Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
491
lượt xem
148
download

Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 2 (dạng 3): tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t D ng 3 : Tìm i u ki n các i m c c tr c a hàm s th a mãn i u ki n cho trư c. Phương pháp: • Trư c h t ta tìm i u ki n hàm s có c c tr , • Bi u di n i u ki n c a bài toán thông qua t a các i m c c tr c a th hàm s t ó ta tìm ư c i u ki n c a tham s . Chú ý: * N u ta g p bi u th c i x ng c a hoành các i m c c tr và hoành các i m c c tr là nghi m c a m t tam th c b c hai thì ta s d ng nh lí Viét. * Khi tính giá tr c c tr c a hàm s qua i m c c tr ta thư ng dùng các k t qu sau: ( ) ( nh lí 1: Cho hàm a th c y = P x , gi s y = ax + b P’ x + h x khi ó ) ( ) ( ) n u x 0 là i m c c tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s là: ( ) ( ) ( ) y x 0 = h x 0 và y = h x g i là phương trình qu tích c a các i m c c tr . Ch ng minh: Gi s x 0 là i m c c tr c a hàm s , vì P (x ) là hàm a th c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( pcm) . nên P ' x 0 = 0 ⇒ y x 0 = (ax 0 + b)P ' x 0 + h x 0 = h x 0 u (x ) nh lí 2: Cho hàm phân th c h u t y = khi ó n u x là i m c c v (x ) 0 u ' (x ) 0 tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s : y(x 0 ) = . v ' (x ) 0 u ' (x ) Và y = là phương trình qu tích c a các i m c c tr . v ' (x ) u ' ( x ) v ( x ) − v ' (x ) u ( x ) Ch ng minh: Ta có y ' = 2 v (x ) ⇒ y ' = 0 ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − v ' ( x ) u ( x ) = 0 (*). Gi s x là i m c c tr c a 0 u ' (x ) u (x ) = y (x ) . 0 0 hàm s thì x là nghi m c a phương trình (*) ⇒ = v ' (x ) v (x ) 0 0 0 0 1 3 Ví d 1 : Tìm m th c a hàm s y = 3 ( x − mx 2 + 2m − 1 x + 2 có 2 ) i m c c tr dương. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . 65
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t * Ta có y ' = x 2 − 2mx + 2m − 1 y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 (*) * Hàm s có hai i m c c tr dương ⇔ (*) có hai nghi m dương phân bi t ∆ ' = m 2 − 2m + 1 > 0   1  m > ⇔ S = 2m > 0 ⇔ 2. P = 2m − 1 > 0 m ≠ 1     1 m > V y 2 là nh ng giá tr c n tìm. m ≠ 1  Bài t p tương t : 1. Tìm m ( ) th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + m + 6 x + 5 có 2 i m c c tr dương. 2x 2 − mx + m − 2 2. Tìm m th c a hàm s y = có 2 i m c c tr âm. mx + 1 mx 2 + 3mx + 2m + 1 Ví d 2 : Tìm m th c a hàm s y = có c c i, x −1 c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox . Gi i : * Hàm s ã cho xác {} nh và liên t c trên » \ 1 . mx 2 − 2mx − 5m − 1 * Ta có y ' = (x − 1)2 y ' = 0 ⇔ mx 2 − 2mx − 5m − 1 = 0 ( x ≠ 1) ( * ) () Hàm s có hai i m c c tr ⇔ * có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 1 m ≠ 0  1  m < − . ⇔ m(6m + 1) > 0 ⇔ 6  −6m − 1 ≠ 0 m>0   Hai i m c c tr c a th hàm s n m v hai phía tr c Ox ( ) ( ) ⇔ y x 1 .y x 2 < 0 . Áp d ng k t qu ( ) ( ) ( ) ( nh lí 2 ta có: y x 1 = 2m x 1 − 1 , y x 2 = 2m x 2 − 1 ) ⇒ y x 1 .y x 2 = 4m 2 x 1x 2 − x 1 + x 2 ( ) ( ) ( ) + 1 = 4m ( −2m − 1) .   66
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t  1 m < − . ( ) ( ) y x 1 .y x 2 < 0 ⇔ 4m(−2m − 1) < 0 ⇔  2 m>0   1 m 0  Bài t p tương t : m 1 1. Tìm m ( ) th c a hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + 3 có c c i, c c 3 2 ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox . 2. Tìm m th c a hàm s y = − ( m +1 3 ) x − mx 2 + 3m − 1 có c c i, 3 c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Oy . mx 2 + 3mx + 2m + 1 1 3. Cho hàm s y = , m ≠ . Tìm m hàm s có c c i, x −1 6 c c ti u và hai i m c c tr ó n m v hai phía c a tr c hoành. Ví d 3 : Tìm m th c a hàm s (C m ) : y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có i mc c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » * Ta có y ' = 2(3x 2 + mx − 6) ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 + mx − 6 = 0 (2) Vì (2) luôn có hai nghi m phân bi t nên th hàm s luôn có hai c c tr . G i x 1, x 2 là hoành hai c c tr , hai i m c c tr cách u tr c tung ⇔ x 1 = x 2 ⇔ x 1 = −x 2 ⇔ x 1 + x 2 = 0 (vì x 1 ≠ x 2 ) −b −m ⇔S = = = 0 ⇔ m = 0. a 3 V y m = 0 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : 1 1. Tìm m ( ) th c a hàm s (C m ) : y = − x 3 + 2m − 3 x 2 − 2m − 3 x 3 ( ) có i m c c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy . 2. Tìm m th c a hàm s (C m ) : y = ( ) x2 − m − 1 x + m + 1 có i m c c x −1 i, c c ti u và các i m này cách u tr c Ox . Ví d 4 : Tìm m th c a hàm s 67
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t ( ) ( y = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai i m c c) i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . Gi i : * Hàm s cho xác nh và liên t c trên » ( * Ta có : y ' = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2) Hàm s có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 () ⇔ 3.y ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . Bài t p tương t : 1. Tìm m ( th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + 2m 2 + 7m − 9 x − 1 có hai ) i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . 2. Tìm m ( ) th c a hàm s y = −x 3 + 4m − 3 x 2 + m 2 + 7m + 10 x + 3 ( ) có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c hoành . x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 Ví d 5 : Tìm tham s m > 0 hàm s y = t x c c ti u t i x ∈ 0;2m . ( ) Gi i : * Hàm s ã cho xác ( nh và liên t c trên kho ng 0;2m ) x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x ( ) * Ta có : y ' = x 2 = 2 , x ≠ 0 , g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 x ( ) Hàm s ( ) ( ) t c c ti u t i x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t m > 0   ( x 1, x 2 x 1 < x 2 ) tho x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 () 1.g 2m > 0   ( ) 68
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t    m > 0 m > 0  m < 1 1    3 2m 2 + 5m − 3 > 0    2   2  m < −3  1  m >  2 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 Bài t p tương t : 1. Tìm tham s m hàm s y = x 3 − m 2x 2 − 2x + 3 t c c ti u t i ( x ∈ m;2m . ) 2. Tìm tham s m ( ) hàm s y = x 4 − m − 1 x 2 − 1 tc c i t i ( x ∈ 1; m + 1 . ) Ví d 6 : Tìm tham s th c m th c a hàm s : 1 ( ) y = mx 3 + 3mx 2 + 3m + 1 x − 2 có c c i t i x ∈ −3; 0 . 3 ( ) Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có y ' = mx 2 + 6mx + 3m + 1 + N u m = 0 thì y ' = 1 > 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn tăng ∀x ∈ » , do ó hàm s không có c c tr . ( + N u m ≠ 0 , ta có ∆ ' = m 6m − 1 . ) * B ng xét d u m −∞ 1 +∞ 0 6 ∆' + 0 − 0 + 1 i N u 0
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t 1 i V i m < 0 ho c m > , khi ó tam th c y ' có hai nghi m phân bi t 6 ∆' x 1,2 = −3 ± m ( x1 < x 2 . ) + m < 0 . Ta có b ng xét d u x −∞ x1 x2 +∞ y' − 0 + 0 − D a vào b ng xét d u, suy ra x 2 là hoành c c i c a hàm s . ∆' Theo bài toán, ta có −3 < x 2 < 0 ⇔ −3 < −3 − < 0 ⇔ ∆ ' < −3m m 1 ( ) ⇔ m 6m − 1 < 9m 2 ⇔ 3m 2 + m > 0 ⇔ m < − do m < 0 3 ( ) 1 + m > , tương t . 6 Bài t p t luy n: mx 2 + x 1. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y = có c c i t i −x + 1 ( ) x ∈ 0;1 và có c c ti u x ngoài kho ng ó. 2. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y = x2 + m x + 1 ( ) có c c it i x +2 x ∈ 0;1 và có c c ti u x   ngoài o n ó. 3. Tìm tham s th c m ( ) th c a hàm s : y = m + 1 x 3 + mx 2 − x có m t ( c c tr t i x ∈ −1;1 . ) Ví d 7 : Cho hàm s y = ( x2 + m x + 1 ) , hãy tìm tham s m hàm s t x +2 c c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 th a mãn h th c :  1 1  x 1 + x 2 = −6  2 2 + . x x2   1  Gi i : * Hàm s ã cho xác ( ) ( nh và liên t c trên −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ) x 2 + 4x + m * Ta có y ' = 2 , x ≠ −2 (x + 2 ) 70
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t * hàm s tc c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 thì phương ( ) trình g x = x 2 + 4x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 khi ó ∆ = 4 − m > 0   2 ⇔ m < 4. ( ) ( ) g −2 = −2 + 4. −2 + m ≠ 0  ( ) x + x 2 = 12  Theo nh lý Vi-ét , ta có :  1 . x 1.x 2 = m   1 1  2 x + x2 x 1 + x 2 = −6  2 2 +  ⇔ x + x − 2.x .x = −6 1 ( ) x  1 2 1 2 x 1.x 2  1 x2   24  m = 2 16 − 2m = m 2 − 8m + 12 = 0   ⇔ m ⇔ ⇔  m = 6  ⇔ m = 2. 0 ≠ m < 4  0≠m
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t 5. Tìm m ∈ » + th c a hàm s : 2 ( ) ( y = 2x 3 − 3 2m + 1 x 2 + 6m m + 1 x + m + 1 có c c ) ( ) ( ) i A x 1, y1 , c c ti u ( ) B x 2 , y2 th a mãn h th c : (y 1 − y2 )( 6 − 5m ) > m (x − x ) . 2 2 1 Ví d 8 : Tìm tham s m hàm s y = ( x − m ) ( x − 3x − m − 1) có c 2 c i và c c ti u th a xC .xCT = 1 . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = 3x − 2 m + 3 x + 2m − 1 2 ) ( ) y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 2 m + 3 x + 2m − 1 = 0 (1) Hàm s có hai i m c c tr th a mãn xC .xCT = 1 ⇔ (1) có hai nghi m x 1, x 2 ∆ ' = m 2 + 7 > 0  m = 2 th a mãn: x 1 .x 2 = 1 ⇔  c 2m − 1 ⇔  . P = = =1 m = −1   a 3 V y m = 2 ho c m = −1 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : 1. Tìm tham s m hàm s y = 3x 4 − mx 2 − 2 có c c ( i A 0; −2 và c c) m 2 + 4m − 4 ti u B,C sao cho xC .x B < . 6 2. Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 4mx 2 + 1 có c c ( ) i A 0;1 và c c ti u B,C sao cho xC .x B > 2 m 2 + 8m + 10 . ( ) Ví d 9 : Tìm tham s m hàm s 1 1 ( ) y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + 3 3 ( ) có c c i , c c ti u ng th i hoành c c i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 ) ( ) Hàm s có c c i , c c ti u khi y ' i d u hai l n qua nghi m x , t c là ( ) ( phương trình mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ) 72
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t m ≠ 0   m ≠ 0  2 ⇔ 2 ( ) ( ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0  ) −2m + 4m + 1 > 0  m ≠ 0  ⇔ 2 − 6 2+ 6  2 2m − m 2 . ) 2x 2 + 3x + m − 2 Ví d 10: Tìm tham s m hàm s y= có i m c c i x +2 và c c ti u t i các i m có hoành ( ) x 1, x 2 th a mãn y x 2 − y x 1 = 8( ) Gi i : 2 2x + 3x + m − 2 m y= = 2x − 1 + x +2 x +2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ −2 { } 73
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t * V i x ≠ −2, m ≠ 0 , ta có m 2(x + 2)2 − m g (x ) y' = 2− 2 = 2 = 2 , g (x ) = 2(x + 2)2 − m (x + 2) (x + 2) (x + 2) th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t và y ' i d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình g x = 0 có hai nghi m ( ) 2(x + 2)2 = m > 0  phân bi t khác −2 ⇔  ⇔m >0 2(−2 + 2)2 − m ≠ 0  Khi ó ta có y x = 4x + 3  ( )  1 ( ) 1 ( ) ( ) ⇒ y x 2 − y x 1 = (4x 2 + 3) − (4x 1 + 3) = 4 x 2 − x 1 y x 2 = 4x 2 + 3  y ( x ) − y ( x ) = 8 ⇔ 4 x − x = 8 ⇔ (x 2 1 2 1 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 = 4 1() x 1 + x 2 = −4  Mà  8−m (2) x 1x 2 =  2 8−m T (1) và (2 ) suy ra (−4) 2 − 4 −4 =0⇔m =2 2   Bài t p tương t : 1 3 1. Tìm tham s m hàm s y=) 3 ( x + m − 2 x 2 − 2 có i m c c i và c c ti u t i các i m có hoành x , x th a mãn y ( x ) − y ( x ) < 2 . 1 2 2 1 2. Tìm tham s m hàm s y = (m + 1) x − 2 (m − 1) x có 2 i m c c ti u 4 2 khác O ( 0; 0 ) và hoành x , x c a c c ti u th a mãn y ( x ) + y ( x ) > 1 . 1 2 2 1 x + ( m + 1) x + m + 1 2 Ví d 11 : Cho hàm s y = . G i A, B là hai i m x +1 c c tr , nh m di n tích tam giác OAB b ng 2 . V i giá tr m v a tìm ư c , tính kho ng cách t O n ư ng th ng AB . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) . x 2 + 2x * Ta có y ' = 2 , x ≠ −1 ( x +1 ) 74
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t i V i ∀m ∈ » hàm s ã cho có i m c c ( i A −2; m − 3 và i m c c ti u) ( B 0; m + 1 . ) i Ta có : ( ) OA −2; m − 3 ⇒ OA = m 2 − 6m + 13,OB 0; m + 1 ⇒ OB = m + 1 và ( ) . OAOB ( )( ) ( OAOB = −2.0 + m − 3 m + 1 = m − 3 m + 1 . cos AOB = . )( ) . OAOB 2 ⇒ sin AOB = 1 − cos2 AOB = ( . OAOB ) 2 ( . − OAOB ) . OAOB 2 1 1 i Di n tích dt( ∆OAB ) = OAOB. sin AOB = 2 . 2 (OAOB ) . 2 ( . − OAOB ) m = −3 dt( ∆OAB ) = ... = m + 1 ⇒ dt( ∆OAB ) = 2 ⇔ m + 1 = 2 ⇔  m = 1  i G i d là kho ng cách t O n ư ng th ng AB khi ó AB = 2 5 và 1 m +1 dt( ∆OAB ) = d .AB ⇒ d = . 2 5 2 5 + m = −3 ⇒ d = . 5 2 5 + m =1⇒d = . 5 Bài t p t luy n: 1 1. nh m th c a hàm s y = − mx 3 + 3m − 1 x 2 − 4x − 2 có c c tr 3 ( ) A, B sao cho tam giác MAB di n tích b ng 1 , bi t M 0;1 . ( ) 2. nh m th c a hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có c c tr A, B,C sao cho tam giác ABC di n tích b ng 4 . Ví d 12 : Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có 3 i m c c tr là 3 nh c a m t tam giác vuông cân. Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c » . * Ta có y ' = 4x 3 − 4m 2x = 4x (x 2 − m 2 ) . V i m ≠ 0 hàm s có ba c c tr .Khi ó t a các i m c c tr c a th hàm s là: A(0;1), B(m;1 − m ), C (−m;1 − m ) . 4 4 75
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t D th y AB = AC nên tam giác ABC vuông cân ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇔ 2(m 2 + m 8 ) = 4m 2 ⇔ m = ±1 V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm. Bài t p t luy n: 1 1. Tìm tham s m ( ) hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + m có 2 i m c c tr 3 A, B sao cho ABO m t tam giác vuông cân , v i O là g c t a . 1 4 1 2. Tìm tham s m hàm s y = 4 ( ) x − m − 1 x 2 + m − 2 có 3 i m c c tr 2 là 3 nh c a m t tam giác vuông. Ví d 13: Tìm m th c a hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có c c i, c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c » . ( * Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m ) x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = m *  () th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' i () d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 x = 0 ⇒ A 0; m 4 + 2m ( )  B − m ; m 4 − m 2 + 2m Khi ó : y ' = 0 ⇔  x = ± m ⇒  ( ) C m ; m 4 − m 2 + 2m      ( ) Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác u AB = AC  ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m AB = BC  ( ) ⇔ m m3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 ( ) V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Bài t p t luy n: 1 4 1 1. Tìm m th c a hàm s y = 4 ( ) x − m − 1 x 2 + m − m 2 có c c 2 i, c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u. 76
  13. Nguy n Phú Khánh – à L t 3 2 2 2. Tìm m th c a hàm s y = −x 3 + m x có c c i A , c c ti u B 2 ng th i các i m ABC c c tr l p thành tam giác u, bi t C −2; 3 . ( ) Ví d 14: Tìm a th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + 2 (C ) có i mc c i và i m c c ti u c a th (C ) v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía ( ) trong và phía ngoài): C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c » . * Ta có : y ' = 3x 2 − 6x x = 0 ⇒ y = 2 y' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −2  Cách 1: ( ) ( th hàm s có hai i m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai i m ) ( ) ( A 0;2 , B 2; −2 ) v hai phía c a hai ư ng tròn (C ) khi a ( )( ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 a a ) 3 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔
  14. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 + mx 2 + 2m − 1 (C ) có m i mc c i và i m c c ti u c a th (C ) m v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía ( ) trong và phía ngoài): C : x 2 + y 2 = 4 . Ví d 15 : Tìm m th c a hàm s : y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có ba c c tr . ng th i các i m c c tr A, B, C c a th t o thành m t tam giác có bán kính ư ng tròn ngo i ti p b ng 1 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có : y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m ) x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = m  V i m > 0 : y ' = 0 có ba nghi m phân bi t và y ' i d u khi x i qua các nghi m ó. * Khi ó ba i m c c tr c a ( th hàm s là: A 0; m − 1 , ) ( ) ( B − m ; −m 2 + m − 1 , C m ; −m 2 + m − 1 . ) 1 AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m và S ABC = yB − yA . xC − x B = m 2 m 2 R= AB.AC .BC =1⇔ ( m4 + m 2 m ) = 1 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 4S ABC 2 4m m m = 1 ⇔  m = 5 − 1   2 Bài t p tương t : 1 4 1 Tìm m th c a hàm s : y = x − mx 2 + m + 1 có ba c c tr A, B, C 4 2 sao cho tam giác n i ti p ư c trong ư ng tròn có bán kính R = 1 . Ví d 16: Tìm m th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có c c i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua 1 5 ư ng th ng : d : y = x − . 2 2 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . Cách 1 : 78
  15. Nguy n Phú Khánh – à L t * Ta có y ' = 3x 2 − 6x + m 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + m 2 = 0 (1) . hàm s có c c tr ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t x1, x 2 ⇔ ∆ ' = 3(3 − m 2 ) > 0 ⇔ − 3 < m < 3 . phương trình ư ng th ng d ' i qua các i m c c tr là : 2 1 y = ( m 2 − 2)x + m 2 + m ⇒ các i m c c tr là : 3 3 2 1 2 1 A(x 1;( m 2 − 2)x 1 + m 2 + 3m ), B(x 2 ;( m 2 − 2)x 2 + m 2 + 3m ) . 3 3 3 3 G i I là giao i m c a hai ư ng th ng d và d ' 2m 2 + 6m + 15 11m 2 + 3m − 30 ⇒ I( ; ). 15 − 4m 2 15 − 4m 2 2 2 A và B i x ng qua d thì trư c h t d ⊥ d ' ⇔ m − 2 = −2 ⇔ m = 0 khi 3 ( ) ( ) ó I 1; −2 và A x 1; −2x 1 ; B x 2 ; −2x 2 ( ) ⇒ I là trung i m c a AB ⇒ A và B i x ng nhau qua d . V y m = 0 là giá tr c n tìm. Cách 2 : * Hàm s ã cho xác nh trên » và có o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 . m2 Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 , . x 1.x 2 = 3 ( ) ( G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr c a th hàm s và I là trung i m c a o n AB . ư ng th ng AB có h s góc kAB = 3 3 2 2 2 ( y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 = ) ( ) x 2 − x1 x 2 − x1 2 ( kAB = x 1 + x 2 ) ( − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 ) m2 2 2m 2 − 6 kAB = 4 − −6+m = 3 3 1 5 1 ư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 ( ) 2 ( Hai i m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ) ( ) i x ng nhau qua ư ng th ng ∆ ( ) 79
  16. Nguy n Phú Khánh – à L t AB ⊥ ∆  khi và ch khi  I ∈ ∆  1  2m 2 − 6  i AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0 2  3  i m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( ) y' = 0 ⇔  1  1 x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4 ⇒ I 1; −2 ( ) ( )  ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . Bài t p tương t : Tìm m ( ) ( ) th c a hàm s y = x 3 + m − 4 x 2 − 4 m − 1 x + 4m + 1 có c c i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua ư ng th ng : d : y = x . x 2 + mx Ví d 17: Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng 1−x cách gi a hai i m c c tr b ng 10 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 .{} −x 2 + 2x + m * Ta có y ' = (1 − x )2 y ' = 0 ⇔ x 2 − 2x − m = 0 (1) (x ≠ 1) ∆ ' = 1 + m > 0  th hàm s có c c tr ⇔  ⇔ m > −1 . 1 − 2 − m ≠ 0  ư ng th ng i qua các i m c c tr có phương trình y = −2x − m ⇒ các i m c c tr là: A(x 1; −2x 1 − m ), B(x 2 ; −2x 2 − m ) ⇒ AB 2 = 5(x 1 − x 2 )2 = 100 ⇔ (x 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 − 20 = 0 ⇔ 4 + 4m − 20 = 0 ⇔ m = 4 . V y m = 4 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : mx 2 + x − m + 1 1. Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng cách x −1 gi a hai i m c c tr b ng 3. 80
  17. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + x − 5m + 1 có c c tr và kho ng cách gi a hai i m c c tr bé hơn 2. x 2 + 2mx + 2 Ví d 18: Tìm giá tr c a m x +1 có th hàm s y = f x = ( ) i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ −1 { } x 2 + 2x + 2m − 2 * Ta có y ' = 2 , x ≠ −1 ( x +1 ) Hàm s có c c i , c c ti u khi f ' x ( ) i d u hai l n qua nghi m x hay ( ) phương trình g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1 ∆ ' > 0   3 − 2m > 0 3 ⇔ ⇔ ⇔m<  ( ) g −1 ≠ 0 2m − 3 ≠ 0  2 G i A (x ; y 1 1 ) ( = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các i m c c tr c a ) th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình g x = 0, x ≠ 1 . Theo ( ) nh lý Vi ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 Theo yêu c u bài toán d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ ( ) ( ) = 2 2 2 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ) = ( 3x 2 + 2m + 2 ) 2 2 ( ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ) − ( 3x + 2m + 2 ) = 0 2 ⇔ (x 1 − x2 ) 3 (x + x ) + 4m + 4  = 0  1 2  1 ( ) ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 (x 1 ≠ x2 ) ( ) ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = 2 1 So v i i u ki n, v y m = là giá tr c n tìm . 2 Bài t p tương t : x 2 + 2mx − 3m + 1 1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c i, x −2 i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng ∆ : 2x − y = 0 b ng nhau. 81
  18. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm giá tr c a m ( ) th hàm s y = x 3 − 3m + 1 x 2 − 2m + 3 có i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t c c i n ư ng th ng (d ) : 2x − 3y = 0 nh hơn 11 . x 2 + mx + 2 Ví d 19: Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c x −1 ( ) ti u n m trên Parabol P : y = x 2 + x − 4 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 {} x 2 − 2x − m − 2 * Ta có y ' = 2 ,x ≠ 1 . ( ) t g x = x 2 − 2x − m − 2 . ( x − 1) Hàm s có c c ( ) i , c c ti u khi phương trình g x = 0 có hai nghi m ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0  (  ) m + 3 > 0 phân bi t khác 1 ⇔  ⇔ ⇔ m > −3   () g 1 = −m − 3 ≠ 0 m ≠ −3  x = 1 − m + 3 ⇒ y = m + 2 − 2 m + 3 Khi ó : y ' = 0 ⇔  1 1 x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = m + 2 + 2 m + 3  B ng xét d u : x −∞ x1 1 x2 +∞ y' + 0 − − 0 + ( D a vào b ng xét d u suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ) i m c c ti u c a th hàm s . 2 ( ) A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 ( ) +1+ m + 3 −4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i i u ki n bài toán, ta có m = −2 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : 1 1 1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = x 3 − mx 2 + 2 m − 2 x có i m 3 2 ( ) 5 () c c ti u n m trên ư ng th ng d : y = x . 6 82
  19. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm giá tr c a m ( ) th hàm s y = x 3 − 3 m + 1 x 2 + 3m − 2 có i m c c ti u n m trên Parabol P : y = x 2 . ( ) Ví d 20: Tìm giá tr c a m th hàm s ( ) ( y = −x + 3 m + 1 x − 3m + 7m − 1 x + m 2 − 1 có i m c c ti u t i m t 3 2 2 ) i m có hoành nh hơn 1. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 . ) ( ) Hàm s t c c ti u t i m t i m có hoành nh hơn 1 2 ( ) ( ⇔ y ' = −3x + 6 m + 1 x − 3m + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho 2 ) mãn i u ki n :  1 ⇔ −3.y ' 1 < 0 () ()    x < 1 < x () 1  ∆ ' > 0  1 2 ⇔  x 1 < x 2 ≤ 1  () 2  () 2 ⇔ −3.y ' 1 ≥ 0 ()  S   0 ( ) (  3 ) ⇔  ⇔  −3m + 12 > 0   2 (  3 3m + m − 4 ≥ 0 )  3m 2 + m − 4 ≥ 0   m + 1 < 1  m < 0    4 − < m < 1  3  4  m < 4 − < m < 1 ⇔   4 ⇔  3 ⇔m
  20. Nguy n Phú Khánh – à L t Ví d 21: Tìm giá tr c a m th hàm s y= 2 ( 2 ) x − m + 1 x − m + 4m − 2 . có c c tr ng th i tích các giá tr c c x −1 i và c c ti u t giá tr nh nh t. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 . {} * Ta có y ' = x 2 − 2x + m 2 − 3m + 3 = g x( ) ,x ≠ 1 2 2 ( x − 1) ( x − 1) ( ) g x = x 2 − 2x + m 2 − 3m + 3 Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình g (x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác 1 .  ∆ ' > 0  2 −m + 3m − 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản