CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
lượt xem 58
download
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 6i c. 56i Giải: a. Gọi iy là một căn bậc hai của 12i
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
- B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a. 5 12i Giải: b. 8 6i c. 33 56i a. Gọi z x iy là một căn bậc hai của 5 12i tức là x iy 2 2 2 d. 3 4i .v n h 5 12i x y 2ixy 5 12i x 2 y 2 5 2 2 x y 5 2 x 4 x 2 2 xy 12 2 2 x y 13 2 y 9 x 2 y 3 x 2 2 4 c Do b 12 0 x, y cùng dấu do đó hoặc y 3 y 3 o Vậy 5 12i có 2 căn bậc hai là z1 2 3i và z2 2 3i. b. Tương tự gọi z x iy là một căn bậc hai của 8 6i tức là ih 2 x iy 8 6i x 2 y 2 2ixy 8 6i u x2 y 2 8 2 2 x y 8 2 x 9 x 3 2 2 2 2 xy 6 x y 10 y 1 y 1 Do b 6 0 x, y cùng dấu do đó Vx 3 y 1 Vậy 8 6i có 2 căn bậc hai là 3 i và 3 i. x 3 hoặc y 1 c. Gọi z x iy là một căn bậc hai của 33 56i tức là 2 x iy 33 56i x 2 y 2 2ixy 33 56i x 2 y 2 33 2 2 x y 33 2 x 49 x 7 2 2 2 2 xy 56 x y 65 y 16 y 4 x 7 x 7 Do b 56 0 x, y trái dấu do đó hoặc y 4 y 4 Vậy 2 căn bậc hai của 33 56i là 7 4i và 7 i 4. d. Gọi z x iy là một căn bậc hai của 3 4i tức là
- 2 x iy 3 4i x 2 y 2 2ixy 3 4i x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 x2 1 x 1 2 2 2 2 xy 4 x y 5 y 4 y 2 x 1 x 1 Do b 4 0 x, y cùng dấu do đó hoặc y 2 y 2 Vậy 2 căn bậc hai của 3 4i là 1 2i và 1 2i. Bài 2: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a. 4 + 6 5 i b. 1 2 6i Giải: a. Giả sử z x iy x, y là một căn bậc hai của w 4 6 5i 3 5 x2 y 2 4 y (1) 2 x n 2 Khi đó: z w x yi 4 6 5i 2 xy 6 5 x 2 45 4 (2) .v x2 (2) x4 – 4x2 – 45 = 0 x2 = 9 x = ± 3. h x=3y= 5 x = -3 y = - 5 Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + 5 i và z2 = -3 - 5 i b. Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 6 i 2 4 2 Khi đó: z 2 w x yi 1 2 6i c 2 xy 2 6 x 2 y 2 1 y x o 6 (1) x 2 6 1 (2) ih x2 (2) x4 + x2 – 6 = 0 x2 = 2 x = ± 2 . x= 2 y=- 3 x=- 2 y= 3 V u Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 2 - 3 i và z2 = - 2 + 3 i Dạng 2: Phương trình bậc hai Bài 1: Giải các phương trình sau: a. x 2 3 4i x 5i 1 0; (1) b. x 2 1 i x 2 i 0; (2) Giải: 2 a. Ta có 3 4i 4 5i 1 3 4i . Vậy có hai căn bậc hai là 1+ 2i và −1 − 2i. 3 4i 1 2i 3 4i 1 2i Do đó pt (1) có hai nghiệm là: x1 2 3i; x2 1 i 2 2 2 b. Ta có 1 i 4 i 2 8 6i . Vậy có hai căn bậc hai là 3 + i và −3 − i.
- 1 i 3 i 1 i 3 i Do đó pt (2) có hai nghiệm là: x1 1; x2 2i 2 2 Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 3 x 2 x 2 0 1 b. x 2 x 1 0 (2) c. x 3 1 0 (3) Giải: a. Ta có 23 23 i 2 0 nên ta có hai căn bậc hai của là: 1 i 23 i 23 và i 23 . Từ đó nghiệm của pt (1) là: x1,2 6 1 i 3 b. Ta có 3 3i 2 0 nên (2) có các nghiệm là: x1,2 2 x 1 0 c. Ta có (3) x 1 x 2 x 1 0 2 Theo b. Pt (*) có hai nghiệm là x1,2 2 x x 1 0; (*) 1 i 3 (Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1). .v n . Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là: x 1 ; x1,2 1 i 3 2 HD: Theo bài ra ta có: 2 8i; . 23 14i. 4h Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: 4 3i; 2 5i kết quả pt bậc hai cần lập là: x 2 2 8i x 14i 23 0 c 2 Bài 4: Tìm m để phương trình: x 2 mx 3i 0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8. Giải: o 2 ih Theo bài ra ta có: x12 x2 8 x1 x2 2 x1 x2 8 (1). 2 x x2 m Theo Vi−et ta có 1 x1 x2 3i V u Thay vào (1) ta được m2 6i 8 m2 8 6i m là một căn bậc hai của 8 6i. Vậy: có 2 giá trị của m là: 3 + i và −3 − i. Bài 5: Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai z 2 Bz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . Giải: Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho và B a bi với a, b . Theo đề phương trình bậc hai z 2 Bz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . nên ta có : z12 z2 ( z1 z2 )2 2 z1 z 2 S 2 2 P ( B ) 2 2i 4i hay B 2 2i hay 2 a 2 b 2 0 (a bi ) 2 2i a 2 b 2 2abi 2i Suy ra : . 2ab 2 Hệ phương trình có nghiệm (a;b) là (1; 1),(1;1) Vậy : B 1 i; B = 1 i
- Bài 6: Cho z1 ; z 2 là 2 nghiệm pt 1 i 2 z 2 3 2i z 1 i 0 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: z1 z2 a. A z12 z2 ; 2 b. B z12 z2 z1 z 2 ; 2 c. C z2 z1 Giải: 3 2i 3 2 2 23 2 z1 z2 i 1 i 2 3 3 Theo Vi−et ta có: z z 1 i 1 2 1 2 i 1 2 1 i 2 3 3 2 2 3 2 2 23 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2 a. Ta có A z1 z 2 2 z1 z2 i 2 3 3 i i 3 3 9 9 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2 n b. B z1 z 2 z1 z2 i i i 3 3 3 3 9 9 c. Ta có C z12 z2 z1 z2 2 1 2 1 2 A i 6 26 2 i 18 . h .v 4 3 3 Bài 7: Giải phương trình nghiệm phức trên tập số phức a. z 2 8(1 i ) z 63 16i 0 b. 2 3i z 2 4i 3 z 1 i 0 c 2 HD: o a. Ta có ' 16(1 i) 2 (63 16i) 63 16i (1 8i) 2 ih Từ đó ta tìm ra hai nghiệm z1 5 12i ; z2 3 4i . b. Ta có 2 3i 4i 3 1 i 0 z1 1; z 2 1 5i 13 V u Bài 8: (CĐ – 2010) Giải phương trình z 2 1 i z 6 3i 0 trên tập hợp các số phức. Giải: 2 2 Phương trình có biệt thức 1 i 4 6 3i 24 10i 1 5i Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i và z 3i. 4 z 3 7i Bài 9: (CĐ – 2009) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: z 2i zi Giải: Điều kiện: z 1
- Phương trình đã cho tương đương với z 2 4 3i z 1 7i 0 2 2 Phương trình có biệt thức 4 3i 4 1 7i 3 4i 2 i 4 3i 2 i 4 3i 2 i Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i và z 3 i. 2 2 25 Bài 10: Giải phương trình nghiệm phức : z 8 6i z Giải: Giả sử z a bi với ; a,b R và a,b không đồng thời bằng 0. 1 1 a bi Khi đó z a bi ; 2 z a bi a b 2 25 25(a bi ) Khi đó phương trình z 8 6i a bi 2 8 6i z a b2 n 2 2 2 2 a (a b 25) 8( a b ) (1) 2 2 2 2 . b( a b 25) 6(a b ) (2) .v 3 Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b a thế vào (1) ta được a = 0 hoặc a = 4 4 Với a = 0 b = 0 ( Loại) Với a = 4 b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i. 4h Bài 11: Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm. Giải: c 2 Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 ( b, c R), nên ta có : b c 0 b 2 o 2 1 i b 1 i c 0 b c 2 b i 0 2 b 0 c 2 ih 2 Bài 12: Giải các pt sau: z z 0 Giải: Giả sử z x yi, x,y 2 2 V u 2 2 x2 y2 x 0 Ta có z z 0 x y 2 xyi x yi 0 x y x 2 xy y i 0 0i 2 2 xy y 0
- x 0 x 0 y 0 x 1 x2 x 0 x 1 x2 y 2 x 0 y 0 y 0 y 0 x2 y2 x 0 y0 x 1 x2 y 2 x 0 3 y 0 x2 y2 x 0 y 2 3 y 2 y 2 x 1 0 2 4 y 3 2 x 1 0 1 3 x 1 y 2 2 x 2 2 1 x 1 x 2 2 y 3 2 Vậy: Có bốn số phức cần tìm là: z1 0, z 2 1, z3 1 2 2 3 i, z 3 1 2 2 Bài 13: Tìm m để pt z 2 mz 3i 0 có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa z12 z 2 8 . 2 3 i .v n h Giải: 2 Ta có: z12 z2 8 z1 z 2 2 z1 .z2 8 2 Với z1 z2 b a c m, z1 .z 2 3i a 2 4 c 2 2 2 Suy ra: z1 z2 8 z1 z 2 2 z1 .z2 8 m 2.3i 8 m 2 8 6i 3 i m 3 i . 2 2 o Bài 14: Cho số phức z thoả mãn z 2 2 z 3 0 . Gọi f z là số phức xác định bởi ih 17 15 14 2 f ( z ) z z 6 z 3 z 5 z 9 . Tính mô đun của f z Giải: Ta đặt z 2 2 z 3 0 (1) V u (1) có 2 0 nên (1) có 2 nghiệm phức là 1 z 1 i 2 z2 1 i 2 | z1 | | z2 | 3 f ( z ) z z 6 z 3z 5 z 9 z ( z 2 z 3) 2 z14 ( z 2 2 z 3) 3( z 2 2 z 3) z 17 15 14 2 15 2 nếu z z1 f ( z1 ) z1 | f ( z1 ) || z1 | 3 nếu z z2 f ( z 2 ) z 2 | f ( z2 ) || z2 | 3 Vậy | f ( z ) | 3 Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai và phương trình bậc cao Phương pháp 1: Phương pháp phân tích thành nhân tử:
- Bài 1: Cho phương trình sau: z 3 2 – 2i z 2 5 – 4i z – 10i 0 1 a. Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo. b. Giải phương trình (1). Giải: a. Đặt z = yi với y R 3 2 Phương trình (1) có dạng: iy 2i 2 yi 5 4i yi – 10i 0 iy 3 – 2 y 2 2iy 2 5iy 4 y – 10i 0 0 0i đồng nhất hoá hai vế ta được: 2 y 2 4 y 0 3 2 giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2 y 2 y 5 y 10 0 Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i. b. Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i n vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng: z 3 2 – 2i z 2 5 – 4i z – 10i z – 2i z 2 az b (a, b R) .v đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5. z 2i z 2i 1 z – 2i z 2 z 5 0 2 2 z 2z 5 0 z 1 2i z 1 2i 4h 2 Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm. Bài 2: Giải các phương trình: 1. z3 – 27 = 0 2. z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y Z Giải: oc ih z 1 z 1 1. z – 27 0 z – 1 z 3z 9 0 2 3 2 z 3 3 3i u z 3z 9 0 2,3 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. 3 V 2. Ta có: x yi x 3 – 3 xy 2 3x 2 y – y 3 i 18 26i Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: 2 x 3 3 xy 2 18 3 3 x y y 26 Từ hệ trên, rõ ràng x 0 và y 0. Đặt y = tx , hệ 18 3 x 2 y – y 3 26 x 3 – 3 xy 2 18 3t t 3 26 1 3t 2 18t 3 – 78t 2 – 54t 26 0 3t 1 3t 2 – 12t – 13 0. 1 Vì x, y Z t Q t x 3 và y 1 z 3 i. 3
- Bài 3: 1. Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 +3z2 +3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) 2. Giải phương trình: z3 +3z2 +3z – 63 = 0 3. Cho phương trình: z 3 5 z 2 16 z 30 0 (1), gọi z1 , z2 , z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A z12 z2 z3 . 2 2 Giải: 1. Giả thiết z 3 3 z 2 3z – 63 z 3 a 3 z 2 b 3a z – 3b a 3 3 a 6 b 3a 3 3b 63 b 21 z 3 2. Áp dụng phần 1. ta có: z 3 3z 2 3 z – 63 0 z – 3 z 2 6 z 21 0 z 3 2 3i z 3 2 3i Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. 3. z 3 5 z 2 16 z 30 0 có 3 nghiệm là: z1 3; z 2 1 3i; z3 1 3i .v n A z12 z 2 3 7 2 2 Bài 4: Giải phương trình: z 4 – 4 z 3 7 z 2 – 16 z 12 0 1 4h Giải: c 2 Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1. 1 z – 1 z 3 – 3z 2 4 z – 12 0 z – 1 z – 3 z 2 4 0 z 1 o ih z 1 z 3 z 3 z 2i z 4 0 u 2 z 2i Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Giải: V Bài 5: Giải phương trình: z 4 4 z 3 7 z 2 16 z 12 0 Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có: z 1 z 4 z 7 z 16 z 12 0 ( z 1)( z 3)( z 4) 0 z 3 4 3 2 2 z 2i Bài 6: Giải phương trình 2 z 3 5 z 2 3 z 3 2 z 1 i 0 , biết rằng phương trình có nghiệm thực Giải: 2 z 3 5 z 2 3 z 3 1 1 Phương trình có nghiệm thực z tức là phương trình có một nghiệm z 2 z 1 0 2 2
- Phương trình 2 z 1 z 2 3 z 3 i 0 giải phương trình này ta được 1 z ; z 2 i; z 1 i 2 Bài 7: Giải phương trình z 3 1 2i z 2 1 i z 2i 0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo Giải: Giả sử phương trình có một nghiệm thuần ảo z bi , thay vào phương trình ta được 3 2 bi 1 2i bi 1 i bi 2i 0 b b 2 b3 2b 2 b 2 i 0 b b 2 0 3 2 b 1 z i b 2b b 2 0 Vậy phương trình tương đương với z i z 2 1 i z 2 0 ... giải phương trình này sẽ được nghiệm Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 2 Bài 1: Giải phương trình: z 2 z 4 z 2 z 12 0 Giải: .v n h Đặt t z 2 z , khi đó phương trình đã cho có dạng: 1 23i t 6 t 2 4t – 12 0 2 z z 6 0 2 z z 2 1 23i 2 4 t 2 z z 2 0 c z 1 o z 2 2 ih Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. 2 Bài 2: Giải phương trình: z 2 3z 6 2 z z 2 3 z 6 – 3 z 2 0 Giải: V u Đặt t z 2 3z 6 phương trình đã cho có dang: t z t 2 2 zt – 3z 2 0 t – z t 3 z 0 t 3 z z 1 5i - Với t z z 2 3z 6 – z 0 z 2 2 z 6 0 z 1 5i z 3 3 - Với t 3z z 2 3 z 6 3 z 0 z 2 6 z 6 0 z 3 3 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
- Bài 3: Cho phương trình: z 4 2 z 3 – z 2 – 2 z 1 0 1 1 a. Bằng cách đặt y z hãy đưa phương trình về dạng: y 2 – 2 y – 3 0. z b. Từ đó giải (1) Giải: Do z 0 không là nghiệm của (1) chia hai vế của phương trình cho z2 ta được: 1 1 z 2 2 z – 1 2 2 0 z z 1 y 1 Đặt y z phương trình có dạng: y 2 – 2 y – 3 0 z y 3 1 1 i 3 - Với y 1 z 1 z z 2 1 3 5 - Với y 3 z 3 z z 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm Bài 4: Giải phương trình: z 4 z 3 z2 z 1 0 1 .v n Giải: 2 Do z 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên: 4h 2 1 1 1 1 (1) z 2 z 2 0 2 z z 1 5 c 2 o z z 0 z z 2 ih 1 3i 1 5 y 2 Đặt y z pt có dạng: y 2 – y 0 2 y 2 – 2 y 5 0 - Với y 2 z 1 3i z 2 V 1 1 3i z 2 u 2 2 z 2 – 1 3i z – 2 0 2 Ta có : 1 3i 16 8 6i 3 i 2 y 1 3i 2 1 1 phương trình (2) có 2 nghiệm: z1 1 i và z2 i 2 2 1 3i 1 1 3i - Với y z 2 z 2 – 1 3i z – 2 0 3 2 z 2 2 2 Ta có : 1 3i 16 8 6i 3 i 1 1 phương trình (3) có 2 nghiệm: z3 1 i và z4 i 2 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
- Bài 5: Giải phương trình: z 4 6 z 2 25 0 1 Giải: Đặt z 2 t. Khi đó (1) có dạng: t 2 – 6t 25 0 2 . Ta có: ’ 16 16.i 2 0 nên pt (2) có hai nghiệm là t 3 4i. Mặt khác 3 4i có hai căn bậc hai là: 2 i và 2 i còn 3 4i có hai căn bậc hai là: 2 i và 2 i Vậy: pt (1) có 4 nghiệm là: z1 2 i; z2 2 i; z3 2 i; z4 2 i. 3 zi Bài 6: Giải phương trình (ẩn z) trên tập số phức: 1. i z Giải: Điều kiện: z i zi Đặt w ta có phương trình: w 3 1 (w 1)(w 2 w 1) 0 iz w 1 w 1 w 1 i 3 .v n 2 w w 1 0 2 w 1 i 3 4h 2 2 zi c - Với w 1 1 z 0 iz - Với w 1 i 3 z i 1 i 3 o (1 i 3 ) z 3 3i z 3 ih 2 iz 2 1 i 3 z i 1 i 3 u - Với w (1 i 3 ) z 3 3i z 3 2 iz 2 Vậy pt có ba nghiệm z 0; z 3 và z 3 . Giải: V 2 Bài 7: Giải phương trình: z 2 3z 6 2 z z 2 3 z 6 3z 2 0 (*) u z Đặt: z 2 3z 6 u (*) u 2 2 zu 3z 2 0 (u z )(u 3 z ) 0 u 3 z z1 1 i 5 z 2 3z 6 z z2 2z 6 0 z2 1 i 5 2 2 z 3 z 6 3z z 6z 6 0 z3 3 3 z4 3 3 Bài 8: Giải phương trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 z C
- Giải: PT z ( z 2)( z 1)( z 3) 10 ( z 2 2 z )( z 2 2 z 3) 0 Đặt t z 2 2 z . Khi đó phương trình trở thành t 2 3t 10 0 t 2 z 1 i t 5 z 1 6 Vậy phương trình có các nghiệm: z 1 6 ; z 1 i Bài 9: Giải phương trình tập số phức: z 4 2 z 3 z 2 2 z 1 0 Giải : 1 1 1 1 Phương trình z 4 2 z 3 z 2 2 z 1 0 z 2 ( z 2 2 ) 2( z ) 1 0 ( z 2 2 ) 2( z ) 1 0 z z z z (z = 0 không là nghiệm của phương trình) 1 w 1 Đặt w z ; phương trình trên trở thành: w2 + 2w – 3 =0 z w 3 1 2 z 1 z z 1 0 z z 1 1 3i 2 3 5 .v n h 2 z 3 z 3 z 1 0 z z 2 Vậy phương trình có bốn nghiệm: z 1 3i 2 ; z 3 5 2 2 4 Bài 10: Tìm các số thực a, b, c để có: z 2(1 i ) z 4(1 i ) z 8i ( z ai )( z 2 bz c) . 3 2 Tìm môđun của các nghiệm đó. HD: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 oc ih Từ đó giải phương trình: z 3 2(1 i ) z 2 4(1 i) z 8i 0 trên tập số phức. Phương trình ( z 2i )( z 2 2 z 4) 0 z 2i; z 1 3i; z 1 3i z 2 . Dạng 3: Giải hệ phương trình: Bài 1: Giải hệ phương trình: 1 V u z 2 z2 5 2i 2 (1) z1 z2 4 i (2) Giải: Từ (2) ta có z12 z2 2 z1 z2 15 8i. 2 Kết hợp với (1) ta có z1 z2 5 5i z z2 4 i Vậy ta có hệ phương trình: 1 z1 z2 5 5i Do đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2 4 i z 5 5i 0 . Ta có 5 12i Nên có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và −2 − 3i.
- 4 i 2 3i z1 2 3i z 1 2i Vậy ta có hoặc 1 . z 4 i 2 3i 1 2i z2 3 i 2 2 z w i Bài 2: Giải hệ phương trình: iz w 1 Giải: Coi i như 1 tham số ta có: D 1 1 i 1 z D 1 1 i x D 1 i ; Dz i 1 và Dw 2 i 1 1 1 w D 1 i i 1 Dy z w zw 8 Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 Giải: z w zw 8 2 z w 1 .v n h Hệ 2 z w 2 zw 1 u z w Đặt: v zw u v 8 2 u 2v 1 u 8 v 2 u 2u 15 0 2 4 u 5 v 13 oc X 2 5 X 13 0 ( z; w) 5 3i 3 5 3i 3 2 ; 2 ih u 3 X 2 3 X 5 0 ( z ; w) 3 14 ; 3 14 v 5 2 2 Giải: V 3x y u x x2 y2 3 Bài 4: Giải hệ phương trình: y x 3y 0 x2 y 2 ( x, y R ) (3 x y ) ( x 3 y )i 3( x yi ) i ( x yi) Từ hệ suy ra: x yi 2 2 3 x yi 2 2 3 x y x y2 x y2 (3 i ) z (3 i ) Đặt z x yi ta được PT ẩn z C : z 3 z 3 2 z z Giải PT bậc hai tìm được z 2 i và z 1 i . Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là ( x, y ) ( 2,1);(1, 1) . Bài 5: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:
- z w 3(1 i ) (1) 3 3 z w 9(1 i ) (2) Giải: 3 Từ (2) ta có: z w – 3 zw z w 9 1 i 3 3 Thay (1) vào (3) ta được: 27 1 i – 9 zw 1 i 9 1 i 5 5i 3 1 3i 3i 2 i 3 – zw 1 i 1 i zw 5i 1 i z w 3(1 i ) Vậy ta có hệ phương trình: z.w 5i Theo định lý Viet z, w là các nghiệm của phương trình: t 2 3 1 i 5i 0 4 2 Ta có: 2i 1 – i t 2 i n Phương trình (4) có hai nghiệm t 1 2i .v Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (z;w) là 2 i;1 2i và 1 2i; 2 i Bài 6: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w: z1 z2 z3 1 (1) z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 (2) z z z 1 (3) 4h 2 1 2 3 Giải: oc Ta có z1 , z2 , z3 là các nghiệm của phương trình: z – z1 z – z2 z z3 0 z 3 – z1 z2 z3 z 2 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z z1 z2 z3 0 ih z 3 – z 2 z – 1 0 z 1 và z i Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i) u 2 6 a a a 2 a 5 Bài 7: Giải hệ phương trình sau trong tập số phức: a 2 b 2 ab 2 b a 2 a 6 0 Giải: Điều kiện: a 2 a 0 2 2 2 V a 2 a 1 Từ (1) (a a ) 5(a a) 6 0 2 a a 6 1 3i a Khi a 2 a 1 2 thay vào (2) 1 3i a 2
- 1 23.i b b 2 b 6 0 b 2 b 6 0 2 1 23.i b 2 a 3 Khi a 2 a 6 a 2 Thay vào (2) 1 5 b 6b 2 6b 6 0 b 2 b 1 0 2 1 5 b 2 Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là: 1 23i 1 3i 1 23i 1 3i 1 23i 1 3i 1 23i 1 3i 2 ; 2 2 , 2 2 ; 2 2 ; 2 2 3; 1 5 , 3; 1 5 , 2; 1 5 , 2; 1 5 ; 2 , 2 ; .v n 2 ; h Bài tập tự giải: Bài 1: Giải phương trình bậc 2 sau trong tập hợp các số phức 2 4 z 2 – 2 2 – i z 6 – 8i 0. oc Bài 2: Tìm các số thực b, c để phương trình z 2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm. ih Đs: Vì z 1 i là một nghiệm của phương trình: z 2 bz c 0 nên b c 0 b 2 u (1 i) 2 b(1 i) c 0 b c (2 b)i 0 2 b 0 c 2 Bài 3: Cho các số phức w1 1 2i, w2 3 – 4i. Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thoả mãn các điều w2 kiện w1 .z là số thực và z V 1 , từ đó lập phương trình bậc hai có nghiệm là các số số phức đã tìm được? Bài 4: Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: z 2 z 1 0 . 1 2 1 2 1 2 1 Rút gọn biểu thức P z z 2 2 z 3 3 z 4 4 2 z z z z 2 Bài 5: Giải phương trình trên tập số phức: x 5 i x 8 i 0 Bài 6: Giải phương trình trên tập số phức: z 2 2 z 1 6i 0 Bài 7: (ĐH – A 2009) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức 2 2 A z1 z 2 . HD:
- 36 36i 2 z1, 2 1 3i. z1 z 2 10 A 20 Đs: A = 20 Bài 8: Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2 4 z 11 0 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 z1 z2 A 2 . z1 z2 HD: 3 2 3 2 Giải pt đã cho ta được các nghiệm: z1 1 i , z2 1 i 2 2 2 3 2 222 Suy ra | z1 | | z 2 | 1 2 2 ; z1 z2 2 2 2 z z2 11 Do đó 1 ... 2 4 n ( z1 z2 ) Bài 9: Giải phương trình: .v 2 a. z 2 z 0 b. z 2 3z 6 2 z z 2 3 z 6 3z 2 0 Đs: a. z{0;i;i} b. z 3 3; z 1 5i Bài 10: Giải phương trình: z 2 z 0 . 4h 1 Đs: z 0, z 1 , z 2 2 3 i c Bài 11: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết: 2 a. = 2 5i b. = 2 i 3 o c. = 3 - i 2 ih 2 Bài 12: Giải phương trình z cos i sin z isin .cos 0 , R trên tập số phức Đs: z1 cos ; z 2 i sin 2 A z1 z 2 3 z1 z2 2 3 V u Bài 13: Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2 2 z 4 0. Tính giá trị của Bài 14: Chứng minh rằng nếu phương trình az 2 bz c 0 (a, b, c R) có nghiệm phức R thì cũng là nghiệm của phương trình đó. Bài 15: Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 2 4z i 4z i a. z 2i 2 z 2i 3 0 b. 5 6 0 z i z i Bài 16: Chứng minh rằng: a. Nếu x iy là căn bậc hai của hai số phức a bi thì x yi là căn bậc hai của số phức a bi x y a b b. Nếu x iy là căn bậc hai của số phức a bi thì i là căn bậc hia của số phức 2 2 i (k 0) k k k k Bài 17: Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra: a. z 2 mz m 1 0 điều kiện: z12 z2 z1 z 2 1 2
- b. z 2 3mz 5i 0 điều kiện: z13 z2 18 3 Bài 18: Giải các phương trình sau trong C. a. x 2 3.x 1 0 b. 3 2 .x 2 2 3. x 2 0 c. x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 d. 3 x 2 x 2 0 e. 3 x 2 2 2 x 3 2 0 f. 3i.x2 – 2x – 4 + i = 0 Đs: 3 1 6 a. i b. (1 i ) c. 2 i ;1 – 2i 2 2 6 1 i 23 6 6 1 2 10 2 1 d. e. i f. 2 10 2 i. 6 6 6 3 3 2 Bài 19: Cho phương trình z 2 i z 3 5i 0 . Không giải phương trình hãy tính z12 z2 .z14 z2 2 4 Bài 20: Giải phương trình: z 2 (cos i sin ) z icos sin 0 HD: (cos i sin ) 2 4i cos sin cos 2 i sin 2 2i sin 2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2 cos i sin 1 2 .v n z 2 (cos i sin ) cos - +i sin - i sin z 1 (cos i sin ) cos - +i sin - cos 2 4h 2 Bài 21: Giải các phuơng trình sau trên tập số phức 1. z 3 z c 2. z z 3 4i o 3. (1 i ) z 2 2 11i 0 ih Phương trình bậc cao: Bài 1: Tìm các số thực a, b, c để có z 3 2 1 i z 2 4 1 i z 8i z ai z 2 bz c Đáp số: a 2, b 2, c 4 và z 2 u Từ đó giải phương trình z 3 2 1 i z 2 4 1 i z 8i 0 trên tập số phức. Tìm modun của các nghiệm đó V Bài 2: Cho phương trình: (z + i)(z2 2mz + m2 2m) = 0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. Bài 3: Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z 3 iz 2 2iz 2 0. b. z 3 (i 3) z 2 (4 4i ) z 7 4i 0. Bài 4: Giải phương trình z 3 2 1 i z 2 4 1 i z 8i 0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo Đáp số: Phương trình có ba nghiệm là z 2i; z 1 i 3 Bài 5: Tìm 3 số thực a, b, c thỏa mãn: z 3 – 2 1 i z 2 4 1 i z – 8i z ai z 2 bz c
- Từ đó giải phương trình: z 3 – 2 1 i z 2 4 1 i z – 8i 0 Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức: z 4 – z 3 6 z 2 – 8 z – 16 0 z 1 z 2 Đáp số: ( z 1)( z 2)( z 8) 0 2 z 2 2i z 2 2i Bài 7: Giải phương trình: z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 0. HD: Đặt thừa số chung 1 3 1 3 Đáp số: z 1, z i, z i 2 2 2 2 Bài 8: Giải các phương trình sau trên C : z2 1 a. z 4 z 3 z 1 0 bằng cách đặt ẩn số phụ w z ; 2 z 2 b. z 2 3 z 6 2 z z 2 3 z 6 3 z 2 0 c. z 2 2 1 z 3 0 2 .v n h Bài 9: Giải các phương trình sau trên C : a. z i z 2 1 z 3 i 0 2 b. z 2 z 4 z 2 z 12 0. Bài 10: Giải phương trình z 3 1 i z 2 3 i z 3i 0 4 2 3 4 2 Bài 11: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z 4 là 4 nghiệm của phương trình z 2 z 6 z 8 z 8 0 trên C 1 1 Tính tổng S 4 4 4 4 z1 z2 z3 z 4 1 1 oc Bài 12: Cho đa thức P z z 3 3 6i z 2 10 18i z 30i ih a. Tính P 3i b. Giải phương trình P z 0 Đs: a. P 3i 0 Bài 13: Giải các phương trình z 1 2 V u b. z 3i, z 3 i a. z 2 biết z 3 4i là một nghiệm của phương trình z 7 b. z 6 z 5 13z 4 14 z 3 13z 2 z 1 0 3 2 z i z i z i c. 1 0 z i z i z i Đs: 1 3i a. z 9; z 3 4i b. z ; z 2 3; z 2 3 2 c. z 1;0;1
- Hệ phương trình Bài 1: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau : z1 z 2 4 i 2 2 z1 z 2 5 2i Bài 2: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau : z1 z 2 5 5i 2 2 z1 z 2 5 2i Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức: 1 1 1 1 x 2 y 1 2i i x y 5 i a. b. x y 2 2 c. 2 2 x y 3 i x 2 y 2 1 2i x y 8 8i x y 4 x y 5 i x y 1 d. xy 7 4i x 2 y 2 6 g. 1 1 2 e. 2 2 x y 1 2i x y 3 2i h. 1 1 17 1 f. 3 3 n x y 2 3i .v x y 5 x y 26 26 i Bài 4: Giải các hệ phương trình sau 4h 2 z 12 5 z 1 z 8i 3 z i 1 z1 z2 z3 1 c a. b. c. z1 z2 z3 1 z 4 1 z 3i 1 z .z . z 1 z 8 z i o 1 2 3 ih z1. z 2 5 5i z1 z2 4 i 3 5 z1 z 2 0 d. 2 2 e. 2 2 g. 2 4 z1 z2 5 2i z1 z2 5 2i z1 .( z2 ) 1 Bài 5: Giải các hệ phương trình: z1 z 2 4 i a. 2 2 z1 z 2 5 2i u 2 v 2 4uv 0 c. V b. 2 d. u z1 .z 2 5 5.i 2 z1 z 2 5 2.i z 2i z u v 2i z i z 1 Đs: a. 3 – i; 1 2.i và ( (1 2.i; 3 – i ) b. 2 – i; 1 – 3.i , 1 – 3i; 2 – i , 2 i;1 3i , 1 3i; 2 i
- 1 3x 1 2 x y Bài 6: Giải hệ phương trình: ( x, y R ) . 7y 1 1 4 2 x y Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 1 z1 z 2 2 z 2z 3 1 2 3 i 3 i 3 i 3 i 4 ; 2 và 4 ; 2 Đs: Bài 8: Giải các hệ phương trình: x iy 2 z 10 z3 2z 2 2z 1 0 a. x y 2iz 20 ix 3iy (1 i) z 30 2 z i z z 2i b. 2010 z z 2011 1 0 z1 z 2 3 i .v n h c. 2 d. 1 1 3 i z z 5 2 z z 4 4 1 2 Căn bậc hai của số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức: c 2 a. z 17 20 2i. b. 1 4 2 2 i h o c. 40 42i d. 11 4 3i a. -1 + 4 3.i Đs: a. ( 3 2.i ) b. 4 + 6 5.i i Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: u b. (3 5.i) c. -1 - 2 6.i c. ( 2 3.i) d. -5 + 12.i d. (2 + 3i) a. 1 4 3i V Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: b. 4 6 5i c. 1 2 6i
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Kỹ thuật giải phương trình có chứa căn thức
6 p | 1876 | 224
-
Số phức
20 p | 463 | 175
-
Những con số lạ lùng nhất trong lí thuyết dây (2)
6 p | 55 | 3
-
Thay đổi thế giới với 17 phương trình: Phần 1
236 p | 51 | 3
-
Giải tích lớp 12 - Chương trình giải bài tập cơ bản: Phần 2
56 p | 54 | 3
-
Ứng dụng các thuật toán căn bậc hai vào tính toán bình sai truy hồi lưới trắc địa
11 p | 13 | 2
-
Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều
3 p | 4 | 2
-
Khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản - NCS. Nguyễn Đắc Hưng
7 p | 115 | 2
-
Tư vấn bằng xếp hạng hàm ý thống kê trên dữ liệu không phải nhị phân
6 p | 34 | 1
-
Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai
3 p | 28 | 1
-
Phát triển suy luận của học sinh qua tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị hàm số
7 p | 15 | 1
-
Thành phần hóa sinh của hạt và sự đa dạng di truyền của một số giống lúa cạn địa phương của hai tỉnh Cao Bằng và Bắc Kạn
7 p | 52 | 1
-
Tính toán hệ số virial bậc hai của các khí Cl2, N2, CO và Ar kết hợp phương trình trạng thái virial và mô hình đa biến
14 p | 20 | 1
-
Tính chất tiệm cận nghiệm của một hệ tựa Gradient bậc hai
10 p | 14 | 1
-
Trạng thái cơ bản của ion phân tử hydro trong điện trường tĩnh
10 p | 52 | 1
-
Bài toán đường tròn của GAUSS và đánh giá tiệm cận một số hàm số học
6 p | 18 | 0
-
Số dư của Ax + Bx
4 p | 9 | 0
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn