Các phương pháp tính truyền nhiệt - P1

Chia sẻ: Nguyen Van Dau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

1
169
lượt xem
96
download

Các phương pháp tính truyền nhiệt - P1

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Truyền nhiệt là một quá trình phức tạp thường xảy ra trong nhiều chủng loại thiết bị của các ngành khác nhau như: thiết bị năng lượng, thiết bị luyện kim, thiết bị hoá chất, thiết bị chế biến thực phẩm.... Do nhu cầu phát triển ngày càng cao của khoa học kỹ thuật, nhiều vấn đề mới được đặt ra trong đó có vấn đề truyền nhiệt, vì vậy môn học này ngày càng gắn bó chặt chẽ với nhiều ngành kỹ thuật và không thể thiếu được....

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp tính truyền nhiệt - P1

  1. §¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh PGS, TS. NguyÔn Bèn C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh truyÒn nhiÖt - §µ N½ng - 2001 -
  2. 2
  3. Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt 1.1. §Þnh luËt Fourier 1.1.1. ThiÕt lËp TÝnh nhiÖt l−îng δQ dÉn qua mÆt z dS ë c¸ch 2 líp ph©n tö khÝ cã nhiÖt ®é T1 λ λ T2 T1 > T2 mét ®o¹n b»ng qu·ng ®−êng tù do trung b×nh λ . y * V× T1 vµ T2 sai kh¸c bÐ, nªn coi mËt ®é ph©n tö no vµ vËn tèc trung b×nh x r O ω c¸c ph©n tö trong hai líp nh− nhau. H1. §Ó chøng minh Do ®ã, trong thêi gian dτ, sè ph©n tö ë ®Þnh luËt Fourier T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng: 1 d2 n = no ω dS dτ 6 * L−îng ®éng n¨ng qua dS tõ T1 vµ T2 lµ: 1 i d2E1 = E 1 d2n = no ω dS dτ kT1 6 2 1 i d2E2 = E 2 d2n = no ω dS dτ kT2 6 2 Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, ta ®−îc: 1 ik δ2Q = ( E 1 - E 2)d2n = no ω dSdτ (T1 - T2) 6 2 ⎛ dT ⎞ V× T1 - T2 = - ⎜ ⎟. 2 λ nªn ⎝ dx ⎠ i dT δ2Q = - no k ϖ λ dS dτ 6 dx i i R 1 µ iR 1 Do no k = no = (no ) ( ) = ρco nªn 6 6 N 3 N 2µ 3 3
  4. 1 dT dT δ2Q = - ( ρco ω λ ) dS dτ = - λ dS dτ 3 dx dx δ2Q ⎛ ∂T ⎞ hay =q=-λ ⎜ ⎟ dSdτ ⎝ ∂x ⎠ * Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT r r hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ q = - λ gradT 1.1.2. Ph¸t biÓu: Vect¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi gradient nhiÖt ®é: r r BiÓu thøc vect¬: q = - λ gradT D¹ng v« h−íng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W] 1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt HÖ sè dÉn nhiÖt lµ hÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier: λ = |q/gradT| [W/mK] Theo chøng minh trªn ta cã: 1 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 8kT ⎞ ⎛ kT ⎞ λ = ρ ω λ cv = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ 2 ⎟ Cv 3 3 ⎝ RT ⎠ ⎜ πm ⎟ ⎝ 2 .πd p ⎠ ⎝ ⎠ 2 cv k 3T = cho thÊy: λ kh«ng phô thuéc p, vµ λ↑ khi T↑ 3 d 2 π3 m hoÆc cv↑ hoÆc ®−êng kÝnh d cïng khèi l−îng ph©n tö m gi¶m. §Þnh luËt Fourier ®óng cho mäi chÊt r¾n, láng, khÝ. 1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt z 1.2.1. §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ρ dV ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét qλ C λ qω ph©n tè dv bªn trong vËt. qω V 1.2.2. ThiÕt lËp y x LuËt c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ V lµ: O H2. CBN cho dV 4
  5. [L−îng nhiÖt ph¸t sinh trong dV] - [Th«ng l−îng nhiÖt qua dV]= [BiÕn thiªn entanpy cña dV] Cho tr−íc (qv, ρ, cp, λ) ∈ dV, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: r ∂t qvdVdτ - div q dVdτ = ρdV.cp dτ ∂τ ∂t q 1 r hay = v - div q , trong ®ã dßng nhiÖt qua dV lµ: ∂τ ρc p ρc p r r r r r q = q λ + q ω = - λ gradt + ρ ω cpt, r r r do ®ã: div q = div (ρcp ω t- λ gradt ), coi (ρ, cp) = const ta cã : r r r div q = ρcp div (t ω ) - div (λ gradt ) r r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λdiv ( gradt )- gradt . gradλ r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λ∇2t - gradt . gradλ VËy ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: ∂t qv r r r λ 2 r r = - tdiv ω - ω . gradt + ∇ t + ( gradt grad λ)/ρcp ∂τ ρc p c pρ ∂t r r ∂t dt dx dt dy dt dz dt do + ω . gradt = + . + . + . = ∂τ ∂τ dx dτ dy dτ dz dτ dτ λ nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt sau khi ®Æt a = , sÏ lµ: ρCp dt qv 1 r r r = a∇ t + ρc + ρc gradt gradt λ) - tdiv ω , víi: 2 dτ p p r r r r gradt . gradλ lµ tÝch v« h−íng cña 2 vect¬ gradt vµ grad λ, ∇2t = ∆t lµ to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, cã d¹ng: ⎧ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎪ 2 + 2 + 2 (trong täatäay®é)vu«ng gãc (xyz)) (trong x, , z ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t ∇2t = ⎨ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 + 2 (trong r , ϕ , z )®é trô (rϕz)) ⎪ ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z (trong täa ⎪ ∂ 2 t 2 ∂t ∂ 2t cos θ ∂t ∂ 2t ⎪ 2 + + 2 2 + 2 + 2 (trong r ,θ , ϕ ) ⎪ ∂r ⎩ r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ∂ϕ 2 (trong täa ®é cÇu (rθϕ)) 1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt r * Víi vËt r¾n, ω = 0, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 5
  6. ∂t q 1 r r = a∇2t + v + gradt . gradλ ∂τ ρc p ρc p ∂t q * VËt r¾n cã λ = const ∀xyz ph−¬ng tr×nh lµ: = a∇2t + v ∂τ ρc p ∂t * VËt r¾n cã λ = const , æn ®Þnh nhiÖt = 0, ph−¬ng tr×nh lµ: ∂τ qv a∇2t + = 0. NÕu kh«ng cã nguån nhiÖt, qv = 0, th× ∇2t = 0. λ 1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) 1.3.1. §Þnh nghÜa: §K§T lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cho tr−íc nh»m x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh. 1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T: Theo néi dung, c¸c §K§T ®−îc ph©n ra 4 lo¹i sau: 1. §iÒu kiÖn h×nh häc: Cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh h×nh d¹ng, kÝch th−íc, vÞ trÝ cña hÖ. 2. §iÒu kiÖn vËt lý: Cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t t¹i ∀M∈ hÖ; tøc cho luËt x¸c ®Þnh (ρ, cp, λ, a...) = f(t, M∈V). 3. §iÒu kiÖn ban ®Çu: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é lóc τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M ∈ hÖ, tøc cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V. 4. §iÒu kiÖn biªn: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm trªn biªn W, ë mäi thêi ®iÓm τ, tøc cho biÕt: t = t(M, τ) hoÆc ∀M (x, y, z) ∈ V r gradt = f(M, τ, t) ∀τ ∈ ∆τ xÐt 1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) T¹i mçi miÒn Wi cña mÆt biªn kÝn W = ∑Wi, tuú theo c¸ch ph©n bè t hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt, ta cã thÓ cho biÕt c¸c lo¹i §KB sau ®©y: 1. §KB lo¹i 1: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë mäi thêi ®iÓm: 6
  7. t = t (M1, τ), ∀M1∈ W1, ∀τ ∂t 2. §KB lo¹i 2: Cho biÕt dßng nhiÖt dÉn qua biªn: q (M2,τ) = -λ , ∂n ∂t −1 tøc cho biÕt = q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ. ∂n λ ∂t Khi = q = 0 tøc biªn W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ ∂n biªn ®èi xøng, lóc nµy t ®¹t cùc trÞ t¹i W2, vµ ®−êng cong t(M) cã tiÕp tuyÕn n»m ngang. 3. §KB lo¹i 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α vµ to¶ nhiÖt ra chÊt láng theo luËt: -λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ. 4. §KB lo¹i 4: Cho biÕt luËt CBN khi biªn W4 tiÕp xóc vËt r¾n kh¸c, cã nhiÖt ®é t4 vµ λ4, t¹i M4 ∈ W4, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cã d¹ng : ∂t (M 4 ) ∂t (M ) -λ = λ4 4 4 vµ t(M4) = t4 (M4) ∂n ∂n 5. §KB lo¹i 5: Cho biÕt luËt c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 di ®éng, t do cã sù chuyÓn pha, trao ®æi chÊt (khèi l−îng thay ®æi) hoÆc ®ang biÕn d¹ng: dx 5 dτ ∂t ' ∂t (M 5 ) dx 5 ∂t ' -λ ∂t -λ -λ = r cρ - λ' (M5), ∂x ∂n ∂n dτ ∂n dx 5 -rcρ dτ xx víi r = nhiÖt chuyÓn pha; dx 5 0 x5 c dτ H3. CBN trªn biªn W5 = vËn tèc biªn W5; ρ: khèi l−îng riªng pha míi. 1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB D¹ng ®−êng cong ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) t¹i l©n cËn biªn W, 7
  8. tuú theo c¸ch cho §KB, sÏ cã c¸c ®Æc ®iÓm h×nh häc sau ®©y: §−êng cong W C¸ch cho §KB ý nghÜa h×nh häc t(M,τ) t w t(M) ®i qua mét ®iÓm cè 1 tw = const Mo ®Þnh Mo ∈W V x t ∂t w q=0 t(M) ®¹t cùc trÞ trªn W c¸ch 2 =0 V ∂n β=0 nhiÖt x W ∂t w β = const C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i = const ∂n V W song song, gãc β = const x W ∂t w C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i t −t R 3 = f w tf λ ∂n λ/α λ W3 qua ®iÓm R( , tf) V α x α W ∂t w λ 4 ∂t ow γ Vo = t(M) liªn tôc, kh«ng kh¶ vi 4 ∂n λ ∂x t¹i W4 vµ γ = const tW = t4W V x ∂t w dx -λ = re ρ 5 W5 di chuyÓn víi tèc ®é ∂n dτ 5 dx 5 δt 'w dx 5 ω= -λ V dτ δn dτ x H4. Minh ho¹ ý nghÜa h×nh häc c¸c §KB 1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt M« h×nh to¸n häc cña mét bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ mét hÖ ph−¬ng 8
  9. tr×nh vi ph©n (t), gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« ∂t' ∂n t w1(M,τ ) −λ' t¶ c¸c §K§T nh− sau: W5 ∂t W1 −λ ∂ n ∂t qv ρ, c, λ,qv rcf dx dτ 2 ∂ w2 = a∇ t + ρ vµ τ q(M, ) -1 ∂x (t) = ∂τ c M W2 c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T. ∂t qv −λ ∂ t ∂τ = a∇ t + ρc 2 ∂n −λ o ∂ to ∂n ∂ w Môc ®Ých chÝnh cña truyÒn ∂t x −λ W4 W3 nhiÖt lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i f] -t [tw 2 α hÖ (t) ®Ó t×m hµm ph©n bè t(x,y,z,τ) tho¶ m·n hÖ (t). H5. M« h×nh 1 bµi to¸n DN 9
  10. Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch 2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm: 2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ý t−ëng cña Fourier lµ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh thµnh mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng, b»ng c¸ch t¸ch biÕn, t×m nghiÖm riªng æn ®Þnh vµ biÕn thiªn h»ng sè. C¸c c¸ch trªn ®−îc sö dông tuú thuéc tÝnh thuÇn nhÊt hay kh«ng thuÇn nhÊt cña ph−¬ng tr×nh dÉn nhiÖt vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. 2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN - §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(t, tx, txx) = 0 ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt khi: nÕu t lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× ct, ∀c =const, còng lµ nghiÖm cña F(t, tx, txx) = 0. - VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - α t(0,τ) lµ TN λ qv −α tτ = a∇2t + , tx (L, τ) = [t(L, τ) - tf] lµ kh«ng TN ρc λ NhËn xÐt: Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng chøa sè h¹ng tù do, nh− qv vµ tf, lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm NÕu c¸c ti,∀i = 1÷n, lµ nghiÖm riªng cña bµi to¸n biªn thuÇn nhÊt n (tøc ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸c §KB thuÇn nhÊt), th× t = ∑ C i t i còng lµ i =1 nghiÖm cña bµi to¸n TN ®ã, ∀Ci = const 2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ - §Þnh nghÜa: PhÐp chuÈn ho¸ mét hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸ch ®æi c¸c biÕn vµ th«ng sè cã thø nguyªn thµnh c¸c biÕn vµ th«ng sè kh«ng thø nguyªn. - Lîi Ých cña phÐp chuÈn ho¸ lµ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vµ c¸ch 10
  11. gi¶i, khiÕn cho nghiÖm cã tÝnh tæng qu¸t, kh«ng phô thuéc c¸c ®¹i l−îng cã thø nguyªn, vµ trong vµi tr−êng hîp, cã thÓ thuÇn nh¸t ho¸ c¸c ®iÒu kiÖn biªn kh«ng thuÇn nhÊt. - VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng víi 2 biªn Wo/W3 cã m« h×nh: ⎧ ∂t ∂2t ⎧ t − tf =a 2 (TN ) (FT) ⎪ ⎪θ = t − t ⎪ ∂τ ∂x ⎪ o f ⎪t ( x,0) = t o (DKD) ⎪ x (t) ⎨t (0, τ) = 0 (TN ) ( Wo ) §æi biÕn ⎨X = ⎪ x δ ⎪ ⎪ −α ⎪ aτ ⎪t x (δ, τ) = [ t (δ, τ) − t f ] (0TN ) ( W3 ) F= 2 ⎩ λ ⎪ δ ⎩ αδ vµ ®Æt B = λ ∂t ∂t ∂θ ∂F a ∂θ th× do = . . = (to - tf) 2 . ∂τ ∂θ ∂F ∂τ δ ∂F ∂t ∂t ∂θ ∂X t o − t f ∂θ = . . = . ∂x ∂θ ∂X ∂x δ ∂X ∂2t ∂ ∂t ∂ t − t ∂θ ∂X t −t ∂ θ 2 = ( )= .( o f . ) = o 2 f ∂x 2 ∂x ∂x ∂X δ ∂X ∂x δ ∂X 2 to − tf −α tx (δ, τ) = θx (1, F) = [t (δ, τ) - tf] cã d¹ng TN lµ δ λ − αδ θx (l, F) = θ [1, F] = Bθ(1,F) λ ∂t a ∂θ ∂2t t o − t f ∂ 2θ = (to- tf) 2 =a =a . cã d¹ng ®¬n gi¶n ∂τ δ ∂F ∂x 2 δ2 ∂X 2 ∂θ ∂ 2θ h¬n lµ = . Khi ®ã bµi to¸n (t) ®−îc chuyÓn ®æi thµnh bµi to¸n ∂F ∂X 2 kh«ng thø nguyªn (θ) t−¬ng ®−¬ng, cã d¹ng chuÈn ho¸ lµ: 11
  12. ⎧ ∂θ ∂ 2θ ⎪ = ⎪ ∂F ∂X 2 ⎪θ ( X ,0) = 1 (θ) ⎨ ⎪θ (0, F ) = 0 (TN ) ⎪ x ⎪θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) (TN ) ⎩ Bµi to¸n (θ) cã hai ®iÒu kiÖn biªn ë d¹ng thuÇn nhÊt. 2.2. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier 2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p Fourier Lµ t×m nghiÖm ë d¹ng t¸ch biÕn, nh− lµ tÝch cña mét hµm cña täa ®é víi mét hµm cña thêi gian. Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt C¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier theo c¸c b−íc: t¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN t×m nghiÖm tæng qu¸t, x¸c ®Þnh c¸c nghiÖm riªng theo c¸c §K§T, hîp nghiÖm. §ã lµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn. 2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3) 1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, to = t(x,0) c¸ch nhiÖt t¹i x = 0, to¶ nhiÖt t¹i x = δ ra m«i tr−êng tf, α. T×m tr−êng t (x, τ) t 2. M« h×nh TH: to ⎧t τ = at xx a ⎪ t ( x ,0 ) = t λ α ⎪ ⎪ o q=0 tf (t) ⎨t x (0, τ) = 0 t(x,τ ) ⎪ ⎪t x (δ, τ) = − α [ t (δ, τ) − t f ] W2 W3 x ⎪ ⎩ λ O δ B»ng c¸ch ®æi biÕn: H6. Bµi to¸n (2.2.2) 12
  13. t − tf x aτ αδ θ= ,X= ,F= 2,B= sÏ thu ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh to − tf δ δ λ (θ) t−¬ng ®−¬ng, ë d¹ng chuÈn ho¸: ⎧θ F = θ xx ⎪θ ( x,0) = 1 ⎪ (θ) ⎨ ⎪θ x (0, F ) = 0 ⎪θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) ⎩ 3. T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F). X" (X) F" (F) Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay = = -k2 X (X ) F(F) (do 2 hµm ®éc lËp), chuyÓn thµnh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng: ⎧X" (X) +k 2 X(X) = 0 → X(X) = c1 sin kX + c 2 cos kX ⎪ ⎨ ⎪F' (F) +k 2 F(F) = 0 → F(F) = e −k F 2 ⎩ NghiÖm tæng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX) e −k F 2 4. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T θx(0,F) = 0 → (kc1cos0 + (-kc2sin0) e −k F = 0 → 2 c1 = 0 vµ θ (X,F) = c2 coskX e −k F 2 θx(1,F) 2 cotgk = (-kc2sin0) e −k F = cos k k -Bθ (1,F)= -Bc2 cosk e −k F → 2 B sin k k π 2π 3π 4π k = cotgk = , ph−¬ng tr×nh nµy cã B O k1 k2 k3 k4 k5 v« sè nghiÖm ki, i = 1 ÷ n. C¸c nghiÖm riªng tho¶ m·n §KB cã H7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k = k −k 2F B d¹ng: θi(X,F) = c2coskiX. e i , ∞ − k 2F nghiÖm hîp lµ θ(X,F) = ∑ c i cos k i Xe i i =1 ∞ - §iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1 → ∑cicoskiX=1 → coski X ∑ c i cos k i X = 1 1 1 sin k i coskiX → ∫ cos k i XdX = = ∫ cos k i X ∑ c i cos k i XdX = 0 ki 0 13
  14. 1 2k i + sin 2k i 4 sin k i ci ∫ cos 2 k i XdX = ci → ci = 2k + sin 2k 0 4k i i i VËy nghiÖm bµi to¸n lµ: ∞ sin k i θ(X,F) = 4 ∑ 2k −k 2F cos(kiX) e i i =1 i + sin 2k i * §å thÞ θ(X,F) vµ t(x, τ) cã d¹ng: θ t F=0 1 F=0 1 to τ=0 2 2 3 3 4 4 5 6 5 τ =∞ R tf F =∞ x δ x O 1 O H8. Ph©n bè θ(X,F) H9. Ph©n bè t(x, τ) 2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh 2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh«ng thuÇn nhÊt cã nghiÖm riªng khi æn ®Þnh, tøc lµ khi tτ = θF = 0 2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ Gåm c¸c b−íc sau: 1. T×m nghiÖm riªng æn ®Þnh θ (x) cña bµi to¸n (θ), øng víi lóc æn ®Þnh, theo ph−¬ng tr×nh θ F = 0 = θxx 2. Thay (v = θ - θ ) vµo bµi to¸n (θ) ®Ó lËp bµi to¸n (v), sÏ ®−îc bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt. 3. T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau ®ã lËp nghiÖm cña bµi to¸n (θ) ®· cho lµ θ = θ + v 2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) 1. Ph¸t biÓu BT: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ 14
  15. t(0, τ) = 2to. T×m t(x, τ) * M« h×nh TH: t ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t W' ⎪ o 1 (t) ⎨ ⎪t (0, τ) = 2t o 2to ⎪t (δ, τ) = t o ⎩ a,λ ⎧ t − to ⎪θ = t to W1 ⎪ o t(x,τ) ⎪ x x ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt ⎨X = ⎪ δ O δ ⎪ aτ ⎪F = δ 2 H10. Bµi to¸n (2.3.3) ⎩ bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau: ⎧θF = θxx ⎪θ(X,0) = 0 ⎪ (θ) ⎨ . Ta sÏ gi¶i bµi to¸n (θ) kh«ng thuÇn nhÊt ⎪ θ(0,F) = 1 ⎪θ(1,F) = 0 (0TN) ⎩ nµy b»ng ph−¬ng ph¸p NRO§ 2. T×m nghiÖm riªng θ cña bµi to¸n æn ®Þnh: ⎧θ = 0 = θxx → θ = c1X + c 2 ⎪ ( θ ) ⎨θ (1) = 0 = c1 + c 2 → θ =1− X ⎪ θ ( 0) = 1 = c ⎩ 2 3. Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = θ(X,F) + X - 1 vµo (θ): bµi to¸n (θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau: ⎧v F = θ F = θ xx = v xx − θxx = v xx ⎪ ⎪v( x,0) = θ(X,0) − θ (X) = X − 1 (v) ⎨ ⎪v(1, F) = θ(1, F) − θ (1) = 0 − 0 = 0 ⎪v(0, F) = θ(0, F) − θ (0) = 1 − 1 = 0 (TN ) ⎩ 4. T×m nghiÖm bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t−¬ng tù nh− bµi to¸n 2.2.2: - T¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vF = vxx cã nghiÖm tæng qu¸t lµ: 15
  16. − k 2F v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx) e −k 2F - Theo §KB: v(0,F) = 0 → c2 e = 0 → c2 = 0 − k 2F → v(X,F) = c1sinkX e −k 2F Theo v(1,F) = 0 ⇒ c1sink e = 0 → sin k = 0 → k = nπ ∞ → v(X,F) = ∑ c n sin(nπX) e ( nπ ) 2F n =1 ∞ - Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - 1 = ∑ c n sin(nπX) → x =1 1 1 ∞ 1 c −2 ∫ (X − 1) sin(nπX)dX = ∫ sin(nπX) ∑ c n sin(nπX)dX → - = n → cn = → 0 0 n =1 nπ 2 nπ 2 sin(nπX) ( nπ )2 F nghiÖm ph−¬ng tr×nh (v) lµ: v(X,F) = - ∑ e . Do ®ã, π n nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F) 2 ∞ sin(nπX) θ(X,F) = (1-X) - ∑ exp (-n2π2F) π n =1 n * Ph©n bè nhiÖt ®é θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: θ t 1 2t o θ = t= 1- 2t o -t x o x/ δ 2 F 2 1 = τ= 0 ∞ 1 to x x O F=0 1 O δ H11. Ph©n bè θ(X,F) H12. Ph©n bè t(x, τ) 2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè 2.4.1. Ph¹m vi sö dông: Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F) ®−îc sö dông khi: - Bµi to¸n (θ) kh«ng tån t¹i nghiÖm riªng æn ®Þnh - hoÆc cã nghiÖm riªng æn ®Þnh θ nh−ng kh«ng t×m ®−îc - Bµi to¸n víi vËt cã nguån nhiÖt trong, hoÆc ®−îc gia nhiÖt b»ng ®iÖn. 16
  17. 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS Gåm c¸c b−íc sau: 1. LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c §KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ). 2. T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K biªn thuÇn nhÊt, sÏ ®−îc c¸c nghiÖm riªng d¹ng Xn(X) = cφn(X), trong ®ã φn(X) = f(n,X) lµ hµm sè riªng, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao: 1 ⎧0 khi m ≠ n ∫ φ n (X)φ m (X)dX = ⎨ 0 ⎩c khi m = n ∞ 3. BiÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ A n ( F)φ n ( X ) n =1 vµ biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F), tøc t×m biÓu thøc x¸c ®Þnh An(F) nhê ®iÒu kiÖn trùc giao cña φn(X): 1 ∞ 1 ∫ θ(X, F)φ m (X)dX = ∑ A n (F) ∫ φ n (X)φ m (X)dX = cAn(F) tøc cã quan 0 n =1 0 1 1 hÖ An(F) = ∫ θ( x , F)φ n (X )dX c 0 d 4. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh th−êng cña An(F) b»ng c¸ch tÝnh An(F), dF t×m nghiÖm An(F) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu. ∞ 5. ViÕt nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ φ n ( X )A n ( F) n =1 2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) 1. Ph¸t biÓu: Cho v¸ch ph¼ng cã t δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = 0 vµ tx (0, t τ) = - o . q = λ to δ δ t (t x = - to ) q=0 T×m t(x, τ) δ tx = 0 t o = t(x,0) a,λ x O δ 17
  18. ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t ⎪ ⎪ o * M« h×nh TH: (t) ⎨ t ⎪ t x (0, τ) = − o δ ⎪ ⎪t x (δ, τ) = 0 ⎩ t − to x aτ chuÈn ho¸ víi θ = , X = , F = 2 , sÏ cã: to δ δ ⎧θ F = θ xx ⎪θ (1, F ) = 0 (TN ) ⎪ x ⎪ (θ) ⎨θ x (0, F ) = δ t x (0,τ ) = −1 (0TN ) ⎪ to ⎪ ⎪θ ( X ,0) = 0 ⎩ 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0TN (θ) b»ng ph−¬ng ph¸p BTHS: 1) LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt tõ (θ): ⎧v F = v xx ⎪v (1, F) = 0 ⎪ (v) ⎨ x (TN) ⎪v x (0, F) = 0 ⎪ v ( X ,0 ) = 0 ⎩ 2) T×m nghiÖm riªng bµi to¸n biªn, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX ⎧v x (0, F) = 0 → X x (0) = 0 = c1 → X ( x ) = c 2 cos kX ⎨ ⎩v x (1, F) = 0 → X x (1) = 0 = −kc 2 sin k → k = nπ Do ®ã cã X(X) = cncos (nπX) vµ hµm sè riªng lµ φn(X) = cos(nπX). ∞ ∞ 3) §Ó θ(X,F) = ∑ A n (F)φ n (X) = ∑ A n (F) cos(nπX) lµ nghiÖm bµi to¸n n =1 n =1 (θ) th× h»ng thêi gian An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn trùc giao cña hµm riªng φn(X)= cos (nπX), b»ng c¸ch nh©n ph−¬ng tr×nh víi cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]: 18
  19. ⎧A o (F), khi n = 0 1 1 ⎪ ∫ θ(X, F) cos(nπX )dX = An(F) ∫ cos (nπX )dX = ⎨ 1 2 0 0 ⎪ 2 A n (F), ∀n ≠ 0 ⎩ Do ®ã, An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo θ(X,F) bëi quan hÖ: ⎧A (F) = 1 θ(X, F)dX ⎪ o ∫ 0 (An) ⎨ 1 ⎪A n (F) = 2 ∫ θ(X, F) cos(nπX)dX, ∀n ≠ 0 ⎩ 0 4. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh d An(F) theo hÖ (An): dF dA o (F) 1 1 - Khi n=0, = ∫ θ F dX = ∫ θ xx dX =θx 10 = θx(1,F) - θx(0,F) = 0 - dF 0 0 (-1) = 1 → Ao(F) = F + c1 1 §iÒu kiÖn ®Çu cho Ao(0) = ∫ θ(X,0)dX = 0 = c1 ⇒ Ao(F) = F 0 dA n (F) 1 1 - khi ∀n ≠ 0, cã: = 2 ∫ θ F cos(nπX)dX = 2 ∫ θ xx cos(nπX)dX , dF 0 0 1 (ph©n ®o¹n tÝch ph©n) = 2 { [θ x cos( nπX )] | + nπ ∫ θ x sin(nπX )dX }= 1 0 0 1 2{1+2π [θ sin(nπX) | - nπ ∫ θ cos(nπX)dX]} 1 0 0 A n (F) = 2{1-n2π2 }→ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cho An(F) lµ: 2 A'n = 2 - n2π2An →A'n +(n2π2)An = 2 cã nghiÖm tæng qu¸t An(F) = 2 1 + c1 e −( nπ )2 F . §iÒu kiÖn ban ®Çu cho An(0) = 2 ∫ θ(X,0) cos(nπX)dX → (nπ) 2 0 2 2 2 2 + c1 = 0 → c1 = - 2 2 , do ®ã: An(F) = 2 2 - 2 2 e −( nπ )2 F (nπ) 2 n π n π n π 5. VËy nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = Ao(F) + ∞ 2 ∞ cos(nπX) 2 ∞ cos(nπX) ∑ A n (F) cos(nπX) , tøc: θ(X,F) = F + ∑ - 2 ∑ . n =1 π 2 n =1 n2 π n =1 n2 19
  20. ∞ 2 cos(nπX) 1 1 exp(-n2π2F) hay, do tæng ∑ = X2 - X + , cã: n =1 πn2 2 2 3 1 1 2 ∞ cos(nπX) θ(X,F) = F + ( X2 - X + ) - ∑ exp(-n2π2F) 2 3 π n =1 2 n 2 * Ph©n bè θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: θ t 1 q=0 q=0 3 3 2 2 1 1 x to τ =0 x F=0 O 1 O 1 δ H14. Ph©n bè θ(X,F) H15. Ph©n bè t(x,τ) Tr−êng nhiÖt ®é trong v¸ch t¨ng v« h¹n, cã d¹ng: aτ 2 ∞ cos( nπx / δ) n 2 π2a 1 2δ 1 δ 3 t(x,τ) = to( 2 x2- x+ ) + to[ 2 - 2 4 δ π ∑ n2 n =1 exp (- 2 τ)] δ 2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu C¸c bµi to¸n nhiÒu chiÒu kh«ng æn ®Þnh cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp, hoÆc ph−¬ng ph¸p quy vÒ nhiÒu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu. 2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp 2.5.1.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp gåm c¸c b−íc: 1. T¸ch riªng biÕn thêi gian t×m hµm thêi gian F(F) 2. LÇn l−ît t¸ch c¸c biÕn to¹ ®é vµ t×m c¸c nghiÖm riªng theo tõng to¹ ®é. 3. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T vµ biÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n ë d¹ng tÝch c¸c nghiÖm thu ®−îc. z 2.5.1.2. VÝ dô: Bµi to¸n trô v« h¹n biªn W1 víi ®iÒu kiÖn ®Çu tæng qu¸t t(ρϕ,0) , = g(ρ,ϕ) * Ph¸t biÓu BT: Cho trô l=∞ cã a, t t 1 (R, ϕ,τ) = t1 vµ §K§ bÊt kú t(ρ,ϕ,0) = t a ϕ R ρ g(ρ,ϕ). T×m tr−êng nhiÖt ®é t(ρ,ϕ,τ). O H16. Bµi to¸n trô tæng qu¸t 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản