Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

Chia sẻ: yes_man_nd94

Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thường xuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽ xét hai dạng bài tập sau:

Nội dung Text: Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

 

  1. Các dạng bài toán về cực trị của hàm số Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thường xuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽ xét hai dạng bài tập sau: Dạng 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị tại . Cách giải. Bước 1 (ĐK cần). Giả sử hàm số đạt cực trị tại , tìm được . Bước 2 (ĐK đủ). Với từng giá trị m tìm được, thử lại xem có đúng là điểm cực trị theo yêu cầu không. Chú ý. 1) Có thể dùng Qui tắc 1 hoặc 2 để kiểm tra lại đk đủ ở bước 2. 2) Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp Qui tắc 2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực tiểu tại khi và chỉ khi . là lời giải sai. Chẳng hạn, hàm đạt cực tiểu tại , nhưng . (Trong kỳ thi TN THPT vừa qua có rất nhiều bạn mắc sai lầm này!). Ví dụ 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại . Lời giải. TXĐ: xác định với mọi ĐK cần: HS đạt cực đại tại ĐK đủ: Với HS đạt cực tiểu tại loại Với HS đạt cực đại tại .
  2. KL: . Ví dụ 2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại . Lời giải. TXĐ: xác định với mọi ĐK cần: Hàm số đạt cực đại tại ĐK đủ: Với Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại . Do đó không là giá trị cần tìm Với Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại Kết luận: Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện. Cơ sở lý thuyết: 1) Cực trị hàm bậc 3: . Hàm số có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình . 2) Cực trị hàm bậc 4: . Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi có 3 nghiệm phân biệt. Nếu viết được với là tam thức bậc 2. Khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi hoặc .
  3. 3) Cực trị của hàm phân thức: HS có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ các điểm cực trị là nghiệm phương trình . Chú ý: Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là cực đại, điểm nào là cực tiểu thì cần lập BBT để xác định điểm cực trị. Với bài toán có vai trò của điểm cực đại, cực tiểu như nhau thì ta thường dùng Định lý Viet Ví dụ 3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn . Lời giải. TXĐ: , xác định với mọi Đặt Hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn khi và chỉ khi có hai nghiệm thỏa mãn . Thay vào PT thì điều này tương đương với phương trình có hai nghiệm thỏa mãn . Tương đương với Kết luận: Ví dụ 4. Cho hàm số để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1. Tìm Lời giải. TXĐ: , xác định với mọi
  4. Hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn khi và chỉ khi có nghiệm thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: hoặc Đặt Thế vào PT ta có TH1: TH2: . Thay vào PT suy ra . Khi đó . Do đó không phải giá trị cần tìm. Kết luận: Nhận xét: 1) Lời giải Ví dụ 3, Ví dụ 4 đều đưa bài toán về dạng so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực khác . Với loại bài toán này, ta thường đặt ẩn phụ để đưa về bài toán cơ bản đã học ở lớp 10 là so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0. Cụ thể, cho tam thức bậc hai . Khi đó: có hai nghiệm +) có hai nghiệm +) có hai nghiệm +) 2) Trong Ví dụ 4, cần chú ý xét trường hợp . Nếu không cẩn thận, các bạn rất có thể quên mất trường hợp này. 3) Cũng liên quan đến Áp dụng định lý Viet, bài toán có thể yêu cầu tính toán liên quan đến các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm của một tam thức bậc 2. Một cơ sở lý thuyết để giải loại bài tập này là mọi biểu thức đối xứng đối với hai nghiệm của tam thức đều có thể biểu diễn theo hai biểu thức đối xứng cơ bản là . Để hiểu rõ hơn vấn đề này, chúng ta làm một số ví dụ sau. Ví dụ 5. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .
  5. Lời giải. TXĐ: , xác định với mọi Hàm số đạt cực trị tại hoặc . Theo Định lí Viet, ta có Do đó hoặc Kết luận: hoặc Ví dụ 6. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại . Tìm GTLN của biểu thức . Lời giải. TXĐ: Hàm số đạt cực trị tại . Khi đó, theo Định lý Viet, ta có . Bài toán trở thành tìm GTLN của trên Trên , ta có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Kết luận: và Bài tâp. Bài 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .
  6. Bài 2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thỏa mãn .
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản