Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52

Chia sẻ: Lam Quang Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

2
1.327
lượt xem
176
download

Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tổng hợp bộ đề thi tham khảo môn giải tích 2

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52

  1. C¸c §Ò thi m«n Gi¶i tÝch 2 khãa 52 §Ò sè 1 C©u 1 Hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc x2 + 2y 2 + 3z 2 + xy − z − 9 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂ 2z ∂ 2z (M) vµ (M) t¹i M(1, −2, 1). ∂x2 ∂y 2 C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f (x, y) = 2x3 − 4y 3 − 6xy 2 − 21y 2 + 9x2 − 18xy − 24y. C©u 3 Gäi L lµ giao cña mÆt trô x2 + y 2 = 2x vµ mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 2z, M lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã vµ mÆt ph¼ng xOy. a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai yz dx + zx dy + xy dz trªn L, h-íng cñaL ng-îc chiÒu kim ®ång hå L nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng. b) TÝnh thÓ tÝch cña M. c) TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 2z n»m trong S h×nh trô x2 + y 2 ≤ 2x, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi. C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) ey dx − (xey − 2y)dy = 0. b) y + 4y = sin 3x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 0, y = 0. x=0 x=0 §Ò sè 2 C©u 1 Hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc 2x2 + y 2 + 2z 2 + xy − 3z − 13 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm ∂z ∂ 2z riªng (M) vµ (M) t¹i M(1, 2, −1). ∂y ∂x∂y C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f (x, y) = 4x3 − 2y 3 + 6x2 y + 21x2 − 9y 2 + 18xy + 24x. C©u 3 Gäi L lµ giao cña mÆt nãn z = x2 + y 2 vµ mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 3z, M lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã. a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai yz dx + zx dy + xy dz trªn L, h-íng cñaL ng-îc chiÒu kim ®ång hå L nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng. b) TÝnh thÓ tÝch cña M. c) TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + 2 dxdz − 2 dxdy, víi S lµ phÇn mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 3z n»m trªn S mÆt nãn z = x2 + y 2, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi. C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x − y 2)dx + 2xy dy = 0. b) y + y = 4 sin x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 1, y = 0. x=0 x=0
  2. §Ò sè 3  2  1 − cos x x2 + y 2 nÕu y = 0 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = y2  0 nÕu y = 0 a) Hµm f cã liªn tôc t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? ∂f ∂f b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) vµ (0, 0). ∂x ∂y c) Hµm f cã kh¶ vi t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? x3 C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm f = x2 + − xy 2 + y 2 trªn h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 1. 3 x dy − y dx C©u 3 TÝnh tÝch ph©n víi C lµ ®-êng trßn x2 + (y − 2)2 = 9 theo h-íng ng-îc chiÒu kim C x2 + y 2 ®ång hå. 2 2 C©u 4 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z = e3−x −y vµ mÆt ph¼ng z = 1. a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n mÆt (y 2 − yez )dydz + y + cos z 2 dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt cong S 3−x2 −y 2 z=e n»m trªn mÆt ph¼ng z = 1, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (1 + x2)y − y − 1 = 0. b) y + 2y − 3y = ex . §Ò sè 4   x2 x2 + y 2 · sin nÕu y = 0 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = y2  0 nÕu y = 0 a) Hµm f cã liªn tôc t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? ∂f ∂f b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) vµ (0, 0). ∂x ∂y c) Hµm f cã kh¶ vi t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? y3 C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm u = x2 + y 2 + − yx2 − 1 trªn h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 1. 3 x dy − y dx C©u 3 TÝnh tÝch ph©n víi C lµ ®-êng trßn (x − 1)2 + y 2 = 4 theo h-íng ng-îc chiÒu kim C x2 + y 2 ®ång hå. 2 2 C©u 4 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z = e2−x −y vµ mÆt ph¼ng z = 1. a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n mÆt sin(y 2 + yez )dydz + y − ln(1 + z 2) dxdz + dxdy, víi S lµ phÇn mÆt cong S 2 2 z = e2−x −y n»m trªn mÆt ph¼ng z = 1, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x2 + 1)y + 2y = 1. b) y − y − 2y = e−x .
  3. §Ò sè 5 C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y) = (2x − y, xy) vµ ®iÓm M(1, 2). a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y) kh¶ vi t¹i M(1, 2). b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f (M), biÕt f = u ◦ u. C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 2 + z 2 víi ®iÒu kiÖn x − y + 2z = 6. C©u 3 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x ≥ 0, y ≥ 0, z √ 0) giíi h¹n bëi √ ≥ c¸c mÆt z = 0, x = y, x = z, y = 1. KÝ hiÖu L lµ cung thuéc giao cña mÆt trô x = z vµ mÆt ph¼ng x = y nèi ®iÓm O(0, 0, 0) víi ®iÓm A(1, 1, 1). a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai xy dx + 2z dy + y dz. L C©u 4 TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng x + y + z = 3 n»m trong S h×nh cÇu x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng theo vÐc t¬ ph¸p n(1, 1, 1) cña mÆt ph¼ng. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (y 2 + 3x2 )dx + 2xy dy = 0. b) y + 2y + y = 1 + x. §Ò sè 6 C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y) = (2xy, x + y) vµ ®iÓm M(1, 1). a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y) kh¶ vi t¹i M(1, 1). b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f (M), biÕt f = u ◦ u. C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 2 + z 2 víi ®iÒu kiÖn x − 2y + z − 6 = 0. C©u 3 Gäi V lµ miÒn kh«ng√ h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x ≥ 0, y ≥ 0, z √ 0) giíi h¹n bëi gian ≥ c¸c mÆt z = 0, x = y, x = z, y = 2. KÝ hiÖu L lµ cung thuéc giao cña mÆt trô x = z vµ mÆt ph¼ng x = y nèi ®iÓm O(0, 0, 0) víi ®iÓm A(2, 2, 4). a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai xy dx + z dy + y dz. L C©u 4 TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz − dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng x + y + z = 3 n»m trong S h×nh cÇu x2 + y 2 + z 2 ≤ 7, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng theo vÐc t¬ ph¸p n(1, 1, 1) cña mÆt ph¼ng. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (2y − x)dx + x dy = 0. b) y − 2y + 2y = 2x.
  4. §Ò sè 7 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = 3 (x − 1)3 + (y − 1)3 ∂f ∂f a) Chøng minh hµm f liªn tôc t¹i ®iÓm (1, 1) vµ tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (1, 1), (1, 1). ∂x ∂y b) Hµm f cã kh¶ vi t¹i (1, 1) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y. C©u 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt z = x2y 2, z = 0, xy = 1, xy = 2, y 2 = x, y 2 = 2x. C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (x2 + y 2)dx + (x2 − y 2)dy víi L lµ cung y = 1 − |x − 1|, x ∈ [0, 2] ®Þnh h-íng L theo chiÒu t¨ng cña x. C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt y dydz + z dxdz + 2x dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(0, 1, 1), B(3, 2, 2), C(2, 1, −1). C©u 6 a) T×m hµm kh¶ vi ϕ(x) ®Ó (2x − ye−x)dx + ϕ(x)dy = 0 lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn. Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi ϕ(x) t×m ®-îc. b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + 4y = cos 2x víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 0, y = 2. x=0 x=0 §Ò sè8 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = 3 (x + 1)3 + y 3 ∂f ∂f a) Chøng minh hµm f liªn tôc t¹i ®iÓm (−1, 0) vµ tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (−1, 0), (−1, 0). ∂x ∂y b) Hµm f cã kh¶ vi t¹i (−1, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = 3x2 y + 4y 3 − 6x − 15y. C©u 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt z = x2 + y 2, z = 0, xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x vµ trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x > 0, y > 0). C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2)dy víi L lµ cung y = 1 − |x + 1|, x ∈ [−2, 0] ®Þnh h-íng L theo chiÒu t¨ng cña x. C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz − y dxdz + z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(1, 1, −1), B(2, 2, 1), C(2, 4, 3). C©u 6 a) T×m hµm kh¶ vi ϕ(x) ®Ó ϕ(x) cos2 y dx + (2y − x2 sin 2y)dy = 0 lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn. Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi ϕ(x) t×m ®-îc. b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + y = 4x cos x víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 1, y = 0. x=0 x=0
  5. §Ò sè 9 ∂u ∂u C©u 1 Cho hµm sè u(x, y) = 4 (x + 1)4 + y 4 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) ∀(x, y) ∈ R2. ∂x ∂y Hµm u cã kh¶ vi t¹i (−1, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = 2x + y − 2z víi ®iÒu kiÖn x2 + y 2 + z 2 = 62 . dxdy C©u 3 TÝnh tÝch ph©n kÐp víi D lµ miÒn ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y = 2x, y = 3x xy D x2 + 2y 2 = 1, x2 + 2y 2 = 4 (x > 0). C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (3x2 y 2 − 2y)dx + (2x3 y − 2x)dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−1, 4) víi L ®iÓm B(2, 3). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt 3x dydz − y dxdz − z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a) víi (a > 0). C©u 6 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau y a) y = . x + y3 x2 + x + 1 b) (x2 − 1)y + 4xy + 2y = 6x, biÕt y1 = x vµ y2 = lµ 2 nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh. x+1 §Ò sè 10 ∂u ∂u C©u 1 Cho hµm sè u(x, y) = 4 x4 + (y − 1)4 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) ∀(x, y) ∈ R2. ∂x ∂y Hµm u cã kh¶ vi t¹i (0, 1) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x + 2y − 2z víi ®iÒu kiÖn x2 + y 2 + z 2 = 62 . dxdy x x C©u 3 TÝnh tÝch ph©n kÐp víi D lµ miÒn ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y = , y = xy 2 3 D 2x2 + y 2 = 1, 2x2 + y 2 = 4 (x > 0). C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (6x2 y 2 − 3y 3 )dx + (4x3 y − 9xy 2)dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−2, 3) L víi ®iÓm B(1, 2). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz + 2y dxdz − z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a) víi (a > 0). C©u 6 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x + 2y 3 )y = y. 1 x+2 x b) xy + 2y − xy = ex , biÕt y1 = ex vµ y2 = e lµ 2 nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh. 2 2x
  6. §Ò sè 11 ∂f ∂f C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = (x + y) x2 − xy + y 2 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) víi ∂x ∂y mäi (x, y) ∈ R2 . Hµm f cã kh¶ vi t¹i (0, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 3 − z 2 + 6xy + 2z. C©u 3 TÝnh diÖn tÝch miÒn D h÷u h¹n trong mÆt ph¼ng xOy, biÕt D giíi h¹n bëi c¸c ®-êng x2 + 1 − y = 0, x2 − 2(y − 1) = 0, x − 2(y − 1)2 = 0, x − 3(y − 1)2 = 0. C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (3x2 y 2 − 2y 3)dx + (2x3 y − 6xy 2 )dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(1, 2) víi L ®iÓm B(−2, 3). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz + y dxdz + z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt täa ®é c¸c ®Ønh A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 1). C©u 6 Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y − 3y = ex + cos x tháa m·n ®iÒu kiÖn y(0) = 0, y (x) = 0. §Ò sè 12 ∂f ∂f C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = (x − y) x2 + xy + y 2 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) víi ∂x ∂y mäi (x, y) ∈ R2 . Hµm f cã kh¶ vi t¹i (0, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 − y 3 − z 2 − 6xy + 2z. C©u 3 TÝnh diÖn tÝch miÒn D h÷u h¹n trong mÆt ph¼ng xOy, biÕt D giíi h¹n bëi c¸c ®-êng x2 + 1 − y = 0, x2 + 2(1 − y) = 0, 2(y − 1)2 + x = 0, 3(y − 1)2 + x = 0. C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (3x2 y 2 − 3y)dx + (2x3 y − 3x)dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−1, 2) víi L ®iÓm B(2, 3). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz − y dxdz + 2z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt täa ®é c¸c ®Ønh A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2). C©u 6 Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + 2y = ex + sin x tháa m·n ®iÒu kiÖn y(0) = 0, y (x) = 0.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản