Các công thức toán 12 (Ôn thi TN + TSĐH)

Chia sẻ: Cao Duy Duy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

1
2.270
lượt xem
531
download

Các công thức toán 12 (Ôn thi TN + TSĐH)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các công thức toán 12 (ôn thi tn + tsđh)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các công thức toán 12 (Ôn thi TN + TSĐH)

  1. HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ôn luyện thi ĐH-CĐ 2.Các nội dung “chữ đậm và in nghiêng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm của thi TNTHPT VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số • Các vấn đề liên quan đến hàm số o Phöông t rì nh t i eáp t uyeán: t aï i M ñi qua moät ñieåm M1  0;    hoặc biết  heä soá goùc k  o Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò : o Cực trị hàm số o Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). o Caùch  xaùc  ñònh  iteäm   caän  : o Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi thêng gÆp: …….. VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT • Tính toán,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,… • Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logarit • Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa • Giải phương trình mũ và logarit : • Giải bất phương trình mũ và logarit • Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô baûn) VấN Đề 3:NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN • Tính nguyên hàm o Áp dụng bảng nguyên hàm o Dùng PP đổi biến(dạng 1 và dạng 2) o PP nguyên hàm từng phần b b • Tính tích phân ∫a f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a ) a o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. b / Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u dx bằng cách đặt t = u(x) a β Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx đặt x = asint ;x = atant ;……… α b b ∫ ∫ b o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần: u.dv = u.v a − v.du a a o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ G V    ạm Đỗ Hải  : Ph
  2. o Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ: b o Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính ∫ f (x) dx a • Ứng dụng của tích phân o Tính diện tích hình phẳng o Tính thể tích vật thể tròn xoay : VấN Đề 4:Số PHứC • Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;… • Thực hiện được các phép toán về cộng trừ,nhân,chia các số phức. • Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức) • Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et) • Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Không có ở ban cơ bản) VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI. • Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...) • Tính thể tích các khối chóp,khối hộp,lăng trụ,… • Mặt cầu: o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,… o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu • Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ • Mặt nón: o Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối khối nón VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHÔNG GIAN • H toạ độ trong không gian ệ o Xaùc ñònh ñieåm , tọa độ vectơ trong khoâng gian , c/m tính chaát hình hoïc ... o Tích voâ höôùng , tích coù höôùng , goùc giöõa hai veùc tô : o Veùc tô ñoàng phaúng , khoâng ñoàng phaúng,diện tích tam giác,theå tích khối chóp,hộp: • Mặt cầu (S) o Xác định tâm và bán kính mặt cầu o Viết phương trình mặt cầu o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong không gian • Mặt phẳng: o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát) • Đường thẳng: o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT) • Vị trí tương đối giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu) • Tính khoảng cách giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu) • Tính góc giữa các đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt phẳng-mặt phẳng ) • Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong không gian • Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng. o Tìm hình chiếu H của M lên (α) o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d). • Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp o Đối xứng qua mp(α) GV : Phạm Đỗ Hải
  3. o Đối xứng quađường thẳng (d). • Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β ) PHẦN A.GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản: 1. ( u ± v) / = u / ± v / 6.( C ) = 0 / 2. ( u.v ) / = u / .v + u.v / 7.( x ) = 1 / 3. ( C.v ) / = C.v / ( ) 8. x α / = α ..x α −1 (u ) α / = α ..x α −1 .u / / / 1 − v/ u u .v − v .u/ / 1 −1 /   = 2 4.   = (v ≠ 0) 9.  = 2 v v v v2 x x 5. C   = / − C.v / ( ) 10. x / = 1 ( ) / u = u/ 2. u v v2 2. x ( ) 11. a x / = a x . ln a (a ) u / = a u . ln a.u / 19. y= ax + b ta coù 12.( e )x / =e x (e ) u / = e u .u / cx + d u/ ad − bc 13.( log a x ) = / 1 ( log a u ) = / y/ = x. ln a u. ln a (cx + d ) 2 / 14.( ln x ) = / 1 ( ln u ) / = u x u a1 x 2 + b1 x + c1 20. y= ta coù 15.( sin x ) = cos x / ( sin u ) = u / . cos u / a 2 x 2 + b2 x + c 2 a1 b1 2 a c1 b c1 16.( cos x ) = − sin x / ( cos u ) / = −u / . sin u x +2 1 x+ 1 u/ y = / a2 b2 a2 c2 b2 c2 17.( tan x ) = / 1 ( tan u ) / = cos 2 u (a x 2 2 + b2 x + c 2 ) 2 cos 2 x −1 − u/ 18.( cot x ) = / ( cot u ) / = sin 2 x sin 2 u Bài toán 1: Khảo sát hàm số SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm tập xác định: D=… 2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm 3.Tính giới hạn: lim y = ... lim y = ... với xo là nghiệm mẫu x →±∞ x → xo ± 4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có) 5.Lập bảng biến thiên 6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến 7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU 8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’ 9.Nhận xét về đồ thị: • Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị) GV : Phạm Đỗ Hải
  4. • Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox • Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ 10. Vẽ đồ thị. 1.Haøm soá baäc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d  (a≠ 0) + TXĐ : D = R + Ñaïo haøm: y/ = 3ax2 + 2bx + c vôùi ∆ / = b2 − 3ac ∆/ ≤ 0 ∆/ > 0 y cuøng daáu vôùi heä / y/ = 0 coù hai nghieäm x1; soá a x2 •KL: haøm soá taêng •KL: haøm soá taêng? treân? (giaûm treân?) Giaûm? •Haøm soá khoâng coù • Cöïc tri ̣ cöïc ñaïi? Cöïc cöïc trò tieåu? +∞ (a > 0) + Giôùi haïn: • lim (ax3 + bx 2 + cx + d ) =  x → +∞ − ∞ (a < 0) − (a > 0) ∞ • lim ( ax 3 + bx 2 + cx + d ) =  x→− ∞  + ∞ (a < 0) + Baûng bieán thieân: a>0 x −∞ + x −∞ x1 x2 ∞ +∞ y / + y/ + 0 − 0 + y y CÑ +∞ +∞ -∞ -∞ CT x −∞ + x −∞ x1 x2 a<0 ∞ +∞ y/ − y/ − 0 + 0 − y +∞ y +∞ CÑ CT −∞ −∞ Chuù yù : duø y = 0 coù nghieäm keùp vieäc xeùt daáu vaãn ñuùng / + Veõ ñoà thò : • xaùc ñinh Cöïc trò ? •Ñieåm uoán I(− b ;f(− b )) ; ñieåm ñaëc bieät 3a 3a a>0 ; coù 2 CT a<0; coù 2 CT a>0,khoâng CT a<0,khoâng CT 2 Haøm truøng phöông y = ax4 + bx2 + c  (a≠ 0) + TXĐ : D = R + Ñaïo haøm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b cuøng daáu a, b traùi daáu GV : Phạm Đỗ Hải
  5. y/ = 0 ⇔ x = 0 y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; •KL: tăng? Giảm x1,2=± − b 2a •KL: tăng? Giảm? •Giaù trò cöïc trò : y(0) = c • Giaù trò cöïc trò: y(0)= c ; y(± − b ) =− 2a coù moät cöïc trò ∆ 4a Coù 3 cöïc trò +∞ ( a > 0) + Giôùi haïn : lim (ax 4 + bx 2 + c) =  x →± ∞ − ∞ ( a < 0) + Baûng bieán thieân : a>0 x −∞ 0 x −∞ x1 0 x2 +∞ +∞ y/ − 0 + y/ − 0 + 0 − 0 + y y +∞ CÑ +∞ +∞ + CT ∞ CT CT a<0 x −∞ 0 +∞ x −∞ x1 0 x2 +∞ y/ + 0 − y/ + 0 − 0 + 0 − y CĐ y CĐ CĐ −∞ -∞ CT −∞ -∞ + Veõ ñoà thò : • cöïc ñaïi , cöïc tieåu ; • y = 0 − x= ? giaûi pt truøng phöông > a> 0 a> 0 b <0 b>0 a< 0 a< 0 b <0 b>0 ax + b 3.Haøm phaân thöùc : y = cx + d ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )  d + TXÑ : D = R\ − c    ad − bc + Ñaïo haøm : y/ = (cx + d ) 2 ad− < 0 bc ad− > 0 bc y < 0 ∀ x ∈D / y > 0 ∀ x ∈D / Haøm soá khoâng coù cöïc trò Haøm soá nghòch Haøm soá ñoàng bieán bieán treân D treân D GV : Phạm Đỗ Hải
  6. ax + b d lim + Tieäm caän: • x = − c laø tieäm caän ñöùng vì  d ± cx + d = ∞ x → −   c a ax + b a •y= laø tieäm caän ngang vì xlim = c →±∞ cx + d c +Baûng bieán thieân : x −∞ −d/c + x −∞ −d/c +∞ ∞ y/ − || − y/ + || + y a/c || + ∞ + ∞ || −∞ y a/c a/c a/c −∞ + Veõ ñoà thò : − Veõ tieäm caän , ñieåm ñaëc bieät − Cho 2 ñieåm veà 1 phía cuûa tieäm caän ñöùng veõ moät nhaùnh , laáy ñoái xöùng nhaùnh ñoù qua giao ñieåm hai tieäm caän . x= − c d/ x= − c d/ y= a/c y= a/c 2 4. Haøm höõu  tæ : 2/1      y = ax + bx + c (ñk : e ≠ 0 ; töû khoâng chia heát ex + f cho maãu )  f + TXÑ: D = R\ − e   ae.x 2 + 2af .x + (bf − ce) + Ñaïo haøm : y/ = coù ∆ / =(af)2 − c e).ae (bf− (e.x + f ) 2 ∆/ < 0 ∆/ > 0 y cuøng daáu vôùi ae / y = 0 coù hai nghieäm x1; x2 / Haøm soá khoâng coù • Giaù trò cöïc trò tính theo CT : y = cöïc trò 2ax + b e f lim f ( x) + Tieäm caän : • x = −e laø tieäm caän vì x →− f =∞ e ñöùng • Vieát laïi haøm soá y = A x + B + ε (x); lim [ f ( x) − ( Ax + B)] a b af x →∞ = xlim ε(x) =0 => y = e x + ( e −e2 ) laø t/c xieân →∞ a.e > 0 + Baûng bieán thieân : x −∞ −f/e +∞ x −∞ x1 −f/e x2 +∞ y/ + || y/ + 0 − || − 0 + + GV : Phạm Đỗ Hải
  7. y y CÑ || + ∞ + ∞ || +∞ +∞ −∞ −∞ CT −∞ −∞ a.e < 0 x −∞ −f/e +∞ x −∞ x1 −f/e x2 +∞ y/ − || − y/ − 0 + || + 0 − y +∞ || + ∞ y +∞ + ∞ || CÑ −∞ CT −∞ −∞ −∞ + Veõ ñoà thò : ( nhö haøm phaân thöùc ) Xieâ Xieâ n Xieâ n Xieâ n (ban cơ bản không khảo sát hàm số này) n ñöùn Baøi toaùn 2: Phöông trình tieáp tuyeán : ñöùn ñöùn g g Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết g 1.   Tieáp tuyeán taïi M(x0; f(x0))    • TT coù phöông trình laø : y - f(x0)= f/(x0)(x− x0) • Töø x0 tính f(x0) ; Ñaïo haøm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? • P.trình tieáp tuyeán taïi M laø: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0) 2. Tieáp tuyeán ñi qua(keû töø) moät ñieåm A(x1; y1) cuûa ñoà thò h/s y =f(x) • Goïi k laø heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng (d) ñi qua A Pt ñöôøng thaúng (d) laø : y = k(x − x1) + y1 • Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng (d) tieáp xuùc vôùi Ñoà thò (C) laø f(x) = k(x − x1) + y1 (1) heä phöông trình :  / coù nghieäm f (x) = k (2) • Thay (2) vaøo (1) giaûi tìm x => k = ? Keát luaän 3. Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k : Neáu : tieáp tuyeán // ñöôøng thaúng y = a.x + b => heä soá goùc k = a 1 tieáp tuyeán ⊥ ñöôøng thaúng y = a.x + b => heä soá goùc k = − a • Giaû söû M(x0; f(x0)) laø tiếp ñieåm => heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán f/(x0). • Giaûi phöông trình f/(x0) = k => x0 = ? − f(x0) = ? > • Phöông trình tieáp tuyeán y = k (x − x0) + f(x0) Chuù yù : + Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc nhau : k1.k2 = −1 + Hai ñöôøng thaúng song song nhau : k1 = k2 Baøi toaùn 3: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng  ñoà thò : Giaû söû phaûi bieän luaän soá nghieäm cuûa Pt : F(x; m) = 0 . • Bieán ñoåi phöông trình F(x; m) = 0 veà daïng f(x) = g(x) Trong ñoù ñoà thò haøm soá y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định) GV : Phạm Đỗ Hải
  8. • Vẽ đồ thị:y = g(x) ; ñoà thò (C): y =f(x) • Dựa vào đồ thị xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò (C) vôùi ñoà thò y = g(x) Baøi t oaùn 4: xeùt t í nh ñôn ñi eäu Phöông phaùp xaùc ñònh khoaûng t aêng, gi aûm haøm soá : + MXĐ: D= ? + Ñaïo haøm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( neáu coù ) xeùt daáu y/ + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y/ > 0 thì haøm soá taêng ; y/ < 0 thì haøm soá giaûm + Keát luaän : haøm soá ñoàng bieán , nghòch bieán treân khoaûng ... Ñònh lyù 2 (duøng ñeå tìm giá trị m): a) f(x) taêng trong khoaûng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giaûm trong khoaûng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b). Bài toán 5: Cực trị hàm số • D aáu hi eäu I : + MXĐ D=? + Ñaïo haøm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( neáu coù ) xeùt daáu y/ + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCÑ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0. y / ( x 0 ) = 0 3) x0 là cực trị của hàm số   / y ( x ) đổi dấu qua x0 • D aáu h i eäu II: + MXĐ + Ñaïo haøm : y/ = ? .. y// = ? .. cho y/ = 0 ( neáu coù ) => x1 , x2 ….. . + Tính y//(x1); y//(x2)……. Neáu y//(x0) > 0 thì haøm soá ñaït CT taïi x0 , yCT= ? Neáu y//(x0) < 0 thì haøm soá ñaït CÑ taïi x0 , yCÑ= ? • Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo:  f / ( x0 ) = 0 + xo là điểm cực trị <=>  / /  f ( x0 ) ≠ 0  f / ( x0 ) = 0 + xo là điểm cực đại <=>  / /  f ( x0 ) > 0  f / ( x0 ) = 0 + xo là điểm cực tiểu <=>  / /  f ( x0 ) < 0 • Haøm soá ñaït cöïc trò baèng y0 t aï i x0  f / ( x0 ) = 0  Haøm soá ñaït cöïc trò baèng y0 taïi x0 khi  f ( x 0 ) = y 0  f // ( x ) ≠ 0  0 GV : Phạm Đỗ Hải
  9. Chuù yù : daáu hieäu II duøng cho nhöõng h/s maø y/ khoù xeùt daáu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… ) * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x). Daïng 2: Cöïc trò cuûa haøm höõu tæ : u Cho h/s y = u(x) ; v(x) laø caùc ña thöùc coù MXÑ: D v u′v − v′u g(x) Vaø y/ = 2 = 2 daáu cuûa y/ laø daáu cuûa g(x) v v Neáu h/s ñaït cöïc trò taïi x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v− /u = 0 v u′ u u′(x 0 ) => = . Do ñoù giaù trò cöïc trò y(x0) = v′ v v′(x 0 ) Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp a ≠ 0 - Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị ⇔ f ' ( x ) = 0 có nghiêm ⇔  ∆ > 0 - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung ⇔ yCD . yCT < 0 - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD .xCT < 0 - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trên trục hoành  yCD + yCT > 0 ⇔  yCD . yCT > 0 - Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm dưới trục hoành  yCD + yCT < 0 ⇔  yCD . yCT < 0 - Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCD . yCT = 0 Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1. Phöông phaùp t ì m G TLN vaø G N cuûa h/ s y = f(x) treân [a;b]: TN • xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b] • Ñaïo haøm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( neáu coù ) x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b] • Tính f(x1) ; f(x2) ………. So saùnh → KL f(a) ; f(b) max y = min y = • Kết luận: [a;b] ? [a;b] ? 2. P/phaùp tìm GTLN hoaëc GTNN cuûa h/s treân (a;b) hoaëc MX : Đ GV : Phạm Đỗ Hải
  10. • Mieàn ñang xeùt (a;b) hoaëc TXĐ • Ñaïo haøm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( neáu coù ) xeùt daáu y/ • Lập BBT: • Từ BBT kết luận * Neáu treân toaøn mieàn ñang xeùt h/s chæ coù 1 CT thì GTNN baèng giaù trò CT min y = y [a;b] ct * Neáu treân toaøn mieàn ñang xeùt h/s chæ coù 1 CÑ thì GTLN baèng giaù trò CÑ max y = [a;b] yCÑ * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b). Chuù yù : Khi gaëp h/s khoâng cho mieàn ñang xeùt thì ta tìm TXĐ cuûa h/s ñoù : • neáu TXĐ laø moät ñoaïn [a;b]hoaëc nöõa khoaûng thì ta duøng caùch 1 • neáu TXĐ laø moät khoaûng thì duøng caùch 2 • Đôi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng nào đó thành bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). 1. Cho hai ñoà t hò (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) neáu coù laø nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = g(x) (1) • pt(1) voâ nghieäm <=> (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung • pt(1) coù n nghieäm <=> (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong. f (x) = g(x) 2. Ñieàu kieän tieáp xuùc : Ñoà thò (C1) tieáp xuùc (C2) <=> heä pt  coù f ′(x) = g′(x) nghieäm Bài toán 8:  Caùch xaùc ñònh tieäm  caän : lim f (x) = ±∞ •  i T eäm caän ñöùng :    x →x 0±  = >  x = x0 laø tieäm caän ñöùng Chuù yù : tìm x0 laø nhöõng ñieåm haøm soá khoâng xaùc ñònh • T eäm caän ngang :   i   lim f (x) = y 0 x →±∞  => y = y0 laø tieäm caän ngang Chuù yù : haøm soá coù daïng phaân thöùc ( hoaëc coù theå ñöa veà daïng phaân thöùc ) vaø baäc töû ≤ baäc maãu thì coù tieäm caän ngang • Ti eäm caän xi eân (ban cơ bản không có phần này): Caùch 1  + vieát haøm soá döôùi daïng : f(x) = ax + b + ε  (x)     : lim [f(x) –(ax + b)] = x→±∞ε(x) = 0 ⇒ y = ax + b laø tieäm caän x→±∞ lim xieân f (x)         Caùch 2: ta tìm hai heä soá a vaø b ; a= lim ; x →±∞ x b= [ lim f (x) − ax ] x →±∞ ⇒ y = ax + b l  ti aø eäm  caän xi eân  Bài toán 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy GV : Phạm Đỗ Hải
  11.  (C1 ) và (C2 )  (C1 ) và (C2 ) (H )  (H )  x = a, x = b (a < b) y = c, y = d (c < d ) b d S = ∫ y C1 − yC2 dx S = ∫ x C 1 − xC2 dy a c b d VOx =π∫ yC1 − yC2 dx 2 2 VOy =π∫ xC1 − xC2 dy 2 2 a c Bài toán 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) • Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m • Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0 • Giải hệ và kết luận …………………… Bài toán 11:Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) • Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại • Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích • Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên • Tìm giới hạn quỷ tích • Kết luận Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: a) Dạng đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( x )  f ( x )      f( x) ≥ 0    nÕ u   Ta có: y = f ( x ) =  ­f( x)   nÕ  f( x) < 0      u     • Vẽ đồ thị (C): y = f(x) • Đồ thị (C1) gồm 2 phần: ° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ≥ 0) ° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox. b) Dạng đồ thị (C2) của hàm số: y = f ( x )  f ( x )       x ≥ 0    nÕ u   Ta có y = f ( x ) =  f( ­x)    nÕ  x  0      u <     • Vẽ đồ thị (C): y = f(x) • Đồ thị (C2) gồm 2 phần: ° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0) ° Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy. c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: y = f ( x )  f ( x) ≥ 0 Ta có: y = f ( x ) ⇔   y = ± f ( x) (Do đó y = f ( x ) được coi là hàm đa trị của y theo x) • Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) • Đồ thị (C3) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành. ° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox. GV : Phạm Đỗ Hải
  12. f ( x) d) Dạng đồ thị của hàm số: y = g( x)  f ( x)        ( x) ≥ 0    nÕ u f f ( x)  g( x)  Ta có: y = = g ( x )  f( x) ­     u ( x) < 0    nÕ   f  g( x)  f ( x) • Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = g( x) • Đồ thị (C4) gồm hai phần: ° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) ≥ 0 ° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành. f ( x) e) Dạng đồ thị (C5) của hàm số: y = g ( x) • Các bước làm tương tự như phần d) • Chú ý: g(x) ≠ 0. f) Dạng đồ thị (C6) của đồ thị hàm số: y = f ( x ) + g ( x )  f ( x ) + g ( x )    nÕ   ( x) ≥ 0      u f Ta có: y = f ( x ) + g ( x ) =  ­f( x) + g( x)    nÕ   ( x) < 0       u f • đồ thị (C6) gồm hai phần: ° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ 0 ° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0 • Mở rộng: Vẽ đồ thị hàm số: y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x ) + g ( x ) ° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu. g) Dạng đồ thị (C7) của hàm số: y = f ( x ) • Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) • Sau đó vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f( x ) • Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f ( x ) . Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau: y = f(x) ⇒ y = f( x ) ⇒ y = f ( x ) …………………… PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT Bài toán 1:Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit − 1 m an = n ; a0 = 1 0 ; n m an = a ( m; n nguyeân döông , n > 1) a • Caùc quy taéc: ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx GV : Phạm Đỗ Hải
  13. x x x a  ( ax ) ( y) a x −y a y x x.y y =a   = x = a =a a b  b • Haøm soá muõ : y = a x vôùi a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ ) + a > 1 ; h/s ñoàng bieán : x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2 + 0 < a < 1 ; h/s nghòch bieán : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2 α * Hàm số logarit: α = logaN ⇔ a = N logax = b ⇔ x= ab • Ñaëc bieät : aloga x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0 • Caùc qui taéc bieán ñoåi : vôùi a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta coù: log a (B.C) = log a B + log a C B β log a   = log a B − log a C log aα Bβ = log a B C α • Coâng thöùc ñoåi cô soá : vôùi a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta coù : log c b log c a.log a b = log c b ⇔ log a b = log c a 1 0 < a, b ≠ 1 : log a b = log b a Chuù yù : log10x = lg x ; log e x = ln x • Haøm soá Logarit: y = log a x vôùi a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R + a > 1 ; h/s ñoàng bieán : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2 + 0 < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 <log a x2 Bài toán 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit (ex) / = ex − ( eu)/ = u/.eu > ( ax) / = ax.lna − ( au)/ = u/.au.lna > 1 u′ (lnx) / = x ∈(0;+∞) − (ln )/ = > u x u 1 u′ (logax) / = − (logau )/ = > x ln a u. ln a Bài toán 3: Giải phương trình mũ: 6 cách Cách 1. Sử dụng định nghĩa x a = b <=> x=log a b (a x = b <=>a x = a loga b <=> x=log a b) f (x) g(x) f (x) = g(x) Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số a =a <=>  0 < a ≠ 1 Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0 ; Ñaët : t = a f (x) Ñk t > 0 α. a b + f (x) +β. a b−f (x) + γ = 0 ; Ñaët : t = a f (x) Ñk t > 0 f (x) 1 α. a f (x) +β. bf (x) + γ = 0 vaø a.b = 1; Ñaët: t = a ; = bf (x) t GV : Phạm Đỗ Hải
  14. f (x) f (x) a α. a 2f (x) +β. ( a.b ) + γ.b 2f (x) =0 ; Ñaët t =   b Cách 4. Sử dụng pp logarit hoá 2 vế : Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất) Cách 6. Sử dụng pp đồ thị Chú ý: Dạng u(x)f (x) = 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong ñoù u(x) và f(x) coù chöùa bieán ) Bài toán 4: Giải phương trình logarit : 6 cách f(x) > 0  Cách 1 . Sử dụng định nghĩa     log a f(x)=b<=> 0 < a ≠ 1   f(x)=a b  f (x) > 0 (hay g(x) > 0)  Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số log a f(x) = log a g(x) <=> 0 < a ≠ 1 f (x) = g(x)  Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ Cách 4. Sử dụng pp mũ hoá 2 vế : Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất) Cách 6. Sử dụng pp đồ thị Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách giải đó Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cô bản sau: f (x) g(x) • Bất phương trình mũ dạng: u(x) ≥ u(x) f (x) g(x) TH1 : 0 < u(x) <1 ; u(x) ≥ u(x) <=> f (x) ≤ g(x) f (x) g(x) TH1 : u(x) > 1 ; u(x) ≥ u(x) <=> f (x) ≥ g(x) f (x) g(x) 0 < u(x) ≠1  TQuat : u(x) ≥ u(x) <=>  [ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0  • Bất phương trình logarit dạng: log f(x) ≥ log g(x) a a TH1 : 0 < u(x) <1 ; log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=> f (x) ≤ g(x) TH1 : u(x) > 1 ; log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=> f (x) ≥ g(x) 0 < u(x) ≠1  f(x) >0 TQuat : log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=>  g(x) >0 [ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0  Lưu ý: *) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng hơn. 1. a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. 2. log a f(x) > log a g(x)  (a− 1)(f(x) − g(x)) > 0. *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên. *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số. GV : Phạm Đỗ Hải
  15. Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản) Thông thường giải bằng PP thế PHầN 3: NGUYÊN HÀM. Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản). ∫ dx = x + C α+1 α (ax + b) α+1 ∫ (ax + b) dx = + C (α ≠ -1) ∫ α x .dx = x + C (α ≠ -1 ) a( α + 1) α +1 dx 1 dx ∫ = lnax+ b+ C ax + b a ∫ = ln + C ( x≠ 0) x x ax + b 1 x ∫e .dx = eax+b + C ∫ e .dx = ex + C a a x αx + b x αx +β 1 a ∫ a .dx = +C ∫a .dx = +C ln a α ln a ∫ Cosx.dx = Sinx + C 1 ∫ Cos(ax + b).dx = Sin(ax+ b) + C ∫ Sinx.dx = −Cos x + C a dx 1 ∫ 2 = ∫ (tan 2 x + 1).dx = tanx + C ∫ Sin(ax + b).dx = − Cos(ax+ b) + C Cos x a dx dx 1 2 ∫ 2 = ∫ (Cot x + 1).dx =−Cotx + C ∫ 2 = tan(ax+ b) + C Sin x Cos (ax + b) a dx 1 ∫ 2 = − Cot(ax+ b) + C Sin (ax + b) a Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x) • Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx • I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 2 2 1 a −x ; thì đặt x = asint 2 2 a −x 1 a2 + x2 ; thì đặt x = atant. a 2 + x2 CHÚ Ý: 1. ∫ f (e ).u ( x)dx t = u (x) u ( x) / Đặt 1 2. ∫ f (ln x). x dx Đặt t = ln(x) 3. ∫ f ( ax + b ).dx n Đặt t = n ax + b 4. ∫ f (sin x, cos x )dx • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc: 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x cos 2 x = , sin 2 x = 2 2 GV : Phạm Đỗ Hải
  16. x • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan 2 5. ∫ f( a 2 − x 2 ).dx Đặt x = a sin t 6. ∫ f ( a 2 + x 2 ).dx Đặt x = a tan t a 7. ∫ f ( x 2 − a 2 ).dx Đặt x= cos t 1 8. ∫ f( x2 ± a2 ).dx Đặt t = x + x2 ± a2 Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tich cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax  ̣ @ Dang 1 ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:  ax  e  u = f ( x ) du = f '( x ) dx     sin ax  sin ax  Đặ t  cos ax  dx ⇒   Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính dv =  v = ∫ cosax  dx ax  ax   e    e   a.dx u = ln( ax + b ) du = ̣ @ Dang 2: ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx Đăt  ̣ ⇒ ax + b dv = f ( x ) dx v = ∫ f ( x ) dx  Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính ax sin ax  ̣ @ Dang 3: ∫ e .  dx Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax  cosax  Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). Dạng 1: ∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx . * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. ∫ sin n Dạng 2: ax.cos maxdx (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc). *) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học). *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, − cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. GV : Phạm Đỗ Hải
  17. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ f (x) Yêu cầu tính ∫ g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) = h(x) + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là g(x) h(x) một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). f (x) r(x) Nên ∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫ h(x) dx .Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn r(x) phải tính ∫ g(x) dx theo trường hợp sau. r(x) Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x). *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x). g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x ) 2 1 2 2 *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số. Phuơng pháp chung: ∫ f( ax + b ).dx n • PP đổi biến dạng 1 Đặ t t = n ax + b • PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: o ∫ f ( a 2 − x 2 ).dx Đặt x = a sin t o ∫ f( a 2 + x 2 ).dx Đặ t x = a tan t a o ∫ f( x 2 − a 2 ).dx Đặ t x= cos t 1 o ∫ f( x2 ± a2 ).dx Đặ t t = x + x2 ± a2 b b PHầN 4: TÍCH PHÂN. ∫ a f ( x).dx = F ( x) a = F (b ) − F ( a ) Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. b / Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u dx bằng cách đặt t = u(x) a • Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx • Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b) u(b) b • I= / ∫ f [u(x)]u dx a = ∫ f (t)dt u(a) GV : Phạm Đỗ Hải
  18. β Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số α các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 2 2 1 a −x ; thì đặt x = asint 2 2 a −x 1 a2 + x2 ; thì đặt x = atant. a2 + x2 Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I = b b b ∫ udv = u.v a − ∫ vdu a a phân tich cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ u = f ( x ) du = f '( x ) dx sin ax    β  sin ax   sin ax  ̣ @ Dang 1 ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức: Đặt  ⇒  ax  cos ax  dx   α dv =  v = ∫ cosax  dx e  ax  ax   e    e  Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính  a.dx β u = ln( ax + b ) du = ̣ @ Dang 2: ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx Đăt  ̣ ⇒ ax + b α dv = f ( x ) dx v = ∫  f ( x ) dx Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính β ax sin ax  ̣ @ Dang 3: ∫ e .  dx α cosax  Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). β β β Dạng 1: ∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx . α α α * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. β ∫ sin n Dạng 2: ax.cos max.dx (n,m là các số nguyên dương) α *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc). *) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. β Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học). α *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, − cosx) = −R(sinx, cosx) thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. GV : Phạm Đỗ Hải
  19. Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ β f (x) Yêu cầu tính ∫ dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. α g(x) Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) = h(x) + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là g(x) h(x) một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). β f (x) β β r(x) Nên ∫ dx = ∫ h(x)dx + ∫ dx . α g(x) α α h(x) β β r(x) Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính ∫ dx theo trường hợp α α g(x) sau. β r(x) Trường hợp 2: tính ∫ dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x). α g(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = 2 = + + (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x). g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) (x − x1 ) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2 *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Bài toán 6: Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số. Phuơng pháp chung: ∫ f( ax + b ).dx n • PP đổi biến dạng 1 Đặ t t = n ax + b • PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: o ∫ f ( a 2 − x 2 ).dx Đặt x = a sin t o ∫ f( a 2 + x 2 ).dx Đặ t x = a tan t a o ∫ f( x 2 − a 2 ).dx Đặ t x= cos t 1 o ∫ f( x2 ± a2 ).dx Đặ t t = x + x2 ± a2 b Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính ∫ f (x) dx a +) Tìm nghiệm của f(x) = 0. Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có b b một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx a a b c b Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx a a c *Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng công thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x)). 2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân. GV : Phạm Đỗ Hải
  20. PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRÒN XOAY. Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng y • Hình phaúng giôùi haïn bôûi : haø soá = f (x) lieâ tuï treâ [a;b] m y n c n b  Dieän tích : S =  ∫ | f (x) | .dx b truï hoaøh y = 0; x = a; x = b c n a Chuù yù : neáu thieáu caän a, b giaûi pt : f(x) = 0 a x haø soá = f (y) lieâ tuï treâ [a;b] m x n c n b • Hình phaúng giôùi haïn bôûi : truïc hoaøh x = 0;y = a; y = b n Dieän tích : S =  ∫ | f (y) | .dy  a • Hình phaúng giôùi haïn bôûi : y y=f(x  haø soá = f (x) lieâ tuï treâ [a;b] m y n c n  b  haø soá = g(x) lieâ tuï treâ [a;b] m y n c n Dieän tích : S =  ∫ | f (x) − g(x) | .dx y=g( x = a; x = b a  Chuù yù : 1) Neáu thieáu caän a, b giaûi pt : f(x) = g(x)  a b x 2) Nếu bài toán qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thông qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình. • Hình phaúng giôùi haïn bôûi :  haø soá = f (y) lieâ tuï treâ [a;b] m x n c n  b  haø soá = g(y) lieâ tuï treâ [a;b] Dieän m x n c n tích : S =  ∫ | f (y) − g(y) | .dy  y = a;y = b a  Bài toán 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :  haø soá = f (x) lieâ tuï treâ [a;b] m y n c n b 2  truï hoaøh y = 0; x = a; x = b c n quay quanh truïc Ox vaø f(x) ≥ 0 treân [a;b] thì  V =  π ∫ f (x)   .dx  a * Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :  haø soá = g(y) lieâ tuï treâ [a;b] m x n c n  truï hoaøh x = 0;y = a; y = b c n quay quanh truïc Oy vaø g(y) ≥ 0 treân [a;b] thì  V =   b 2 π ∫ g(y)  .dy   a * Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :  haø soá = f (x); y = g(x) lieâ tuï treâ [a;b] m y n c n b 2 2  x = a; x = b quay quanh truïc Ox thì  V =  π ∫ f (x)   − g(x) .dx    a * Theå tích hình troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :  haø soá = f (y); x = g(y) lieâ tuï treâ [a;b] m x n c n b 2 2  y = a; y = b quay quanh truïc Oy thì  V =  π ∫ f (y)   − g(y) .dy    a PHầN 6: Số PHứC Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,… Cho hai số phức a+bi và c+di. 1) a+bi = c+di  a = c và b = d. 2) môđun số phức z = a + bi = a 2 + b 2 3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a − bi. * z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) − c+di) = (a− ( c)+(b− d)i. 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i GV : Phạm Đỗ Hải
Đồng bộ tài khoản