Chứng minh các đẳng thức Vectơ

Chia sẻ: hoangyeudoi110

Tham khảo tài liệu 'chứng minh các đẳng thức vectơ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Chứng minh các đẳng thức Vectơ

 

  1. Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng  GV : Chu Quèc Hïng Chủ để 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ VD1.rCho r điuuu A, B, C, D, E, uuuCMR : (bằng uuu ều cách khác nhau) uuu uuu uuu uuu uuu uuu ểm uuu 6 F.r uuu uuu nhi r r r r r uuu uuu r r r r r r a) AB + CD = AD + CB b) AB − CD = AC + D B c) AD + BE + CF = AE + BF + CD VD2.r ho r uuur ABC với M, uuu P là trung điểm các cạnh AB, BC, r uuu ứng minh rằng : uuu C uuu giác u tam N,r uuur uuu uuur uuuCA. Ch u r r rr a) AN + BP + CM = O b) AN = AM + AP c) AM + BN + CP = O VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B. uu uu r r uuu r a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : I + I = 2I . AB M uuur uuur uu r uu r uur b) Với điểm N sao cho N A = −2N B . CMR với I bất kì : I + 2I = 3I A B N uuur uuu r uu uu r r uu r c) Vơi điểm P sao cho PA = 3PB . CMR với I bất ki : I − 3I = −2I . A B P d) Tổng quát tính chất trên. VD3. (Hệ thức về trọng tâmr Cho tam giácuABC và G là trọng tâmr ủa r uu uuu) uuu uuu r uuc uutam giác. uu r r r r a) Chứng minh rằng AG + BG + CG = O . Với I bất kì ta có : I + I + I = 3I . ABC G uuur uuur uuur uur uu uu uu r r r uuur 1 b) M thuộc đoạn AG và M G = GA . CMR : 2M A + M B + M C = O . Với I bki 2I + I + I = 4I . ABC M 4 c) Tổng quát tính chất trên. d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng : uuu uuu uuu r r r uuuu r + AD + BE + CE = 3GG1 + Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. VD4. (Hệ thứcuuu hình bìnhr uuu Chohình bình hànhuu uu tâm O. r uu về uuu uuuhành) u ABCD uu uu r r rr rrr r a) CMR : AO + BO + CO + D O = O , Với I bất kì I + I + I + I = 4I ABCD O b) M là điểm thoả mãn: VD5. (uuu giácrbất uuuu Tứ uuu Cho tứ giác ABCD. Gọuuuu N của AB và CD . CMR : kì) r i M, r uuu uuu r r r a) AD + BC = 2M N b) AC + BD = 2M N uu uu uu uu u rrrrr c) Tìm vị trí điểm I sao cho I + I + I + I = O ABCD uuur uuur uuur uuuu u r uuu r d) Với M bất kì, CMR : M A + M B + M C + M D = 4M I VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm A1,A2 ,.,An . .. uuur uuuu u r uuuu u rr GA1 + GA2 + .. GAn = O . CMR vơi bki M : .+ a) Gọi G là điểm thoả mãn uuuu uuuu r r uuuur uuur u M A1 + M A2 + .. M An = nM G . .+ uuu r uuuur uuuu u rr b) Gọi I là điểm thoả mãn n1 I 1 + n2 GA2 + .. nn GAn = O . CMR với M bất kì : .+ A uuuur uuuur uuuur uuuu r n1 M A1 + n2 M A2 + .. nn M An = ( 1 + .+ nn ) G .+ n. M VD7. a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm. b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm. c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho : uuur uuur uuur uuu uuur uuur r A'B = kA' ,B ' = kB'A, 'A = kC 'B và k k 1. CMR hai tam giác ABC và A B C cùng trọng tâm. ’’’ CC C d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm. VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp) Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. uuu uuu uuu uuu r r r r uuur uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu r r r r a) 3O G = O A + O B + O C b) O H = O A + O B + O C c) 2H O = H A + H B + H C uur uu uu u r rr uuur uuu r uuu u rr d) aI + bI + cI = O e) TanA H A + TanBH B + t C H C = O A B C an uur uu r uu u rr f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : SBCM I + SACM I + SABM I = O (M nằm A B C ngoài thì không còn đúng). Page 1 2/10/2011
  2. Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng  GV : Chu Quèc Hïng VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. uuu 1 uuu 1 uuu r r r uuu 1 uuu 1 uuu r r r a) CMR : AK = AB + AC . b) D là trung điểm BC. CMR : KD = AB + AC 4 6 4 3 Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm VD1. Cho tam giácr uuu uuur uuurtruuuu tâm. B 1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn ABC và G là ọng uuur uuu r r uuu uuu rr các véc tơ AM , AG ,BC , 1,AB1,M B1 qua hai véc tơ AB,AC . CB VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. uu uur r uuu uuu rr uuu uuu rr uu uur r a) Tính AI AJ theo hai véc tơ AB,AC . Từ đó biểu diễn AB,AC theo AI AJ . (Nhấn mạnh cách tìm , , biểu diễn) uu uur r uuu r b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính AG theo AI AJ . , Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng uuu r uuu r Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = kAC . uuu r r r uuu r r r uuur uuu r Lưu ý : AB = m x + ny   = km x + kny thì AB = kAC ,AC VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng. uuur 1 uuuu uuu 1 uuu r r r b) Gọi E, F thoả mãn : M E = M N , BF = BC . CMR : A, E, F thẳng hàng. 3 3 VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC. a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng. b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng. c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng. uuur uuur u uuu ur r uuu uuu uuu u r r rr VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : M B − 3M C = O , AN = 3N C , PB + PA = O . uuur uuu 1 uuu uuuu 1 uuu 1 uuu r r r r r CMR : M, N, P thẳng hàng. ( M P = CB + CA, M N = CB + CA ).   2 2 4 uur uuu uuur −1 uuur uuu uuu u u u r r rr VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB = 2LC ,M C = M A , N B + N A = O . CM : L, M, N 2 thẳng hàng. uu uu u r r r uu r uu r uur u r VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2I + 3I = O , 2JA + 5JB + 3JC = O . A C a ) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC. b) CMR J là trung điểm BI. uuu r uuu r c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE = kAB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. uur uu uu r r uur u r VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : I = 2I , 3JA + 2JC =O  . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G. A B  Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ Đặt Vấn đềuuu Chor u ểm A, B, C cố định. :r uuuhai r đi a) Nếu PB + PA = O thì P là trung điểm của AB. uuu uuu uuu u r r rr b) Nếu PB + PA + PC = O thị P là trọng tâm tam giác ABC. c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ? uur uu u rr VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : I + 2I = O . A B uu r uu u rr NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : m I + nI = O . Với điểm O bất A B uur m uuur n uuu r kì ta có : O I = OA + OB . m +n m +n VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho : Page 2 2/ / 10 2011
  3. Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng  GV : Chu Quèc Hïng uuur uuur uuu u r uuur uuur uuur u ur uuur uuur uuur u ur a) M B + M C = AB (Trung điểm AC) b) 2M A + M B + M C = O c) M A + 2M B + M C = O uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur u ur uuur uuur uuur u ur d) M A + M B + 2M C = O e) M A + M B − M C = O f) M A + 2M B − M C = O NX : Mở rộng với n điểm bất kì Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ Một số quĩ tích cơ bản : uuu r uuu r a) M A = M B thì M nẵm trên đường trung trực của AB. uuur u uuur b) M C = k AB , với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB. uuur uuu r c) AM = kBC với A, B, C cho trước. uuu r + k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng BC . + k< 0 + k bất kì Dạng 1. (Bài toán hai điểm) VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : uuu uuu r r uuu r uuu uuu r r uuu r uuur uuur uuur a) M A + M B = 2 AB b) M A + M B = AB c) M A + M B = 2 M A uuu uuu r r uuur uuu uuu r r uuur uuur d) M A + M B = M A e) 2M A + M B = M A − M B Dạng 2. (Bài toán 3 điểm) VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : uuu uuu uuur uuur r r uuur uuur uuur uuur uuur u u uuu uuu uuur 3 uuu uuur r r u r u a) M A + M B + M C = M B + M C b) M A + AC = M A − M B c) M A + 2M B + M C = M B − M C 2 uuur uuu r uuur uuu uuur u r u d) 3M A + 2M B − 2M C = M B − M C VD3. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : uuur uuur uuur u ur uuur uuu r uuur u ur uuur uuur uuuru c) ( − k) A + M B − kM C = O a) M A + kM B − kM C = O b) kM A + M B = kM C 1 M VD4 (Bài toán 4 điểm) VD5. (Bài toán tổng quát cho n điểm bất kì) Chủ đề 6. Một số bài toán về khoảng cách VD1 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất ? uuu uuu r r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) M A + M B b) M A + 2M B c) 3M A − M B d) 3M A + 2M B e) 2M A − 3M B VD2. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất uuu uuu uuur r r u uuur uuu uuur r u uuur uuur uuur u uuur uuur uuur u a) M A + M B + M C b) M A + 2M B + M C c) 3M A + M B + M C d) M A − 2M B + M C VD3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất uuu uuu uuur uuuu r r u r uuur uuu uuur uuuu r u r uuur uuur uuur uuuu u r M A+M B+M C +M D M A + 2M B + M C + 2M D 3M A + M B + M C − M D a) b) c) uuur uuu uuur uuuu r u r uuu uuu uuur uuu r r u r d) M A − 2M B + M C − M D e) M A + M B + M C + 2AB VD4. (Mở rộng ra bài toán cho n điểm) Chủ đề 7. Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định ĐVĐ : Với I là trung điuuu AB thì : ểm M uuur uuur r + M B + M A = 2M I uuuu r uuur uuur + Nếu M, I, N thẳng hàng thì khi đó : M N = kM A + kM B , hay nói cách khác I Là đường thẳng MN đi qua điểm I cố định. A B Page 3 2/ / N 10 2011
  4. Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng  GV : Chu Quèc Hïng Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm I bằng điểm bất kì VD1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm A B cố định. Hai điểm M, N di động. CMR đường thẳng MN luôn đi quarmột điểmuuu định nếu : uuu cố uuuu uuu r r uuuu r r uuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur a) M N = M A + 2M B b) M N = M A − 2M B c) M N = − M A + 2M B d) M N = 3M A + 2M B VD2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác ABC và điểm M trong mặt phẳng. CMR đường thẳng MN luôn đi qua một uuurm cốr ịnh nr u (Xác định vị trí điểm cố đuuur vàuuuu m N trong mỗi trườuuur ợuuur uuuu uuur điể uuu đ uuuu ế uuur uuur ịnh điể uuur ng h p) u u u r r a) M B + M C + M A = M N b) 2M A + M B + M C = M N c) M A + 2M B + M C = M N uuur uuur uuur uuuu u r uuur uuur uuur uuuu u r uuur uuur uuur uuuu u r d) M A + M B + 2M C = M N e) M A + M B − M C = M N f) M A + 2M B − M C = M N VD3.(Tổng quát cho bài toán n điểm) Page 4 2/ / 10 2011
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản