Chương 1 - Bài 1 (Dạng 4): Hàm số đơn điệu trên tập con của R

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
152
lượt xem
50
download

Chương 1 - Bài 1 (Dạng 4): Hàm số đơn điệu trên tập con của R

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 4): hàm số đơn điệu trên tập con của r', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 4): Hàm số đơn điệu trên tập con của R

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t . D ng 4 : Hàm s ơn i u trên t p con c a » . Phương pháp: * Hàm s y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ min y ' ≥ 0 . x ∈I * Hàm s y = f (x , m ) gi m ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ 0 . x ∈I Ví d 1 : Tìm m các hàm s sau mx + 4 1. y = x +m luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( ) ( ) 2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( ) Gi i : mx + 4 1. y = x +m luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( ) * Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞;1 . ( ) m2 − 4 * Ta có y ' = 2 , x ≠ −m (x + m ) y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1  ( ) ( Hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞;1 khi và ch khi  ) ( ) −m ∉ −∞;1  m 2 − 4 < 0    −2 < m < 2   −2 < m < 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1   ( −m ∉ −∞;1 ) −m ≥ 1  m ≤ −1  V y : v i −2 < m ≤ −1 thì tho yêu c u bài toán . ( ) 2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( ) * Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −1;1 . ( ) * Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m + 1 Cách 1 : Hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng −1;1 khi và ch khi ( ) ( ) hay. y ' ≤ 0, ∀x ∈ −1;1 Xét hàm s g ( x ) = − ( 3x 2 ( ) ) + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 ⇒ g ' ( x ) = −6x − 6 < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) và lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10 x →−1+ x →1− * B ng bi n thiên. 20
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t . x −1 1 g' x ( ) − −2 g x ( ) −10 V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán . Cách 2 : ( ) f '' x = 6x + 6 ( ) Nghi m c a phương trình f '' x = 0 là x = −1 < 1 . Do ó, hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) khi và ch khi m ≤ lim g x = −10 . − x →1 ( ) V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán . Bài t p t luy n: Tìm m các hàm s sau: mx − 1 1. y = x −m luôn ngh ch bi n kho ng 2; +∞ . ( ) x − 2m 2. y = luôn ngh ch bi n kho ng 1;2 . ( ) ( 2m + 3 x − m ) x 2 − 2m 3. y = x −m luôn ngh ch bi n kho ng −∞; 0 . ( ) ( ) m − 1 x2 + m 4. y = x + 3m luôn ngh ch bi n kho ng 0;1 . ( ) Ví d 2 : Tìm m các hàm s sau 1. y = 2x 3 − 2x 2 + mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( ) 2. y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( ) 1 3. y = 3 ( ) ( mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m) ng bi n trên kho ng 2; +∞ . ( ) Gi i : 1. y = 2x 3 − 2x 2 + mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( ) * Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng 1; +∞ . ) * Ta có : y ' = 6x 2 − 4x + m 21
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t . Hàm s ã cho ( ng bi n trên kho ng 1; +∞ khi và ch khi ) ( ) ( ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ g x = 6x 2 − 4x ≥ −m, x > 1 Xét hàm s g ( x ) = 6x − 4x liên t c trên kho ng (1; +∞ ) , ta có 2 g ' ( x ) = 12x − 4 > 0, ∀x > 1 ⇔ g ( x ) ng bi n trên kho ng (1; +∞ ) và lim g ( x ) = lim ( 6x − 4x ) = 2, lim g ( x ) = +∞ 2 x →1+ x →1+ x →+∞ * B ng bi n thiên. x −1 +∞ g' x ( ) + +∞ ( ) g x −2 D a vào b ng bi n thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔ m ≥ −2 2. y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( ) * Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −3; 0 . ( ) * Ta có : y ' = 3mx 2 − 2x + 3 Hàm s ã cho ( ) ng bi n trên kho ng −3; 0 khi và ch khi y ' ≥ 0, ( ∀x ∈ −3; 0 . ) 2x − 3 Hay 3mx 2 − 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇔ m ≥ ( ) 3x 2 , ∀x ∈ −3; 0 ( ) 2x − 3 Xét hàm s g x = ( ) 3x 2 liên t c trên kho ng −3; 0 , ta có ( ) −6x 2 + 18x ( ) g' x = 9x 4 ( ) ( ) < 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng −3; 0 ( ) 4 ( ) và lim+ g x = − , lim g x = −∞ x →−3 27 x →0− ( ) * B ng bi n thiên. x −3 0 g' x ( ) − 4 − ( ) g x 27 −∞ 22
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t . 4 D a vào b ng bi n thiên suy ra m ≥ − 27 1 3. y = 3 ( ) ( mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ng bi n trên kho ng 2; +∞ . ) ( ) * Hàm s ã cho xác nh trên kho ng 2; +∞ . ( ) ) * Ta có : y ' = mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 ( Hàm s ng bi n trên kho ng ( 2; +∞ ) khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ mx + 4 (m − 1) x + m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) 2 4x + 1 ( ) ⇔ x 2 + 4x + 1 m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥ ( ) 2 x + 4x + 1 ( , ∀x ∈ 2; +∞ ) 4x + 1 Xét hàm s g x = ( ) x + 4x + 1 , x ∈ 2; +∞2 ( ) −2x 2x + 1 ( ) ( ) ⇒ g' x = 2 < 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng( ) ( ) 2 ( x + 4x + 1 ) 9 (2; +∞ ) và lim g (x ) = 13 , lim g (x ) = 0 x → 2+ x →+∞ B ng bi n thiên. x 2 +∞ g' x ( ) − 9 g x ( ) 13 0 9 V y m≥ tho yêu c u bài toán . 13 Bài t p t luy n: Tìm m các hàm s sau: 2 ( mx + m + 1 x − 1 ) 1. y = 2x − m ) ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( 2. y = x 3 − mx 2 − 2m 2 ( − 7m + 7 ) x + 2 (m − 1)( 2m − 3 ) ng bi n trên ( kho ng 2; +∞ . ) 23
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t . 1 3. y = mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + 1 ng bi n trên kho ng (2; +∞) . 3 Ví d 3 : Tìm m các hàm s sau : mx 2 + 6x − 2 1. y =  ngh ch bi n trên n a kho ng 2; +∞ . ) x +2 2. y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) ng bi n trên n a kho ng 1; +∞ .  ) Gi i : mx 2 + 6x − 2 1. y = ngh ch bi n trên n a kho ng 2; +∞ .  ) x +2 * Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng 2; +∞  ) * Ta có y ' = 3x 2 − 2(m + 1)x − (2m 2 − 3m + 2) Hàm ng bi n trên n a kho ng 2; +∞ . ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞  )  ) ⇔ f (x ) = 3x 2 − 2(m + 1)x − (2m 2 − 3m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ )  Vì tam th c f (x ) có ∆ ' = 7m 2 − 7m + 7 > 0 ∀m ∈ » nên f (x ) có hai nghi m m +1 − ∆' m + 1 + ∆' x1 = ; x2 = . 3 3 x ≤ x 1 Vì x 1 < x 2 nên f (x ) ⇔  . x ≥ x 2  Do ó f (x ) ≥ 0 ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ x 2 ≤ 2 ⇔ ∆ ' ≤ 5 − m  ) m ≤ 5  m ≤ 5  3 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ −2 ≤ m ≤ . ∆ ' ≤ (5 − m ) 2m + m − 6 ≤ 0 2   2. y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) ng bi n trên n a kho ng 1; +∞ .  ) * Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng 1; +∞  ) mx 2 + 4mx + 14 * Ta có y ' = (x + 2)2 Hàm ngh ch bi n trên n a kho ng [1; +∞) ⇔ f (x ) = mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0 ,  ∀x ∈ 1; +∞ ) (*) . 24
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t . Cách 1: Dùng tam th c b c hai () • N u m = 0 khi ó * không th a mãn. • N u m ≠ 0 . Khi ó f (x ) có ∆ = 4m 2 − 14m B ng xét d u ∆ m −∞ 0 7 +∞ 2 ∆' + 0 − 0 + 7 • N u 0 < m < thì f (x ) > 0 ∀x ∈ » , n u f (x ) có hai nghi m x 1, x 2 thì 2 () f (x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ (x 1; x 2 ) nên * không th a mãn. 7 • N u m < 0 ho c m > . Khi ó f (x ) = 0 có hai nghi m 2 −2m + 4m 2 − 14m −2m − 4m 2 − 14m x1 ; x2 = m m 7 x ≤ x 1 Vì m < 0 ho c m > ⇒ x 1 < x 2 ⇒ f (x ) ≤ 0 ⇔  2 x ≥ x 2  Do ó f (x ) ≤ 0 ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ x 2 ≤ 1 ⇔ −3m ≥ 4m 2 − 14m  ) m < 0  14 ⇔ 2 ⇔m≤− . 5m + 14m ≥ 0 5  −14 Cách 2: (*) ⇔ m ≤ = g (x ) ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ m ≤ min g(x )  ) 2 x ≥1 x + 4x 14 14 Ta có min g (x ) = g (1) = − ⇒m ≤− . x ≥1 5 5 Bài t p t luy n : Tìm m các hàm s sau : ( ) x2 + m − 2 x − 2 ng bi n trên n a kho ng −∞;1 . 1. y = x +m (  1 3 2. y = x + m − 1 x 2 − m − 1 x + 1 ngh ch bi n trên n a kho ng −∞; −2  . ( ) ( ) ( 3 Ví d 4 : Tìm t t c các tham s m hàm s y = x 3 + 3x 2 + mx + m ngh ch bi n trên o n có dài b ng 1 ?. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh trên » . 25
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t . * Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m có ∆ ' = 9 − 3m i N u m ≥ 3 thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ » , khi ó hàm s luôn ng bi n trên » , do ó m ≥ 3 không tho yêu c u bài toán . ( ) i N u m < 3 , khi ó y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 và hàm s ngh ch bi n trong o n x 1; x 2  v i   dài l = x 2 − x 1 m Theo Vi-ét, ta có : x 1 + x 2 = −2, x 1x 2 = 3 Hàm s ngh ch bi n trên o n có dài b ng 1 ⇔ l = 1 2 2 4 9 ( ) ( ) ⇔ x 2 − x 1 = 1 ⇔ x 1 + x 2 − 4x 1x 2 = 1 ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = . 3 4 Bài t p tương t : 1. Tìm t t c các tham s m hàm s y = x 3 − 3m 2x 2 + x + m − 1 ngh ch bi n trên o n có dài b ng 1 ?. 2. Tìm t t c các tham s m hàm s y = −x 3 + m 2x 2 + mx + 3m + 5 ng bi n trên o n có dài b ng 3 ?. Ví d 5: Tìm m hàm s y = x + m cos x ng bi n trên » . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có y ' = 1 − m sin x . Cách 1: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ 1 − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ » (1) * m = 0 thì (1) luôn úng 1 1 * m > 0 thì (1) ⇔ sin x ≤ ∀x ∈ » ⇔ 1 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1. m m 1 1 * m < 0 thì (1) ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R ⇔ −1 ≥ ⇔ −1 ≤ m < 0 . m m V y −1 ≤ m ≤ 1 là nh ng giá tr c n tìm. Cách 2: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ » 1 − m ≥ 0  ⇔ min y ' = min{1 − m;1 + m} ≥ 0 ⇔  ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 . 1 + m ≥ 0  Bài t p t luy n: 1. Tìm m ( ) hàm s y = x m − 1 + m cos x ngh ch bi n trên » . 2. Tìm m hàm s y = x .sin x + m cos x ng bi n trên » . 26
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t . 27

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản