Chương 1 - Bài 1 (Dạng 5): Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

1
241
lượt xem
84
download

Chương 1 - Bài 1 (Dạng 5): Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 5): sử dụng tính đơn điệu của hàm số cm bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 5): Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức

  1. D ng 5 : S d ng tính ơn i u c a hàm s CM b t ng th c. • ưa b t ( ) ( ) ng th c v d ng f x ≥ M , x ∈ a;b . • Xét hàm s y = f ( x ) , x ∈ (a;b ) . • L p b ng bi n thiên c a hàm s trên kho ng a;b .( ) • D a vào b ng bi n thiên và k t lu n.  π Ví d 1 : V i x ∈  0;  .Ch ng minh r ng :  2 1. sin x + t a n x > 2x 2 sin x 2. < 2x  π ( ) * Xét hàm s f x = sin x + t a n x − 2x liên t c trên n a kho ng 0;  .  2 1 1  π ( ) * Ta có : f ' x = cos x + 2 − 2 > cos2 x + 2 − 2 > 0, ∀x ∈  0;  cos x cos x  2  π  π ( ) ⇒ f x là hàm s ( ) () ng bi n trên 0;  và f x > f 0 , ∀x ∈  0;   2  2  π hay sin x + t a n x > 2x , ∀x ∈  0;  ( pcm).  2 ⊕ T bài toán trên ta có bài toán sau : Ch ng minh r ng tam giác ABC có ba góc nh n thì sin A + sin B + sin C + tan A + tan B + tan C > 2π 2 sin x 2. < 0 thì < 1 (xem ví d 2 ) x sin x  π * Xét hàm s f x = ( ) liên t c trên n a kho ng  0;  . x  2 x .cos x − sin x  π ( ) * Ta có f ' x = 2 , ∀x ∈  0;  . x  2  π ( ) * Xét hàm s g x = x . cos x − sin x liên tr c trên o n 0;  và có  2 27
  2.  π ( ) ( ) g ' x = −x . sin x < 0, ∀x ∈  0;  ⇒ g x liên t c và ngh ch bi n trên o n  2  π  π ( ) () 0;  và ta có g x < g 0 = 0, ∀x ∈  0;   2  2 ( ) < 0, ∀x ∈  0; π  ⇒ f g' x * T ( ) ó suy ra f ' x = x2   2 (x ) liên t c và ngh ch   π π  2  π ( ) bi n trên n a kho ng  0;  , ta có f x > f   = , ∀x ∈  0;  .  2 2 π  2 Bài t p tương t :  π Ch ng minh r ng v i m i x ∈  0;  ta luôn có:  2 1. tan x > x 3. 2 sin x + tan x > 3x x3 3 2. tan x > x + 4. x − ,∀x ∈  0;  4.  3!  2  > cos x , ∀x ∈  0;  .  x   2 Gi i :  π 1. sin x ≤ x , ∀x ∈ 0;   2  π * Xét hàm s f (x ) = sin x − x liên t c trên o n x ∈ 0;   2  π * Ta có: f '(x ) = cos x − 1 ≤ 0 ,∀x ∈ 0;  ⇒ f (x ) là hàm ngh ch bi n trên  2  π o n 0;  .  2  π Suy ra f (x ) ≤ f (0) = 0 ⇔ sin x ≤ x ∀x ∈ 0;  ( pcm).  2 28
  3. x3  π 2. sin x > x − ,∀x ∈  0;  3!  2 x3  π * Xét hàm s f (x ) = sin x − x + liên t c trên n a kho ng x ∈ 0;  . 6  2 x2  π * Ta có: f '(x ) = cos x − 1 + ⇒ f "(x ) = − sin x + x ≥ 0 ∀x ∈ 0;  (theo 2  2 câu 1)  π  π ⇒ f '(x ) ≥ f '(0) = 0 ∀x ∈ 0;  ⇒ f (x ) ≥ f (0) = 0 ∀x ∈  0;   2  2 x3  π ⇒ sin x > x − , ∀x ∈  0;  ( pcm). 3!  2 x2 x4  π 3. cos x < 1 − + , ∀x ∈  0;  2 24  2 x2 x4  π * Xét hàm s g (x ) = cos x − 1 + − liên t c trên n a kho ng x ∈ 0;  . 2 24  2 x3  π * Ta có: g '(x ) = − sin x + x − ≤ 0 ∀x ∈ 0;  (theo câu 6  2  π 2) ⇒ g(x ) ≤ g(0) = 0 ∀x ∈ 0;   2 x2 x4  π ⇒ cos x < 1 − + , ∀x ∈  0;  ( pcm). 2 24  2 3  sin x   π 4.   > cos x , ∀x ∈  0;  .  x   2 x3  π Theo k t qu câu 2, ta có: sin x > x − , ∀x ∈  0;  6  2 3 sin x x2  sin x  3  x2  x2 x4 x6 ⇒ >1− ⇒  > 1 −  = 1 − + − x 6  x   6  2 12 216   3  sin x  x2 x4 x4 x2 ⇒  >1− + + (1 − )  x  2 24 24 9 29
  4. 3  π x2  sin x  x2 x4 Vì x ∈  0;  ⇒ 1 − >0⇒  >1− +  2 9  x  2 24 x2 x4  π M t khác, theo câu 3: 1 − + > cos x ,∀x ∈  0;  2 24  2 3  sin x   π Suy ra   > cos x ,∀x ∈  0;  ( pcm).  x   2 sin x π Nh n xét: Ta có 0 < sin x < x ⇒ 0 < < 1 ∀x ∈ (0; ) nên x 2 α 3  sin x   sin x    ≥  ∀α ≤ 3 . Do ó, ta có k t qu sau  x   x  α  sin x   π Ch ng minh r ng: v i ∀α ≤ 3 , ta luôn có:   ≥ cos x ∀x ∈  0;  .  x   2 Bài t p tương t : Ch ng minh r ng : x2 x2 x4 1 1 1. 1 − < cos x < 1 − + , ∀x ≠ 0 2. x sin x > 1 − 2 , ∀x > 0 2 2 24 6x 1 1 4  π Ví d 3 : Ch ng minh r ng < +1− , ∀x ∈  0;  sin2 x x2 π2  2 Gi i : 1 1  π * Xét hàm s f (x ) = − liên t c trên n a kho ng x ∈  0;  . sin2 x x2  2 2 cos x 2 2(−x 3 cos x + sin 3 x ) * Ta có: f '(x ) = − + = . sin 3 x x3 x 3 sin 3 x 3  sin x   π Theo k t qu câu 4 - ví d 2 , ta có:   > cos x ,∀x ∈  0;   x   2  π  π ⇒ −x 3 cos x + sin 3 x > 0 ,∀x ∈  0;  ⇒ f '(x ) > 0 ,∀x ∈  0;   2  2 π  4  π ⇒ f (x ) ≤ f   = 1 − , ∀x ∈  0;  2 π2  2 1 1 4  π Do v y: < +1− , ∀x ∈  0;  ( pcm). sin2 x x 2 π2  2 30
  5. Bài t p tương t : 4x  π 1. Ch ng minh r ng : sin2 x < (π − x ) v i m i x ∈  0;  . π2  2 2 x  π 2. Ch ng minh r ng : sin x > π x+ 12π ( ) π − 4x 2 v i m i x ∈  0;  .  2 3 π x +1 2. sin x ta n x Ví d 4 : V i 0 ≤ x < . Ch ng minh r ng 2 +2 > 22 2 Gi i : 1 sin x + t a n x 2. sin x ta n x 2 sin x ta n x 2 * Ta có: 2 +2 ≥ 2. 2 .2 = 2.2 1 3x sin x + t a n x 2 1 3  π Ta ch ng minh: 2 22 ⇔ sin x + t a n x ≥ x ∀x ∈ 0;  . ≥ 2 2  2 1 3x  π ( ) * Xét hàm s f x = sin x + t a n x − liên t c trên n a kho ng 0;  . 2 2  2 1 3 2 cos3 x − 3 cos2 x + 1 ( ) * Ta có: f ' x = cos x + − 2 = 2.cos2 x 2 cos2 x (cos x − 1)2 (2 cos x + 1)  π = ≥ 0 , ∀x ∈  0;  . 2 cos2 x  2 ⇒ f (x ) ng bi n trên π 1 3  π [0; ) ⇒ f (x ) ≥ f (0) = 0 ⇒ sin x + tan x ≥ x , ∀x ∈ 0;  ( pcm). 2 2 2  2 Ví d 5 : Ch ng minh b t ng th c sau v i m i s t nhiên n > 1 n n n1+ n n n + 1−
  6. ( ) ( ) ( ) () V y f x gi m trên 0;1 nên f x < f 0 = 2, ∀x ∈ 0;1 . ( ) Ví d 6: x z y x y z 1. Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 .Ch ng minh r ng : + + ≥ + + z y x y z x 2. Cho x, y, z > 0 .Ch ng minh r ng: x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) ≥ xy(x 2 + y 2 ) + yz (y 2 + z 2 ) + zx (z 2 + x 2 ) Gi i : x z y x y z 1 Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 .Ch ng minh r ng : + + ≥ + + z y x y z x x ≥y ≥z ≥0 x z y x y z  * Xét hàm s : f (x ) = + + − + +  . z y x y z x  1 1 y z 1 1 * Ta có: f '(x ) = ( − ) − ( − ) = (y − z )( − ) ≥ 0, ∀x ≥ 0 z y x2 x2 yz x 2 () ⇒ f x là hàm s ng bi n ∀x ≥ 0 ⇒ f (x ) ≥ f (y ) = 0 ⇒ pcm. 2. Cho x, y, z > 0 Ch ng minh r ng: x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) ≥ xy(x 2 + y 2 ) + yz (y 2 + z 2 ) + zx (z 2 + x 2 ) . Không m t tính t ng quát ta gi s : x ≥ y ≥ z > 0 . * Xét hàm s f (x ) = x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) − xy(x 2 + y 2 ) − yz (y 2 + z 2 ) − zx (z 2 + x 2 ) * Ta có f '(x ) = 4x 3 − 3x 2 (y + z ) + xyz + yz (x + y + z ) − (y 3 + z 3 ) ⇒ f "(x ) = 12x 2 − 6x (y + z ) + 2yz ⇒ f "(x ) > 0 (do x ≥ y ≥ z ) ⇒ f '(x ) ≥ f '(y ) = z 2y − z 3 = z 2 (y − z ) ≥ 0 nên f (x ) là hàm s ng bi n. ⇒ f (x ) ≥ f (y ) = z 4 − 2z 3y + y 2z 2 = z 2 (z − y )2 ≥ 0 ⇒ pcm. Ví d 7: a b c 3 1. Cho a,b, c > 0 . Ch ng minh r ng: + + ≥ . a +b b +c c +a 2 2. Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Ch ng minh r ng: 2a 2b 2c (c − a )2 + + ≤3+ . b +c c +a a +b a(c + a ) 32
  7. Gi i : a b c 3 1. Cho a,b, c > 0 . Ch ng minh r ng: + + ≥ a +b b +c c +a 2 b c a * t x = , y = , z = ⇒ xyz = 1 và b t ng th c ã cho a b c 1 1 1 3 ⇔ + + ≥ . 1+x 1+y 1+z 2 1 1 2 2 z * Gi s z ≤ 1 ⇒ xy ≥ 1 nên có: + ≥ = 1 + x 1 + y 1 + xy 1 + z 1 1 1 2 z 1 2t 1 ⇒ + + ≥ + = + = f (t ) v i 1 + x 1 + y 1 + z 1 + z 1 + z 1 + t 1 + t2 t = z ≤1 2 2t 2(1 − t ) * Ta có: f '(t ) = − ≤ ≤0 (1 + t )2 (1 + t 2 )2 (1 + t 2 )2 3 ⇒ f (t ) ≥ f (1) = , ∀t ≤ 1 ⇒ pcm. 2 2a 2b 2c (c − a )2 2. Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Ch ng minh r ng: + + ≤3+ b +c c +a a +b a(c + a ) b c * t = α , = x ,1 ≤ α ≤ x . Khi ó b t ng th c c n ch ng minh tr a a 2 2α 2x x2 + x + 4 thành + + ≤ α +x 1+x 1+α x +1 x +1 2x (x + 1) ⇔ x 2 + x + 1 ≥ (2 + 2α + ) α +x 1+α x +1 2x (x + 1) * Xét hàm s f (x ) = x 2 + x + 1 − (2 + 2α + ), 1≤α ≤x α +x 1+α 2(2x + 1) α −1 * Ta có: f '(x ) = 2x + 1 − −2 α +1 (x + α )2  2x +1 2  f '(x ) = (α − 1)  −  ≥ 0, 1≤α ≤x  α +1 (x + α )2    1 Như v y hàm f (x ) là ng bi n do ó f (x ) ≥ f (α ) = α 2 − 3α + 3 − α 33
  8. 1 1 1 Nhưng f '(α ) = 2α − 3 + =α +α + − 3 ≥ 3 3 α .α . −3 =0 2 2 α α α2 ⇒ f (x ) ≥ f (α ) ≥ f (1) = 0 ⇒ pcm. Bài t p t luy n: 1. ( ) Cho hàm s f x = 2 sin x + t a n x − 3x  π a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên n a kho ng 0;  .  2  π b ) Ch ng minh r ng 2 sin x + t a n x > 3x v i m i x ∈  0;  .  2 2.  π a ) Ch ng minh r ng t a n x > x v i m i x ∈  0;  .  2 x3  π b ) Ch ng minh r ng t a n x > x + v i m i x ∈  0;  . 3  2 3. 4  π ( ) Cho hàm s f x = x − t a n x v i m i x ∈ 0;  π  4  π a ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s trên o n 0;  .  4 4  π b ) T ó suy ra r ng x ≥ t a n x v i m i x ∈ 0;  . π  4 4. Ch ng minh r ng các b t ng th c sau : a ) sin x < x v i m i x > 0 b ) sin x > x v i m i x < 0 x2 c) cos x > 1 − v im i x ≠0 2 x3 d ) sin x > x − v im i x >0 6 x3 e ) sin x < x − v im i x 2x v i m i x ∈  0;  .  2 34

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản