Chương 1 - Bài 1 (Dạng 3): Hàm số đơn điệu trên R

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
112
lượt xem
40
download

Chương 1 - Bài 1 (Dạng 3): Hàm số đơn điệu trên R

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 3): hàm số đơn điệu trên r', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 3): Hàm số đơn điệu trên R

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t . D ng 3 : Hàm s ơn i u trên » . S d ng nh lý v i u ki n c n • N u hàm s f x ( ) ( ) ơn i u tăng trên » thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ » . • N u hàm s f (x ) ơn i u gi m trên » thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ » . Ví d 1 : Tìm m các hàm s sau luôn ngh ch bi n trên m i kho ng xác nh . 1. y = mx + 3 − 2m 2. y = ( ) −2x 2 + m + 2 x − 3m + 1 x +m x −1 Gi i : mx + 3 − 2m 1. y = x +m * Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng −∞; −m ∪ −m; +∞ ) ( ) m 2 + 2m − 3 * Ta có : y ' = 2 , x ≠ −m . (x + m ) Cách 1 : * B ng xét d u y ' m −∞ −3 1 +∞ y' + 0 − 0 + D a vào b ng xét d u ta th y N u −3 < m < 1 thì y ' < 0 ⇒ hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng −∞; −m , ( ) ( −m; +∞ ) . Cách 2 : Hàm s ngh ch bi n trên t p xác nh khi : ( ) ( ) y ' < 0, ∀x ∈ −∞; −m ∪ −m; +∞ ⇔ m 2 + 2m − 3 < 0 ⇔ −3 < m < 1 −2x 2 + (m + 2 ) x − 3m + 1 1 − 2m 2. y = = −2x + m + x −1 x −1 * Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ . ( ) ( ) 2m − 1 * Ta có : y ' = −2 + 2 ,x ≠ 1 ( x −1 ) 15
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t . 1 + m≤ 2 ( ) ⇒ y ' < 0, x ≠ 1 , do ó hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng −∞;1 , (1; +∞ ) . 1 + m> khi ó phương trình y ' = 0 có hai nghi m x 1 < 1 < x 2 ⇒ hàm s ng 2 ( ) ( ) bi n trên m i kho ng x 1;1 và 1; x 2 , trư ng h p này không th a . 1 V ym≤ th a mãn yêu c u c a bài toán. 2 Bài t p tương t : Tìm m các hàm s sau luôn ngh ch bi n trên m i kho ng xác nh . 1. y = x − m 2 + 7m − 11 3. y = ( m − 1 x 2 + 2x + 1 ) x −1 x +1 2. y = ( ) m − 1 x + m 2 + 2m − 3 2 x −2 m +2 x +m −1 ( ) 4. y = x + 3m x −3 Ví d 2 : Tìm m các hàm s sau luôn ngh ch bi n trên » . 1 ( 1. y = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2 3 ) x3 2. y = (m + 2) 3 ( − (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1) Gi i: 1 ( 1. y = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2 3 ) * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có : y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 và có ∆ ' = 2m + 5 * B ng xét d u ∆ ' m −∞ 5 +∞ − 2 ∆' − 0 + 5 2 ( ) + m = − thì y ' = − x − 2 ≤ 0 v i m i x ∈ » và y ' = 0 ch t i i m x = 2 2 Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . 5 + m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . 2 16
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t . 5 ( + m > − thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s 2 ) ng bi n trên ( ) kho ng x 1; x 2 . Trư ng h p này không th a mãn . x3 ( 2. y = (m + 2) − (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1 3 ) * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 . + m = −2 , khi ó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn ngh ch bi n trên » . + m ≠ −2 tam th c y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 có ∆ ' = 10(m + 2) * B ng xét d u ∆ ' m −∞ −2 +∞ ∆' − 0 + + m < −2 thì y ' < 0 v i m i x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . ( ) + m > −2 thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ng bi n trên kho ng (x ; x ) . Trư 1 2 ng h p này không th a mãn . V y m ≤ −2 là nh ng giá tr c n tìm. Bài t p tương t : Tìm m các hàm s sau luôn ngh ch bi n trên m i kho ng xác nh . m 1 1. y = x + 2 + 3. y = x 3 − m 2x + 1 x −1 3 m+4 1 ( 2. y = m − 1 x − 3 − )x +2 4. y = mx 4 − m 2x 2 + m − 1 4 Ví d 3 : Tìm a các hàm s sau luôn ng bi n trên » . 1 1. y = x 3 + ax 2 + 4x + 3 3 1 ( ) ( ) 2. y = a 2 − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5 3 Gi i : 1 1. y = x 3 + ax 2 + 4x + 3 3 * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có y ' = x 2 + 2ax + 4 và có ∆ ' = a 2 − 4 * B ng xét d u ∆ ' 17
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t . a −∞ −2 2 +∞ ∆' + 0 − 0 + + N u −2 < a < 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » . 2 + N u a = 2 thì y ' = x + 2 ( ) , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 . Hàm s y ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −2  và  −2; +∞ nên hàm s y   ( ) ng bi n trên » . + Tương t n u a = −2 . Hàm s y ng bi n trên » . + N u a < −2 ho c a > 2 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch bi n trên kho ng x 1; x 2 , ng bi n trên m i ( ) ( ) ( ) kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó a < −2 ho c a > 2 không tho mãn yêu c u bài toán . V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi −2 ≤ a ≤ 2 . 1 2 2. y = 3 ( ) ( a − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5 ) * Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( ) * Ta có : y ' = a 2 − 1 x 2 + 2 a + 1 x + 3 và có ∆ ' = 2 −a 2 + a + 2 ( ) Hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » 1 () + Xét a 2 − 1 = 0 ⇔ a = ±1 3 i a = 1 ⇒ y ' = 4x + 3 ⇒ y ' ≥ 0 ⇔ x ≥ − ⇒ a = 1 không tho yêu c u bài 4 toán. i a = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ∀x ∈ » ⇒ a = −1 tho mãn yêu c u bài toán. + Xét a 2 − 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1 * B ng xét d u ∆ ' a −∞ −1 1 2 +∞ ∆' − 0 + 0 − + N u a < −1 ∨ a > 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » . 2 + N u a = 2 thì y ' = 3 x + 1 ( ) , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −1, y ' > 0, x ≠ −1 . Hàm s y ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 va`  −1; +∞ nên hàm s y   ( ) ng bi n trên » . 18
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t . + N u −1 < a < 2, a ≠ 1 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s ( ) x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch bi n trên kho ng x 1; x 2 , ng bi n trên m i ( ) ( ) kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó −1 < a < 2, a ≠ 1 không tho mãn yêu c u bài toán . Do ó hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi a < −1 ∨ a ≥ 2 . V y v i 1 ≤ a ≤ 2 thì hàm s y ng bi n trên » . Bài t p tương t : Tìm m các hàm s sau luôn ng bi n trên m i kho ng xác nh . 1 m ( 1. y = x 3 − x 2 + m 2 − 3 x − 1 3 2 ) 3 x 2. y = 3 ( − mx 2 + m + 2 x + 3) x3 ( 3. y = m + 2 ) 3 ( ) − m − 1 x 2 + 4x − 1 x3 ( 4. y = m − 2 ) 3 ( ) − 2m − 3 x 2 + 5m − 6 x + 2 ( ) Chú ý : Phương pháp: * Hàm s y = f (x , m ) tăng trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔ min y ' ≥ 0 . x ∈» * Hàm s y = f (x , m ) gi m trên » ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔ max y ' ≤ 0 . x ∈» Chú ý: 1) N u y ' = ax 2 + bx + c thì  a = b = 0    c ≥ 0 * y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔   a > 0   ∆ ≤ 0   a = b = 0    c ≤ 0 * y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔   a < 0   ∆ ≤ 0  19
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t . 2) Hàm ng bi n trên » thì nó ph i xác nh trên » . 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản