Chuẩn kiến thức hình học 12: Thể tích khối đa diện

Chia sẻ: trangchocolate

Tài liệu tham khảo về Chuẩn kiến thức hình học 12: Thể tích khối đa diện...

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuẩn kiến thức hình học 12: Thể tích khối đa diện

 

  1. Chuẩn kiến thức Hình học 12 A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích của khối đa diện: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : dieä tích ñaù n y h với  h: chieà cao u B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: a c V = a3 b a với a là độ dài cạnh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: a a 1 V= Bh 3 h B : dieä tích ñaù n y với   h: chieà cao u B 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: S Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, C' A' SB, SC ta có: VSABC A SA SB SC B' = C VSA 'B'C' SA ' SB' SC' B Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a 2 + b2 + c2 , a3 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 2 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a. Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, c ạnh bên bằng 2a. G ọi I là trung đi ểm của BC. a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S. ABI theo a Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B, c ạnh bên SA vuông góc v ới đáy. Bi ết SA=AB=BC= a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1
  2. Chuẩn kiến thức Hình học 12 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, c ạnh bên SA vuông góc v ới đáy, cạnh bên SA bằng a 3 . a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp S. ABCD. Bài 5: Cho hình chóp S. ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a, AB =BC= a 3 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC. Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đ ều n ằm trong hai mp vuông góc nhau . Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 7: Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam gíac vuông cân tại A và hình chi ếu vuông góc c ủa S lên ( ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Bi ết SA h ợp v ới đáy góc α = 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC va SAC là hai tam giác đều cạnh a, SB =SD. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD. Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết SA =2a, AB = a, BC =3a. Tính thể tích của khối chóp S. ABC. Bài 10: Cho khối chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B , Cho SA vuông góc v ới mặt đáy (ABCD). , SA = AD = 2a và AB =BC = a . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD. Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với m ặt đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy (ABCD) là 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đ ỉnh S cách đ ều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD : bài 12: Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh b ằng a, c ạnh bên b ằng a 3 và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung đi ểm c ủa BC . Tính th ể tích kh ối lăng tr ụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC HD: Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 , A’ cách đều A,B,C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính th ể tích c ủa kh ối lăng trụ ABC.A’B’C’. HD: 2
  3. Chuẩn kiến thức Hình học 12 Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là m ột tam giác vuông t ại A, AC = b, · ACB = 600 . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300. a) Chứng minh tam giác ABC ' vuông tại A b) Tính độ dài đoạn AC’ c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích c ủa kh ối chóp C’.ABC HD: Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. G ọi M , N l ần l ượt là trung đi ểm c ủa hai cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần . a)Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V b) Tính thể tích của khối chóp C’. ABB’A’ theo V c) Tính thể tích khối chóp C’. MNB’A’ theo V d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’. 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đay là tam giac ABC vuông tai B. Biêt BB’ = AB = h và goc cua ́ ́ ̣ ́ ́ ̉ B’C vơi măt đay băng α . ́ ̣́ ̀ a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tinh thể tich cua khôi lăng tru. ́ ́ ̉ ́ ̣ ́ ̣́ ́ ̣̣ ́̀ ̣ b) Tinh diên tich thiêt diên tao nên do mp(ACB’) căt hinh lăng tru. 18. Môt hinh lăng trụ ABC.A’B’C’ có đay là tam giac đêu canh a, canh bên BB’ = a, chân đường vuông ̣̀ ́ ́ ̀ ̣ ̣ goc hạ từ B’ xuông đay ABC trung với trung điêm I cua canh AC. ́ ́ ́ ̀ ̉ ̉ ̣ a) Tinh goc giữa canh bên với đay và tinh thể tich cua lăng tru. ́ ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̣ b) CMR: măt bên AA’C’C là hinh chữ nhât. ̣ ̀ ̣ 19.Hinh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đay ABC là tam giac vuông tai A, AC = b, goc C = 600 .Đường ̀ ́ ́ ̣ ́ cheo BC’ cua măt bên (BB’C’C) tao với măt phăng (AA’C’C) môt goc 30 . ́ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ 0 a) Tinh độ dai đoan AC’ ́ ̀ ̣ b) Tinh thể tich cua lăng tru. ́ ́ ̉ ̣ 20. Cho khôi hôp ABCD.A’B’C’D’ có tât cả cac canh đêu băng a và ba goc ở đinh A đêu băng 600. Tinh ́ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ̀ ́ thể tich cua khôi hôp đó theo a. ́ ̉ ́ ̣ 21. Cho khôi lăng trụ ABC.A’B’C’ có đay ABC là tam giac đêu canh a, điêm A’ cach đêu ba điêm A, B, ́ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̀ ̉ C, canh bên AA’ tao với măt đay môt goc 600 . ̣ ̣ ̣́ ̣ ́ a) Tinh thể tich cua khôi lăng trụ đo. ́ ́ ̉ ́ ́ b) CMR: măt bên BCC’B’ là môt hinh chữ nhât. ̣ ̣̀ ̣ c) Tinh tông diên tich cac măt bên cua lăng tru(Goi là diên tich xung quanh). ́ ̉ ̣́ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣́ 22. Cho khôi lăng trụ tam giac đêu ABC.A’B’C’ . Goi M là trung điêm cua AA’. Măt phăng đi qua M, ́ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ B’, C chia khôi lăng trụ thanh hai phân. Tinh tỉ số thể tich cua hai phân đo. ́ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́ 23. Cho hinh lăng trụ đứng tam giac ABC.A’B’C’ có tât cả cac canh đêu băng a. ̀ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̀ a) Tinh thể tich khôi tứ diên A’.BB’C ́ ́ ́ ̣ b) Măt phăng đi qua A’B’ và trong tâm tam giac ABC, căt AC và BC lân lượt tai E và F. Tinh thể ̣ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ tich khôi chop C.A’B’FE. 24. Cho hinh hôp ABCD.A’B’C’D’. Tinh tỉ số thể tich cua khôi tứ diên ACB’D’ và thể tich khôi hôp. ̀ ̣ ́ ́ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̣ 25. Cho hinh hôp ABCD.A’B’C’D’, goi O là giao điêm cua AC và BD. Tinh tỉ số thể tich cua khôi chop ̀ ̣ ̣ ̉ ̉ ́ ́ ̉ ́ ́ O.A’B’C’D’ và khôi hôp đã cho. ́ ̣ 3
  4. Chuẩn kiến thức Hình học 12 26. Đay cua khôi chop là môt tam giac vuông cân có canh goc vuông băng a. Măt bên qua canh huyên ́ ̉ ́ ́ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ̀ vuông goc với đay, môi măt bên tao với đay môt goc 450. ́ ́ ̃ ̣ ̣ ́ ̣ ́ a) CMR chân đường cao khôi chop trung với trung điêm canh huyên. ́ ́ ̀ ̉ ̣ ̀ b) Tinh thể tich khôi chop. ́ ́ ́ ́ 37. Cho khôi chop tứ giac đêu S.ABCD có canh đay băng a và goc ASB băng α . CMR: đường cao cua ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̉ a a cot 2 − 1 và tinh thể tich khôi chop. ́ ́ ́ ́ ́ ́ khôi chop h = 2 2 28. Cho khôi chop tứ giac đêu S.ABCD có canh đay băng a, goc giữa canh bên với đay băng 600. ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ a) Tinh thể tich khôi chop. ́ ́ ́ ́ b) Tinh goc do măt bên tao với đay. ́ ́ ̣ ̣ ́ 29. Cho tứ diên S.ABC có đay ABC là tam giac cân tai B, AC = a, SA ⊥ (ABC), goc giữa canh bên SB ̣ ́ ́ ̣ ́ ̣ và đay băng 60 . ́ ̀ 0 a) Chứng minh BC ⊥ (SAB) b) Tinh thể tich tứ diên SABC. ́ ́ ̣ 30. Cho hinh chop tứ giac đêu SABCD có canh đay băng a và goc giữa măt bên hợp với đay môt goc ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ́ 600 a) Tinh thể tich khôi chop. ́ ́ ́ ́ b) Tinh khoang cach giữa AB và mp(SCD). ́ ̉ ́ 31. Cho hinh chop S.ABC có đay ABC là tam giac đêu canh a, canh bên SA ⊥ (ABC), goc giữa măt bên ̀ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ (SBC) và đay băng 600. ́ ̀ a) Tinh thể tich khôi chop. ́ ́ ́ ́ b) Xác định điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính IA.. 32. Cho hinh chop S.ABCD có đay ABCD là hinh vuông canh a, goi I là trung điêm cua AB, SI ⊥ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̣ ̉ ̉ (ABCD), goc giữa măt bên (SCD) và đay băng 600. Tinh thể tich khôi chop. ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ 33. Cho hinh chop tam giac O.ABC có ba canh OA, OB, OC đôi môt vuông goc với nhau và OA = a, ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́ OB = b, OC = c. Tinh đường cao OH cua hinh chop. ́ ̉̀ ́ 34. Cho tam giac ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thăng qua C và vuông goc với (ABC) lây ́ ̉ ́ ́ điêm D sao cho CD = a. Măt phăng qua C vuông goc với BD, căt BD tai F và căt AD tai E. Tinh thể tich ̉ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ́ ̣ ́ ́ khôi tứ diên CDEF. ́ ̣ 35. Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC có canh đay AB = a. Cac canh bên SA, SB, SC tao với đay môt ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ goc 60o. Goi D là giao điêm cua SA với măt phăng qua BC và vuông goc với SA. ́ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ́ a) Tinh tỉ số thể tich cua hai khôi chop S.DBC và S.ABC. ́ ́ ̉ ́ ́ b) Tinh thể tich cua khôi chop S.DBC. ́ ́ ̉ ́ ́ 36. Cho hinh chop tam giac S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Cac măt bên SAB, SBC, SCA tao ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ với đay môt goc 60 . Tinh thể tich cua khôi chop. ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ o 37. Cho hinh chop tứ giac đêu S.ABCD, đay là hinh vuông canh a, canh bên tao với đay môt goc 60o. ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̣ ́ Goi M là trung điêm SC. Măt phăng đi qua AM và song song với BD, căt SB tai E và căt SD tai F. Tinh ̣ ̉ ̣ ̉ ́ ̣ ́ ̣ ́ thể tich khôi chop S.AEMF ́ ́ ́ B. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN: 1) Mặt nón: Cho hai đường thẳng ∆ và d cắt nhau tại O và tạo thành góc α (0 < α < 900). Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng ∆ gọi là mặt nón. * d: đường sinh * ∆ : trục * O đỉnh * 2α: góc ở đỉnh 2) Hình nón: Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một 4
  5. Chuẩn kiến thức Hình học 12 tam giác vuông khi quay quanh một cạnh góc vuông. * Diện tích xung quanh: Sxq = π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối nón: Hình nón cùng với phần trong của nó được gọi là khối nón. 1 * Thể tích khối nón: V= π r2h . 3 h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng ∆ và d song song nhau và cách nhau một khoảng bằng r. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ. * d: đường sinh * ∆ : trục 2) Hình trụ: Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh. * Diện tích xung quanh: Sxq = 2 π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối trụ: Hình trụ cùng với phần trong của nó được gọi là khối trụ. * Thể tích khối nón: V= r2 h . h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy  Chú ý: đối với khối trụ h = l. III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU: 1) Mặt cầu: S(O,r) = { M OM = r} Cho điểm O cố định và số thực r. Kí hiệu: Tập hợp các điểm M trong không gian OA > r ⇔ A nằm ngoài (S) Chú ý: * cách điểm O một khoảng bằng r được OA < r ⇔ A nằm trong (S) * gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. OA = r ⇔ A nằm trên (S) * 2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng cách từ O đến mp(P). * d > r ⇔ (P) không cắt (S) hay (P) ∩ (S) = φ * d = r ⇔ (P) tiếp xúc (S) tại H Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính r 2 − d 2 5
  6. Chuẩn kiến thức Hình học 12  Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r) 3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d= OH là khoảng cách từ O đến ∆ . * d > r ⇔ ∆ không cắt (S) hay ∆ ∩ (S) = φ * d = r ⇔ ∆ tiếp xúc (S) tại H Khi đó: ∆ : tiếp tuyến, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B 4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu: * Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = 4 π r2. 4 * Thể tích khối cầu: V = π r3. 3 BÀI TẬP 1) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó. 2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ. b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song vói trục và cách trục 3cm. Tính diện tích của thiết diện được tạo nên. 3) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. 4) Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h = r 3 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. 5) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2. a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón. b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC. 6) Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. 7) Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và có bán kính đáy bằng r . Tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. 8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h và có đáy là một tam giác đều cạnh a. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này. 9) Một khối tứ diện đều có cạnh bằng a nội tiếp trong một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó. 10) Một khối trụ gọi là nội tiếp trong một khối cầu nếu hai đường tròn đáy của khối trụ nằm trên mặt của khối cầu. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ nội tiếp trong một khối cầu bán kính R nếu biết đường cao của khối trụ là h. b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R cho trước. 11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của của khối trụ có đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’. 6
  7. Chuẩn kiến thức Hình học 12 b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tếp hình vuông A’B’C’D’. 12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho. 13) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện 14) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp. 15) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a, BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện. 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a, Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. 17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. 18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng 19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành. 20) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. 21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu đó PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1.Hệ tọa độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. → → → Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị i , j , k lần lượt trên Ox, Oy, Oz thì: →2 →2 →2 →→ →→ →→ i = j = k =1, i . j = j .k = k . i = 0 2.Tọa độ của điểm và của vectơ. → → → M(x ; y ; z) ⇔ OM = x. i + y. j + z. k → → → → → u = ( x; y; z ) ⇔ u = x. i + y. j + z. k Cho A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) ⇒ AB = ( x 2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 ) 3.Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, hiệu. → → Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x 2 ; y 2 ; z 2 )  x1 = x 2  → → * u = v ⇔  y1 = y 2 z = z 1 2 → → * u ± v = ( x1 ± x 2 ; y1 ± y 2 ; z1 ± z 2 ) → * k u = (kx1 ; ky1 ; kz1 ) k ∈ R 7
  8. Chuẩn kiến thức Hình học 12 → → * m u + n v = ( mx1 + nx 2 ; my1 + ny 2 ; mz1 + nz 2 ) (m, n ∈ R ) 4.Hai vectơ cùng phương.  x 2 = kx1  x2 y 2 z 2 → →→ → → → →→ . u , v cùng phương ( u // v )(u ≠ 0 ) ⇔ ∃k ∈ R : v = k . u ⇔  y 2 = ky1 ⇔ = = x1 y1 z1  z = kz 2 1 5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước. x A − kx B  xM = 1 − k  y A − ky B  .M chia đọan AB theo tỉ số k ≠ 1 ⇔ MA = k MB ⇔  y M = 1− k  z A − kz B  z M = 1 − k   x A + xB y A + yB z A + z B  .M là trung điểm AB thì M   ; ; 2 2 2 6.Tích vô hướng của hai vectơ. → → Cho hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) → → →→ →→ . u . v =| u || v | . cos u , v  = x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2   → →2 .| u |= u = x12 + y12 + z12 .AB = AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 →→ x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2 u.v →→ → → → → . cos(u , v ) = = (| v |≠ 0 , | v |≠ 0 ) → → x12 + y12 + z12 . x 2 + y 2 + z 2 2 2 2 | u || v | → → . u ⊥ v ⇔ x1 .x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 = 0 7.Tích có hướng của hai vectơ.  y1 z1 z1 x1 x1 y1  →→ .[ u , v ] =   y z ;z x ;x  y2 2  2 2 2 2 →→ → →→ → . [u , v ] ⊥ u , [u , v ] ⊥ v →→ → → →→ . | [u , v ] |=| u || v | . sin( u , v ) →→ →→ → . u , v cùng phương ⇔ [ u , v ] = 0 →→→ →→ → . u , v , w đồng phẳng ⇔ [ u , v ]. w = 0 8.Các ứng dụng. [ ] 1 . S ABC = AB, AC 2 [ ] . V ABCD. A'B 'C 'D ' = AB, AD . AA' [ ] 1 . V ABCD = AB, AC . AD 6 9. Mặt cầu. - Mặt cáu tâm I(a ; b ; c) có bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 8
  9. Chuẩn kiến thức Hình học 12 - Ngược lại, phương trình: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 là phương trình của mặt cầu nếu có điều kiện : a2 + b2 + c2 > d. Khi đó I( -a ; -b; -c) là tâm của mặt cầu và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d B.BÀI TÂP. → → → → 1/ Cho u = (1; 2 ; 3), v = (2 ; 2 ; − 1), w = (4 ; 0 ; − 4) . Tìm tọa độ x , biết: → 1→ → → →→ → → →→→ → → a) x = 2 u + 4 v − w , b) x = 5 u − 3 v − w , c ) 2 u + v − w+ 3 x = 0 2 → 2/ Cho u có điểm đầu là (1 ; -1 ; 3) và điểm cuối là (-2 ; 3 ; 5). → Trong các vectơ sau đây vectơ nào cùng phương với u . → → → → → → → → → → → a ) a = −6 i + 8 j + 4 k , b) b = 4 j + 2 k , c ) c = i − 4 j + 2 k 3/ Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng 4/ Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2). Tìm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 5/ Chứng minh bốn điểm A(1 ; -1 ; 1), B(1 ; 3 ; 1), C(4 ; 3 ; 1), D(4 ; -1 ; 1) là các đỉnh của hình chữ nhật. Tính độ dài các đường chéo, xác định tâm của hình chữ nhật đó.Tính cosin của góc giữa hai vectơ AC , BD. → → 6/ Tính tích có hướng [ u , v ] biết. → → → → → → → → → → a ) u = (1 ; 2 ;−3) , v = ( −4 ; 1 ; 2) b) u = 3 i + 2 j − k , v = − i − 3 j + k → → → → → → → → c) u = (0 ; 1 ; − 2), v = (3 ; 0 ; − 4) b) u = 4 i + k , v = 2 i − j → → → 7/ Tính [u , v ]. w biết. → → → a ) u = (0 ; 3 ; 2), v = ( −4 ; 1 ; − 3), w = (1 ; − 2 ; 2) → → → → → → → → → → → b) u = 4 i + j − 3 k , v = j + 5 k , w = 2 i − 3 j + k . → → → → → → → → → c) u = i + j , v = i + j + k , w = i 8/ Chứng tỏ bốn điểm sau đây là bốn đinh của hình bình hành và tính diện tích của hình bình hành đó. A(1 ; 1 ; 1), B(2 ; 3 ; 4), C(6 ; 5 ; 2), D(7 ; 7 ; 5). 9/ Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1). 10)/ Tìm trên mặt phẳng Oxz cách đều ba điểm A(1 ; 1 ; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ; 1 ; -1). 11/ Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đọan AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M. →→→ 12/ Xét sự đồng phẳng của ba vectơ u , v , w trong mỗi trường hợp sau. → → → a) u = (1 ; − 1 ; 1), v = (0 ; 1 ; 2), w = (4 ; 2 ; 3) → → → → → → → → → → → b) u = 4 i + 2 j + 5 k , v = 3 i + j + 3 k , w = 2 i + k → → → 13/ Cho ba vectơ u = (3 ; 7 ; 0), v = (2 ; 3 ; 1), w = (3 ; − 2 ; 4) → → → a) Chứng minh u , v , w không thẳng hàng. → → → → b) Biểu thị a = (−4 ; − 12 ; 3) theo ba vectơ u ; v ; w . → → → → 14/ a) Cho a = (1 ; m ; − 1), b = (2 ; 1 ; 3) . Tìm m để a ⊥ b → → → → b) Cho a = (1 ; log 3 5 ; m), b = (3 ; log 5 3 ; 4) . Tìm m để a ⊥ b . → → → →→ c) Cho a = ( 2 ; − 1 ; 0) . Tìm b cùng phương với a , biết rằng a . b = 10 . 9
  10. Chuẩn kiến thức Hình học 12 15/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 1 ; 0), B0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1). a) Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD. b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD. c) Tính diện tích các mẳt của tứ diện. d) Tính độ dài các đường cao của khối tứ diện. e) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. f) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 16/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 1), C(2 ; 1 ; 1). a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. d) Tính độ dài đường cao ha của tam giác ABC. e) Tính các góc của tam giác ABC. f) Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC. g) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC. 17/ Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1). a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. b) Tính bán kính đường tròn nội, ngọai tiếp tam giác ABC. c) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ đỉnh C. 18/ Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(2 ; 1 ; -1), B(3 ; 0 ; 1), C(2 ; -1 ; 3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD = 5. Tính tọa độ đỉnh D. 19/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’B’ cạnh a. a) Chứng minh A’C ⊥ ( AB ' D' ) . b) Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BB’.Chứng minh A’C ⊥ MN . c) Tính cosin của góc giữa hai vectơ MN và AC ' . d) Tính VA’CMN. 20/ Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8. b) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3) c) Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1 d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1). e) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy). f) Tâm I(-2 ; 1 ; -3) và tiếp xúc trục Oy g) Tâm I(-2 ; 1 ; -3) và bán là OI. 21/ Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu. a) x2 + y2 + z2 -2x – 6y – 8z + 1 = 0 b) x2 + y2 + z2 – 2y = 0 c) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2x – 4y + 6z - 2 = 0 d) x2 + y2 + z2 – 3x + 4y – 8z + 25 = 0 22) Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy). b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz. c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1). 23/ Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để nó là phương trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. → → * vectơ n ≠ 0 được gọi là VTPT của mp( α ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc → với mp( α ) , viết tắt là n ⊥ (α ) 10
  11. Chuẩn kiến thức Hình học 12 → → * Nếu u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) không cùng phương và các đường thẳng chứa →→ chúng song song với (hoặc nằm trên) một mp( α ) ( u , v còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp( α ) ) thì : → →   y1 z1 z1 x1 x1 y1  → n = u , v  =   ; ;   y 2 z 2 z 2 x2 x2 y2     là một VTPT của mp( α ) . 2. Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0 → VTPT n = ( A ; B ; C) qua M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 )  3. mp (α ) :  ⇒ mp (α ) : A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 → VTPT n = ( A ; B ; C )  4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó: * D = 0 ⇔ ( α ) đi qua gốc tọa độ. * C = 0 , D ≠ 0 ⇔ (α ) song song với trục Oz C = D = 0 ⇔ (α ) chứa trục Oz. * B = C = 0 , D ≠ 0 ⇔ (α ) song song với mp(Oyz). * B = C = D = 0 ⇔ (α ) chính là mp(Oyz) ( Các trường hợp khác suy ra tương tự). 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α ' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0. ABC D (α ) //(α ' ) ⇔ = = ≠ A' B' C ' D' ABCD (α ) ≡ (α ' ) ⇔ = = = A' B ' C ' D' AB BC C A (α ) ∩ (α ' ) ⇔ ≠ ≠ ≠ hay hay A' B ' B' C ' C ' A' (α ) ⊥ (α ' ) ⇔ AA'+ BB '+CC ' = 0 • Chú ý: Ta quy ước nếu một “ phân số” nào đó có “ mẫu số “ bằng 0 thì “tử số “cũng bằng 0. 6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng. Mp( α ) cắt Ox tại A(a ; 0 ; 0), cắt Oy tại B(0 ; b ; 0), cắt Oz tại C(0 ; 0 ; c) có phương trình là: xyz + + = 1 , abc ≠ 0 abc 7. Góc của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α ' ) : A’x + B’y + C’z + D = 0 Gọi ϕ là góc của hai mặt phẳng, ta có: AA'+ BB'+CC ' cos ϕ = A 2 + B 2 + C 2 . A' 2 + B ' 2 +C ' 2 8. Khỏang cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ). Khi đó: Ax0 + By 0 + Cz 0 + D d(M0, ( α ) ) = A2 + B 2 + C 2 11
  12. Chuẩn kiến thức Hình học 12 II.BÀI TẬP. 1.Trong mỗi trường hợp sau viết phương trình mặt phẳng (P). a) Qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). b) Qua các hình chiếu của điểm M0(x0 ; y0 ; z0) với( x0.y0.z0 ≠ 0 ), lên các Ox, Oy, Oz. c) Qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) với (x0y0z0 ≠ 0) và lần lượt chứa các trục Ox ; Oy ; Oz. 2. Trong mỗi trường hợp sau , viết phương trình mặt phẳng (P). a) Đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3), B(2 ; -4 ; 3), C(4 ; 5 ; 6) b) Đi qua điểm M0(1 ; 3 ; - 2) và vuông góc với trục Oy. c) Đi qua M0(2; -1 ; 3) và vuông góc với BC với B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 4 ; 1) d) Đi qua M(1 ; 3 ; 2) và song song với mặt phẳng 2x – y + z + 4 = 0. e) Đi qua hai điểm A(3 ; 1 ; -1), B(2 ; -1 ; 4) và vuông góc với mặt phẳng x – y + 2z = 0 g) Đi qua M0(2 ; -1 ; 2), song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng 2x – y + 3z +1 = 0 h) Đi qua M0(-2 ; 3 ; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + y + 2z + 5 = 0 và 3x + 2y +z – 3 = 0 3. Tìm a để bốn điểm A(1 ; 2 ; 1), B(1 ; a ; 0), C(1 ; -2 ; 1), D( 1 ; 1 ; 1) thuộc một mặt phẳng. 4. Cho ba điểm A(1 ; 1 ; 1), B(3 ; -1 ; 1), C(-1 ; 0 ; 2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đọan AB không? 5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau: a) x – y + 2z – 4 = 0 và 10x – 10y + 20z – 40 = 0 b) 2x – 3x – 3z + 5 và 9x – 6y – 9z – 5 = 0 c) x + y + z – 1 = 0 và 2x + 2y – 2z + 3 = 0 6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x – my + 3z – 6 = 0 và (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0 Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó : - Song song với nhau. - Trùng nhau. - Cắt nhau. - Vuông góc với nhau. 7. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2 ; 1 ; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình : x + 2y – 2z + 5 = 0 8. Cho điểm bốn điểm A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ;1),D(-1 ;1 ; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(BCD). 9. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và có tâm I nằm trên mặt phẳng x + y + z – 3 = 0. 10. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4 ; 3 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại M. 11. Tìm điểm trên Oy cách đều hai mặt phẳng x + y – x + 1 = 0 và x –y + z – 5 = 0 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; b) với a , b là những số dương và M là trung điểm CC’. a) Tính thể tích tứ diện BDA’M. a b) Tìm tỉ số để mp(A’BD) vuông góc với mp(MBD). b 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm SC. Tính khỏang cách từ S đến mp(ABI ). III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc. 12
  13. Chuẩn kiến thức Hình học 12 qua M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 )  d:  có : → VTCP u = (a ; b ; c)   x = x o + at  - Phương trình tham số của d:  y = y 0 + bt (t ∈ R )  z = z + ct  0 x − x0 y − y0 z − z 0 = = (abc ≠ 0) - Phương trình chính tắc của d: a b c 2. Vị tri tương đối của hai đường thẳng. qua M 0 qua M 0 '   , d ':  d:  → → VTCP u VTCP u '   →→ + d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ [u , u '].M 0 M 0 = 0 '  →→ [ u u '].M 0 M 0 = 0 ' + d và d’ cắt nhau ⇔  → → → [ u ; u '] ≠ 0  → → → [ u , u '] = 0 + d // d’ ⇔  → → [ u , M 0 M 0 ] ≠ 0 '  →→ → → + d ≡ d ' ⇔ [u , u '] = [u , M 0 M 0 ] = 0 ' →→ + d và d’ chéo nhau ⇔ [u , u '].M 0 M 0 ≠ 0 ' 3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng. qua M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )  → và mp( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = ( A; B; C ) d:  → VTCP u = (a ; b ; c)  + d ∩ (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0 + d //(α ) ⇔   Ax0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0 + d ⊂ (α ) ⇔   Ax0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 → → →→ → + d ⊥ (α ) ⇔ u . // n ⇔ [ u , n ] = 0 4. Góc giữa hai đường thẳng. → → Cho đường thẳng d có VTCP u = (a; b; c) và d’ có VTCP u ' = (a ' ; b' ; c ' ) . Góc ϕ giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức. →→ u . u' a.a '+bb'+cc' cos ϕ = (0 ≤ ϕ ≤ 90 0 ) = →→ a + b + c . a ' +b ' + c ' 2 2 2 2 2 2 u u' 5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng. 13
  14. Chuẩn kiến thức Hình học 12 → → Cho đường thẳng d có VTCP u = (a ; b ; c) và mp( α ) có VTPT n = ( A ; B ; C ) . Gọi ϕ là góc hợp bởi d và mp( α ) , ta có công thức. →→ u.n Aa + Bb + Cc sin ϕ = = →→ A2 + B 2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2 u.n qua M 0  6. Khỏang cách từ M1(x1 ; y1 ; z1) đến đường thẳng ∆ :  → VTCP u  α ) qua M1 và vuông góc với ∆ . + Cách 1: - Viết phương trình mp( - Tìm tọa độ giao điểm H của ∆ và mp( α ) . - d(M1, ∆) = M1H.   → M 1M 0 , u     + Cách 2: d(M1, ∆) = → |u| 7. Khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. qua M 0 qua M 0 '   Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ :  , ∆ ':  →. → VTCP u VTCP u '   + Cách 1: - Viết phương trình mp( α ) chứa ∆ và song song với ∆' . - Tính khỏang cách từ M 0 đến mp( α ) . ' d (∆, ∆' ) = d ( M 0 , (α )) . ' - → →  ' u , u '.M 0 M 0   + Cách 2: d (∆, ∆' ) =   →→ u , u '   II. BÀI TẬP. 1.Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc( nếu có) của các đường thẳng sau. a) Đi qua hai điểm A(2 ; 4 ; -1) và B(5 ; 0 ; 7). → → → → b) Đ qua A(2 ; 0 ; -1) và có VTCP u = − i + 3 j + 5 k c) Đi qua A(-2 ; 1 ; 2) và song song với trục Oz.  x = 1 + 2t  d) Đi qua A(2 ; 3 ;-1) và song song với đường thẳng ∆ :  y = −3t  z = 3 + 2t  e) Đi qua A(-2 ; 1 ; 0) và vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 2y – 2z + 1 = 0. x = t x = t   y = 1− t ,  y = 1 − 2t . f) Đi qua A(2 ; -1 ; 1) và vuông góc với hai đường thẳng  z = 2t z = 0   14
  15. Chuẩn kiến thức Hình học 12  x = 1 + 2t  2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d:  y = −2 + 3t trên mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz), z = 3 + t  mp(P): x + y + z – 1 = 0. 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng. x −1 y − 7 z − 3 x − 6 y +1 z + 2 = = = = a) d : , d ': −2 2 1 4 3 1 x −1 y − 2 z y +8 x = = = = z−4 b) d : , d ': −2 −2 2 1 3 x−2 z +1 x−7 y−2 z y = = = = c) d : , d ': −6 −8 −6 4 9 12  x = 9t  d) d :  y = 5t , d’ là giao tuyến của 2 mp(P): 2x – 3y – 3z – 9 = 0  z = −3 + t  và mp(Q):x – 2y + z + 3 = 0. 4. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. x − 12 y = 9 = z − 1 và ( α ) : 3x + 5y – z – 2 = 0 = a) d : 4 3 x +1 y − 3 z và (α ) : 3x – 3y + 2z – 5 = 0 = = b) d : 2 4 3 x − 9 y −1 z − 3 và ( α ) : x + 2y – 4z + 1 = 0. = = c) d : 8 2 3 x + 2 y −1 z +1 5. Tính khỏang cách từ M0(2 ; 3 ; 1) đến đường thẳng ∆ : = = . −2 1 2 x = t  6. Cho đường thẳng ∆ :  y = t và mp(P): 2x + y – z + 5 = 0. Chứng tỏ ∆ //( P ) . Tính khỏang cách từ ∆  z = 1 + 3t  đến mp(P). 7. Tính khỏang cách giữa các cặp đường thẳng. x = 1 + t  x = 2 − 3t '   a) d :  y = −1 − t , d ':  y = −2 + 3t ' z = 1  z = 3t '   x −1 y + 3 z − 4 x + 2 y −1 z +1 = = = = b) d : , d ': −2 −4 −2 2 1 4 8. Tìm góc của mỗi cặp đường thẳng.  x = 1 + 2t x = 2 − t '   a) d :  y = −1 + t , d ':  y = −1 + 3t '  z = 3 + 4t  z = 4 + 2t '   x + 3 y −1 z − 2 x −1 y + 2 z + 2 = = = = b) d : , d ': 2 1 1 3 1 4 9. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.  x = 1 + 2t  a) d :  y = −1 + 3t , (α ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0 z = 2 − t  15
  16. Chuẩn kiến thức Hình học 12 x + 2 y −1 z − 3 , (α ) : x + y − z + 2 = 0 = = b) d : −2 4 1 10. a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M0(1 ; -1 ; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0 b) Cho ba điểm A(1 ; 1 ; 2), B(-2 ; 1 ; -1), C(2 ; -2 ; -1). Tìm tọa độ hình chiếu của gốc tọa độ O trên mặt phẳng (ABC). 11. a) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M0(4 ; -3 ; 2) trên đường thẳng x+2 y+2 = = −z d: 3 2 b) Cho ba điểm A(-1 ; 3 ; 2), B(4 ; 0 ; -3), C(5 ; -1 ; 4). Tìm tọa độ hình chiếu của A trên đường thẳng BC. 12. a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M0(2 ; -3 ; 1) qua mặt phẳng (P): 2x + 2y –z + 2 = 0  x = 1 + 2t  b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M0(2 ; -1 ; 1) qua đường thẳng d :  y = −1 − t  z = 2t  13. Viết phương trình đường vuông góc chung của cặp đường thẳng: x −2 y −3 z +4 x +1 y − 4 z − 4 = = = = d: , d ': −5 −2 −1 2 3 3 x = t  14. a) Cho đường thẳng d :  y = −1 − 2t và hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 1 = 0 z = t  và (P’) : x + 2y + 2z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (P’). x y −1 z +1 b) Cho đường thẳng d : = = và hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và 2 1 2 (P’): 2x – y + z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với (P) và (P’).  x = 1 + 2t x = 1 + t'   15. Cho hai đường thẳng d :  y = −1 + t , d ':  y = t ' z = 2 − t  z − −7 + 3t '   a) Chứng minh d và d’ chéo nhau và vuông góc nhau. b) Viết phương trình mp(P) qua d’ và vuông góc d. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). 16. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và hai đường thẳng  x = −7 + 3t x + 5 y − 1 z + 13  = = , d ':  y = −1 − 2t d: −3 2 2 z = 8  a) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc (S) và song song với d , d’.  x = −1 x −1 y + 2  = = z , d '  y = t . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 17. Cho hai đường thẳng d : 3 1 z = 1 + t  M(0 ; 1 ; 1) sao cho ∆ vuông góc d và ∆ cắt d’.  x = t  x +1 y + 3 z − 2  3 = = , d ':  y = −4 + t d: 18. Cho hai đường thẳng −2 −1 3 2   5 z = 6 − 2 t  16
  17. Chuẩn kiến thức Hình học 12 a) Chứng minh d và d’ chéo nhau. b) Tính khỏang cách giữa d và d’. c) Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(-4 ; -5 ; 3) sao cho ∆ cắt d và d’. x +1 y −1 z − 2 = = và mp(P): x – y –z – 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua 19. Cho d : 2 1 3 A(1 ; 1 ; -2) sao cho ∆ ⊥ d và ∆ //( P ). x −1 y +1 z x y+3 z +2 = = , d ': = = 20. Cho hai đường thẳng d : và mp (P): x + y + z – 1 = 0. Lập −1 −1 2 1 1 0 phương trình đường thẳng ∆ sao cho ∆ ⊥ ( P) và ∆ cắt cả hai đường thẳng d và d’. 21. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; -1 ; 0) vuông góc và cắt đường thẳng x y +1 z +1 d: = = −3 −3 1 x = t x y −1 z − 4  22. Cho điểm A(1 ; -1 ; 1) và hai đường thẳng d :  y = −1 − 2t , d ': = = 1 2 5  z = −3t  Chứng minh A, d, d’ cùng thuộc một mặt phẳng. x y−2 z+4 x + 8 y − 6 z − 10 23. Ch hai đường thẳng d : = = = = , d ': . −1 −1 1 2 2 1 a) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với Ox và cắt d tại M, cắt d’ tại N. Tìm tọa độ của M, N. b) Cho A thuộc d, B thuộc d’, AB vuông góc với d và d’. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. BÀI TẬP TỔNG HỢP 1/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0. 1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P). 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm. 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1 ; 2 ; 1) và đường thẳng x −1 y z + 2 == (d): . −1 2 1 1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (d). 2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d). Tìm tọa độ giao điểm. 3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình đường thẳng AD. 2/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. 4/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-2 ; 0 ; 1), B(0 ; 10 ; 2), C(2 ; 0 ; -1), D(5 ; 3 ; -1). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C và viết phương trình đường thẳng đi qua D song song với AB. 2/ Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ đỉnh D  x = 1 + 2t  5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y = 2 + t và mặt phẳng z = 4 − t  (P): 2x + 2y + z = 0. 1/ Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).Tính góc giũa d và (P). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).  x = 1 + 2t  6/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:  y = 2 + t và điểm A(-1 ; 0 ; 2). z = 4 − t  17
  18. Chuẩn kiến thức Hình học 12 1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d và điểm A. 2/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d. 7/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P). 2/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P). 8/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0, (Q): 4x + 5y – z + 1 = 0. 1/ Tính góc giữa hai mặt phẳng và viết phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O vuông góc với (P) và (Q). 9/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8). 1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P). 2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng (P). 10/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0. 1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ của tiếp điểm. 11/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; -4). 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành . 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC). x −1 y − 2 z − 3 = = 12/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: , −2 −1 1 x = t  d’:  y = −1 − 5t  z = −1 − 3t  1/ Chứng minh d và d’ chéo nhau. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.Tính khỏang cách giữa d và d’. 13/ Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), D(0 ; 0 ; 3). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. 2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’. x y −1 z +1 14/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = và hai mặt phẳng 2 1 2 (P1): x + y – 2z + 5 = 0, (P2): 2x – y + z + 2 = 0. 1/ Tính góc giữa mp(P1) và mp(P2), góc giữa đường thẳng d và mp(P1). 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với mp(P1) và mp(P2). 15/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5). 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB. 2/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O. 16/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0 và hai điểm M(1 ; 1 ; 1), N(2 ; -1 ; 5). 1/ Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua các hình chiếu của tâm I trên các trục tọa độ. 2/ Chứng tỏ đường thẳng MN cắt mặt cầu (S) tại hai điểm. Tìm tọa độ các giao điểm đó. 17/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4). 1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB. 18
  19. Chuẩn kiến thức Hình học 12 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A. x −1 y +1 z − 2 = = 18/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: 2 3 4  x = −2 + 2t  và d’:  y = 1 + 3t .  z = 4 + 4t  1/ Chứng minh d song song với d’. Tính khỏang cách giữa d và d’. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. 19/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2 ; -1 ; 3), mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0 và x −1 y − 2 z = =. đường thẳng d: −1 2 3 1/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua mp(P). 2/ Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho khỏang cách từ M đến mp(P) bằng 3. 20/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 1 ; 1), mp(P): x + y – z – 2 = 0 và đường thẳng x − 2 y z −1 == d: . −1 1 1 1/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d. 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song với mp(P) và cắt d. x y−4 z+2 21/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng 1 2 2 (P):x + y – z – 2 = 0. 1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O và song song với d. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q), biết (Q) song song với (P) và cắt d tại điểm có hòanh độ x = 0. x −1 y + 2 z − 5 = = 22/ ). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: , −3 2 4 x − 7 y − 2 z −1 = = d2: . −2 3 2 1/ Chứng tỏ d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đó. 2/ Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và d2. Viết phương trình của mặt cầu tiếp xúc với (P) tại M và có bán kính bằng 429 . 23/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ xác định bởi các hệ thức → → → → OA = i − 2 k , OB = −4 j − 4 k và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0. 1/ Tìm giao điểm M của đường thẳng AB với mp(P). 2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp (P).  x = 1 + 2t  24/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y = 2t và mặt phẳng z = t  (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. 1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O vuông góc với d và song song với (P). 2/ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc (P) và có bán kính bằng 4. 19
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản