Các phép toán đại số trên ma trận

Chia sẻ: thanhnhuk10

Phép cộng ma trận Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m x n A và B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử tương ứng

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Các phép toán đại số trên ma trận

Các phép toán đại số trên ma trận


Phép cộng ma trận
Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m x n A và
B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử tương ứng (nghiã là
). Chẳng hạn:




Phép nhân ma trận với một số
Cho ma trận A và số c, tích cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A với số
). Chẳng hạn:
c (nghĩa là




Phép nhân ma trận
Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số
dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích
thước n x p, thì ma trận tích AB có kích thước m xp xác định bởi:


với mọi cặp (i,j).
Chẳng hạn:




Phép nhân ma trận có các tính chất sau:

(AB)C = A(BC) với mọi ma trận cấp k xm A, ma trận m x n B và ma trận

n xp C ("kết hợp").
(A + B)C = AC + BC với mọi ma trận cấp m xn các ma trận A và B và

ma trận cấp n x k C ("phân phối bên phải").
C(A + B) = CA + CB ("phân phối bên trái").





Page 1 of 8
Rất chú ý rằng phếp nhân ma trận không giao hoán.

Định nghĩa
Cho số c và ma trận kích thước




Tích vô hướng của c với ma trận A là ma trận cùng kích thước




Ví dụ


Một số tính chất
1.Phân phối với phép cộng ma trận:
Với các ma trận A,B cùng kích thước và mọi số c ta có
c.(A + B) = c.A + c.B
2.Phân phối với phép cộng các số
Với mọi ma trận A và mọi số b,c ta có
(b + c).A = b.A + c.A
3.Nhân với số không:
Mọi ma trận nhân với số không cho ma trận không cùng cấp.
4.Nhân với đơn vị
Mọi ma trận nhân với đơn vị cho kết quả là chính nó.
5.Nhân với ma trận không:
Mọi số nhân với ma trận không cho kết quả là chính ma trận không đó.
6.Kết hợp với phép nhân các số
Với mọi ma trận A và mọi số b,c ta có
b.(c.A) = (b.c).A




Page 2 of 8
7.Tập các ma trận cùng kích thước tạo thành một không gian vectơ với
phép cộng ma trận và phép nhân vô hướng


Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính
Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có
số phương trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma
trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0.
Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:




có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:




định thức của nó là:
det(A)=ad-bc .
Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất


.
Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn
có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm
không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng không.

Định thức của ma trận vuông cấp n
Cho ma trận vuông cấp n:




Định nghĩa định thức nhờ truy hồi
Định thức của ma trận A được ký hiệu det(A) hay |A| có thể được định nghĩa bằng hệ
thức truy hồi như sau (thường trình bày trong các tài liệu có tính chất ứng dung):



Page 3 of 8
1. Với n = 1, thì det(A)= a11
2. Với n > 1




(gọi là khai triển định thức theo hàng thứ nhất).
ở đó ai,j là phần tử ở hàng i, và cột j, Ci,j là phần phụ đại số của phần
tử ai,j trong ma trận A, được tính bằng công thức :
, với Mi,j là định thức của ma trận con suy ra
từ ma trận gốc A khi xóa đi hàng thứ i, và cột thứ j .

Thực ra có thể khai triển theo dòng hoặc cột bất kỳ.(Công thức

Laplace)
Khai triển theo dòng thứ i:





.

Khai triển theo cột thứ j:





Định nghĩa định thức
Định nghĩa của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán
vị.
Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số
hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi
tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và
chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n
ta có:(Công thức Leibniz)




Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có:




Page 4 of 8
=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Các tính chất và phép biến đổi trên các hàng và các cột của
định thức
Cho ma trận A vuông cấp n:

1. Định thức của A bằng không nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. A có tất cả các phần tử trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0 ;
2. A có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ;
3. Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (hoặc
các cột) khác.
2. Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép biến đổi sau:
1. Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) khác nhau thì định thức đổi dấu;
2. Nếu nhân một hằng số a vào một hàng (hoặc một cột) của A thì định thức của
ma trận cuối sẽ là a.det(A) ;
3. Nếu nhân một số a ≠0 vào một hàng (hoặc một cột) của A, và cộng hàng (hoặc
cột) này vào một hàng khác (hoặc một cột) thì giá trị của định thức sẽ không
đổi .

Định thức và các phép toán trên ma trận
với mọi ma trận khả tích n-n A và B.



Từ đó và
với mọi ma trận n-n A và mọi số r.

Ma trận A trên một trường là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khác 0,

trong trường hợp này ta có:




Ma trận vuông A và ma trận chuyển vị AT của nó có định thức bằng nhau:





Ma trận đơn vị



Page 5 of 8
Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các

phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.




Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.



Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó
Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A' cùng

cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A,
kí hiệu là A−1.

Các tính chất
1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là
phần tử khả nghịch trong vành V.
2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của
nó khác 0.
3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB) − 1 = B − 1A − 1.
5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép
nhân ma trận.

Tìm ma trận nghịch đảo
Định thức con và phần bù đại số
Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A

bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử
aij, ký hiệu là Mij.
Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, kí hiệu

là Aij.

Ví dụ: Cho ma trận




Page 6 of 8
.
Khi đó



Tương tự A12=0; A13=0; A21=-3 ;A22 ;A23=0;A31=-1 ;A32=-1;A33=2;
Công thức tính ma trận nghịch đảo
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính
bằng công thức:




Ví dụ
Trong ví dụ trên, ta có




=
Các bước tìm ma trận nghịch đảo
Bước1: Tính định thức của ma trận A



Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo
A−1
Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo A − 1,
chuyển sang bước 2



Bước2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.

Bước3: Lập ma trận liên hợp của A được định nghĩa như sau




A * = (A'ij)nm
với A' = (A'ij) là phần bù đại số của phần tử ở
hàng i, cột j trong ma trận A'.




Bước4: Tính ma trận




Page 7 of 8
Ví dụ



. Tính A − 1, nếu có.
Cho




Nguồn: http:\\vi.wikipedia.org




Page 8 of 8
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản