Chương 1 - Bài 1 (Dạng 1): Tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

1
204
lượt xem
84
download

Chương 1 - Bài 1 (Dạng 1): Tính đơn điệu của hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 1): tính đơn điệu của hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 1): Tính đơn điệu của hàm số

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t . Chương 1 NG D NG C A O HÀM KH O SÁT VÀ V TH C A HÀM S Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S 1.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. nh nghĩa : Gi s K là m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác nh trên K ư c g i là • ( ) ( ) ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ; • Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x ) > f (x ) . 1 2 2. i u ki n c n hàm s ơn i u : Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I • N u hàm s f ( ) ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I ; • N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I . 3. i u ki n hàm s ơn i u : Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f là hàm s liên t c trên I và có o hàm t i m i i m trong c a I ( t c là i m thu c I nhưng không ph i u mút c a I ) .Khi ó : ( ) • N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ; • N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I ; • N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không i trên kho ng I . Chú ý : • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có   ( ) o hàm f ' x > 0 trên kho ng (a;b ) thì hàm s f ng bi n trên a;b  .   • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có   ( ) o hàm f ' x < 0 trên kho ng f ngh ch bi n trên a;b  . (a;b ) thì hàm s   • Gi s hàm s f liên t c trên o n a;b  .   * N u hàm s f ( ) ng bi n trên kho ng a;b thì nó ng bi n trên o n a;b  .   5
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t . ( ) * N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng a;b thì nó ngh ch bi n trên o n a;b  .   * N u hàm s f không ( ) i trên kho ng a;b thì không i trên o n a;b  .   4. nh lý m r ng Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I . • N u f '(x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ I và f '(x ) = 0 ch t i m t s h u h n i m thu c I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ; • N u f '(x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ I và f '(x ) = 0 ch t i m t s h u h n i m thu c I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I . 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng 1 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s . ( ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n các bư c sau: • Tìm t p xác nh D c a hàm s . • Tính o hàm y ' = f ' x . ( ) • Tìm các giá tr c a x thu c D ( ) ( ) f ' x = 0 ho c f ' x không xác nh ( ta g i ó là i m t i h n hàm s ). ( ) • Xét d u y ' = f ' x trên t ng kho ng x thu c D . • D a vào b ng xét d u và i u ki n suy ra kho ng ơn i u c a hàm s . Ví d 1: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: x +2 −x 2 + 2x − 1 1. y = 2. y = x −1 x +2 Gi i: x +2 1. y = x −1 * Hàm s ã cho xác ( ) ( nh trên kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ . ) 3 * Ta có: y ' = - 2 < 0, ∀x ≠ 1 ( x −1 ) * B ng bi n thiên: x −∞ 1 +∞ y' − − 1 +∞ y −∞ 1 6
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t . V y hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ) ( ) −x 2 + 2x − 1 2. y = x +2 * Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ) ( ) −x 2 − 4x + 5 * Ta có: y ' = 2 , ∀x ≠ −2 ( x +2 ) x = −5 y' = 0 ⇔  x = 1  * B ng bi n thiên : x −∞ −5 −2 1 +∞ y' − 0 + + 0 − +∞ +∞ y −∞ −∞ V y, hàm s ( ) ( ng bi n trên các kho ng −5; −2 và −2;1 , ngh ch bi n trên các ) ( ) ( kho ng −∞; −5 và 1; +∞ . ) Nh n xét: ax + b * i v i hàm s y = (a.c ≠ 0) luôn ng bi n ho c luôn ngh ch cx + d bi n trên t ng kho ng xác nh c a nó. ax 2 + bx + c * i v i hàm s y = luôn có ít nh t hai kho ng ơn i u. a 'x + b ' * C hai d ng hàm s trên không th luôn ơn i u trên » . Bài t p tương t : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 2x − 1 3x 1. y = 4. y = 2 x +1 x +1 2 x + 4x + 3 x 2 − 4x + 3 2. y = 5. y = 2 x +2 2x − 2x − 4 x +1 x 2 + 2x + 2 3. y = 6. y = 2 3 x 2x + x + 1 Ví d 2: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = − x 3 − 3x 2 + 24x + 26 2. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 7
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t . Gi i: 3 2 1. y = − x − 3x + 24x + 26 * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24 x = −4 y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔  x = 2  * B ng xét d u c a y ' : x −∞ −4 2 +∞ y' − 0 + 0 − ( ) + Trên kho ng −4;2 : y ' > 0 ⇒ y ng bi n trên kho ng ( −4;2 ) , + Trên m i kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) : y ' < 0 ⇒ y ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) . Ho c ta có th trình bày : * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24 x = −4 y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔  x = 2  * B ng bi n thiên : x −∞ −4 2 +∞ y' − 0 + 0 − +∞ y −∞ V y, hàm s ( ) ng bi n trên kho ng −4;2 , ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞; −4 ) và (2; +∞ ) . 2. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có: y ' = 4x 3 − 12x + 8 = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔  x = 1  * B ng xét d u: x −∞ −2 1 +∞ y' − 0 + 0 + 8
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t . V y,hàm s ng bi n trên kho ng (−2; +∞) và ngh ch bi n trên kho ng (−∞; −2) . Nh n xét: * Ta th y t i x = 1 thì y = 0 , nhưng qua ó y ' không i d u. * i v i hàm b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nh t m t kho ng ng bi n và m t kho ng ngh ch bi n. Do v y v i hàm b c b n không th ơn i u trên » . Bài t p tương t : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = x 3 − 3x 2 + 2 4 5. y = − x 5 + x 3 + 8 2. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 5 1 3 3 1 4 6. y = x 5 − 2x 4 + x 2 − 2x 3. y = − x + 2x 2 − 1 5 4 2 4 7 4. y = x + 2x 2 − 3 4 7. y = 9x 7 − 7x 6 + x 5 + 12 5 Ví d 3 : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = x 2 − 2x 3. y = x 1 − x 2 2. y = 3x 2 − x 3 4. y = x + 1 − 2 x 2 + 3x + 3 Gi i: 1. y = x 2 − 2x . * Hàm s ã cho xác nh trên m i n a kho ng −∞; 0  ∪ 2; +∞ . (   ) x −1 * Ta có: y ' = ( ) ( , ∀x ∈ −∞; 0 ∪ 2; +∞ . ) x 2 − 2x Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 2 . Cách 1 : ( ) + Trên kho ng −∞; 0 : y ' < 0 ⇒ hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 ,( ) + Trên kho ng ( 2; +∞ ) : y ' > 0 ⇒ hàm s ng bi n trên kho ng ( 2; +∞ ) . Cách 2 : B ng bi n thiên : x −∞ 0 2 +∞ y' − || || + y 9
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t . V y , hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 và ( ) ( ng bi n trên kho ng 2; +∞ ) 2. y = 3x 2 − x 3 * Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng (−∞; 3] . 3(2x − x 2 ) * Ta có: y ' = , ∀x ∈ −∞; 0 ∪ 0; 3 .( ) ( ) 2 3x 2 − x 3 Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 . ( ) ( ) Suy ra, trên m i kho ng −∞; 0 và 0; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 2 B ng bi n thiên: x −∞ 0 2 3 +∞ y' − || + 0 − || y Hàm s ng bi n trên kho ng (0;2) , ngh ch bi n trên các kho ng (−∞; 0) và (2; 3) . 3. y = x 1 − x 2 * Hàm s ã cho xác nh trên o n  −1;1 .   1 − 2x 2 * Ta có: y ' = , ∀x ∈ −1;1 ( ) 1 − x2 Hàm s không có o hàm t i các i m x = −1, x = 1 . 2 ( ) Trên kho ng −1;1 : y ' = 0 ⇔ x = ± 2 B ng bi n thiên: x 2 2 −∞ −1 − 1 +∞ 2 2 y' || − 0 + 0 − || y  2 2 Hàm s ng bi n trên kho ng  − ;  , ngh ch bi n trên m i kho ng  2 2     2  2   −1; −  và  ;1  .  2   2      10
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t . 4. y = x + 1 − 2 x 2 + 3x + 3 * Hàm s ã cho xác nh trên » . 2x + 3 * Ta có: y ' = 1 − x 2 + 3x + 3  3 x ≥ − y ' = 0 ⇔ x 2 + 3x + 3 = 2x + 3 ⇔  2 ⇔ x = −1 x 2 + 3x + 3 = 2x + 3 ( ) 2  B ng bi n thiên : x −∞ −1 +∞ y' + 0 − y Hàm s ng bi n trên kho ng (−∞; −1) , ngh ch bi n trên kho ng (−1; +∞) . Bài t p tương t : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = 2x − x 2 ( 5. y = 4 − 3x ) 6x 2 + 1 2. y = x + 1 − x 2 − 4x + 3 2x 2 − x + 3 6. y = 3. y = 3 3x − 5 3x + 2 3 x +2 4. y = x 2 − 2x 7. y = x2 − x + 3 Ví d 4 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: y =| x 2 − 2x − 3 | Gi i: x 2 − 2x − 3 khi x ≤ −1 ∨ x ≥ 3 2  y =| x − 2x − 3 | =  2 −x + 2x + 3 khi − 1 < x < 3  * Hàm s ã cho xác nh trên » . 2x − 2 khi x < −1 ∨ x > 3  * Ta có: y ' =  −2x + 2 khi − 1 < x < 3  Hàm s không có o hàm t i x = −1 và x = 3 . ( ) + Trên kho ng −1; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 1 ; + Trên kho ng ( −∞; −1) : y ' < 0 ; + Trên kho ng ( 3; +∞ ) : y ' > 0 . 11
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t . B ng bi n thiên: x −∞ −1 1 3 +∞ y' − || + 0 − || + y Hàm s ng bi n trên m i kho ng (−1;1) và (3; +∞) , ngh ch bi n trên m i kho ng (−∞; −1) và (1; 3) . Bài t p tương t : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = x 2 − 5x + 4 3. y = −x + 1 − 2x 2 + 5x − 7 2. y = −3x + 7 + x 2 − 6x + 9 4. y = x 2 + x 2 − 7x + 10 Ví d 5 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y = 2 sin x + cos 2x trên o n 0; π  .   Gi i : * Hàm s ã cho xác nh trên o n 0; π    * Ta có: y ' = 2 cos x 1 − 2 sin x , x ∈ 0; π  . ( )   x ∈ 0; π      cos x = 0 π π 5π Trên o n 0; π  : y ' = 0 ⇔     ⇔x = ∨x = ∨x = .  1 2 6 6   sin x = 2  B ng bi n thiên: x π π 5π 0 π 6 2 6 y' + 0 − 0 + 0 − y  π D a vào b ng bi n thiên suy ra : hàm s ng bi n trên các kho ng  0;  và  6  π 5π  π π   5π   ;  , ngh ch bi n trên các kho ng  ;  và  ; π  . 2 6  6 2  6  Bài t p tương t : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 12
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t .  π 1. y = sin 3x trên kho ng  0;  .  3 cot x 2. y = x ( ) trên kho ng 0; π . 1 1  π 3. y = sin 4x − 8 ( 4 ) 2 − 3 cos 2x trên kho ng  0;  .  2  π  π 4. y = 3 sin  x −  + 3 cos  x +  trên o n 0; π  .    6  3 Ví d 6: Ch ng minh r ng hàm s y = sin2 x + cos x ng bi n trên o n  π π  0;  và ngh ch bi n trên o n  ; π  .  3 3  Gi i : * Hàm s ã cho xác nh trên o n 0; π    ( ) ( ) * Ta có: y ' = sin x 2 cos x − 1 , x ∈ 0; π 1 π ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trên 0; π : y ' = 0 ⇔ cos x = 2 ⇔x = . 3  π  π + Trên kho ng  0;  : y ' > 0 nên hàm s ng bi n trên o n 0;  ;  3  3 π  π  + Trên kho ng  ; π  : y ' < 0 nên hàm s ngh ch bi n trên o n  ; π  . 3  3  Bài t p tương t : ( ) ( )( 1. Ch ng minh r ng hàm s f x = x − sin x π − x − sin x ) ng bi n trên  π o n 0;  .  2 2. Ch ng minh r ng hàm s y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » . x 3. Ch ng minh r ng hàm s y = t a n 2 ( ) ng bi n trên các kho ng 0; π và (π ;2π ) . 3x  π  4. Ch ng minh r ng hàm s y = cos 3x + ng bi n trên kho ng  0;  và 2  18  π π ngh ch bi n trên kho ng  ;  .  18 2  13

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản