Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: pdf | 6 trang

2
1.871
lượt xem
346
download

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x;y) ≥ 0 hoặc G(x;y) ≤ 0 ) ....

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số
Nội dung Text

  1. vÒ mét c¸ch t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc chøa hai biÕn sè §ç B¸ Chñ – Th¸i B×nh tÆng www.mathvn.com Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x;y) ≥ 0 hoặc G(x;y) ≤ 0 ) . Tìm GTLN , GTNN ( nếu có ) của biểu thức P = F(x ; y). Cách giải : Gọi T là miền giá trị của P . Khi đó m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x ; y): ⎧ G ( x; y ) = 0 ⎧ G ( x; y ) ≥ 0 ⎧ G ( x; y ) ≤ 0 ⎨ ( hoặc ⎨ hoặc ⎨ ) ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m Sau đó tìm các giá trị của tham số m để một trong các hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra miền giá trị T của P , rồi suy ra GTLN , GTNN ( nếu có ) của P. Sau đây là các bài toán minh hoạ . Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện : 3 x ( 3 x − 1) + 3 y ( 3 ) y − 1 = 3 xy Tìm GTLN , GTNN của biểu thức F = 3 x + 3 y + 3 xy . Lời giải : Gọi T1 là miền giá trị của F . Ta có m ∈ T1 ⇔ hệ sau có nghiệm: ( ) ⎧ 3 x ( 3 x − 1) + 3 y 3 y − 1 = 3 xy ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 x + 3 y + 3 xy = m ⎧S = 3 x + 3 y ⎪ Đặt : ⎨ . Ta có ∃x, y ⇔ ∃S, P : S 2 ≥ 4 P ⎪ P = 3 xy ⎩ ⎧ S 2 − S − 3P = 0 ⎧ S 2 + 2 S = 3m Hệ trên ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ S+P=m ⎩ P = m−S 4( S 2 − S ) Ta có : S 2 ≥ 4 P ⇔ S 2 ≥ ⇔ S 2 − 4S ≤ 0 ⇔ 0 ≤ S ≤ 4 3 Từ đó hệ PT đầu có nghiệm ⇔ f ( S ) = S 2 + 2 S = 3m có nghiệm 0 ≤ S ≤ 4 . Vì hàm bậc hai f(S) đồng biến trên [ 0;4] nên PT f(S) = 3m có nghiệm 0 ≤ S ≤ 4 ⇔ f (0) ≤ 3m ≤ f (4) ⇔ 0 ≤ 3m ≤ 24 ⇔ 0 ≤ m ≤ 8 . Do đó T1 = [ 0 ;8] Vậy minF = 0 , maxF = 8. Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : x 2 - xy + y 2 ≤ 3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức Q = x 2 + xy - 2y 2 Lời giải : Gọi T2 là miền giá trị của Q . Ta có m ∈ T2 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧x 2 - xy + y 2 ≤ 3 (1) ⎨ 2 2 ⎩ x + xy - 2y = m (2)
  2. ⎧x2 ≤ 3 ⎪ Nếu y = 0 thì hệ (1),(2) ⇔ ⎨ 2 , suy ra trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0) ⇔ 0 ≤ m ≤ 3 ⎪x = m ⎩ ⎧ y 2 (t 2 − t + 1) ≤ 3 (3) Nếu y ≠ 0 thì đặt x = ty ta có hệ : ⎨ 2 2 ⎩ y (t + t − 2) = m (4) m m(t 2 − t + 1) Từ (4) ta phải có m (t + t − 2) > 0 và thay y = 2 2 2 vào (3) được 2 ≤3 t +t −2 t +t−2 ⎧m(t 2 + t − 2) > 0 ⎪ Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm ⇔ HÖ ⎨ m(t 2 − t + 1) có nghiệm ⎪ 2 ≤3 ⎩ t +t −2 ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎪ ⎢ ⎨ f (t ) ≤ 3 cã nghiÖm t ∈ (−∞ ; −2) ∪ (1; +∞ ) ⎢⎪⎩ t2 − t + 1 , t ∈ R \ {−2;1} ) m ⇔⎢ ( I ) ( với f (t ) = 2 ⎢⎪⎧m < 0 t +t −2 ⎢⎨ 3 ⎢ ⎪ f (t ) ≥ cã nghiÖm t ∈ (−2;1) ⎣⎩ m 2t 2 − 6 t + 1 3± 7 Ta có : f ′(t ) = , f ′(t ) = 0 ⇔ t = (t + t − 2 ) 2 2 2 Bảng biến thiên của hàm f(t) 3− 7 3+ 7 t −∞ -2 1 +∞ 2 2 f’(t) + + 0 - - 0 + 1− 2 7 +∞ +∞ 1 9 f(t) 1+ 2 7 1 −∞ −∞ 9 Từ bảng biến thiên ta có ⎡⎧ m > 0 ⎢⎪ ⎢ ⎨1 + 2 2 ≤ 3 ⎢⎪ 9 ⎩ m ⎡ 0 < m ≤ −1 + 2 7 (I) ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢⎧ m < 0 ⎢ −1 − 2 7 ≤ m < 0 ⎣ ⎢⎪ ⎢ ⎨1 − 2 7 ≥ 3 ⎢⎪ 9 ⎣⎩ m Kết hợp các trường hợp trên ta được : −1 − 2 7 ≤ m ≤ −1 + 2 7 . Do đó T3 = ⎡ −1 − 2 7 ; − 1 + 2 7 ⎤ . Vậy minQ = −1 − 2 7 , maxQ = −1 + 2 7 ⎣ ⎦ ( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số 4 - THTT tháng 6/2007 ) Bài toán 3 : Cho hai số thực x, y thoả mãn : 9 x 2 + 16 y 2 + 6 x + 8y ≤ 3(1 − 8 xy )
  3. Tìm GTNN của biểu thức K = x ( x + 1) + y ( y + 1) Lời giải : Gọi T3 là miền giá trị của K . Ta có m ∈ T3 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧9 x 2 + 16 y 2 + 6 x + 8y ≤ 3(1 − 8 xy ) ⎨ ⎩ x ( x + 1) + y( y + 1) = m ⎧(3 x + 4 y )2 + 2(3 x + 4 y ) − 3 ≤ 0 ⎧ −3 ≤ 3 x + 4 y ≤ 1 (5) ⎪ ⎪ Hệ trên ⇔ ⎨ 1 1 1 ⇔⎨ 1 2 1 2 1 ⎪ ( x + )2 + ( y + ) 2 = m + ⎪( x + 2 ) + ( y + 2 ) = m + 2 (6) ⎩ ⎩ 2 2 2 1 Dễ thấy : nếu m ≤ − thì hệ vô nghiệm 2 1 Với m > − , xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta có : tập hợp nghiệm của (5) là miền mặt phẳng 2 (H) ở giữa hai đường thẳng song song d1 : 3 x + 4 y + 3 = 0 và d2 : 3 x + 4 y − 1 = 0 có chứa cả biên là hai 1 1 đường thẳng d1 và d2 , còn tập hợp nghiệm của (6) là đường tròn (C) có tâm I( − ; − ) , bán kính 2 2 1 R = m+ . Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm ⇔ (C) và (H) có điểm chung ⇔ 2 1 1 49 1 d ( I ; d1 ) ≤ R ⇔ ≤ m+ ⇔ m≥− ( thoả mãn m > − ) . 10 2 100 2 ⎡ 49 ⎞ 49 Do đó T3 = ⎢ − ; +∞ ⎟ . Vậy min K = − ( không tồn tại maxK) . ⎣ 100 ⎠ 100 (Bạn đọc tự vẽ hình minh hoạ). Bài toán 4 : Cho các số thực x, y thoả mãn : ( 2 ) 2cos x + 2cos y +3 + 2cos x + cos y + 2 − 4cos x + cos y ≥ 4 2 . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức : M = cos 2 x + cos 2 y Lời giải : Gọi T4 là miền giá trị của M . Ta có m ∈ T4 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧( 2) 2cos x + 2cos y + 3 + 2cos x + cos y + 2 − 4cos x + cos y ≥ 4 2 ⎪ ⎨ (*) ⎪ ⎩ cos 2 x + cos 2 y = m Hệ(*) ⇔ ⎧ ⎧ 3 ⎧(2cos x + cos y ) 2 − (2 2 + 2)2cos x + cos y + 4 2 ≤ 0 ⎪ 2≤2 cos x + cos y ≤2 2 ⎪ 1 ≤ cos x + cos y ≤ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎨ m+2 ⇔⎨ 2 m+2 ⇔ ⎨ ⎪ cos x + cos y = 2 2 ⎪cos x + cos y = 2 ⎪cos 2 x + cos 2 y = m+2 ⎩ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎩ ⎩ 2 v ⎧ 3 ⎪ 1≤ u + v ≤ 2 (7) ⎪ Đặt u = cos x ; v = cos y ta có hệ : ⎨ u ≤ 1 , v ≤ 1 (8) 1C B ⎪ m+2 ⎪ u 2 + v2 = (9) 1 A ⎩ 2 2 Hệ (*) có nghiệm ⇔ hệ (7),(8),(9) có nghiệm. D Dễ thấy , với m ≤ −2 hệ (7),(8),(9) vô nghiệm . O 1 1 u Với m > - 2 , xét trong mặt phẳng toạ độ Ouv 2 khi đó tập hợp nghiệm của (7) và (8) là hình
  4. thang cân ABCD ( gồm các điểm ở trong hình thang và các điểm trên cạnh hình thang) , còn tập hợp nghiệm của (9) là đường tròn ( T ) có m+2 tâm O(0 ; 0) , bán kính R = ( hình vẽ ) 2 Từ đó , hệ (7),(8),(9) có nghiệm ⇔ đường tròn ( T ) có điểm chung với hình thang ABCD 2 m+2 5 1 ⇔ d (O; CD ) ≤ R ≤ OB ⇔ ≤ ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ ( thoả mãn m > - 2) 2 2 2 2 (Ở đây đường thẳng CD: u + v − 1 = 0 , đường thẳng AB: 2u + 2v − 3 = 0 và các tam giác OCD , OAB cân tại O) . ⎡ 1⎤ 1 Do đó T4 = ⎢ −1; ⎥ . Vậy minM = -1 , maxM = ⎣ 2⎦ 2 Bài toán 5 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0 , y ≠ 0 thoả mãn : (x + y)xy = x 2 + y 2 − xy 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3 + 3 x y Lời giải : Gọi T5 là tập giá trị của A . Ta có m ∈ T5 ⇔ hệ sau có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 : ⎧(x + y)xy = x 2 + y 2 − xy ⎧(x + y)xy = x 2 + y 2 − xy ⎧(x + y)xy = x 2 + y 2 − xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎨1 1 ⇔ ⎨ (x + y)(x 2 + y 2 − xy) ⇔ ⎨ xy(x + y) 2 ⎪ x 3 + y3 = m ⎪ (xy)3 =m ⎪ 3 =m ⎩ ⎩ ⎩ (xy) ⎧(x + y)xy = (x + y)2 − 3xy ⎪ ⇔⎨ x+y 2 (V) ( ⎪ xy ) =m ⎩ ⎧SP = S2 − 3P ⎧S = x + y 2 ⎪ Đặt ⎨ ( S ≥ 4 P ) , ta có hệ : ⎨ S 2 (VI) ⎩P = xy ⎪( ) = m ⎩ P Hệ (V) có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 ⇔ hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn S 2 ≥ 4P . 1 3 S Do SP = x 2 + y 2 − xy = (x − y) 2 + y 2 > 0 với mọi x ≠ 0 , y ≠ 0 ⇒ > 0 với mọi x ≠ 0 , y ≠ 0 2 4 P Từ đó : • Nếu m ≤ 0 thì hệ (V) vô nghiệm S S • Nếu m > 0 thì từ phương trình ( ) 2 = m ⇒ = m ⇒ S = m.P thay vào phương trình P P đầu của hệ (VI) được : mP = mP − 3P ⇔ (m − m )P = 3 ( vì SP > 0 nên P ≠ 0 ) 2 2 Để có P từ phương trình này thì m − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ( m > 0 ) và ta được 3 3 P= , do đó S = . Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả m ( m − 1) m −1 mãn S 2 ≥ 4P khi và chỉ khi :
  5. 3 12 4( m − 1) 2 ( )2 ≥ ⇔ 3≥ ⇔ 3 m ≥ 4( m − 1) ⇔ m ≤ 4 m −1 m ( m − 1) m ( m − 1) ⇔ 0 < m ≤ 16 (m ≠ 1) Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 là : 0 < m ≤ 16 , m ≠ 1 Do đó : T5 = ( 0;16] \ {1} Vậy : maxA = 16 ( chú ý không tồn tại minA ) Bài toán 6 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn : x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức K = x + y Lời giải : ĐKXĐ : x ≥ −1, y ≥ −2 Gọi T6 là tập giá trị của K . Ta có m ∈ T6 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y ⎪ ⎧ ⎪3( x + 1 + y + 2) = m ⎨ ⇔⎨ (VII) ⎪ ⎩ x+y=m ⎪x + y = m ⎩ Đặt u = x +1 và v = y + 2 thì u, v ≥ 0 và hệ (VII) trở thành : ⎧ m ⎪ u+v= ⎧3(u + v) = m ⎪ 3 ⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ u , v là hai nghiệm của phương trình : ⎩ u +v = m+3 ⎪ 2 1 m2 uv = ( − m − 3) ⎪ ⎩ 2 9 m 1 m2 t2 − t + ( − m − 3) = 0 ⇔ 18t 2 − 6mt + m 2 − 9m − 27 = 0 (10) 3 2 9 Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho x ≥ −1, y ≥ −2 khi và chỉ khi (10) có hai nghiệm không âm và điều kiện là : ⎧ ⎪ Δ′t = −9(m 2 − 18m − 54) ≥ 0 ⎪ ⎪ m 9 + 3 21 ⎡ 9 + 3 21 ⎤ ⎨St = ≥ 0 ⇔ ≤ m ≤ 9 + 3 15 . Do đó T6 = ⎢ ;9 + 3 15 ⎥ ⎪ 3 2 ⎣ 2 ⎦ ⎪ m − 9m − 27 2 ⎪ Pt = ≥0 ⎩ 18 9 + 3 21 Vậy : minK = , maxK = 9 + 3 15 2 Bình luận : Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN , GTNN về bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN . Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức đạt GTLN , GTNN . Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số . Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau : Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : x 2 + y 2 = 2( x + y ) + 7 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức P = 3 x ( x − 2) + 3 y( y − 2) Bài 2 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : x ( x + 1) + y ( y + 1) ≤ 0 .
  6. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức Q = 2007 x + 2008 y + 2009 Bài 3 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 4x 2 - 3xy + 3y 2 ≤ 6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = x 2 + xy - 2y 2 Bài 4 : Cho các số thực không âm x , y thoả mãn : x + y = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = x + 1 + y + 9 1 Bài 5 : Cho các số thực x, y thoả mãn : cos x + cos y = . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 2 thức L = cos 3 x + cos 3 y Bài 6 : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức 2(x 2 + 6xy) x 2 + y 2 = 1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 1 + 2xy + 2y 2 Bài 7 : ( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn x 2 + y 2 = 2 . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P = 2(x 3 + y 3 ) − 3xy Bài 8 : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = 3 . Tìm GTLN của biểu thức 3x 3y xy P= + + − x 2 − y 2 ( Đ/s : maxP = 3/2) y +1 x +1 x + y ...............................Hết .............................

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản