Các định luật cơ bản của cơ học môi trường liên tục_chương 4

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
256
lượt xem
80
download

Các định luật cơ bản của cơ học môi trường liên tục_chương 4

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định luật bảo toàn năng lượng - Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: 1. Định luật bảo toàn năng lượng tổng quát: Tốc độ biến thiên của động năng và của nội năng thì bằng công suất cơ học của ngoại lực sinh ra cộng với toàn bộ năng lượng khác nhận được hay mất đi trong đơn vị thời gian đó. Các dạng năng lượng nhận được hay mất đi bao gồm: nhiệt năng, hóa năng hay năng lượng điện từ...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các định luật cơ bản của cơ học môi trường liên tục_chương 4

  1. Cơ học môi trường liên tục 58 GVC Trần minh Thuận Chương 4. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC I. Đạo hàm của thể tích: Tại t = 0 thể tích của phân tố ban đầu x3, X3 (1) là hình khối chữ nhật: dxi ∧ ∧ ∧ t=0 t=t dVo = dX1 e1 × dX 2 e 2 ⋅ dX 3 e 3 dxi(2) = dX 1 ⋅ dX 2 ⋅ dX 3 dX1 Tại t = t: phân tố này bị biến dạng ) (3) e3 dxi trong khi chuyển động. Trở thành dX3 ) phân tố với các cạnh là: x2 , X2 dX2 ) e2  (1 )  ∂x i  e1  dx i =   ∂X dX1    1 x1 , X1  (2 )  ∂x i   dx i =  ∂X dX 2    2  (3 )  ∂x i  dx i =  ∂X dX 3     3 → → → Và thể tích là: dV = d x (1 ) × d x ( 2 ) ⋅ d x ( 3 ) =∈ijk dx i(1)dx i(2 )dx i(3 ) ∂x i ∂x j ∂x k dV =∈ijk dX1dX 2 dX 3 = J ⋅ dVo [4.1] ∂X1 ∂X 2 ∂X 3 ∂x i Trong đó J= là định thức Jacoby. [4.2] ∂X p d Ta có: (dV ) = d (JdVo ) = dJ dVo [4.3] dt dt dt d ( Vì dVo độc lập với t, nên (dVo ) = 0 ) dt = J = (∈ijk x i ,1 x j ,2 x k ,3 ) dJ • d Mặt khác: dt dt •  • • •  Suy ra: J =∈ijk  x i ,1 x j ,2 x k ,3 + x i ,1 x j ,2 x k ,3 + x i ,1 x j ,2 x k ,3    • d  ∂x  ∂  dx i  ∂v i Mặt khác x i ,1 =  i  = ∂X  ∂X  dt  = ∂X dt  1  1   1 ∂v i ∂x i = = v i ,i x i ,1 ∂xi ∂X1 ( ) • Suy ra: J =∈ijk v i ,i x i ,1 x j ,2 x k ,3 + v j , j x i ,1 x j ,2 x k ,3 + v k ,k x i ,1 x j ,2 x k ,3 Để chọn các số hoán vị có giá trị ≠ 0, i ≠ j ≠ k chọn i = 1, j = 2, k = 3, khai triển ta được: • J = (v1,1 J + v 2 ,2 J + v 3 ,3 J ) = v s ,s J • → Vậy: J = J ⋅ div v [4.4] d (dV ) = J ⋅ div v dVo = ∂v i dV → [4.5] dt ∂x i II. Nguyên lý bảo toàn khối lượng - Phương trình liên tục:
  2. Cơ học môi trường liên tục 59 GVC Trần minh Thuận 1. Sự bảo toàn khối lượng: Một đặc trưng quan trọng trong môi trường vật chất liên tục là khối lượng. Đại lượng khối lượng chiếm 1 thể tích không gian V tại thời điểm t cho bởi tích phân: →  m = ∫ ρ x , t dV [4.6] V   →  Trong đó ρ x , t  là hàm liên tục được gọi là khối lượng riêng. Định luật bảo toàn khối   lượng phát biểu rằng khối lượng của 1 phần bất kỳ trong môi trường liên tục là hằng số: dm d →  Tức là: dt = dt ∫V   ρ x , t dV = 0 [4.7] 2. Phương trình liên tục: →  dρ  x , t  d →  d  →     dV + ρ →, t  d (dV ) Ta có: dt ∫V ρ x , t dV = ∫V dt ρ x , t dV  = ∫V       dt x    dt mà: d (dV ) = ∂v i dV dt ∂x i →   →   dρ  x , t   dρ x , t     dV + ρ →, t  ∂v i dV =    + + ρ →, t  ∂v i dV ⇒ ∫V dt x    ∂x i ∫V  dt x    ∂x i      Vậy:  →    →  →    dρ  x , t    ∂ρ x , t  ∂ρ x , t   dm  →  ∂v   + ρ →, t  ∂v i 0= = ∫    + ρ x , t  i dV =    + v ∫V  ∂t x  dV V   i dt dt   ∂x i ∂x i   ∂x i         Phương trình trên thỏa cho thể tích V bất kỳ, do đó dấu tích phân biến mất, ta có: →  dρ x , t    + ρ →, t v = 0 dρ  →  x  i ,i hay ký hiệu: + ρ ∇ ⋅ v  = 0 [4.8] dt   dt   được gọi là Phương trình liên tục. Hay dưới dạng khác: ∂ρ ∂ρ  → + (ρv i ),i = 0 hay ký hiệu: + ∇ ⋅ρv  = 0 ∂t ∂t   Đối với môi trường liên tục không nén được, khối lượng riêng của mỗi phần tử là hằng số dρ với thời gian nên: =0 dt → Suy ra: v i ,i = 0 hay div v = 0 [4.9] 3. Dạng vi phân Lagrange của phương trình liên tục: Ta có sự bảo toàn khối lượng: →  →  ∫Vo   ρo  X ,0 dVo = ∫ ρ x , t dV V   Thay vế phải:
  3. Cơ học môi trường liên tục 60 GVC Trần minh Thuận →   → →   ∫Vo   ρ o  X ,0 dVo = ∫ ρ x  X , t ,t J ⋅ dVo Vo     →  = ∫Vo   ρ X ,t J ⋅ dVo Suy ra: ρ o = ρ ⋅ J độc lập với thời gian t [4.10] d Vậy: (ρ ⋅ J ) =0 [4.11] dt III. Định lý động lượng tuyến tính - Phương trình chuyển động: ∧ ( n) Tại thời điểm t gọi bi là lực khối tác dụng trên 1 đơn vị khối lượng và ti (lực mặt) vectơ ứng suất. du i vi = : trường vận tốc. dt Động lượng tuyến tính tổng cộng của khối lượng chiếm thể tích V là: Pi (t ) = ∫ ρv i dV V Theo định luật thứ hai của Newton, định lý động lượng tuyến tính phát biểu. Biến thiên động lượng trên đơn vị thời gian bằng với hợp lực tác dụng lên 1 khối lượng bất kỳ đó trong môi trường liên tục: ∧ d ∫ t i dS + ∫ ρbi dV = ∫ ρv i dV (n) [4.12] s V dt V ∧ →( n ) → d → Ký hiệu: ∫t s dS + ∫ ρb dV = V dt ∫ V ρv dV Phương trình chuyển động: từ định lý động lượng ta viết: d ∫σs ji n j dS + ∫ ρbi dV = V dt ∫V ρv i JdVo d  d ( ρJ ) dv i  ∫V σ ji , j dV + ∫V ρbi dV = dt ∫V ρv i JdVo = ∫V v i dt + ρJ dt dVo   dv i • Suy ra: ∫ ( σ ji , j +ρbi )dV = ∫ ρ JdVo = ∫ ρv i dV V Vo dt V • Vậy: ∫V ( σ ji , j +ρbi − ρv i )dV = 0 Đối với thể tích V bất kỳ ta có: • σ ji , j + ρbi − ρv i =0 : Phương trình chuyển động. [4.13] • Trường hợp cân bằng tĩnh học, số hạng gia tốc vi triệt tiêu, ta có Phương trình: σ ji , j + ρbi =0 : Phương trình cân bằng. [4.14] IV. Định lý mô men động lượng: Mô men động lượng bao hàm ý nghĩa đơn giản là mô men của động lượng đối với 1 điểm nhất định. Ta có phương trình mô men động lượng. ∧ d ∫ ∈ijk x j t k n )dS + ∫ ∈ijk x j ρbk dV = ∫∈ x j ρv k dV ( ijk [4.15] S V dt V ∧ → →( n ) → → d → → Ký hiệu: ∫S ( x× t )dS + ∫ ( x× ρb )dV = V dt ∫ V ( x× ρ v )dV
  4. Cơ học môi trường liên tục 61 GVC Trần minh Thuận V. Định luật bảo toàn năng lượng - Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: 1. Định luật bảo toàn năng lượng tổng quát: Tốc độ biến thiên của động năng và của nội năng thì bằng công suất cơ học của ngoại lực sinh ra cộng với toàn bộ năng lượng khác nhận được hay mất đi trong đơn vị thời gian đó. Các dạng năng lượng nhận được hay mất đi bao gồm: nhiệt năng, hóa năng hay năng lượng điện từ. 2. Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: Nếu các dạng năng lượng trong môi trường liên tục chỉ gồm: cơ năng và nhiệt năng ta có định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng định luật thứ nhất của nhiệt động lực học. Nhân phương trình chuyển động cho vận tốc vi ta được: • ∫ V ρv i v i dV = ∫ v i σ ji , j dV + ∫ ρv i bi dV V V [4.16] • d vivi d v2 dK nhưng: ∫V ρv i v i dV = dt ∫ V ρ 2 dV = dt ∫ V ρ 2 dV = dt chính là đạo hàm của động năng. và: ( ) v i σ ji , j = v i σ ji , j − σ ji v i , j bởi vì: v i , j = Dij + Vij và σ jiVij = 0 {σ V ji ij = −σ jiV ji + Dij σ ji dV = ∫ (v i σ ji ), j dV + ∫ ρv i bi dV dK dt ∫V Suy ra: [4.17] V V dK ∧ Hay: + ∫ Dij σ ji dV = ∫ v i t i( n )dS + ∫ ρv i bi dV [4.18] dt V S V dU Nếu đặt: ∫V Dij σ ji dV = dt : là biến thiên nội năng cơ học trên đơn vị thời gian dU d • hay: dt = dt ∫V ρudV = ∫V ρ u dV trong đó u là nội năng riêng (là nội năng trên đơn vị khối lượng). dW Và đặt vế trái của phương trình là công suất , ta được: dt dK dU d W + = [4.19] dt dt dt Nếu gọi Ci là nhiệt lượng tỏa ra trên 1 đơn vị diện tích của 1 đơn vị thời gian và Z là hằng số phát nhiệt (bức xa nhiệt) đơn vị khối lượng trên đơn vị thời gian thì tốc độ biến thiên tổng nhiệt (tốc độ cung cấp nhiệt của nguồn) trong môi trường liên tục cho bởi: dQ = − ∫ Ci ni dS + ∫ ρZdV [4.20] dt S V Vậy định luật biến thiên cơ nhiệt năng của môi trường được cho bởi: dK dU d W d Q + = + [4.21] dt dt dt dt hoøåc viết theo dạng tích phân của phương trình năng lượng là d v iv i ∧ dt ∫ V ρ 2 dV + ∫ ρu dV = ∫ t i( n )v i dS + ∫ ρv i bi dV + ∫ ρzdV − ∫ c i ni dS V & S V V S Chuyển các tích phân mặt thành tích phân thể tích và cho V là thể tích bất kỳ, phương trình năng lượng sẽ có dạng: v2  1  2 + u  = ρ (σ ij v i ), j + bi v i − ρ c i ,i + z d 1   [4.22] dt   Lấy phương trình chuyển động [4.13] nhân vô hưứng với v l ta được:
  5. Cơ học môi trường liên tục 62 GVC Trần minh Thuận 1 d v2  1 v i v i = v i σ ij , j + v i bi & ⇒   2  = σ ij , j v i + bi v i  ρ [4.23] ρ dt   Trừ [4.22] cho [4.23] ta được: du 1 1 1 1 = σ ij v i , j − c i ,i + z = σ ij Dij − c i ,i + z [4.24] dt ρ ρ ρ ρ dq 1 du 1 dq đặt = − c i ,i + z ta được : = σ ij Dij + [4.25] dt ρ dt ρ dt đây gọi là Phương trình năng lượng địa phương. Phương trình này diễn tả tốc độ biến thiên nội năng bằng với tổng của công suất do ứng suất và nhiệt lượng thêm vào môi trường. VI. Các Phương trình trạng thái - Entropy - Định luật thứ hai của nhiệt động lực học: Đặc trưng hoàn chỉnh của 1 hệ thống nhiệt động lực học là trạng thái của hệ thống đó. Trạng thái nầy được xác định bởi các đại lượng động học và nhiệt động lực học gọi là các tham số trạng thái. Sự biến đổi theo thời gian của các tham số trạng thái xác định 1 quá trình nhiệt động lực học. Quan hệ hàm số giữa các tham số trạng thái sẽ hình thành các phương trình trạng thái. Bất kỳ 1 tham số trạng thái nào được biểu diển bằng 1 hàm đơn trị xác định trên 1 tập hợp các tham số trạng thái khác được gọi là hàm trạng thái. Định luật thứ nhất chưa giải quyết vấn đề về quá trình chuyển hóa năng lượng là thuận nghịch hay bất thuận nghịch. Trên thực tế các quá trình xảy ra đều bất thuận nghịch, nhưng quá trình thuận nghịch là 1 tiên đề hữu ích trong nhiều tình huống mà sự tiêu hao năng lượng có thể giả sử không đáng kể. Định luật thứ hai nhiệt động lực học: Phát biểu dựa trên quá trình bất thuận nghịch và sự sản sinh ra Entropy trong quá trình này. Gọi T là nhiệt độ tuyệt đối và S là Entropy là 2 hàm trạng thái phân biệt (T luôn luôn dương(.Gọi dQ là vi phân nhiệt năng trong 1 quá trình nào đó, thì Entropy sẽ được viết dưới dạng biểu thức tích phân: dQ S=∫ [4.26] T Tổng Entropy của hệ thì bằng tổng của Entropy từng phần. hay: S = ρsdV ∫ V [4.27] trong đó s được gọi là Entropy riêng hay mật độ Entropy. Entropy của hệ thống có thể thay đổi bởi sự tương tác với môi trường bên ngoài hay bởi sự thay đổi xảy ra bên trong hệ thống đó, do đó: dS = dS (e ) + dS (i ) [4.28] trong đó: dS: độ tăng Entropy. dS(e): độ tăng Entropy do tương tác với bên ngoài. dS(i): độ tăng Entropy do tương tác bên trong. dS( ) > 0: quá trình bất thuận nghịch. i với (i) dS = 0: quá trình thuận nghịch. Nếu trong quá trình thuận nghịch, dq(R) chỉ nhiệt lượng cung cấp trên đơn vị khối lượng của hệ thống thì độ tăng Entropy là: dq (R ) dS (e ) = [4.29] T Bất đẳng thức Klausius Duhem: Định luật thứ hai của nhiệt động lực học được phát biểu như sau: Tốc độ thay đổi Entropy toàn phần của 1 môi trường tồn tại trong thể tích V không bao giờ nhỏ hơn tổng nguồn Entropy đưa vào qua biên giới của thể tích V và Entropy sinh ra ở bên trong thể tích V của nguồn bên ngoài. Định luật đó được thể hiện qua bất đẳng thức của Klausius Duhem như sau:
  6. Cơ học môi trường liên tục 63 GVC Trần minh Thuận d Ci ni dt ∫V ρsdV ≥ ∫V ρedV − ∫ S T dS [4.30] trong đó e: là công suất địa phương của nguồn Entropy bên ngoài tương ứng với 1 đơn vị khối lượng. Trong công thức trên dấu = ứng với quá trình thuận nghịch và dấu > ứng với quá trình bất thuận nghịch. Vì công thức đúng cho mọi thể tích nên: ds 1 ∂  Ci  ⇒ −e+ ⋅   ≥0 [4.31] dt ρ ∂x i  T  Vế trái của bất đẳng thức trên được gọi là tốc độ sinh ra nội entropy trong 1 đơn vị khối lượng ở tại địa phương. Trong cơ học của MTLT thường ten xơ ứng suất được phân làm hai thành phần: σ ij = σ ijC ) + σ ijD ) ( ( (C ) (D ) phần σ ij gọi là ứng suất bảo toàn và σ ij là ứng suất hao tán. Như vậy phương trình năng lượng được viết dưới dạng: du 1 (C ) 1 ( dq = σ ij .Dij + σ ijD ).Dij + [4.32] dt ρ ρ dt 1 (D ) trong đó σ ij Dij biểu thị tốc độ hao tán năng lượng trong một đơn vị khối lượng chịu ứng ρ dq suất. Tỷ số biểu thị tốc độ cung cấp của nguồn nhiệt trong một đơn vị khối lượng cho dt môi trường. Nếu quá trình xảy ra là thuận nghịch thì năng lượng hao tán bằng không. Khi đó dq dq (R ) du 1 (C ) ds = , từ đó : = σ ij .Dij + T [4.33] dt dt dt ρ dt Trong quá trình không thuận nghịch tốc độ sinh ra entropy có thể tính theo: ds 1 dq 1 (D ) = + σ ij .Dij [4.34] dt T dt ρT Số vô hướng σ ijD ) .Dij được gọi là hàm hao tán. Trong quá trình không thuận nghịch đoạn ( ds nhiệt (dq=0), phù hợp với định luật thứ hai nhiệt động lực > 0 khi đó từ phương trình dt hàm hao tán dương vì ρT luôn luôn dương.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản