Chương 1 - Bài 2 (Dạng 1): Cực trị hàm số

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
213
lượt xem
70
download

Chương 1 - Bài 2 (Dạng 1): Cực trị hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 2 (dạng 1): cực trị hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 2 (Dạng 1): Cực trị hàm số

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t Bài 2: C C TR HÀM S 2.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. Khái ni m c c tr hàm s : ( ) Gi s hàm s f xác nh trên t p h p D D ⊂ » và x 0 ∈ D a ) x 0 ư c g i là m t i m c c ( ) i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b  a; b ⊂ D  ( ) ch a i m x 0 sao cho:  ( ) { } ( ) . Khi ó f x 0 ư c  f (x ) < f (x 0 ) ∀x ∈ a; b \ x 0  g i là giá tr c c i c a hàm s f . b) x 0 ư c g i là m t i m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ( )  a; b ⊂ D ( )  ch a i m x 0 sao cho:  ( ) { } ( ) . Khi ó f x 0 ư c  f (x ) < f (x 0 ) ∀x ∈ a; b \ x 0  g i là giá tr c c ti u c a hàm s f . Giá tr c c i và giá tr c c ti u ư c g i chung là c c tr N u x 0 là m t i m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f t c c tr t i i m x 0 . Như v y : i m c c tr ph i là m t i m trong c a t p h p D D ⊂ »( ) ( ) Nh n m nh : x 0 ∈ a;b ⊂ D nghĩa là x 0 là m t i m trong c a D : Ví d : Xét hàm s f (x ) =  ) x xác nh trên 0; +∞ . Ta có f (x ) > f 0 ()  v i m i x > 0 nhưng x = 0 không ph i là i m c c ti u vì t p h p  0; +∞ ) không ch a b t kì m t lân c n nào c a i m 0 . 48
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t Chú ý : • Giá tr c c i ( c c ti u) f (x 0 ) nói chung không ph i là GTLN (GTNN) c a f trên t p h p D . • Hàm s có th t c c i ho c c c ti u t i nhi u i m trên tâp h p D . Hàm s cũng có th không có i m c c tr . • x 0 là m t i m c c tr c a hàm s f thì i m x 0; f (x 0 ) ( ) ư c g i là i m c c tr c a th hàm s f . 2. i u ki n c n hàm s t c c tr : nh lý 1: Gi s hàm s f t c c tr t i i m x 0 . Khi ó , n u f có o hàm t i i m x 0 thì f ' x 0 = 0 ( ) Chú ý : • o hàm f ' có th b ng 0 t i i m x 0 nhưng hàm s f không t c c tr t i i m x0 . • Hàm s có th t c c tr t i m t i m mà t i ó hàm s không có o hàm . • Hàm s ch có th t c c tr t i m t i m mà t i ó o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ó hàm s không có o hàm . • Hàm s t c c tr t i x 0 và n u th hàm s có ti p tuy n t i i m (x 0; ) f (x 0 ) thì ti p tuy n ó song song v i tr c hoành. 3 Ví d : Hàm s y = x và hàm s y = x 3. i u ki n hàm s t c c tr : ( ) nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a i m x 0 và có o ) ( )( hàm trên các kho ng a; x 0 và x 0 ;b . Khi ó :  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )  0 0 a) N u  thì hàm s t c c ti u t i i m x 0 . Nói m t  f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )  0 0 cách khác , n u f ' ( x ) i d u t âm sang dương khi x qua i m x 0 thì hàm s t c c ti u t i i m x 0 . x a x0 b ( ) f' x − 0 + f a() () f b ( ) f x ( ) f x0 49
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t  f ' x > 0, x ∈ a; x  ( ) ( ) 0 0 b) N u  thì hàm s tc c i t i i m x 0 . Nói m t   ( ) f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b ( ) cách khác , n u f ' x ( ) i d u t dương sang âm khi x qua i m x 0 thì hàm s tc c i t i i m x0 . x a x0 b f' x( ) + 0 − f x0 ( ) f x ( ) f a () () f b nh lý 3: Gi s hàm s f có ( ) o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a i m ( ) x 0 , f ' x 0 = 0 và f có o hàm c p hai khác 0 t i i m x 0 . ( ) a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f tc c i t i i m x0 . b) N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s 0 f t c c ti u t i i m x 0 . Chú ý: Không c n xét hàm s f có hay không có o hàm t i i m x = x 0 nhưng không th b qua i u ki n " hàm s liên t c t i i m x 0 "  1 − x khi x ≤ 0 Ví d : Hàm s f (x ) =  không t c c tr t i x = 0 . Vì x khi x > 0  hàm s không liên t c t i x = 0 . 2.1 D NG TOÁN THƯ NG G P. D ng 1 : Tìm các i m c c tr c a hàm s . Quy t c 1: Áp d ng nh lý 2 • Tìm f ' x ( ) ( • Tìm các i m x i i = 1, 2, 3... t i ó ) o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có o hàm. 50
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t ( ) • Xét d u c a f ' x . N u f ' x ( ) i d u khi x qua i m x 0 thì hàm s có c c tr t i i m x 0 . Quy t c 2: Áp d ng nh lý 3 • Tìm f ' x( ) ( ) • Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . ( ) • V i m i x tính f '' ( x ) . i i − N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s i tc c i t i i m xi . − N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s i t c c ti u t i i m x i . Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s : 1. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 2. y = −x 4 + 6x 2 − 8x + 1 Gi i : 1. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có: y ' = 3x 2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 ∀x ⇒ Hàm s không có c c tr . Chú ý: * N u y ' không i d u thì hàm s không có c c tr . * i v i hàm b c ba thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t là i u c n và hàm có c c tr . 2. y = −x 4 + 6x 2 − 8x + 1 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có: y ' = −4x 3 + 12x − 8 = −4(x − 1)2 (x + 2) y ' = 0 ⇔ −4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2 * B ng bi n thiên x −∞ −2 1 +∞ y' + 0 + 0 − 25 y −∞ −∞ V y, hàm t c c i t i x = −2 v i giá tr c c i c a hàm s là y(−2) = 25 , hàm s không có c c ti u. Bài t p t luy n: Tìm c c tr c a các hàm s : 4x 2 − 3x 4x 2 + 4x − 1 1. y = 2. y = x −1 2x 2 + 4x + 3 51
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s : 1. y = x 4 − x 2 4. y = 2x + 1 − 2x 2 − 8 2. y = 2x − x 2 − 3 1 2  5. y =  x − 12 − 3x  2  3. y = −x 3 + 3x 2 Gi i : ( ) 1. y = f x = x 4 − x 2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;2    4 − 2x 2 * Ta có y ' = , x ∈ −2;2 ( ) 4 − x2 Hàm s không có o hàm t i các i m x = −2, x = 2 . ( ) Suy ra, trên kho ng −2;2 : y ' = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 B ng xét d u y ' x −2 − 2 2 2 y' − 0 + 0 − y' i d u t âm sang dương khi x qua i m − 2 thì hàm s t c c ti u t i ( ) i m x = − 2, y − 2 = −2 ; y' i d u t dương sang âm khi x qua i m 2 thì hàm s tc c it i i m x = 2, y ( 2) = 2 . 2. y = 2x − x 2 − 3 * Hàm s ã cho xác    ( nh và liên t c trên −∞; − 3  ∪  3; +∞ .  ) x 2 x2 − 3 − x * Ta có: y ' = 2 − x −32 = x −32 ( , x ∈ −∞; − 3 ∪ ) ( 3; +∞ . ) Hàm s không có o hàm t i các i m x = − 3, x = 3 . Suy ra, trên m i kho ng −∞; − 3 , ( )( ) 3; +∞ : y ' = 0 ⇔  ( x ∈ −∞; − 3 ∪ 3; +∞ ) (  0 ≤ x < 3 ⇔ 2 ) ⇔ x = 2. 2 x − 3 = x 2  4(x − 3) = x 2   Tương t trên suy ra hàm s t c c ti u t i i m x = 2, y(2) = 3 , hàm s không có c c i. 52
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t 3. y = −x 3 + 3x 2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên n a kho ng (−∞; 3] . −3(x 2 − 2x ) * Ta có: y ' = , x < 3, x ≠ 0 2 −x 3 + 3x 2 Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 . ( ) Suy ra, trên m i kho ng −∞; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 2 * B ng bi n thiên: x −∞ 0 2 3 y' − || + 0 − || +∞ 2 y 0 0 Hàm s tc c i t i i m x = 2, y(2) = 2 và t c c ti u t i i m x = 0, y(0) = 0 . Chú ý: * bài 2 ví d 2 m c dù x = ± 3 là i m mà t i ó hàm s không có o hàm tuy nhiên hàm s l i không xác nh trên b t kì kho ng (a; b) nào c a hai i m này nên hai i m này không ph i là i m c c tr c a hàm s . * Tương t v y thì x = 3 c a hàm s câu 3 cũng không ph i là i m c c tr nhưng x = 0 l i là i m c c tr c a hàm s . 4. y = 2x + 1 − 2x 2 − 8 * Hàm s ã cho xác ( nh và liên t c trên n a kho ng −∞; −2  , 2; +∞ .   ) 2x * Ta có: y ' = 2 − 2 ( ) ( , x ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ . ) 2x − 8 Hàm s không có o hàm t i các i m x = −2, x = 2 . ( )( Suy ra, trên các kho ng −∞; −2 , 2; +∞ : y ' = 0 )  ( ) ( x ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞  0 ≤ x < 2) ⇔ ⇔ 2 ⇔x =2 2. x = 8 2  2x − 8 = x   * B ng bi n thiên: x −∞ −2 2 2 2 +∞ y' + || || − 0 + y 53
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t ( ) ( ) Trên kho ng 2;2 2 : y ' < 0 , trên kho ng 2 2; +∞ : y ' > 0 i m c c ti u là (2 2; 3 2 + 1) . 1 2  5. y =  x − 12 − 3x  2  * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;2  .   1 12 − 3x 2 + 3x  * Ta có: y ' = 2  (  , ∀x ∈ −2;2 )  12 − 3x 2   Hàm s không có o hàm t i các i m x = −2, x = 2 . ( Suy ra, trên kho ng −2;2 : y ' = 0 ) x ∈ −2;2  (  ) −2 < x ≤ 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x = −1 x = 1 2  12 − 3x = −3x   * B ng bi n thiên: x −∞ −2 −1 2 +∞ y' || − 0 + || y ( ) ( ) Trên kho ng −2; −1 : y ' < 0 , trên kho ng −1;2 : y ' > 0 suy ra i m c c ti u ( là −1; −2 . ) Bài t p tương t : Tìm c c tr c a các hàm s : 1. y = x + 1 + 2x 2 − 8 3. y = x + 2 x 2 + x + 1 x 2. y = 2 + x2 + 3 ( 4. y = x 16 − x 2 + x − 1 ) x Ví d 3 : Tìm c c tr c a các hàm s : ( ) 1. y = f x = x 2. y = f ( x ) = x ( x + 2 ) 3. y = f ( x ) = x ( x − 3 ) Gi i : 1. y = f x = x ( ) 54
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . x khi x ≥ 0  y= . −x khi x < 0  1 khi x > 0  * Ta có y ' =  −1 khi x < 0  ( ) Trên kho ng −∞; 0 : y ' < 0 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' > 0 . ( ) * B ng bi n thiên x −∞ 0 +∞ y' − + y +∞ +∞ 0 Hàm s t i m c c ti u t i i m x = 0, f 0 = 0 . () x x + 2 khi x ≥ 0  ( ) ( ) 2. y = f x = x x + 2 = ( ) ( ) −x x + 2 khi x < 0  * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . 2x + 2 > 0 khi x > 0  * Ta có y ' =  −2x − 2 khi x < 0  Hàm s liên t c t i x = 0 , không có o hàm t i x = 0 . ( ) Trên kho ng −∞; 0 : y ' = 0 ⇔ x = −1 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' > 0 . ( ) * B ng bi n thiên x −∞ −1 0 +∞ y' + 0 − + y +∞ −∞ 0 V y hàm s tc c ( ) i t i i m x = −1, f −1 = 1 , hàm s t c c ti u t i i m () x = 0, f 0 = 0 . 3. y = f ( x ) = x x −3 ( ) * Hàm sã cho xác nh và liên t c trên » .  ( )  x x − 3 khi x ≥ 0 y=f x =( ) .  −x x − 3 khi x < 0  ( ) 55
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t 3 x − 1 ( )  khi x > 0  2 x * Ta có y ' =   3 − x + −x khi x < 0  2 −x  ( ) ( Trên kho ng −∞; 0 : y ' > 0 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' = 0 ⇔ x = 1 ) * B ng bi n thiên x −∞ 0 1 +∞ y' + − 0 + y 0 +∞ −∞ −2 Hàm s t i mc c () i t i i m x = 0, f 0 = 0 , hàm s t i m c c ti u t i () i m x = 1, f 1 = −2 . Bài t p tương t : Tìm c c tr c a các hàm s : 1. y = x + 1 + x 4. y = 2x − 4 + 2x 2 − 8 2. y = x 2 + x − x 2 − 4 5. y = x + 3 + 9x + x 2 3. y = x + 2 4 − x 2 6. y = 2 −x + 1 + x − 2 + x − x 2 Ví d 4 : Tìm c c tr c a các hàm s sau 1. y = 2 sin 2x − 3 2. y = 3 − 2 cos x − cos 2x Gi i : 1. y = 2 sin 2x − 3 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có y ' = 4 cos 2x π π y ' = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ » , 4 2 y '' = −8 sin 2x π π π    −8 khi k = 2n y ''  + k  = −8 sin  + k π  =  4 2 2  8 khi k = 2n + 1 π  π V y hàm s tc c i t i các i m x = + nπ ; y  + nπ  = −1 và tc c 4 4  π π π π ( ) i t i x = + 2n + 1 ; y  + 2n + 1  = −5 4 2 4 2 ( ) 56
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. y = 3 − 2 cos x − cos 2x * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x )  sin x = 0 x = k π y' = 0 ⇔  ⇔  ,k ∈ » .  cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π   2 3   3 y '' = 2 cos x + 4 cos 2x  2π  2π 2π y ''  ± + k 2π  = 6 cos = −3 < 0 . Hàm s tc c it i x =± + k 2π ,  3  3 3  2π  1 y ± + k 2π  = 4  3  2 ( ) y '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ » . Hàm s t c c ti u t i ( ) ( x = k π , y k π = 2 1 − cos k π ) Bài t p tương t : Tìm c c tr c a các hàm s : 2 2 1. y = x − 2 sin x . 5. y = x − 2 sin x . 2. y = x t a n x . 6. y = x t a n x . 2 2 3. y = cos x . 7. y = cos x . 4. y = 3 cos x + 3 sin x . 8. y = 3 cos x + 3 sin x .  π Ví d 5: Tìm c c tr c a hàm s : y = cos x sin x trên o n 0; .  2 Gi i:  π * Hàm s ã cho xác nh và liên t c o n 0; .  2 cos x 1 − 3 sin2 x * Ta có : y ' = − sin x sin x + . cos x = . 2 sin x 2 sin x   π  π x ∈  0;   Trên kho ng  0;  : y ' = 0 ⇔   2  ⇔ sin x = 1 (*)  2 sin2 x = 1 3   3 1 T n t i góc β sao cho sin β = () , khi ó * ⇔ x = β . 3 57
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t 4 1 6 12 V i sin β = thì cos β = và y ( β ) = cos β sin β = 3 3 3 B ng xét d u y ' : x π 0 β 2 y' + 0 − 4 12 1 Hàm s tc c i t i x = β, y ( β ) = v i sin β = . 3 3 Bài t p tương t : Tìm c c tr c a các hàm s :  π π 1. y = ( cos2x +1) sin 2x trên kho ng  − ; .  2 2 x x 2. y = 2 cos 2 + 3 cos 3 trên kho ng ( 0; 20π ) .  π π 3. y = cot x + 4x trên o n  − ; .  4 4 cos x +2 sin x + 3 4. y = 2 cos x − sin x + 4 trên kho ng ( −π ; π ) . Ví d 6: Tìm c c tr c a hàm s : y = cos3 x + sin3 x + 3 sin 2x . Gi i: y = cos3 x + sin3 x + 3 sin 2x = ( cos x + sin x )(1− cos x .sin x ) + 3 sin 2x 1 1 Vì 1 − cos x . sin x = 2 (2−2 cos x .sin x ) = 2 ( 2−sin 2x ) > 0 ( Nên y = cos x + sin x 1 − cos x . sin x + 3 sin 2x ) t 2 −1 t t = cos x + sin x ⇒ cos x . sin x = ,0 ≤ t ≤ 2 2 1 3 3 2 3 3 () Khi ó y = f t = − t + t + t − , 0 ≤ t ≤ 2 2 2 2 2 3 ( 2 − t − 1  > 0, ∀t ∈ 0; 2  , suy ra hàm s ) 3 2 Ta có : y ' = 2 −t 2 + 2t + 1 = 2    (   )   không có c c tr . Ví d 7: Tính o hàm c a hàm s t i i m x = 0 và ch ng minh r ng hàm s t c c ti u t i x = 0 , bi t r ng hàm s f (x ) xác nh b i : 58
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t  3 1 + x sin2 x − 1  ,x ≠0. f (x ) =  x 0 ,x =0  Gi i : 3 f (x ) − f (0) 1 + x sin2 x − 1 () f ' 0 = lim x →0 x = lim x →0 x2 x sin2 x () f ' 0 = lim x →0  2  ( ) x 2  3 1 + x sin2 x + 3 1 + x sin2 x + 1   sin x 1 () f ' 0 = lim sin x . x →0 x . 2 =0 3 ( 2 ) 3 2 1 + x sin x + 1 + x sin x + 1 M t khác x ≠ 0 , ta có : sin2 x ( ) f x = 2 ⇒f x ≥0=f 0 . ( ) () 3 ( 2 3 ) 2 1 + x sin x + 1 + x sin x + 1 Vì hàm s f (x ) liên t c trên » nên hàm s f (x ) t c c ti u t i x = 0 .  1 x 2 sin ,x ≠0 Ví d 8 : Cho hàm s f (x ) =  x . Ch ng minh r ng 0 ,x =0  f '(0) = 0 nhưng hàm s f (x ) không t c c tr t i i m 0 . Gi i : Ta có ( ) = x sin 1 v f (x ) − f 0 i m i x ≠ 0. x x V i m i x ≠ 0 : x sin 1 ≤ x và lim x = 0 nên lim f (x ) − f 0 () = 0 . Do ó x x →0 x →0 x hàm s f (x ) có o hàm t i x = 0 và f '(0) = 0 . 1 1 L y m t dãy x n = , khi ó f (x n ) = 2 sin 2nπ = 0, ∀n . 2nπ 2nπ( ) Gi s (a;b ) là m t kho ng b t kỳ ch a i m 0 . Vì lim x n = 0 nên v i n x →0 ( ) () l n x n ∈ a;b và do f (x n ) = 0 = f 0 , ∀n , theo nh nghĩa c c tr c a hàm s , x = 0 không ph i là m t i m c c tr c a f (x ) . 59

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản