Các phép tính số phức và modul của số phức (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: 4everloveyou

Tham khảo tài liệu 'các phép tính số phức và modul của số phức (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Các phép tính số phức và modul của số phức (Bài tập và hướng dẫn giải)

 

  1. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 21 tháng 03 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 21-03 Các phép tính về Số phức và Modul của số phức. Bài 1: Tìm số phức z nếu: ( 2 + 3i ) z = z − 1 Bài 2: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M thõa mãn một trong các điều kiện sau: a / z −1+ i = 2 b/ 2+ z > z−2 c / 1 ≤ z +1− i ≤ 2 Bài 3: Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn một trong các điều kiện sau. a / z + z+3 = 4 ( ) 2 b / z2 − z =4 Bài 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thõa điều kiện sau: z =3 z −i Bài 5: Tìm tất cả những điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho: z +i là số thực. z +i Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: i 5 + i 7 + i 9 + ... + i 2009 P= 4 6 7 (i 2 = −1) i + i + i ... + i 2010 ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
  2. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Trịnh Hào Quang Page 2 of 11
  3. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z=a+bi (a, b thực) và coi i như 1 tham số trong bài toán thực sau khi đưa về đơn giản ta lại giải bài toán phức. Đây được coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài. Sau này vào Đại học các bạn sẽ làm quen với một môn đi sâu vào nghiên cứu số phức như đạo hàm, nguyên hàm như số thực…là môn hàm số phức. Chúc các bạn học tốt! BTVN NGÀY 21-03 Các phép tính về Số phức và Modul của số phức. Bài 1: Tìm số phức z nếu: ( 2 + 3i ) z = z − 1 Giải: Ta có: −1 3i − 1 1 3 z (1 + 3i ) = −1 ⇔ z = = =− + i 1 + 3i 10 10 10 Bài 2: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M thõa mãn một trong các điều kiện sau: a / z −1+ i = 2 b/ 2+ z > z −2 c / 1 ≤ z +1− i ≤ 2 Giải: a/ Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(1;-1) là điểm biểu diễn số phức z= 1-i . Theo giả thiết ta có: MA=2. Vậy tập hợp những điểm M chính là đường tròn tâm A(1;-1) bán kính là R=2. Page 3 of 11
  4. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 b/ Ta có: 2+z =z - (-2) Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(-2;0) là điểm biểu diễn số phức z= -2 , B(2;0) là điểm biểu diễn số phức z= 2. Dựa vào giải thiết ta có: MA>MB => M(nằm bên phải) đường trung trực (x=0) của A và B. Hay x>0. c/ Ta có: z + 1 − i = z − (−1 + i ) Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức z= -1+i. Ta có: 1 ≤ MA ≤ 2 . Vậy M thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi 2 đường tròn tâm A(-1;1) bán kính lầ n lượt là 1 và 2. Bài 3: Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn một trong các điều kiện sau. a / z+ z+3 = 4 ( ) 2 b / z2 − z =4 Giải: Đặt: z=a+bi a/ Ta có:  1 a = 2 4 z + z = 2a + 3 ⇔ z + z + 3 = 2a + 3 = 4 ⇔  a = − 7   2 Vậy M có thể nằm trên đường thẳng x=1/2 hoặc x=7/2 b/ Ta có:  M ∈ xy = 1 ( ) 2 z2 − z = 4abi = 4 ab = 4 ⇔   M ∈ xy = −1 Page 4 of 11
  5. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Bài 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thõa điều kiện sau: z =3 z −i Giải: Gọi z =a+bi ta có: a + bi = 3 a + (b − 1)i ⇔ a 2 + b 2 = 9 ( a 2 + b 2 − 2b + 1) ⇔ 8a 2 + 8b 2 − 18b + 9 = 0 2 9 81 9 9 9 9 3 ⇔ 8a + 8(b − b + ) − = 0 ⇔ 8a 2 + 8(b − ) 2 = ⇔ a 2 + (b − ) 2 =   2 2 4 64 8 8 8 8 8 Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là đường tròn tâm I(0;9/8) bán kính R=3/8. Bài 5: Tìm tất cả những điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho: z +i là số thực. z +i Giải: Gọi z =a+bi ta có: a + (b + 1)i [ a + (b + 1)i ] [ a − (1 − b)i ]  a + (1 − b )  + [ 2abi ] 2 2   ab = 0 = = ∈¡ ⇔  a + (1 − b)i a + (b − 1) a + (b − 1) a + (1 − b)i ≠ 0 2 2 2 2 a = 0  ⇔  b = 0  (a; b) ≠ (0;1)  Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là tất cả những điểm nằm trên 2 trục tọa độ bỏ đi điểm (0;1) Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: i 5 + i 7 + i 9 + ... + i 2009 P= 4 6 7 (i 2 = −1) i + i + i ... + i 2010 Giải: Page 5 of 11
  6. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 1− ( i ) 2 1003 i + i + i + ... + i 5 7 9 2009 = i ( 1 + i + i + ... + i 5 2 4 2004 ) = i. =i 1 − i2 i 4 + i 5 + i 6 + ... + i 2010 = ( 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6 ... + i 2010 ) − ( 1 + i 2 + i 3 ) 1 − i 2011 = − (1 − 1 − i ) = i + 1 1− i i 1 1 ⇒P= = + i i +1 2 2 BTVN NGÀY 23-03 Dạng lượng giác của số phức. Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó: Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau: 1 a/ − 2z ϕ b/ z 2 − z (sin ≠ 0) 2 3ϕ c/ z 2 + z (cos ≠ 0) 2 Giải: Số phức z có thể viết dưới dạng: z = cosϕ + i sin ϕ 1 1 1 1 a/ − =− = − [ cosϕ + i sin ϕ ] =  −cos ( ϕ ) − i sin ( ϕ )  = 2z 2 ( cosϕ − i sin ϕ ) 2 2  1 cos ( ϕ + π ) + i sin ( ϕ + π )  ⇒ acgument = ϕ + π 2  Page 6 of 11
  7. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ b / z 2 − z = ( cosϕ + i sin ϕ ) − ( cosϕ + i sin ϕ ) = −2sin 2 sin + 2cos sin i 2 2 2 2 ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ  + Nê'u: sin > 0 ⇒ z 2 − z = 2sin  − sin + icos  2 2 2 2  ϕ   π 3ϕ   π 3ϕ   π 3ϕ = 2sin  sin  +  + icos  +   ⇒ Acgument = + 2 2 2  2 2   2 2 ϕ ϕ  3ϕ 3ϕ  + Nê'u: sin < 0 ⇒ z 2 − z = −2sin  sin − icos  2 2 2 2  ϕ   3ϕ π   3ϕ π   3ϕ π = −2sin sin  −  + icos  −  ⇒ Acgument = − 2  2 2   2 2  2 2 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ z 2 + z = ( cosϕ + i sin ϕ ) + ( cosϕ − i sin ϕ ) = 2cos 2 c/ cos + 2cos sin i 2 2 2 2 3ϕ 3ϕ  ϕ ϕ  + Nê'u: cos > 0 ⇒ z 2 + z = 2cos  cos + i sin  2 2  2 2  ϕ ⇒ Acgument = 2 3ϕ 3ϕ  ϕ  ϕ   + Nê'u: cos < 0 ⇒ z 2 + z = −2cos  cos  + π  + i sin  + π   2 2  2  2   ϕ ⇒ Acgument = +π 2 Bài 2: Tính: ( ) 5 ( 1− i) 10 3 +i z= ( −1 − i 3 ) 10 Giải: Page 7 of 11
  8. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 10 5 7π 7π  5  π π ( 2)  10  cos + i sin  .2  cos + i sin  z=  4 4   6 6 10  4π 4π  210  cos + i sin   3 3   35π 35π  5π 5π  210  cos + i sin  cos + i sin  =  2 2  6 6   40π 40π  210  cos + i sin   3 3   55π 55π   cos + i sin  =  3 3  = cos5π + i sin 5π = −1  40π 40π   cos + i sin   3 3  Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: z − 1 = z − i 3 và i z có một acgument là π/6. Giải:  π π  π π π iz = ricosϕ + rsinϕ = r  cos( − ϕ ) + i sin( − ϕ )  ⇒ − ϕ = ⇒ ϕ =  2 2  2 6 3 z = r (cosϕ + isinϕ ) 2 2 1 3 r r 3  r  3r = r( + i )= + i ⇒ iz − 1 =  − 1 + = r2 − r +1 2 2 2 2 2  4 2 r2 r  z − i 3 = + 3  − 1 = r 2 − 3r + 3 4 2  π π ⇒ iz − 1 = z − i 3 ⇔ r = 1 ⇒ z = cos + i sin 3 3 Page 8 of 11
  9. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 25-03 Giải phương trình trên tập số phức. Bài 1: Giải phương trình: z 2 − (cosϕ + i sin ϕ ) z + icosϕ sin ϕ = 0 Giải: ∆ = (cosϕ + i sin ϕ ) 2 − 4icosϕ sin ϕ = cos2ϕ + i sin 2ϕ − 2i sin 2ϕ = cos2ϕ − i sin 2ϕ = cos ( -2ϕ ) +i sin ( -2ϕ ) = ( cos ( -ϕ ) +i sin ( -ϕ ) ) 2  1  z = (cosϕ + i sin ϕ ) − ( cos ( -ϕ ) +i sin ( -ϕ ) )  = i sin ϕ ⇒ 2   z = 1 (cosϕ + i sin ϕ ) + ( cos ( -ϕ ) +i sin ( -ϕ ) )  = cosϕ   2  Bài 2: Giải phương trình: (z + 3z + 6 ) + 2 z ( z 2 + 3 z + 6 ) − 3z 2 = 0(*) 2 2 Giải: Coi : z 2 + 3z + 6 = u u = z ⇒ (*) ⇔ u 2 + 2 zu − 3z 2 = 0 ⇔ (u − z )(u + 3 z ) = 0 ⇔  u = −3z   z1 = −1 − i 5   z + 3z + 6 = z 2  z + 2z + 6 = 0 2   z2 = −1 + i  5 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔  z + 3z + 6 = −3 z  z + 6z + 6 = 0   z3 = −3 − 3    z4 = −3 +  3 Bài 3: Giải phương trình: z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0 Giải: Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có: Page 9 of 11
  10. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0 ⇔ ( z − 1)( z − 3)( z 2 + 4) = 0 z = 1 ⇔ z = 3   z = ±2i  Bài 4: Giải hệ phương trình: z − w = i  iz − w = 1 Giải: Coi i như 1 tham số ta có: 1 −1 D= = −1 + i i −1  D i −1  z = D = −1  x Dz = = −i + 1 ⇒  1 −1  w = D = −1 − i   Dy 1 i Dw = =2 i 1 Bài 5: Giải hệ phương trình:  z − w − zw = 8  2  z + w = −1 2 Giải:  z − w − zw = 8  u = z − w u − v = 8 u − 8 = v ⇔ Coi :  ⇒ 2 ⇔ 2 ( z − w ) + 2 zw = −1 2   v = zw u + 2v = −1 u + 2u − 15 = 0 Page 10 of 11
  11. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  u = −5  ±5 + 3i 3 m + 3i 3  5  ⇒ X 2 + 5 X + 13 = 0 ⇔ ( z; w) =   ;    v = −13  2 2  ⇔  u = 3 ⇒ X 2 − 3 X − 5 = 0 ⇔ ( z; w) =  3 ± 14 ; 3 m 14   v = −5   2     2   ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 11 of 11
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản