt(1) coù n nghieäm (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
f (x) = g(x)
2. Ñieàu kieän tieáp xuùc : Ñoà thò (C1) tieáp xuùc (C2) heä pt  coù
f ′(x) = g′(x)
nghieäm
Bài toán 8:  Caùch xaùc ñònh tieäm  caän :
lim f (x) = ±∞
•  i
T eäm caän ñöùng : 
  x →x 0±  = >  x = x0 laø tieäm caän ñöùng
Chuù yù : tìm x0 laø nhöõng ñieåm haøm soá khoâng xaùc ñònh
• T eäm caän ngang : 
 i   lim f (x) = y 0
x →±∞  => y = y0 laø tieäm caän ngang
Chuù yù : haøm soá coù daïng phaân thöùc ( hoaëc coù theå ñöa veà daïng phaân
thöùc ) vaø baäc töû ≤ baäc maãu thì coù tieäm caän ngang
• Ti eäm caän xi eân (ban cơ bản không có phần này):
Caùch 1  + vieát haøm soá döôùi daïng : f(x) = ax + b + ε  (x) 
   :
lim [f(x) –(ax + b)] = x→±∞ε(x) = 0 ⇒ y = ax + b laø tieäm caän
x→±∞
lim xieân
f (x)
        Caùch 2: ta tìm hai heä soá a vaø b ; a= lim ;
x →±∞ x
b= [
lim f (x) − ax ]
x →±∞
⇒ y = ax + b l  ti aø eäm  caän xi eân 
Bài toán 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay
sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy


GV : Phạm Đỗ Hải
 (C1 ) và (C2 )  (C1 ) và (C2 )
(H )  (H ) 
x = a, x = b (a < b) y = c, y = d (c < d )
b d
S = ∫ y C1 − yC2 dx S = ∫ x C 1 − xC2 dy
a c
b d
VOx =π∫ yC1 − yC2 dx
2 2
VOy =π∫ xC1 − xC2 dy
2 2

a c

Bài toán 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
• Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
• Giải hệ và kết luận
……………………
Bài toán 11:Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
• Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại
• Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích
• Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên
• Tìm giới hạn quỷ tích
• Kết luận

Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
a) Dạng đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( x )
 f ( x )      f( x) ≥ 0
   nÕ u
 
Ta có: y = f ( x ) = 
­f( x)   nÕ  f( x) < 0 
    u    
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C1) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ≥ 0)
° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C2) của hàm số: y = f ( x )
 f ( x )       x ≥ 0
   nÕ u
 
Ta có y = f ( x ) = 
f( ­x)    nÕ  x  0 
    u <  
 
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C2) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: y = f ( x )
 f ( x) ≥ 0
Ta có: y = f ( x ) ⇔ 
 y = ± f ( x)
(Do đó y = f ( x ) được coi là hàm đa trị của y theo x)
• Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
• Đồ thị (C3) gồm hai phần:
° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.

GV : Phạm Đỗ Hải
f ( x)
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
g( x)
 f ( x)
       ( x) ≥ 0
   nÕ u f
f ( x)  g( x)

Ta có: y = =
g ( x )  f( x)
­     u ( x) < 0 
  nÕ   f
 g( x)

f ( x)
• Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
g( x)
• Đồ thị (C4) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
f ( x)
e) Dạng đồ thị (C5) của hàm số: y =
g ( x)
• Các bước làm tương tự như phần d)
• Chú ý: g(x) ≠ 0.
f) Dạng đồ thị (C6) của đồ thị hàm số: y = f ( x ) + g ( x )
 f ( x ) + g ( x )    nÕ   ( x) ≥ 0
     u f
Ta có: y = f ( x ) + g ( x ) = 
­f( x) + g( x)    nÕ   ( x) < 0 
     u f
• đồ thị (C6) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
• Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x ) + g ( x )
° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C7) của hàm số: y = f ( x )
• Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Sau đó vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f( x )
• Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( x ) .
Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:
y = f(x) ⇒ y = f( x ) ⇒ y = f ( x )
……………………

PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT

Bài toán 1:Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
− 1 m
an = n ; a0 = 1 0 ; n m
an = a ( m; n nguyeân döông , n > 1)
a
• Caùc quy taéc:
ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx


GV : Phạm Đỗ Hải
x x x
a 
( ax ) ( y)
a x −y a y x x.y
y =a   = x = a =a
a b  b



• Haøm soá muõ : y = a x vôùi a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s ñoàng bieán : x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch bieán : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2

α
* Hàm số logarit: α = logaN ⇔ a = N logax = b ⇔ x= ab
• Ñaëc bieät : aloga x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
• Caùc qui taéc bieán ñoåi : vôùi a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta coù:
log a (B.C) = log a B + log a C
B β
log a   = log a B − log a C log aα Bβ = log a B
C α
• Coâng thöùc ñoåi cô soá : vôùi a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta coù :
log c b
log c a.log a b = log c b ⇔ log a b =
log c a
1
0 < a, b ≠ 1 : log a b = log b a

Chuù yù : log10x = lg x ; log e x = ln x

• Haøm soá Logarit: y = log a x vôùi a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s ñoàng bieán : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1
( ax) / = ax.lna − ( au)/ = u/.au.lna
>
1 u′
(lnx) / = x ∈(0;+∞) − (ln )/ =
> u
x u
1 u′
(logax) / = − (logau )/ =
>
x ln a u. ln a
Bài toán 3: Giải phương trình mũ: 6 cách
Cách 1. Sử dụng định nghĩa
x
a = b x=log a b (a x = b a x = a loga b x=log a b)
f (x) g(x) f (x) = g(x)
Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số a =a 
0 < a ≠ 1
Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0 ; Ñaët : t = a
f (x)
Ñk t > 0
α. a b + f (x) +β. a b−f (x) + γ = 0 ; Ñaët : t = a
f (x)
Ñk t > 0
f (x) 1
α. a f (x) +β. bf (x) + γ = 0 vaø a.b = 1; Ñaët: t = a ; = bf (x)
t


GV : Phạm Đỗ Hải
f (x)
f (x) a
α. a 2f (x)
+β. ( a.b ) + γ.b 2f (x)
=0 ; Ñaët t =  
b
Cách 4. Sử dụng pp logarit hoá 2 vế :
Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6. Sử dụng pp đồ thị
Chú ý: Dạng u(x)f (x) = 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong ñoù u(x) và f(x) coù chöùa bieán )

Bài toán 4: Giải phương trình logarit : 6 cách
f(x) > 0

Cách 1 . Sử dụng định nghĩa     log a f(x)=b 0 < a ≠ 1  
f(x)=a b

f (x) > 0 (hay g(x) > 0)

Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số log a f(x) = log a g(x) 0 < a ≠ 1
f (x) = g(x)

Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
Cách 4. Sử dụng pp mũ hoá 2 vế :
Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)

Cách 6. Sử dụng pp đồ thị

Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các
cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cô bản sau:
f (x) g(x)
• Bất phương trình mũ dạng: u(x) ≥ u(x)
f (x) g(x)
TH1 : 0 < u(x) 1 ; u(x) ≥ u(x) f (x) ≥ g(x)

f (x) g(x) 0 < u(x) ≠1

TQuat : u(x) ≥ u(x) 
[ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0

• Bất phương trình logarit dạng: log f(x) ≥ log g(x) a a

TH1 : 0 < u(x) 1 ; log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) f (x) ≥ g(x)
0 < u(x) ≠1

f(x) >0
TQuat : log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) 
g(x) >0
[ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0

Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ
dàng hơn.
1. a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2. log a f(x) > log a g(x)  (a− 1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai
hàm số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
GV : Phạm Đỗ Hải
Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)
Thông thường giải bằng PP thế



PHầN 3: NGUYÊN HÀM.
Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản).
∫ dx = x + C α+1
α (ax + b)
α+1 ∫ (ax + b) dx = + C (α ≠ -1)

α
x .dx =
x + C (α ≠ -1 ) a( α + 1)
α +1 dx 1
dx
∫ = lnax+ b+ C
ax + b a
∫ = ln + C ( x≠ 0)
x
x ax + b 1
x ∫e .dx = eax+b + C
∫ e .dx = ex + C a
a
x αx + b
x αx +β 1 a
∫ a .dx = +C ∫a .dx = +C
ln a α ln a
∫ Cosx.dx = Sinx + C 1
∫ Cos(ax + b).dx = Sin(ax+ b) + C
∫ Sinx.dx = −Cos x + C a
dx 1
∫ 2 = ∫ (tan 2 x + 1).dx = tanx + C ∫ Sin(ax + b).dx = − Cos(ax+ b) + C
Cos x a
dx dx 1
2
∫ 2 = ∫ (Cot x + 1).dx =−Cotx + C ∫ 2 = tan(ax+ b) + C
Sin x Cos (ax + b) a
dx 1
∫ 2 = − Cot(ax+ b) + C
Sin (ax + b) a

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
• I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2 2 1
a −x ; thì đặt x = asint
2 2
a −x
1
a2 + x2 ; thì đặt x = atant.
a 2 + x2

CHÚ Ý:
1. ∫ f (e ).u ( x)dx t = u (x)
u ( x) /
Đặt
1
2. ∫ f (ln x). x dx Đặt t = ln(x)

3. ∫ f ( ax + b ).dx
n
Đặt t = n ax + b
4. ∫ f (sin x, cos x )dx
• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
1 + cos 2 x 1 − cos 2 x
cos 2 x = , sin 2 x =
2 2
GV : Phạm Đỗ Hải
x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan
2
5. ∫ f( a 2 − x 2 ).dx Đặt x = a sin t

6. ∫ f ( a 2 + x 2 ).dx Đặt x = a tan t
a
7. ∫ f ( x 2 − a 2 ).dx Đặt x=
cos t
1
8. ∫ f( x2 ± a2
).dx Đặt t = x + x2 ± a2


Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tich cac ham số dễ phat hiên u và dv
́ ́ ̀ ́ ̣
sin ax 
̣
@ Dang 1 ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
 ax 
e 
u = f ( x ) du = f '( x ) dx

 

sin ax  sin ax 
Đặ t  cos ax  dx ⇒
  Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
dv =  v = ∫ cosax  dx
ax  ax

 e  
 e 
 a.dx
u = ln( ax + b ) du =
̣
@ Dang 2: ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx Đăt 
̣ ⇒ ax + b
dv = f ( x ) dx v = ∫ f ( x ) dx

Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
ax sin ax 
̣
@ Dang 3: ∫ e .  dx Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
 cosax 
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1: ∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
∫ sin
n
Dạng 2: ax.cos maxdx (n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu
một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, − cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
GV : Phạm Đỗ Hải
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
f (x)
Yêu cầu tính ∫ g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
= h(x) + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là
g(x) h(x)
một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
f (x) r(x)
Nên ∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫ h(x) dx .Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn
r(x)
phải tính ∫ g(x) dx theo trường hợp sau.
r(x)
Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
= = + + (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x).
g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x ) 2
1 2 2
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để
tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ
dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
∫ f( ax + b ).dx
n
• PP đổi biến dạng 1 Đặ t t = n ax + b
• PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o ∫ f ( a 2 − x 2 ).dx Đặt x = a sin t

o ∫ f( a 2 + x 2 ).dx Đặ t x = a tan t
a
o ∫ f( x 2 − a 2 ).dx Đặ t x=
cos t
1
o ∫ f( x2 ± a2
).dx Đặ t t = x + x2 ± a2


b b
PHầN 4: TÍCH PHÂN. ∫ a
f ( x).dx = F ( x)
a
= F (b ) − F ( a )

Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
/
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u dx bằng cách đặt t = u(x)
a
• Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
• Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
u(b)
b
• I= /
∫ f [u(x)]u dx
a
= ∫ f (t)dt
u(a)



GV : Phạm Đỗ Hải
β
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
α
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2 2 1
a −x ; thì đặt x = asint
2 2
a −x
1
a2 + x2 ; thì đặt x = atant.
a2 + x2
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b b b
∫ udv = u.v a − ∫ vdu
a a
phân tich cac ham số dễ phat hiên u và dv
́ ́ ̀ ́ ̣
u = f ( x ) du = f '( x ) dx
sin ax   
β  sin ax   sin ax 
̣
@ Dang 1 ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức: Đặt  ⇒
 ax  cos ax  dx  
α
dv =  v = ∫ cosax  dx
e  ax  ax

 e  
 e 
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
 a.dx
β u = ln( ax + b ) du =
̣
@ Dang 2: ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx Đăt 
̣ ⇒ ax + b
α dv = f ( x ) dx v = ∫
 f ( x ) dx
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
β
ax sin ax 
̣
@ Dang 3: ∫ e .  dx
α cosax 
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
β β β
Dạng 1: ∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .
α α α
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
β

∫ sin
n
Dạng 2: ax.cos max.dx (n,m là các số nguyên dương)
α
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu
một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
β
Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
α
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, − cosx) = −R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.


GV : Phạm Đỗ Hải
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
β f (x)
Yêu cầu tính ∫ dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
α g(x)
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
= h(x) + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là
g(x) h(x)
một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
β f (x) β β r(x)
Nên ∫ dx = ∫ h(x)dx + ∫ dx .
α g(x) α α h(x)
β β r(x)
Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính ∫ dx theo trường hợp
α α g(x)
sau.
β r(x)
Trường hợp 2: tính ∫ dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
α g(x)
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
= 2
= + + (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x).
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) (x − x1 ) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để
tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ
dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
∫ f( ax + b ).dx
n
• PP đổi biến dạng 1 Đặ t t = n ax + b
• PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o ∫ f ( a 2 − x 2 ).dx Đặt x = a sin t

o ∫ f( a 2 + x 2 ).dx Đặ t x = a tan t
a
o ∫ f( x 2 − a 2 ).dx Đặ t x=
cos t
1
o ∫ f( x2 ± a2
).dx Đặ t t = x + x2 ± a2
b
Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính ∫ f (x) dx
a
+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có
b b
một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx
a a
b c b
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a a c
*Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng công thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân.

GV : Phạm Đỗ Hải
PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRÒN XOAY.
Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng y
• Hình phaúng giôùi haïn bôûi :
haø soá = f (x) lieâ tuï treâ [a;b]
m y n c n b
 Dieän tích : S =  ∫ | f (x) | .dx b
truï hoaøh y = 0; x = a; x = b
c n a
Chuù yù : neáu thieáu caän a, b giaûi pt : f(x) = 0 a x
haø soá = f (y) lieâ tuï treâ [a;b]
m x n c n b
• Hình phaúng giôùi haïn bôûi : truïc hoaøh x = 0;y = a; y = b
n
Dieän tích : S =  ∫ | f (y) | .dy
 a
• Hình phaúng giôùi haïn bôûi : y y=f(x
 haø soá = f (x) lieâ tuï treâ [a;b]
m y n c n
 b
 haø soá = g(x) lieâ tuï treâ [a;b]
m y n c n Dieän tích : S =  ∫ | f (x) − g(x) | .dx y=g(
x = a; x = b a

Chuù yù : 1) Neáu thieáu caän a, b giaûi pt : f(x) = g(x)  a b x
2) Nếu bài toán qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thông qua
tổng hoặc hiệu của nhiều hình.
• Hình phaúng giôùi haïn bôûi :
 haø soá = f (y) lieâ tuï treâ [a;b]
m x n c n
 b
 haø soá = g(y) lieâ tuï treâ [a;b] Dieän
m x n c n tích : S =  ∫ | f (y) − g(y) | .dy
 y = a;y = b a

Bài toán 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :
 haø soá = f (x) lieâ tuï treâ [a;b]
m y n c n b 2

truï hoaøh y = 0; x = a; x = b
c n
quay quanh truïc Ox vaø f(x) ≥ 0 treân [a;b] thì  V =  π ∫ f (x)
  .dx
 a
* Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :
 haø soá = g(y) lieâ tuï treâ [a;b]
m x n c n

truï hoaøh x = 0;y = a; y = b
c n
quay quanh truïc Oy vaø g(y) ≥ 0 treân [a;b] thì  V = 

b 2
π ∫ g(y)  .dy
 
a
* Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :
 haø soá = f (x); y = g(x) lieâ tuï treâ [a;b]
m y n c n b 2 2

x = a; x = b
quay quanh truïc Ox thì  V =  π ∫ f (x)
  − g(x) .dx
 
 a
* Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :
 haø soá = f (y); x = g(y) lieâ tuï treâ [a;b]
m x n c n b 2 2

y = a; y = b
quay quanh truïc Oy thì  V =  π ∫ f (y)
  − g(y) .dy
 
 a



PHầN 6: Số PHứC
Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c và b = d. 2) môđun số phức z = a + bi = a 2 + b 2

3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a − bi.
* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) − c+di) = (a−
( c)+(b− d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i



GV : Phạm Đỗ Hải
c + di 1
7) z = =
2 + b2
[(ac+bd)+(ad-bc)i] (để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
a + bi a
hợp của số phức ở mẫu)
Bài toán 2:Căn bậc 2 của số phức:
Định nghĩa căn bậc 2: z là căn bậc 2 của w z2=w
Chú ý:
• căn bậc 2 của w=a (a là số thực dương) là z= ± a
• căn bậc 2 của w=a (a là số thực âm) là z= ±i a
• căn bậc 2 của w=0 (a là số thực dương) là z=0
• căn bậc 2 của số phức w=a+bi
Phương pháp:
o Giả sử:z=x+yi ; x,y là số thực là căn bậc 2 của số phức w=a+bi
o lập hệ
 x2 − y 2 = a
z = w ( x + yi ) = a + bi x − y + 2 xyi = a + bi 
2 2 2 2

2 xy = b
o Giải hệ tìm x;y Kết luận
Bài toán 3: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.
b
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép x1 = x 2 = −
2a
−b ± ∆
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm: x=
2a
−b ± i ∆
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm: x=
2a
Bài toán 4:Cách tìm dạng lượng giác của 1 số phức: z=a+bi ; a,b là số thực
Cách 1: 1.Tìm r: r = z = a +b
2 2
r>0
 b
sin ϕ = r

2. Tìm 1 Acgumen ϕ sao cho 
co s ϕ = a

 r
3. Thay r và ϕ vào công thức z = r(cosϕ+isinϕ)
a b
Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r( + i )= r (co s ϕ + i.sin ϕ )
r r
CỦNG CỐ :Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản )
Cho số phức z=ax+b; a,b∈ R.được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức
Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
y

• Nếu ϕ là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng ϕ+k2π, k∈Z
• Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| = a2 + b2 , r > 0.
M(z) ϕ
a=rcosϕ , b=rsinϕ.
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cosϕ+isinϕ)

• Dạng lượng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cosϕ+isinϕ)
GV : Phạm Đỗ Hải
hay –z = r[cos(π+ϕ)+íin(π+ϕ)].
• Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lượng giác là :
z =a – bi = r(cosϕ - isinϕ)
hay z = r[cos(-ϕ) + isin(-ϕ)]

*Các phép tính với số phức ở dạng lượng giác:
Kí hiệu z1=r1(cosϕ 1+isinϕ 1) ; z2=r2(cosϕ 2+isinϕ 2) thì:
• z1.z2=r1.r2[cos(ϕ 1+ϕ 2)+isin(ϕ 1+ϕ 2)
z1 r
• = 1 [cos(ϕ 1-ϕ 2)+isin(ϕ 1-ϕ 2)]
z2 r 2
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z-1(nghịch đảo của z) là: z-1 =
1 1
= [cos(−ϕ ) + i. sin( −ϕ )]
z r
• [ r (cos ϕ + i. sin ϕ )] n = r n (cos nϕ + i. sin nϕ )
• [ (cos ϕ + i. sin ϕ )] = (cos nϕ + i. sin nϕ )
n


Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
j j j j
Số phức z = r(cosϕ+isinϕ) có hai căn bậc hai là r(
cos
+ si ) và - r(
n cos + si )n
2 2 2 2
é j j ù
Hay z = r(cosϕ+isinϕ) có hai căn bậc hai là = r ê ( + p)+ i n( + p) , với r > 0.
cos
ê 2
si ú
ú
ë 2 û

*Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau zk :
é æ k2p ö ù
j ÷ is n æ + k2p ö
j
zk = r ê ç + + iç
n
cosç ÷ ç ÷ú
÷ với k = 0,1,2…,n-1.
ê çn n ø÷
÷ çn n ø÷
÷ú
ê è
ë è ú
û

B. HÌNH HỌC.
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
1
• Tính thể tích khối chóp V = 3 Bh ;
• Tính thể tích khối hộp chữ nhật V= a.b.c
• Tính thể tích khối lăng trụ: V= Bh.
• Khối cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp
 Dựng trục d của đa giác đáy
 Trong mp chứa cạnh bên và trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung
trực) của cạnh bên
 Khi đó:gọi I = d ∩ d ' Suy ra I là tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp
 Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh của hình chóp)
o Tính diện tích mặt cầu S = 4πr2 .
4
o thể tích khối cầu V = πr3
3
• Khối trụ:
o Tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrl;
o diện tích toàn phần hình trụ Stp = 2πr(r + l).

GV : Phạm Đỗ Hải
o thể tích khối trụ V = πr2h
• Khối nón:
o Tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl;
o diện tích toàn phần hình nón Stp = πr(r + l).
1 2
o thể tích khối khối nón V=
3
πr h

• Chú ý:
o Các dạng toán:song song,vuông góc ở lớp 11(đặc biệt là các bài toán giao tuyến và thiết
diện)
o Không dùng trực tiếp công thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thông
qua việc tính diện tích của hai tam giác đồng dạng)
Ví dụ:
Ta có: AH là đường cao chung của 2 hình chóp A.SMD và A. SBD. Nên ta có:
1 1
S . AH
VS . AMD VA.SMD 3 SMD S SMD 2 SM .SD.SinS SM
= = = = =
VS . ABD VA.SBD 1 S . AH S SBD 1
SB.SD.SinS SB
SBD
3 2

VS . AMD SA.SM .SD
Vậy: =
VS . ABD SA.SB.SD




Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian
→ → → → →
a = (x;y;z) ⇔ a = x. i + y.
j + z. k
Tính chaát : Cho → = (a1;a2;
a a3) , → = (b1;b2;
b b3)
→ →

a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)

• k. a = (ka1;ka2;ka3) k∈R
→→ → →
Tích voâ höôùng : a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos ϕ
a1b1 + a 2b 2 + a 3b3
Cos ϕ = 2 2 2 2 2 2
a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b3
→ →
a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
→ → → → → → → → →
a cuøng phöông b ; a ≠ 0 ⇔ b = k. a ⇔ [ a , b ] = 0
Toaï ñoä ñ ieåm:
→ → → → →
M = (x;y;z) ⇔ OM = (x;y;z) ⇔ OM = x. i + y. j + z. k

AB = ( xB− xA ; yB− A;zB − A)
y z




GV : Phạm Đỗ Hải
→ →
•  M chia ñoaïn AB theo tæ soá k≠ 1  (  MA = k MB ) Thì M có toạ độ là :
 x − k.x
x M = A B
 1− k
 y − k.y
 A B
y M =
 1− k
 z − k.z
z = A B
 M
1− k

 xA + x
x M = B
 2
 y +y

• M laø trung ñieåm cuûa AB thì I:  y M = A 2 B

 z +z
z = A B


M
2

 1
 x G = 3 (x A + x B + x C )

 1
• G laø troïng taâm tam giaùc ABC  thì G:  y G = 3 (y A + y B + y C )

 1
z G = (z A + z B + z C )
 3
• Tích coù höôùng cuûa 2 veùctô :
r
Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ); → →
 a2 a3 a 3 a1 a1 a 2 
r Khi đó    [ a , b ] =  
 b2 b3
;
b 3 b1
; 
b1 b 2 
b = (b1 ; b2 ; b3 )  
→ → → → → →
*[ a , b ] ⊥ a ;[ a , b ] ⊥ b
→ → → → →
• Ñk ñoàng phaúng cuûa 3 veùctô :           a , b , c ñoàng phaúng ⇔ [ a , b

]. c = 0
• ÑK ñeå 4 ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng ( taïo thaønh töù dieän ) laø: ba veùc
→ → → → → →
tô AB , AC , AD khoâng ñoàng phaúng [ AB , AC ]. AD ≠ 0
• ÑK ñeå 4 ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng ( không taïo thaønh töù dieän ) laø:
A ∉ mp ( BCD)
→ →2 1
• Dieän tích tam giaùc ABC : SABC = 1 AB2AC2 − (AB.AC) Hoặc SABC = . [
2 2
→ →
AB , AC ]
1 →
• Theå tích töù dieän ABCD : VABCD = 6
[→ →
 AB , AC ]. AD 
[→ → →  
• Theå tích hình hoäp : VABCD.A'B'C 'D' =  AB , AD ]. AA′ 
Bài toán 1:Xaùc ñònh ñieåm , tọa độ vectơ trong khoâng gian , c/m 
tính chaát hình hoïc ...
Bài toán 2: Tích voâ höôùng , tích coù höôùng , goùc giöõa hai veùc 
tô :
Bài toán 3:Veùc tô ñoàng phaúng , khoâng ñoàng phaúng,diện tích tam
giác,theå tích khối chóp,hộp:

Phần 3: Mặt cầu (S)
Bài toán 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu

GV : Phạm Đỗ Hải
Phöông t rì nh m aët caàu t aâm I ( a; b; c) ; bk R l aø : (x − 2 + (y − b)2+ (z− )2 =
a) c
R 2

Phöông t rì nh t oång quaùt cuûa m aët caàu ( S) :
x + y + z + 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 vôùi A2 + B2 + C2− > 0
2 2 2
D
coù taâm I(− ;− C)
A B;− ; baùn kính R = A 2 + B2 + C 2 − D



Bài toán 2: V iết phương trình m cầu
ặt
• Pt.maët caàu (S) taâm I(a;b;c) vaø ñi qua M1(x1;y1;z1)
+ Baùn kính R = IM1 = (x1 − a)2 + (y1 − b)2 + (z1 − c)2
• Pt.maët caàu (S) ñöôøng kính AB :
xA + xB yA − yB zA − zB
+ Taâm I laø trung ñieåm AB => I( 2
; 2
; 2
)
+ Baùn kính R = IA
• Pt. maët caàu (S) qua boán ñieåm A,B,C,D:
p/ phaùp : Pt toång quaùt maët caàu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay laàn löôït toaï ñoä 4 ñieåm vaøo (1) => giaûi heä tìm heä soá A;B;C;D
• Pt.maët caàu (S) taâm I(a;b;c) vaø tieáp xuùc maët phaúng (α) baùn kính R =
d(I; (α))

Bài toán 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
x - x o y - yo z - zo
Cho (d) : = = ; mc(S): (x − 2 + (y− 2 +(z− 2 = R2
a) b) c)
a b c
Tính d(I; (d)) = ?
Neáu:• d(I; d ) > R (d) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ( rôøi nhau)
• d(I; α ) = R (d) tieáp xuùc vôùi (S) ( d  laø  tieáp tuyến) (d) ∩ (S)
={M0} ;
• d(I; α ) < R (d) caét maët caàu (S) tại 2 điểm phân biệt A và B
(Chú ý:AB sẽ vuông góc với đt qua tâm I tại trung điểm của nó)

Bài toán 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho (α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x − 2 + (y− 2 +(z− 2 = R2
a) b) c)
Tính d(I; (α)) = ?
Neáu:• d(I; α ) > R (α) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ( rôøi nhau)
• d(I; α ) = R (α) tieáp xuùc vôùi (S) ( α laø mp t ieáp dieän) (α) ∩ (S)
={M0} ;

Cách vi ết m phẳng ti ếp di ện : (α) qua M0 nhaän
ặt IM 0 laøm VTPT
• d(I; α ) < R α caét maët caàu (S) theo moät ñöôøng troøn (C) có taâm H;
baùn kính r
* P.t ñ.troøn(C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x − 2 + (y− 2 + (z− 2= R2
a) b) c)
+ Taâm H laø hình chieáu cuûa I leân mp (α)
+ baùn kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
Caùch xaùc ñònh H nh chi ếu H của tâm I lên m α) :
ì p(


GV : Phạm Đỗ Hải
 x = a + At
→ 
+ Laäp pt ñ.thaúng (d) qua I nhaän nα laømVTCP Giả sử (d)  y = b + Bt
z = c + Ct

+ Toaï ñoä ñieåm H là nghiệm hệ PT (gồm pt mp(α) và pt ñ.thaúng (d))
+ Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy ra toaï ñoä ñieåm H
Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

+) Tính IM 0

+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhaän IM 0 laøm VTPT.
Bài toán 5: Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu
(S) và mặt phẳng(α). (Thường hay gọi là đường tròn trong không gian)
+ baùn kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
+Caùch xaùc ñònh tâm H:

Laäp pt ñ. thaúng (d) qua I nhaän nα laømVTCP
 x = a + At

Giải hệ: (d)  y = b + Bt thay vaøo pt mp(α) => giaûi tìm t = ? => toaï ñoä ñieåm
z = c + Ct

H
Kết luận

Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài toán 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:
Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản: r
Biết (P) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTPT là n = ( A, B, C ) sẽ có PTTQ là A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0
CHÚ Ý: uuu
r uuu
r
* (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ?
r uuu uuu
r r
+) VTPT của (ABC) là n = [AB, AC]
r
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
r uu uuu
r r
* mp(a,b) : nếu a//b thì VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b.
r uu uu
r r
Nếu a cắt b thì n = [u a ,u b ]
r uu uuu
r r
*(A;a) thì VTPT n = [u a ,AB] với B∈ a.
uur uu r
* (α) //(β) thì VTPT n α = nβ

uur uur
* (α) ⊥a thì VTPT nα = ua

rr uur r r
* (α) có hai vectơ chỉ phương a, b thì n α = [a, b] .

r uur uu uuu
r r uu
r
*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP a thì n α = [u a , AB] ( thay ua =
r
a)

uur uu uuu
r r
*(α) vuông góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT n α = [n P , n Q ]



GV : Phạm Đỗ Hải
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
uuu
r
+) Tính vectơ AB . uuu
r
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB .
uur uu uur r
* (α) song song đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng thì n α = [n β , u a ] .


* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .
+) chọn M trên đ.thẳuur (D).uu
ng uuu r
r
+) VTPT của (α) là n α = [u D , nβ ]

* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳuur (d). uuu
ng uur r
+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]
uur uu uuu
r r
Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT n P = [u d ,u d / ]

Cách 2:Viết dưới dạng chùm mặt phẳng:

Cho (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cắt nhau
• Mọi mp (R) thuộc chùm (P) và (Q) đều có dạng: m(Ax+By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’)=0
với m 2 + n 2 ≠ 0
• Tìm hệ thức am+bn=0
• Chọn m;n sau đó kết luận cho PT (R)

Cách 3:Viết dưới dạng tổng quát:
• Định dạng mp cần tìm là (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0
• Vận dụng giả thuyết tìm A;B;C;D
• Kết luận


Bài toán 2 viết phương trình đường thẳng.(PTTS và PTCT)

 x = x o + a.t
r 
Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTCP là u = ( a, b, c ) sẽ có PTTS là  y = yo + b.t
 z = z + c.t
 o



r x - x o y - yo z - zo
Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTCP là u = ( a, b, c ) sẽ có PTCT là = =
a b c
CHÚ Ý: r
*∆ đi qua điểm A và có VTCP u

uuu
r
* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP AB .

uuu
r
*∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP uD .

uur
*∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là nα .


GV : Phạm Đỗ Hải
* ∆ là giao tuyến của hai uurặtr phẳng (α) và (β) thì
r
m uu
+) VCTP của ∆ là u = [n α , n β ] .
+) Cho một ẩn bằng 0 giải huur 2rẩn còn luu i tìm điểm M?
r
ệ uu r uur ạ r
=> ∆ đi qua M có VTCP là u = [n α , n β ] u = [n α , n β ]


* ∆ là hình chiếu của đ.thẳng (d) lên mp (β)

o Viết phương trình mp(P) chứa (d) và vuông góc mp(β)
uur uu uu
r r
(chọn M trên đ.thẳng (d),VTPT của (α) là n P = [u d ,nβ ] )
o Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của 2 mp (P) và mp(β)
Viết PT ∆ dưới dạng tham số hoặc chính tắc (cho một uur xuur uu giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2
ẩn = 0
r
PT hai mặt phẳng (P) và (β)=> M? => ∆ đi qua M có VTCP u ∆ = [n P , nβ ] )
ủ ∆ABC.
* Cách viết phương trình đường cao AH cr a uuu uuu
r r
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC] = ?.
r uuu r
r
+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u = [BC, n] = ?
r uuu r
r
=> Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u = [BC, n] .

* Cách viết phương trình đường trung trực cuuu uuu nh BC của ∆ABC.
r
ủr cạ
a r
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC] = ?.
r uuu r
r
+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u = [BC, n] = ?.
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC. r uuu r
r
 Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M có VTCP u = [BC, n] .


Bài toán 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α) uur
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là nα .
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.

* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).
uuu
r
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u D .
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
Bài toán 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α) uur
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là nα .
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
 x = 2x − x
 H A/

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  y = 2y H − y /
 A
z = 2z H − z /
 A
* Đối xứng quađường thẳng (D). uuu
r
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là uD .

GV : Phạm Đỗ Hải
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
 x = 2x − x
 H A/

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  y = 2y H − y /
 A
z = 2z H − z /
 A
Bài toán 5: Xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
vôùi → =(A;B;C) vaø → =(A/; B/ ; C/ )
n n′
A B C D
(P) ≡ (Q) A/
= B/ = C / = D/
A B C D
(P) // (Q) = = ≠
A/ B/ C/ D/
A B B C C A
(P) cắt (Q) ≠ ∨≠ / ∨ /≠ /
A/ B/ B/ C C A
Chuù yù :• α ⊥ α/ → . → = 0 AA/ + BB/ + CC/ = 0
n n′
→ →
• α caét α/ n vaø n′ khoâng cuøng phöông
* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d1) và (d2).
→ → → →
Xác định các VTCP u =(a;b;c) , / /
u / =(a ;b ; c/ ) ;Tính [ u , u/ ]
→ → →
Neáu :[ u , u / ]= 0
+) chọn M1 ∈(d1). Nếu M1∉ d2 thì d1 // d2
Nếu M1 ∈(d2) thì d1 ≡ d2
→ → →
Neáu [ u , u / ] ≠ 0
→ → uuuuuuu r
tính [ u , u ' ]. M1M 2
→ → uuuuuuu r
+) Nếu: [ u , u ' ]. M1M 2 = 0 thì d1 caét d2
→ → uuuuuuu r
+) Nếu: [ u , u ' ]. M1M 2 ≠ 0
thì d1 chéo d2
Hoặc ta giải hệ { d1 = d 2 theo
t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần )
+) hệ có nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 caét d2 => giao điểm.
+) nếu hệ VN th ì d1 cheùo d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).Giải hệ PT
+) thay PTTS của đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t.
+) nếu PTVN thì (D)//mp(P).
Nếu PTVSN thì (D) ⊂ mp(P).
Nếu PT có nghiệm duy nhất thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm?
Hoặc có thể dung cách sau:
r r
+) tìm tọa độ VTCP u của (D) và VTPT n của mp(P).
r r
+) Tính tích vô hướng u . n = ?
r r
Nếu tích vô hướng này u . n ≠ 0 thì (D) cắt mp(P).
r r
Nếu u . n = 0 thì chọn điểm M bất kỳ trên (D) sau đó thay vào PT mặt phẳng (P) nếu thỏa mãn thì (D)
⊂ mp(P). còn ngược lại thì (D)//mp(P).

Bài toán 6: Tính khoảng cách.
GV : Phạm Đỗ Hải
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 .
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
d(A;(α)) =
A 2 + B2 + C 2


* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)

* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)
+) chọn điểm M bất kỳ trên (d). tính d(M;(d)) = ?
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))

* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D) (không có công thức tính trong chương trình mới phân
ban đối với ban cơ bản) nhưng ta có thể tính như sau:
Cách 1
+) lập PT mp(Q) qua A và vuông góc với (D).
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (D).
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
uu uuuuu
r r
[ud ; AM ]
Cách 2 Áp dụng công thức :  d ( A, d ) = uu
r      M thuộc d
ud
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d/).
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d). uur
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d/ ) và mp(P) ( bằng cách giải hệ gồm PTcủa (d/) và PT mặt phẳng
(P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N).
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN.

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d/).
Cách 1:
Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳuur (d). uuu
ng uur r
+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]
uur uu uuu
r r
=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT n P = [u d ,u d / ]
Chọn điểm N bất kỳ trên (d/) . Tính d(N, mp(P)) =?
 d((d), (d/)) = d(N, mp(P))

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
uu uur uuuu
r r
[ud ; ud / ].MN
Cách 3 Áp dụng công thức :  d (d ; d ) =
/
uu uur
r
[ud ; ud / ]
Bài toán 7: Tính góc .
* Góc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0
ur uu
r
n1.n 2 Α1A 2 + B1B2 + C1C2 
Với ·
ϕ = ((mp(Q),mp(P)) thì cosϕ = ur uu =
r 2 2 2 2 2 2
A1 + B1 + C1 . A 2 + B2 + C2
n1 . n 2


 x = x 0 + at

* Góc giữa đường thẳng (D):  y = y0 + bt và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0

z = z0 + ct


GV : Phạm Đỗ Hải
uu uu
r r
uu uu
r r n .u
P D  Α + bB + cC 
a
Với ·
ϕ = ((D), mp(P)) thì SinΨ=|cos( n P , u D ) |= uu uu =
r r
nP . uD A + B2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2
2




 x = x 0 + a1t x = x 0 + a 2t /
/
 
 / /
Góc giữa hai đường thẳng (d) :  y = y0 + b1t Và ( ∆ ):  y = y0 + b 2 t
 
z = z0 + c1t
/ /
z = z0 + c2 t

ur uu
r
u1.u 2  1a 2 + b1b 2 + c1c2 
a
Với ¶
ϕ = (d,∆ ) thì cosϕ = ur uu =
r
u1 . u 2 a1 + b1 + c1 . a 2 + b 2 + c 2
2 2 2
2 2 2




GV : Phạm Đỗ Hải
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản