Chương 1 - Bài 2 (Dạng 2): Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
184
lượt xem
78
download

Chương 1 - Bài 2 (Dạng 2): Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 2 (dạng 2): tìm điều kiện để hàm số có cực trị', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 2 (Dạng 2): Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t D ng 2 : Tìm i u ki n hàm s có c c tr . Phương pháp: S d ng nh lí 2 và nh lí 3 Chú ý: * Hàm s f (xác nh trên D ) có c c tr ⇔ ∃x 0 ∈ D th a mãn hai i u ki n sau: i) T i o hàm c a hàm s t i x 0 ph i tri t tiêu ho c hàm s không có o hàm t i x0 ii) f '(x ) ph i i d u qua i m x 0 ho c f "(x 0 ) ≠ 0 . * N u f '(x ) là m t tam th c b c hai ho c tri t tiêu và cùng d u v i m t tam th c b c hai thì hàm có c c tr ⇔ phương trình f '(x ) có hai nghi m phân bi t thu c t p xác nh. Ví d 1 : V i giá tr nào c a m , hàm s π ( ) y = 2 m 2 − 3 sin x − 2m sin 2x + 3m − 1 t c c ti u t i i m x = 3 ?. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( ) * Ta có : y ' = 2 m 2 − 3 cos x − 4m cos 2x , ( ) y '' = −2 m 2 − 3 sin x + 8m sin 2x . π π  i u ki n c n hàm s y t c c ti u t i i m x = là f '   = 0 3 3 ⇔ m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 . π π  i u ki n hàm s y t c c ti u t i i m x = là y ''   > 0 . 3 3 π  ( Th t v y, y ''   = − 3 m 2 − 4m − 3 3 ) π  π + m = −3 , ta có y ''   < 0 . Do ó hàm s tc c it i i m x = . 3 3 π  π + m = 1 , ta có y ''   > 0 . Do ó hàm s t c c ti u t i i m x = . 3 3 π V y hàm s f x ( ) t c c ti u t i i m x = 3 khi và ch khi m = 1 . Bài t p tương t : 1. Tìm m y = mx 3 + 3x 2 + 12x + 2 tc c i t i i mx = 2 . 60
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t x 2 + mx + 1 2. Xác nh giá tr tham s m hàm s y = t c c i t i x = 2. x +m 3. Xác nh giá tr tham s m ( ) hàm s y = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m t c c i t i x = −1. x 2 + mx − 2 Ví d 2: Tìm m ∈ » hàm s y = có c c tr . mx − 1 Gi i : 1 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » \   m  + N u m = 0 thì y = x 2 − 2 ⇒ hàm s có m t c c tr 1 + N u m ≠ 0 hàm s xác nh ∀x ≠ m mx 2 − 2x + m * Ta có y ' = . Hàm s có c c tr khi phương trình (mx − 1)2 1 mx 2 − 2x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác m 1 − m 2 > 0  ⇔ 1 ⇔ −1 < m < 1 . m − ≠0  m V y −1 < m < 1 là nh ng giá tr c n tìm. Bài t p tương t : Tìm m th c a hàm s sau có c c tr : ( 1. y = x 3 − 3mx 2 + m + 2 x + 3m + 4 ) ( ) 3. y = x 4 − 2 m − 4 x 2 + 2m − 5 ( ) x2 − m + 1 x − m + 2 mx 2 − (m − 2 ) x − 1 2. y = 4. y = x −1 x +2 Ví d 3: Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m ∈ » , hàm s y= ( ) x2 − m m + 1 x + m3 + 1 luôn có c c i và c c ti u . x −m Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ m . { } * Ta có: x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( ) g x y' = 2 = 2 ( ) , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( x −m ) ( x −m ) 61
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t ( ) ( ) D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . ( ) Do ó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác nh . * B ng bi n thiên: x −∞ m −1 m m +1 +∞ y' + 0 − − 0 + +∞ +∞ y −∞ −∞ y' i d u t dương sang âm khi x qua i m x 1 = m − 1 thì hàm s tc c i t i i m x1 = m − 1 y' i d u t âm sang dương khi x qua i m x 2 = m + 1 thì hàm s t c c ti u t i i m x2 = m + 1 Bài t p tương t : Tìm m th c a hàm s sau có m t c c i và c c ti u : ( m − 1 ) x − ( m − 1) x + m 2 1 1. y = 2. y = 3 ( ) ( ) m + 1 x 3 + m + 1 x 2 + 2m + 1 x −1 Ví d 4 : Tìm m ( ) i m M 2; 0 là i m c c ic a th hàm s y = −x 3 + mx 2 − 4 . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có y ' = −3x 2 + 2mx , y '' = −6x + 2m . ( ) i m M 2; 0 là i m c c ic a th hàm s khi và ch khi : y ' 2 = 0 () −12 + 4m = 0     m = 3 () y '' 2 < 0 ⇔ −12 + 2m < 0 ⇔  ⇔m =3 y 2 = 0 −8 + 4m − 4 = 0 m < 6    ()  Bài t p tương t : 1. Tìm m ( ) hàm s y = x 4 + m + 1 x 2 + m − 1 có i m c c ti u −1;1 . ( ) x2 + ( m − 1) x + m − 2 2. Tìm m hàm s y = x +1 có i mc c ( i 2; −2 . ) Ví d 5 : Cho hàm s y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1 . Tìm m ∈ » : 1. Hàm s có ba c c tr . 62
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Hàm s có c c ti u mà không có c c i. Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có y ' = 4x 3 + 12mx 2 + 6(m + 1)x = 2x (2x 2 + 6mx + 3(m + 1)) x = 0 y' = 0 ⇔  2  f (x ) = 2x + 6mx + 3m + 3 = 0  Nh n xét: *N u y có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 0 , khi ó y ' s i d u khi i qua ba i m 0, x 1, x 2 khi ó hàm có hai c c ti u và 1 c c i. *N u y có 1 nghi m x = 0 , khi ó y ' ch i d u t − sang + khi i qua m t i m duy nh t nên hàm ch có m t c c ti u. * N u y có nghi m kép ho c vô nghi m thì y ' ch i d u t - sang + khi i qua x = 0 nên hàm t c c ti u t i x = 0 . T trên ta th y hàm s luôn có ít nh t m t c c tr . 1. Hàm s có ba c c tr khi và ch khi y có hai nghi m phân bi t khác 0 ∆ ' = 3(3m 2 − 2m − 2) > 0  1− 7 1+ 7  m < ∪m > ⇔ ⇔ 3 3 . y(0) ≠ 0  m ≠ −1  2. Theo nh n xét trên ta th y hàm ch có c c ti u mà không có c c i 1− 7 1+ 7 ⇔ hàm s không có ba c c tr ⇔ ≤m ≤ . 3 3 Chú ý: 1) i v i hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) x = 0 Ta có y ' = 4ax 3 + 2bx = x (4ax 2 + b ) ⇒ y ' = 0 ⇔  2  4ax + b = 0 (1)  b ≠ 0  * Hàm có ba c c tr ⇔ (1) có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔  . ab < 0  Khi ó hàm có hai c c ti u, m t c c i khi a > 0 ; hàm có h i c c i, 1 c c ti u khi a < 0 . * Hàm có m t c c tr khi và ch khi (1) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có ∆ < 0 ab > 0 1 nghi m x = 0 ⇔  ⇔ . Khi ó hàm ch có c c ti u khi a > 0 y(0) = 0  b = 0  và ch có c c i khi a < 0 . 2) i v i hàm s b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + d , 63
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t x = 0 Ta có: y ' = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx ⇒ y ' = 0 ⇔  2 4ax + 3bx + 2c = 0 (2)  * Hàm s có ba c c tr khi và ch khi (2) có hai nghi m phân bi t khác 0 9b 2 − 32ac > 0  ⇔ . Khi ó hàm có hai c c ti u, m t c c i khi a > 0 ; hàm có c ≠ 0  h i c c i, 1 c c ti u khi a < 0 . * Hàm có m t c c tr khi và ch khi (2) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có ∆ < 0 9b 2 − 32ac < 0 1 nghi m x = 0 ⇔  ⇔ . Khi ó hàm ch có c c ti u y(0) = 0  c = 0  khi a > 0 và ch có c c i khi a < 0 . Bài t p tương t : mx 2 + x + m 1. Tìm m hàm s y = không có c c i , c c ti u . x +m 2. Tìm m hàm s y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1)x − 1 không có c c tr . 3. Xác nh các giá tr c a tham s k th c a hàm s 4 ( )2 y = kx + k − 1 x + 1 − 2k ch có m t i m c c tr . 4. Xác nh m th c a hàm s y = x 4 − mx 2 + 3 có c c ti u mà không có c c i. Ví d 6 : Tìm m hàm s y = −2x + 2 + m x 2 − 4x + 5 có c c i. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . x −2 m * Ta có y ' = −2 + m ; y" = . 2 2 3 x − 4x + 5 (x − 4x + 5) + N u m = 0 thì y = −2 < 0 ∀x ∈ » nên hàm s không có c c tr . + m ≠ 0 vì d u c a y '' ch ph thu c vào m nên hàm có c c i thì trư c h t y " < 0 ⇔ m < 0 . Khi ó hàm s có c c i ⇔ Phương trình y ' = 0 có nghi m (1). Ta có: y ' = 0 ⇔ 2 (x − 2)2 + 1 = m(x − 2) (2) . t t = x − 2 thì (2) tr thành : t ≤ 0 t ≤ 0 2   mt = 2 t + 1 ⇔  2 2 ⇔2 1 ⇒ (1) có nghi m (m − 4)t = 1  t = 2  m −4 ⇔ m 2 − 4 > 0 ⇔ m < −2 (Do m < 0 ). V y m < −2 thì hàm s có c c i. 64

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản