Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

Chia sẻ: yes_man_nd94

Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thường xuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽ xét hai dạng bài tập sau:

Nội dung Text: Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thường
xuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàm
số. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bài
tập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽ
xét hai dạng bài tập sau:

Dạng 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực
trị tại .

Cách giải.

Bước 1 (ĐK cần). Giả sử hàm số đạt cực trị tại , tìm
được .

Bước 2 (ĐK đủ). Với từng giá trị m tìm được, thử lại
xem có đúng là điểm cực trị theo yêu cầu không.

Chú ý.

1) Có thể dùng Qui tắc 1 hoặc 2 để kiểm tra lại đk đủ
ở bước 2.

2) Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp Qui tắc
2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực
tiểu tại khi và chỉ khi . là lời giải sai. Chẳng
hạn, hàm đạt cực tiểu tại , nhưng . (Trong kỳ thi TN
THPT vừa qua có rất nhiều bạn mắc sai lầm này!).

Ví dụ 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
.

Lời giải.

TXĐ:

xác định với mọi

ĐK cần: HS đạt cực đại tại

ĐK đủ: Với HS đạt cực tiểu tại loại

Với HS đạt cực đại tại .
KL: .

Ví dụ 2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại .

Lời giải.

TXĐ:

xác định với mọi

ĐK cần: Hàm số đạt cực đại tại

ĐK đủ: Với



Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu
tại . Do đó không là giá trị cần tìm

Với



Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại

Kết luận:

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị
và thỏa mãn một vài điều kiện.

Cơ sở lý thuyết:

1) Cực trị hàm bậc 3: .

Hàm số có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi có 2
nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là
nghiệm của phương trình .

2) Cực trị hàm bậc 4: .

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi có 3 nghiệm phân
biệt.

Nếu viết được với là tam thức bậc 2. Khi đó hàm số
có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi hoặc .
3) Cực trị của hàm phân thức:

HS có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi có 2
nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ các điểm cực trị là
nghiệm phương trình .

Chú ý: Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là cực
đại, điểm nào là cực tiểu thì cần lập BBT để xác định
điểm cực trị.

Với bài toán có vai trò của điểm cực đại, cực tiểu
như nhau thì ta thường dùng Định lý Viet

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .

Lời giải.

TXĐ:

, xác định với mọi

Đặt

Hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn khi và chỉ khi có
hai nghiệm thỏa mãn . Thay vào PT thì điều này
tương đương với phương trình

có hai nghiệm thỏa mãn . Tương đương với



Kết luận:

Ví dụ 4. Cho hàm số

để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.
Tìm

Lời giải.

TXĐ:

, xác định với mọi
Hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn khi và chỉ
khi có nghiệm thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
hoặc

Đặt

Thế vào PT ta có

TH1:

TH2: . Thay vào PT suy ra . Khi đó . Do đó không
phải giá trị cần tìm.

Kết luận:

Nhận xét:

1) Lời giải Ví dụ 3, Ví dụ 4 đều đưa bài toán về dạng
so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một
số thực khác . Với loại bài toán này, ta thường đặt
ẩn phụ để đưa về bài toán cơ bản đã học ở lớp 10 là
so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0. Cụ
thể, cho tam thức bậc hai . Khi đó:

có hai nghiệm
+)

có hai nghiệm
+)

có hai nghiệm
+)

2) Trong Ví dụ 4, cần chú ý xét trường hợp . Nếu
không cẩn thận, các bạn rất có thể quên mất trường
hợp này.

3) Cũng liên quan đến Áp dụng định lý Viet, bài toán
có thể yêu cầu tính toán liên quan đến các biểu thức
đối xứng giữa hai nghiệm của một tam thức bậc 2. Một
cơ sở lý thuyết để giải loại bài tập này là mọi biểu
thức đối xứng đối với hai nghiệm của tam thức đều có
thể biểu diễn theo hai biểu thức đối xứng cơ bản là .
Để hiểu rõ hơn vấn đề này, chúng ta làm một số ví dụ
sau.

Ví dụ 5. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .
Lời giải.

TXĐ:

, xác định với mọi

Hàm số đạt cực trị tại hoặc .

Theo Định lí Viet, ta có

Do đó

hoặc

Kết luận: hoặc

Ví dụ 6. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại, cực
tiểu tại . Tìm GTLN của biểu thức

.

Lời giải.

TXĐ:



Hàm số đạt cực trị tại .

Khi đó, theo Định lý Viet, ta có

.

Bài toán trở thành tìm GTLN của trên

Trên , ta có

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Kết luận: và

Bài tâp.

Bài 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
thỏa mãn .
Bài 2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản