Chương 1 - Bài 1 (Dạng 6): Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

0
225
lượt xem
104
download

Chương 1 - Bài 1 (Dạng 6): Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 6): dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 6): Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t . D ng 6 : Dùng ơn i u hàm s gi i và bi n lu n phương trình và b t phương trình . Chú ý 1 : ( ) N u hàm s y = f x luôn ơn i u nghiêm cách trên D ( ho c luôn ng bi n ho c luôn ngh ch bi n trên D ) thì s nghi m c a phương trình : f x = k s ( ) không nhi u hơn m t và f x = f y ( ) () khi và ch khi x = y . Chú ý 2: ( ) • N u hàm s y = f x luôn ơn i u nghiêm cách trên D ( ho c luôn ng ( ) bi n ho c luôn ngh ch bi n trên D ) và hàm s y = g x luôn ơn i u nghiêm ngo c ( ho c luôn ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) trên D , thì s nghi m trên ( ) ( ) D c a phương trình f x = g x không nhi u hơn m t. • N u hàm s y = f ( x ) có o hàm n c p n trên D và phương trình f (k )(x ) = 0 có m nghi m, khi ó phương trình f (k −1)(x ) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m. Ví d 1 : Gi i các phương trình 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 3 2. x 3 − 4x 2 − 5x + 6 = 7x 2 + 9x − 4 Gi i : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (1) ( ) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) t u = −3x , v = 2x + 1, u, v > 0 Phương trình (1) ⇔ u(2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (3) * Xét hàm s f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 liên t c trên kho ng ( 0; +∞ ) 2t 3 + 3t * Ta có f '(t ) = 2 + 4 2 > 0, ∀t > 0 ⇒ f t() ng bi n trên kho ng t + 3t ( 0; +∞ ) . 1 Khi ó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + 1 ⇔ x = − 5 35
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t . 1 V yx =− là nghi m duy nh t c a phương trình. 5 3 2. x 3 − 4x 2 − 5x + 6 = 7x 2 + 9x − 4 . 3 t y = y = 7x 2 + 9x − 4 . Khi ó phương trình cho x 3 − 4x 2 − 5x + 6 = y  ⇔ 2 3 7x + 9x − 4 = y  x 3 − 4x 2 − 5x + 6 = y  3 2  x − 4x − 5x + 6 = y ⇔ 3 3 2 ⇔  3 3 (I ) y + y = x + 3x + 4x + 2  ( ) y + y = x + 1 + x + 1 *  () ( *) có d ng ( ) ( ) (a ) f y = f x +1 * Xét hàm f (t ) = t + t, t ∈ » 3 * Vì f ' (t ) = 3t + 1 > 0, ∀t ∈ » nên hàm s 2 ng bi n trên t p s th c » . Khi ó (a ) ⇔ y = x + 1 x 3 − 4x 2 − 5x + 6 = y   3 2 x − 4x − 6x + 5 = 0 * * ( ) H () I ⇔ ⇔ y = x + 1  y = x + 1   −1 + 5 −1 − 5    ( ) Gi i phương trình * * ta có t p nghi m : S = 5, 2 , 2 .     Ví d 2 : Ch ng minh r ng phương trình: 2x 2 x − 2 = 11 có nghi m duy nh t Gi i : Cách 1 : Xét hàm s y = 2x 2 x − 2 liên t c trên n a kho ng 2; +∞ .  ) ( x 5x − 8 ) > 0, ∀x ∈ Ta có: y ' = x −2 (2; +∞ ) x →+∞ x →+∞ ( lim y = lim 2x 2 x − 2 = +∞ ) B ng bi n thiên : x 2 +∞ y' + +∞ y 0 36
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t . D a vào b ng bi n thiên ta th y th c a hàm s y = 2x 2 x − 2 luôn c t ư ng th ng y = 11 t i duy nh t m t i m. Do ó phương trình 2x 2 x − 2 = 11 có nghi m duy nh t . Cách 2: Xét hàm s y = f x = 2x 2 x − 2 − 11 liên t c trên n a kho ng 2; +∞ . ( )  ) Ta có f ( 2 ) = −11, f ( 3 ) = 7 . Vì f ( 2 ) .f ( 3 ) = −77 < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m trong kho ng ( 2; 3 ) . x ( 5x − 8 ) f ' (x ) = > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ f ( x ) liên t c và ng bi n trên kho ng x −2 (2; 3 ) . V y phương trình cho có nghi m duy nh t thu c kho ng 2; 3 . ( ) Ví d 3 : Gi i b t phương trình sau : 5x − 1 + x + 3 ≥ 4 Gi i : 1 i u ki n : x ≥ 5 1  * Xét hàm s f (x ) = 5x − 1 + x + 3 liên t c trên n a kho ng  ; +∞  5  5 1 1 * Ta có : f '(x ) = + > 0 ,∀x > ⇒ f x 5 ( ) 2 5x − 1 2 x − 1 1  là hàm s ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  và f (1) = 4 , khi ó b t phương 5  trình cho ⇔ f (x ) ≥ f (1) ⇔ x ≥ 1. V y b t phương trình cho có nghi m là x ≥ 1 . 5 Ví d 4 : Gi i b t phương trình sau 3 3 − 2x + − 2x ≤ 6 2x − 1 Gi i : 1 3 i u ki n: < x ≤ 2 2 5 * B t phương trình cho ⇔ 3 3 − 2x + ≤ 2x + 6 ⇔ f (x ) ≤ g (x ) (*) 2x − 1 5  1 3 * Xét hàm s f (x ) = 3 3 − 2x + liên t c trên n a kho ng  ;  2x − 1  2 2 37
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t . −3 5 1 3 * Ta có : f '(x ) = − < 0, ∀x ∈  ;  ⇒ f (x ) là hàm 3 − 2x ( 2x − 1)3 2 2  1 3 ngh ch bi n trên n a o n  ;  .  2 2 Hàm s g (x ) = 2x + 6 là hàm ng bi n trên » và f (1) = g(1) = 8 i N u x > 1 ⇒ f (x ) < f (1) = 8 = g(1) < g(x ) ⇒ (*) úng i N u x < 1 ⇒ f (x ) > f (1) = 8 = g(1) > g(x ) ⇒ (*) vô nghi m. 3 V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: 1 ≤ x ≤ . 2 Ví d 5 : Gi i b t phương trình sau (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 Gi i : 1 i u ki n: x ≥ . 2 B t phương trình cho ⇔ ( x + 2 + x + 6)( 2x − 1 − 3) ≤ 4 ( *) i N u 2x − 1 − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇒ (*) luôn úng. iN u x > 5 * Xét hàm s f (x ) = ( x + 2 + x + 6)( 2x − 1 − 3) liên t c trên kho ng ( 5; +∞ ) * Ta có: 1 1 x +2 + x +6 f '(x ) = ( + )( 2x − 1 − 3) + > 0, ∀x > 5 2 x +2 2 x +6 2x − 1 ⇒f x ( ) ( ) ng bi n trên kho ng 5; +∞ và f (7) = 4 , do ó (*) ⇔ f (x ) ≤ f (7) ⇔ x ≤ 7 . 1 V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: ≤x ≤ 7. 2 Ví d 6 : Gi i b t phương trình sau 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 < 2 3 + 4 − x Gi i : 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 ≥ 0  i u ki n:  ⇔ −2 ≤ x ≤ 4. . 4 − x ≥ 0  B t phương trình cho ⇔ 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x < 2 3 ⇔ f (x ) < 2 3 ( *) 38
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t . * Xét hàm s f (x ) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x liên t c trên o n  −2; 4  .   2 3(x + x + 1) 1 * Ta có: f '(x ) = + ( ) > 0, ∀x ∈ −2; 4 ⇒ f x ( ) 3 2 2x + 3x + 6x + 16 2 4−x ( ) ng bi n trên n a kho ng −2; 4 và f (1) = 2 3 , do ó (*) ⇔ f (x ) < f (1) ⇔ x < 1 . V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: −2 ≤ x < 1 . Ví d 7 : Ch ng minh r ng x 4 − x + 1 > 0 , ∀ x ∈ » Gi i : * Xét hàm s f (x ) = x 4 − x + 1 liên t c trên » . 1 * Ta có f '(x ) = 4x 3 − 1 và f '(x ) = 0 ⇔ x = . 3 4 1 * Vì f '(x ) i d u t âm sang dương khi x qua , do ó 3 4 1 1 1 min f (x ) = f ( )= − +1> 0 3 4 43 4 3 4 V y f (x ) > 0 , ∀x . x Ví d 8 : Ch ng minh r ng phương trình : x 5 + − 2009 = 0 có 2 x −2 úng hai nghi m dương phân bi t. Gi i : * i u ki n: x > 2 (do x > 0 ). x * Xét hàm s : f (x ) = x 5 + − 2009 v i x > 2 . x2 − 2 1 * Ta có f '(x ) = 5x 4 − (x 2 − 2)3 3x ⇒ f "(x ) = 20x 3 + > 0 ,∀x > 2 2 5 (x − 2) ⇒ f '(x ) = 0 có nhi u nh t m t nghi m ⇒ f (x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m. 39
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t . Mà: lim f (x ) = +∞, f ( 3) < 0, lim f (x ) = +∞ ⇒ f (x ) = 0 có hai nghi m + x →+∞ x→ 2 x1 ∈ ( ) 2; 3 và x 2 > 3 . Ví d 9 : Gi i h phương trình  2x + 3 +  4 − y = 4 (1) x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  1.  3.   2y + 3 +  4 − x = 4 (2) 6 6 x + y = 1 (2)   3  x + 2x = y (1) 2.  3  y + 2y = x  (2) Gi i :  2x + 3 +  4 − y = 4 (1) 1.   2y + 3 +  4 − x = 4 (2)  3 − ≤ x ≤ 4 i u ki n:  2 . − 3 ≤ y ≤ 4  2 Cách 1: Tr (1) và (2) ta ư c: 2x + 3 − 4−x = 2y + 3 − 4−y (3)  3  * Xét hàm s f (t ) = 2t + 3 − 4 − t liên t c trên o n  − ; 4  .  2  * Ta có: 1 1  3  f / (x ) = + > 0, ∀t ∈  − ; 4  2t + 3 2 4 − t  2  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y . Thay x = y vào (1) ,ta ư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 9 − x ≥ 0 x = 3  2 ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0  x = 11   9 40
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t .  11 x = 3 x =  V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  ,  9 .   y =3  11 y =  9 Cách 2: Tr (1) và (2) ta ư c: ( 2x + 3 − 2y + 3 + ) ( 4−y − 4−x )=0 (2x + 3) − (2y + 3) (4 − y ) − (4 − x ) ⇔ + =0 2x + 3 + 2y + 3 4−y + 4−x  2 1  ⇔ (x − y )  +  = 0(*).  2x + 3 + 2y + 3 4−y + 4−x  2 1 Vì + > 0 nên ( * ) ⇔ x = y 2x + 3 + 2y + 3 4−y + 4−x Thay x = y vào (1) ,ta ư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 9 − x ≥ 0 x = 3  2 ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0  x = 11   9  11 x = 3 x =  V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  ,  9 .  y = 3  y = 11   9  x 3 + 2x = y  (1) 2.  3  y + 2y = x  (2) Cách 1 : * Xét hàm s f (t ) = t 3 + 2t ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ » .  f (x ) = y (1)  * H phương trình tr thành  .  f (y ) = x (2)  + N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) và (2) d n n mâu thu n). + N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n). Suy ra x = y , th vào h ta ư c ( ) x 3 + x = 0 ⇔ x x 2 + 1 = 0 ⇔ x = 0 vì x 2 + 1 > 0. 41
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t . x = 0  V y h có nghi m duy nh t  . y = 0  Cách 2: Tr (1) và (2) ta ư c: x 3 − y 3 + 3x − 3y = 0 ⇔ (x − y )(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0  y 2 3y 2  ⇔ (x − y )   x +  + + 3 = 0 ⇔ x = y   2 4   ( ) Th x = y vào (1) và (2) ta ư c: x 3 + x = 0 ⇔ x x 2 + 1 = 0 ⇔ x = 0 x = 0  V y h phương trình có nghi m duy nh t  . y = 0  x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  6 6 x + y = 1  (2) T (1) và (2) suy ra −1 ≤ x , y ≤ 1 (1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*) 3 * Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c trên o n [ −1;1] , ta có () f '(t ) = 3(t 2 − 1) ≤ 0 ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n trên o n [ −1;1] * Do ó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ư c nghi m c a h là: 1 x =y =± . 6 2 Ví d 10 : Gi i h phương trình  1 1  1 1 x − = y − (1) x − = y − (1) 1.  x y 2.  x y  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  2y = x 3 + 1 (2)   Gi i :  1 1 x − = y − (1) 1.  x y  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Ta có: 42
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t . y = x  1   (1) ⇔ (x − y )  1 + =0⇔  1  xy  y =− .  x i y = x phương trình (2) ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . 1 i y = − phương trình (2) vô nghi m. x  x = 1  x = −1   V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  ;  .   y = 1  y = −1  Bình lu n:  1 1 x − = y − (1) Cách gi i sau ây sai:  x y .  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . * Xét hàm s 1 1 f (t ) = t − , t ∈ » \ {0} ⇒ f / (t ) = 1 + > 0, ∀t ∈ » \ {0} . t t2 Suy ra (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y ! Sai do hàm s f (t ) ơn i u trên 2 kho ng r i nhau (c th f ( −1 ) = f ( 1 ) = 0 ).  1 1 x − = y − (1) 2.  x y  2y = x 3 + 1 (2)  Cách 1: i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x = y x −y  1  (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 +  =0⇔  xy  xy  y = − 1 .  x x = 1 i x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ± 5 .   2 1 i y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x −1 Xét hàm s f (x ) = x 4 + x + 2 ⇒ f / (x ) = 4x 3 + 1 = 0 ⇔ x = . 3 4 43
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t .  −1  3 f 3  = 2 − 3 > 0, lim = lim = +∞  4 4 4 x →−∞ x →+∞ ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇒ x 4 + x + 2 = 0 vô nghi m. Cách 2: i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x = y x −y  1   (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 + =0⇔  1 xy  xy  y =− .  x x = 1 i x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ± 5 .   2 1 i y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x i V i x < 1 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x4 + x + 2 > 0 . i V i x ≥ 1 ⇒ x 4 ≥ x ≥ −x ⇒ x 4 + x + 2 > 0 . Suy ra phương trình (2) vô nghi m. V y h phương trình có 3 nghi m phân bi t  −1 + 5  −1 − 5  x = 1 x =  x =   ∨ 2 ∨ 2 .   y =1  −1 + 5  −1 − 5 y = y =   2   2 Bài t p t luy n: 1. Gi i phương trình: a. 3x + 1 + x + 7x + 2 = 4 b.5x 3 − 1 + 3 2x − 1 + x = 4 81 2. Gi i phương trình: 81 sin10 x + cos10 x = 256 () * 3. Gi i b t phương trình: (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 4. Gi i các h phương trình  2x y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 y =   1 − x2 2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0  2y x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 1. z = 1 − y2    2z x = 1 − z 2  44
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t . D ng 7 : Dùng ơn i u hàm s gi i và bi n lu n phương trình và b t phương trình ch a tham s . ( ) Cho hàm s f x ; m = 0 xác nh v i m i x ∈I ( *) • Bi n i ( * ) v d ng f ( x ) = f (m ) • Xét hàm s y = f ( x ) liên t c trên I • Dùng tính ch t ơn i u c a hàm s và k t lu n. Ví d 1: Tìm tham s th c m ptrình x + 3x 2 + 1 = m có nghi m th c . Gi i : * Xét hàm s ( ) f x = x + 3x 2 + 1 và y = m ( ) * Hàm s f x = x + 3x 2 + 1 liên t c trên » . 3x 3x 2 + 1 + 3x ( ) * Ta có : f ' x = 1 + = 3x 2 + 1 3x 2 + 1 x < 0  ( ) f' x =0⇔ 3x 2 + 1 = −3x ⇔  2 2 3x + 1 = 9x  x < 0  − 6 − 6 6 ⇔ ±1 ± 6 ⇔ x = ,f  = x = = 6  6  3 6    6 6 6 B ng bi n thiên : suy ra f x ≥ ( ) 3 ( ) mà f x = m do ó m ≥ 3 thì phương trình cho có nghi m th c . Ví d 2 : Tìm tham s th c m phương trình : 4 () x 2 + 1 − x = m 1 có nghi m th c . Gi i : * Xét hàm s f x = x + 1 − x liên t c trên n a kho ng 0; +∞ . ( ) 4 2  )   1 x 1  ( ) * Ta có : f ' x =  2 4 2 − 
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t .  lim f (x ) = 0 , nên 0 < f (x ) ≤ 1, ∀x ∈ 0; +∞ . ) x→+∞ ()  V y, phương trình 1 có nghi m th c trên n a kho ng 0; +∞ ⇔ 0 < m ≤ 1 ) Ví d 3: Tìm tham s th c m phương trình : ( 4m − 3 ) ( x + 3 + 3m − 4 ) () 1 − x + m − 1 = 0, 2 có nghi m th c. Gi i : i u ki n: −3 ≤ x ≤ 1 . 3 x + 3 + 4 1−x +1 * Phương trình (2) ⇔ m = 4 x + 3 + 3 1−x +1 * Nh n th y r ng: 2 2 2 2  x + 3   1−x  ( x +3 ) +( 1−x ) =4⇔  +  2   2     =1    π ϕ * Nên t n t i góc ϕ ∈ 0;  , t = t a n ; t ∈ 0;1 sao cho:    2 2 2t 1 − t2 x + 3 = 2 sin ϕ = 2 và 1 − x = 2 cos ϕ = 2 1 + t2 1 + t2 3 x + 3 + 4 1−x +1 −7t 2 + 12t + 9 m= ⇔m = −5t 2 + 16t + 7 ()( ) =f t , 3 4 x + 3 + 3 1−x +1 −7t 2 + 12t + 9 * Xét hàm s : f (t ) = liên t c trên o n t ∈ 0;1 . Ta có   −5t 2 + 16t + 7 −52t 2 − 8t − 60 f '(t ) = 2 < 0, ∀t ∈ 0;1 ⇒ f t ngh ch bi n trên o n   () [ 0;1] ( −5t 2 + 16t + 7 ) 9 7 và f (0) = ; f (1) = 7 9 () * Suy ra phương trình 2 có nghi m khi phương trình 3 có nghi m trên () 7 9 o n t ∈ 0;1 khi và ch khi:   ≤m ≤ . 9 7 Ví d 4: Tìm tham s th c m b t phương trình x 2 − 2x + 24 ≤ x 2 − 2x + m có nghi m th c trong o n  −4; 6  .   Gi i : 46
  13. Nguy n Phú Khánh – à L t . t t = x 2 − 2x + 24 , ∀x ∈  −4; 6  ⇒ t ∈ 0; 5      Bài toán tr thành tìm tham s th c m b t phương trình t 2 + t − 24 ≤ m có nghi m th c t ∈ 0; 5    * Xét hàm s f t = t 2 + t − 24 liên t c trên o n 0;5  . ()     () * Ta có : f '(t ) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ 0;5  ⇒ f t liên t c và ng bi n trên o n 0;5    * V y b t phương trình cho có nghi m th c trên o n 0;5  khi   max f (t ) ≤ m ⇔ f (5) ≤ m ⇔ 6 ≤ m ⇔ m ≥ 6 t ∈0;5    Bài t p t luy n: 1. Tìm tham s th c m phương trình : mx + (m − 1) x + 2 = 1 có nghi m th c trên o n 0;1 .   2. Tìm tham s th c m b t phương trình: x 2 − 4x + 5 ≥ x 2 − 4x + m có nghi m th c trên o n 2; 3  .   D ng 8 : Dùng ơn i u hàm s ch ng minh h th c lư ng giác Ví d : Ch ng minh r ng : n u tam giác ABC tho mãn h th c 1 13 cos A + cos B + cosC + = thì tam giác ABC u. cos A + cos B + cosC 6 Gi i : A B C 3 * t : t = cos A + cos B + cosC = 1 + 4 sin sin sin ⇒ 1 < t ≤ . 2 2 2 2 1  3 () * Xét hàm s f t = t + hàm s liên t c trên n a kho ng  0;  . t  2 1  3 () * Ta có : f ' t = 1 − 2 > 0, ∀t ∈  0;  ⇒ f t () ng bi n trên n a kho ng t  2  3 13 ()  0;  ,suy ra : 2 < f t ≤ .  2 6 13 3 () ng th c f t = 6 x y ra khi t = cos A + cos B + cosC = hay tam giác 2 ABC u. 47

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản