Các dạng bài tập phương trình lượng giác

Chia sẻ: duongthao112009

Tài liệu ôn thi đại học môn toán. Các dạng cơ bản của phương trình lượng giác và các ví dụ thiết thực và bài tập.

Nội dung Text: Các dạng bài tập phương trình lượng giác

 

  1. BT Phương trình Lượng Giác Các dạng bài tập lượng giác Dạng 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng giác Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t ≤ 1 Giải phương trình ……….theo t Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lượng giác cơ bản Giải phương trình: 2cos2x- 4cosx=1 1/  2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx  sinx ≥ 0 1-5sinx+2cosx=0 3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/   cos x ≥ 0 5/ Cho 3sin x-3cos x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2). 3 2 1 Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx= ) 3 3 4 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ -2 = 0 b/ +tanx=7 cot x cos 2 x c* / sin6x+cos4x=cos2x 5π 7π 8/sin( 2 x + )-3cos( x − )=1+2sinx 9/ sin 2 x − 2sin x + 2 = 2sin x − 1 2 2 sin 2 2 x + 4 cos 4 2 x − 1 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/ =0 2sin x cos x 13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x+3cosx+2=0 4sin 2 2 x + 6sin 4 x − 9 − 3cos 2 x 15/ =0 16/ 2cosx- sin x =1 cos x Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c Cách 1: asinx+bcosx=c  b  a b Cách : 2 a sin x + cos x  = c Đặt cosx= 2 ; sinx=  a  a + b2 a 2 + b2 b Đặ t = tan α ⇒ a [ sin x + cos x.tan α ] = c ⇒ a + b sin( x + α ) = c 2 2 a c ⇔ sin( x + α ) = cos α a x 2t 1− t2 Cách 3: Đặt t = tan ta có sin x = ;cos x = ⇒ (b + c)t 2 − 2at − b + c = 0 2 1+ t 2 1+ t 2 Đăc biệt : π π 1. sin x + 3 cos x = 2sin( x + ) = 2 cos( x − ) 3 6 π π 2. sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) = 2 cos( x m ) 4 4 π π 3. sin x − 3 cos x = 2sin( x − ) = −2 cos( x + ) 3 6 Điều kiện Pt có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 Giải phương trỡnh 1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0 1 6 2/ a : 3 sin x + cos x = b: 4sin x + 3cos x + =6 cos x 4sin x + 3cos x + 1 1 Tạ Tuấn Anh
  2. BT Phương trình Lượng Giác 1 c: 3 sin x + cos x = 3 + 3 sin x + cos x + 1 2π 6π 3/ cos 7 x − 3 sin 7 x + 2 = 0 *tìm nghiệm x ∈ ( ; ) 5 7 1 + cos x + cos 2 x + cos 3x 2 4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ = (3 − 3 sin x) 2 cos 2 x + cos x − 1 3 cos x − 2sin x.cos x 6/ = 3 2 cos 2 x + sin x − 1 Dạng 3 Phương trỡnh đẳng cấp đối với sinx và cosx Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0 Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx ≠ 0 .Chia 2 vế cho cos2x ta được: atan2x+btanx +c=d(tan2x+1) Cách2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0 Xét cos3x=0 và cosx ≠ 0 Chia 2 vế cho cos2x ta được Pt bậc 3 đối với tanx Giải phương trỡnh 1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4 c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0 2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 π x = + kπ 4 + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔ (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 2 2 3/ tanx sin x-2sin x=3(cos2x+sinxcosx) 4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 3 6/ 2 cos x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x- π /4)= 2 sinx Dạng 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx * a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t ≤ 2 t 2 −1 ⇒ at + b =c ⇔ bt2+2at-2c-b=0 2 * a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t ≤ 2 1− t2 ⇒ at + b =c ⇔ bt2 -2at+2c-b=0 2 Giải phương trỡnh 1 1 1 1/ a/1+tanx=2sinx + b/ sin x+cosx= - cos x tan x cot x 3 3 2/ sin x+cos x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x 4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2 6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx 2 Tạ Tuấn Anh
  3. BT Phương trình Lượng Giác 3 8/1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 1 1 10 10/ sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 11/ cosx+ +sinx+ = cos x sin x 3 12/ sinxcosx+ sin x + cos x =1 Dang 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc Công thức hạ bậc 2 Công thức hạ bậc 3 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 3cos x + cos 3 x 3sin x − sin 3 x cos2x= ; sin2x= cos3x= ; sin3x= 2 2 4 4 Giải phương trỡnh 1/ sin x+sin23x=cos22x+cos24x 2 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 2 2 2 3/sin x+ sin 3x-3 cos 2x=0 π 5x 9x 4/ cos3x+ sin7x=2sin2( + )-2cos2 4 2 2 5/ sin 4 x+ sin 3x= cos 2x+ cos x với 2 2 2 2 x ∈ (0; π ) π 6/sin24x-cos26x=sin( 10,5π + 10x ) với x ∈ (0; ) 7/ cos4x-5sin4x=1 2 8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin x cos x =0 π kπ π kπ  12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 x =  24 + 2 ; 8 +   2  13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x π x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2( − )-7/2 với x − 1 <3 4 2 15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0 π 16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+ )=cos3x 3 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x sin 5 x 19/ =1 5sin x 20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 2 22/ 3cos4x-2 cos 3x=1 Dang 6 : Phương trình LG giải bằng các hằng đẳng thức * a3 ± b3=(a ± b)(a2 mab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4 * a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6 ± b6=( a2 ± b2)( a4 ma 2b2+b4) Giải phương trỡnh x x 1/ sin4 +cos4 =1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 2 2 sin 4 x + cos 4 x 1 3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/ = (tan x + cot x ) vô nghiệm sin 2 x 2 13 7 π π 5/cos6x-sin6x= cos22x 6/sin4x+cos4x= cot( x + ) cot( − x) 8 8 3 6 7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx 9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x 3 Tạ Tuấn Anh
  4. BT Phương trình Lượng Giác 1 x x 11/ cos8x+sin8x= 12/ (sinx+3)sin4 -(sinx+3) sin2 +1=0 8 2 2 Dang 7 : Phương trình LG biến đổi về tích bằng 0 1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin x+2cosx-2+sin2 x=0 3 3 5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 2 sin 3x sin 5 x 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ = 3 5 1 5 9/ 2cos2x-8cosx+7= 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cos2x cos x 4 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 1 1 14/ 2sin3x- =2cos3x+ 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 sin x cos x 1 16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- )=0 cos x 1 − cos 2 x 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x= sin 2 2 x 1 20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 sin 2x 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx π 1 1 2 24/ 2 2 sin( x + )= + 25/ 2tanx+cotx= 3 + 4 sin x cos x sin 2x 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 Dang 8 : Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x 2t 1− t2 2t sin2x=2sinxcosx sinx = ; cosx= tanx= 1+ t2 1+ t2 1− t2 2 tan x tan2x= 1 − tan 2 x Giải phương trỡnh 1 1/ sin3xcosx= + cos3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 4 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x 3 10/a* tan2x+sin2x= cotx b* (1+sinx)2= cosx 2 Dạng 9 : Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng Giải phương trỡnh 1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 sin 3 x − sin x 3/ = sin 2 x + cos 2 x tìm x ∈ ( 0; 2π ) 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 1 − cos 2 x 3 ( cos 2 x + cot 2 x ) π  π  5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ = 4sin  + x  cos  − x  cot 2 x − cos 2 x  4   4  7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x 4 Tạ Tuấn Anh
  5. BT Phương trình Lượng Giác Dang 10 : Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B Giải phương trỡnh 3π x 1 π 3 x x =  3π + k 2π ; 4π + k 2π ; 14π + k 2π  π π π π 1/ sin( − )= sin( + ) 5 15 15  2/ sin( 3 x −  )=sin2x sin( x + ) x = 4 + k 2 10 2 2 10 2 4 4 3π x 3/(cos4x/3 – cos2x): 1 − tan 2 x =0 x = k 3π 4/ cosx-2sin( − )=3 x = k 4π 2 2 7π  π kπ  )=sin(4x+3 π ) x = ± 6 + kπ ; 2   π π  5/ cos( 2 x −   6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx x = ± 3 + k 2π ; ± 4 + k 2π    2 2 π 1 1 7/2cot2x+ +5tanx+5cotx+4=0 x=− + kπ 8/ cos2x+ 2 =cosx+ x = kπ 4 cos 2 x cos x cos x 1 1 π π 7π  1 + sin 2 x 1 + tan x x = { kπ ; α + kπ } , tan α = 2 9/sinx- cos2x+ +2 2 =5 x =  2 + k 2π ; − 6 + k 2π ; 6 + k 2π  11/ +2 =3 sin x sin x   1 − sin 2 x 1 − tan x Dang 11 : Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp Giải phương trỡnh 1/ 3 + 4 6 − (16 3 − 8 2) cos x = 4 cos x − 3 x=± π 4 + k 2π π 2/cos  4 (   ) 3 x − 9 x 2 − 16 x − 80  =1 tìm n0 x ∈ Z x = { −21; −3} π π 3/ 5cos x − cos 2 x +2sinx=0 x = − 6 + k 2π 4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x=± 3 + kπ 2 ( sin x + tan x ) 2π π 5/ − 2 cos x = 2 x = ± 3 + k 2π 6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x x= 4 + k 2π tan x − sin x kπ π k  7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x x= 4 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x x =  3 π + k 2π    5 −1 9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x = kπ 10/ sin x + sin x = 1 − sin 2 x − cos x x = kπ ;sin x = 2 π π 11/cos2  4 ( )    4  sin x + 2 cos 2 x  -1=tan2  x + tan 2 x   π x = − + k 2π 4 x π  x π   x 2π   3x π   5π 5π 5π  12/ 2 cos  −  − 6 sin  −  = 2sin  −  − 2 sin  +  x = −  12 + k 5π ; − 3 + k 5π ; 4 + k 5π    5 12   5 12  5 3   5 6 Dang 12 : Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm Giải phương trỡnh π 1/ cos3x+ 2 − cos 2 3x =2(1+sin22x) x = kπ 2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x x= 4 + kπ 3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x ∈ ( 0; π )  2π  4/ 8cos4xcos22x+ 1 − cos 3x +1=0 x = ±  3 + k 2π   x2 6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k ∈ Z* để hệ có nghiệm sin x 5/ π = cos x x= 0 7/ 1- =cosx 2 8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x= π 2 + kπ 9/ ( 1 2 ) 1 − cos x + 1 + cos x cos 2 x = sin 4 x x=± π 4 + k 2π 5 Tạ Tuấn Anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản