Chương 1 - Bài 4: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 2010

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
303
lượt xem
125
download

Chương 1 - Bài 4: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 2010

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 4: giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất 2010', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 4: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 2010

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t Bài 4 : GIÁ TR L N NH T GIÁ TR NH NH T C A HÀM S . 4.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. nh nghĩa: Cho hàm s xác nh trên D • S M g i là giá tr l n nh t (GTLN) c a hàm s y = f (x ) trên D  f (x ) ≤ M ∀x ∈ D  n u  , ta kí hi u M = max f (x ) . ∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M  x ∈D  • S m g i là giá tr nh nh t (GTNN) c a hàm s y = f (x ) trên D  f (x ) ≥ M ∀x ∈ D  n u , ta kí hi u m = min f (x ) . ∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m  x ∈D  2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN c a hàm s Phương pháp chung: tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f (x ) trên D ta tính y ' , tìm các i m mà t i ó o hàm tri t tiêu ho c không t n t i và l p b ng bi n thiên. T b ng bi n thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: • N u hàm s y = f (x ) luôn tăng ho c luôn gi m trên a; b    thì max f (x ) = max{f (a ), f (b)}; min f (x ) = min{f (a ), f (b)} . [a;b] [a;b] • N u hàm s y = f (x ) liên t c trên a; b  thì luôn có GTLN, GTNN trên   o n ó và tìm GTLN, GTNN ta làm như sau * Tính y ' và tìm các i m x1, x 2 , ..., x n mà t i ó y ' tri t tiêu ho c hàm s không có o hàm. * Tính các giá tr f (x1 ), f (x 2 ),..., f (x n ), f (a ), f (b ) .Khi ó x ∈a ;b    ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} + max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b    + min f ( x ) = min { f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} 1 2 i x ∈a ;b    x ∈a ;b    • N u hàm s y = f (x ) là hàm tu n hoàn chu kỳ T thì tìm GTLN, GTNN c a nó trên D ta ch c n tìm GTLN, GTNN trên m t o n thu c D có dài b ng T . * Cho hàm s y = f (x ) xác nh trên D . Khi t n ph t = u(x ) , ta tìm ư c t ∈ E v i ∀x ∈ D , ta có y = g (t ) thì Max, Min c a hàm f trên D chính là Max, Min c a hàm g trên E . 95
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t * Khi bài toán yêu c u tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t mà không nói trên t p nào thì ta hi u là tìm GTLN, GTNN trên t p xác nh c a hàm s . * Ngoài phương pháp kh o sát tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp mi n giá tr hay B t ng th c tìm Max, Min. 4.2 D NG TOÁN THƯ NG G P Ví d 1 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 3x − 1 1. y = trên o n 0;2  .   x −3 2. y = (x − 6) x 2 + 4 trên o n 0; 3  .   3 ( 3. y = x 6 + 4 1 − x 2 ) trên o n  −1;1 .   4. y = −x 2 + 5x + 6 trên o n [ −1; 6] . Gi i : 3x − 1 1. y = x −3 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n 0;2  .   −8 * Ta có y ' = 2 < 0, ∀x ∈  0;2    ( x −3 ) * B ng bi n thiên x 0 2 y' − 1 y 3 −5 T b ng bi n thiên suy ra : 1 0;2   ( ) max f x = khi x = 0 3  0;2    ( ) min f x = −5 khi x = 2 2. y = (x − 6) x 2 + 4 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n 0; 3  .   2 2x − 6x + 4 * Ta có : y ' = , x ∈ 0; 3    2 x +4 96
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t x = 1 y' = 0 ⇔  x = 2  y(1) = −5 5    max y = −3 13 y(0) = −12  x ∈0;3 ⇒    y(2) = −8 2  xmin y = −12  ∈0;3  y(3) = −3 13   V y max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 . x ∈0;3    x ∈ 0;3    3 3. y = x 6 + 4 1 − x 2 ( ) * Hàm s nh và liên t c trên o n  −1;1 . ã cho xác   t t = x , x ∈  −1;1 ⇒ t ∈ 0;1 2     3 Hàm s ã cho vi t l i f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 () ( )   2 * Ta có f ' t = 3t 2 () − 12 (1 − t ) = 3 ( −3t + 8t − 4 )2  2 2 4 t = , f  = () f' t =0⇔ 3 3 9 t = 2  () f 0 = 4, f 1 = 1 () * B ng bi n thiên t 2 0 1 3 f' t () − 0 + 4 1 f t () 4 9 T b ng bi n thiên suy ra : 4 2  −1;1   ( ) max f x = 4 khi x = 0 min f x =  −1;1   ( ) 9 khi x = ± 3 4. y = −x 2 + 5x + 6 97
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n [ −1; 6] . −2x + 5 * Ta có y ' = 2 −x 2 + 5x + 6 5 y ' = 0 ⇔ x = ∈ [ −1; 6] 2 5 7 y(−1) = y ( 6 ) = 0, y   = . 2 2 7 5 V y : min y = 0 khi x = −1, x = 6 và max y = khi x = . x ∈  −1;6    x ∈  −1;6    2 2 x + 1 + 9x 2 Ví d 2 : Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : y = ,x > 0 . 8x 2 + 1 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên kho ng 0; +∞ ( ) x + 9x 2 + 1 9x 2 + 1 − x 2 1 y= = = 8x 2 + 1 ( (8x 2 + 1) 9x 2 + 1 − x ) 9x 2 + 1 − x Hàm s t giá tr l n nh t trên kho ng ( 0; +∞ ) khi hàm s f (x ) = 9x 2 + 1 − x t giá tr nh nh t trên kho ng ( 0; +∞ ) . 9x ( ) f' x = −1 9x 2 + 1 x > 0  1 ( ) f ' x = 0 ⇔ 9x 2 + 1 = 9x ⇔  2 ⇔x = 72x = 1  6 2 2 2 1 1 3 2 1 x >0 ( ) min f x = 3 khi x = ⇒ maxy = x >0 = 4 khi x = . 6 2 2 2 6 2 3 Ví d 3: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1. y = x + 4 − x 2 trên o n  −2;2  .   x +1 2. y = trên o n x ∈  −1;2  .   x2 + 1 Gi i : 1. y = x + 4 − x 2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;2  .   98
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t x 4 − x2 − x * Ta có y ' = 1 − , x ∈ −2;2 = ( ) 4 − x2 4 − x2  4 − x2 − x = 0   4 − x2 = x  y' = 0 ⇔  ⇔ x ∈ −2;2  ( ) x ∈ −2;2  ( )  0 < x < 2  0 < x < 2 ⇔ 2 2 ⇔  2 ⇔x = 2  4−x =x x =2   B ng bi n thiên x −2 2 2 y' − 0 + y −2 2 2 2 T b ng bi n thiên , ta ư c   ( ) max f x = 2 2 khi x = 2 x ∈ −2;2  x ∈ −2;2   ( ) min f x = −2 khi x = −2 x +1 2. y = trên o n x ∈  −1;2  .   x2 + 1 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −1;2  .   −x + 1 * Ta có y ' = ⇒y' = 0 ⇔ x =1 3 2 x +1 ( ) * B ng bi n thiên . x −1 1 2 y' + 0 − 2 y 3 5 0 5 T b ng bi n thiên , ta ư c max y = 2 khi x = 1 min y = 0 khi x = −1 x ∈ −1;2    x ∈ −1;2   Ví d 4 : Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + 1 trên o n  −2;1 .   99
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;1 .   t g x = x − 3x + 1, x ∈  −2;1 ( ) 3 2   ( ) g ' x = 3x 2 − 6x . x = 0 ( ) g' x = 0 ⇔  x = 2 ∉  −2;1    ( ) () () g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 .  −2;1 ( )  −2;1 ( )     x ∈  −2;1 ⇒ g x ∈  −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19  .   ( ) ( ) ( )     () () g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0. ( ) ( ) ( ) V y max f x = 19, min f x = 0.  −2;1  −2;1 ( )     Ví d 5: 1. Tìm a giá tr l n nh t c a hàm s y = x 2 + 2x + a − 4 trên o n  −2;1   t giá tr nh nh t . 2. Tìm giá tr p, q giá tr l n nh t c a hàm s y = x 2 + px + q trên o n  −1;1 là bé nh t .   Gi i : 1. * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;1 .   2 y = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5 ( ) 2 t t = x + 1 , x ∈  −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4  ( )     Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4    max y ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 } x ∈ −2;1   t ∈ 0;4    t ∈ 0;4    t ∈ 0;4    • a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a t∈ 0;4    • a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1 t ∈ 0;4    100
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t 5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3  M t khác  () ⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈ » a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3  t∈ 0;4    t∈ 0;4    () V y giá tr nh nh t c a max f t = 2 khi a = 3 ( ) 2. Xét hàm s f x = x 2 + px + q * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −1;1 ⇒ y = f x   ( ) ( ) () () f − 1 = 1 − p + q , f 0 = q, f 1 = 1 + p + q Gi s max y = f (α ) ⇒ f (1) + f (0) ≥ f (1) − f (0) = 1 + p , f (−1) + f (0) ≥ f (−1) − f (0) = 1 − p  1  f (1) > •p > 0 ⇒ 1 + p > 1 ⇒  2 ⇒f α >1 ( )  f (0) > 1 2   2  1  f (−1) > •p < 0 ⇒ 1 − p > 1 ⇒  2⇒f α >1 ( )  f (0) > 1 2   2   p   max y = max  f (− ) ; f (−1) ; f (1)  x ∈ −1;1     2    p ( ) () ( ) () • p = 0 ⇒ f x = x 2 + q , f 0 = f  −  = q , f −1 = f 1 = 1 + q  2 Giá tr l n nh t c a y là m t trong hai giá tr q ; 1 + q 1 1 1 1 •q > − ⇒ 1 + q > ⇒ f (±1) > ⇒ f (α ) > 2 2 2 2 1 1 1 1 •q < − ⇒ q > ⇒ f (0) > ⇒ f (α ) > 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) •q = − ⇒ f x = x 2 − ≤ ⇒ max f (x ) = ⇔ x = 0; x = ±1 2 2 2 cũng là giá tr nh nh t c a f α . ( ) 1 V y p = 0, q = − tho mãn bài toán . 2 101
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t ax + b Ví d 6 : Tìm các giá tr a, b sao cho hàm s y = có giá tr l n nh t x2 + 1 b ng 4 và có giá tr nh nh t b ng −1 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . • Hàm s có giá tr l n nh t b ng 4 khi và ch khi ax + b  ≤ 4, ∀x ∈ »  2 x2 + 1 4x − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈ »  ⇔ 2 4x − ax 0 + 4 − b = 0 : coù nghieä m x 0 ax 0 + b ∃x 0 ∈ » : 2 =4  0   x0 + 1 ∆ = a 2 − 16 4 − b ≤ 0  ( ) ⇔ ( ) ∆ = a 2 − 16 4 − b ≥ 0 ⇔ a 2 + 16b − 64 = 0 * ()   • Hàm s có giá tr nh nh t b ng 1 khi và ch khi ax + b  2 ≥ −1, ∀x ∈ »  2 x + 1 x + ax + b + 1 ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ ⇔ 2 x + ax 0 + b + 1 = 0 : coù nghieä m x 0 ax 0 + b ∃x 0 ∈ » : 2 = −1  0   x0 + 1 ∆ = a 2 − 4 b + 1 ≤ 0  ( ) ⇔ ( ) ∆ = a2 − 4 b + 1 ≥ 0 ( ) ⇔ a 2 − 4b − 4 = 0 * *   T ( * ) và ( * * ) ta có h  a + 16b − 64 = 0 ( * ) 2  2 a = 16   a = −4 a = 4  ⇔⇔  ⇔ ∨ a − 4b − 4 = 0 ( * * ) 2  b = 3  b = 3  b = 3  a = −4 a = 4   V y giá tr a, b c n tìm là :  ∨ b = 3  b = 3  Ví d 7 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1. y = sin 4 x + cos2 x + 2  π  2. y = x − sin 2x trên o n  − ; π   2  sin x + 1 3. y = 2 sin x + sin x + 1 sin 6 x cos x + cos6 x sin x 4. y = sin x + cos x 102
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t Gi i : 1. y = sin 4 x + cos2 x + 2 y = sin 4 x + cos2 x + 2 = sin 4 x − sin2 x + 3 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . t t = sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1 Xét hàm s f t = t 2 − t + 3 liên t c trên o n 0;1 ()   Ta có f ' t = 2t − 1 , t ∈ 0;1 ()   1 () f' t =0⇔t = 2  1  11 () () f 0 =f 1 =3 , f = 2 4 11 3 min y = min f t = t ∈ 0;1   4 =2 4 () t ∈0;1   () max y = m a x f t = 3  π  2. y = x − sin 2x trên o n  − ; π   2   π  * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n o n  − ; π   2  π ( ) Ta có : f ' x = 1 − 2 cos 2x , − 2
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t t +1 t t = sin x ⇒ f ( t ) = 2 , t ∈ [ −1; 1] t +t +1 t +1 f (t ) = 2 liên t c trên o n [ −1; 1] t +t +1 −t 2 − 2t f / (t ) = 2 (t + t + 1)2 f / ( t ) = 0 ⇔ t = 0 ∈ [ −1; 1] 2 f (−1) = 0, f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = . 3 V y: π min f ( x ) = min f ( t ) = 0 khi sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ Z t ∈  −1;1    2 max f ( x ) = max f ( t ) = 1 khi sin x = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z . t ∈ −1;1    sin x cos x + cos6 x sin x 6 4. y = sin x + cos x Vì sin x + cos x ≥ sin2 x + cos2 x = 1, ∀x sin x cos x  sin x + cos x  5 5 6 sin x cos x + cos x sin x 6  Nên y = =   sin x + cos x sin x + cos x ( y = sin x cos x 1 − sin x cos x − sin2 x cos2 x ) −1 1 2 1 y= sin 3 x − sin 2x + sin 2x 8 4 2 t t = sin 2x ; 0 ≤ t ≤ 1 −1 3 1 2 1 Xét hàm s : f (t ) = t − t + t liên t c trên o n 0;1 .   8 4 2 −3 2 1 1 2 Ta có : f '(t ) = t − t + , ∀t ∈ 0;1 và f '(t ) = 0 ⇔ t =   8 2 2 3 2 5 1 f (0) = 0; f   = ; f (1) =  3  27 8 kπ V y : min y = min f (t ) = f (0) = 0 khi sin 2x = 0 ⇔ x = t ∈ 0;1   2 104
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t 2 5 max y = maxf (t ) = f   = khi t ∈0;1    3  27 2 1 1 1 kπ sin 2x = ⇔ cos 4x = ⇔ x = ± arc cos + 3 9 4 9 2 Bài t p tương t : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1. y = sin 3 x + cos3 x 2. y = −2 sin 3 x + 3 cos 2x − 6 sin x Ví d 8 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 1 1. y = sin x + cos x 2. y = 1 + sin x + 1 + cos x Gi i : 1 1. y = sin x + cos x  π Xét hàm s g (x ) = sin x + cos x liên t c trên o n 0;   2 cos x sin x cos x cos x − sin x sin x  π Ta có : g '(x ) = − = , x ∈ 0;  2 sin x 2 cos x 2 sin x . cos x  2 cos x = sin x  π  π g '(x ) = 0, x ∈ 0;  ⇔   π ⇔x =  2 x ∈ 0; 2  4    π π 1 g (0) = 1; g( ) = 4 8; g( ) = 1 ⇒ 1 ≤ g(x ) ≤ 4 8 ⇒ ≤y ≤1 4 2 4 8 1 V y min y = , max y = 1 4 8 2. y = 1 + sin x + 1 + cos x 1 + sin x ≥ 0  Hàm s ã cho xác nh khi  1 + cos x ≥ 0  y > 0 ⇒ y 2 = sin x + cos x + 2 + 2 sin x + cos x + sin x cos x + 1 * ()  π t2 − 1 t t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =  4 2 105
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t 1 2 () () Khi ó * vi t l i f t = t + 2 + 2 2 ( ) t + 2t + 1 = t + 2 + 2 t + 1  1− () f t =  ( ) 2 t + 2 − 2, neáu − 2 ≤ t ≤ −1  1+ ( 2 )t + 2 + 2, neáu − 1 ≤ t ≤ 2  1 − 2 < 0, neáu − 2 ≤ t < −1  () f' t = 2 > 0, neáu − 1 < t ≤ 2 1 +  () Hàm s f t không có o hàm t i i m t = −1 max f ( x ) = 4+2 2 min f x = 1( ) x ∈» x ∈» ( ) Ví d 9: g (x ) = f (sin2 x )f cos2 x trong ó hàm f th a mãn: f (cot x ) = sin 2x + cos 2x ∀x ∈ [0; π ] . Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a g (x ) . Gi i : t t = cot x 2 ta n x 2 cot x 2t t2 − 1 ⇒ sin 2x = = = ; cos 2x = 1 + t a n2 x 1 + cot2 x 1 + t2 t2 + 1 t 2 + 2t − 1 ⇒ f (t ) = t2 + 1 (sin 4 x + 2 sin2 x − 1)(cos4 x + 2 cos2 x − 1) ⇒ g(x ) = (sin 4 x + 1)(cos4 x + 1) sin 4 x cos4 x + 8 sin2 x cos2 x − 2 u 2 + 8u − 2 g (x ) = = = h(u ) . sin 4 x cos4 x − 2 sin2 x cos2 x + 2 u 2 − 2u + 2 1 trong ó u = sin2 x cos2 x ; 0 ≤ u ≤ . 4 −5u 2 + 4u + 6  1 ⇒ h '(u ) = 2 >0 ∀u ∈ 0;  . (u 2 − 2u + 2)2  4 106
  13. Nguy n Phú Khánh – à L t  1 1 1 ⇒ hàm s h(u ) luôn tăng trên 0;  nên max h(u ) = h   =  4  1 u∈ 0;   4  25  4 min h(t ) = h(0) = −1 .  1 u∈0;   4 1 V y max g(x ) = ; min g(x ) = −1 25 Ví d 10: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s trên :  −1;2  , bi t   f 0 = 1  ()  2 ( ) ( )  f x .f ' x = 1 + 2x + 3x  2 Gi i : 3  f (x ) f 2 x .f ' x = 1 + 2x + 3x 2 ⇔  ( ) ( )  = x + x 2 + x 3 + c, c : h ng s . 3 1 () f 0 =1⇒c = 3 Do ó f (x ) = 3 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 Xét hàm s : g x = 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 liên t c trên o n x ∈  −1;2  . ( )   ( ) Ta có g ' x = 9x 2 + 6x + 3 x = −1 g' x = 0 ⇔  ( ) x = − 1   3  1 2 ( ) () ( ) g −1 = −2, g 2 = 40, g  −  = ⇒ m a x g x = 40, min g x = −2 ( )  3 9 x ∈ −1;2    x ∈ −1;2    m a x f x = 3 40 khi x = 2 ( ) x ∈−1;2 V y   ( )3 xmin  f x = −2 khi x = −1  ∈ −1;2  Ví d 11 : Cho a, b là các s dương tho mãn ab + a + b = 3 . Tìm GTLN c a 3a 3b ab bi u th c: P = + + − a 2 − b 2 (D b i h c- 2005 ) . b +1 a +1 a +b Gi i : 107
  14. Nguy n Phú Khánh – à L t (a + b)2 T ab + a + b = 3 ⇒ 3 − (a + b) = ab ≤ ⇔ a +b ≥ 2. 4 3a(a + 1) + 3b(b + 1) ab Ta có: P = + − (a + b)2 + 2ab (b + 1)(1 + a ) a +b (a + b )2 − 2ab + (a + b ) ab P =3 + − (a + b )2 + 2ab ab + a + b + 1 a +b 3 3 − (a + b) P = (a + b)2 + 3(a + b ) − 6  +   − (a + b)2 + 6 − 2(a + b) 4  a +b 1 12  P =  −(a + b)2 + (a + b ) + + 2 . 4 a +b  12 t t = a + b ≥ 2 . Xét hàm s g (t ) = −t 2 + t + +2 v i t ≥2 t 12 3 Ta có: g '(t ) = −2t + 1 −
  15. Nguy n Phú Khánh – à L t V y max P = 2 2 t ư c khi x = 2; y = z = 0 min P = −2 2 t ư c khi x = − 2; y = z = 0 . Ví d 13: Cho hai s x , y ≠ 0 thay ( ) i th a mãn x + y xy = x 2 + y 2 − xy 1 1 Tìm GTLN c a bi u th c : A = + ( i h c Kh i A – 2006 ). x3 y3 Gi i: Cách 1 : ( ) t: u = x + y, v = xy ⇒ x + y xy = x 2 + y 2 − xy ⇔ uv = u 2 − 3v u2 ( ) ⇔ u + 3 v = u2 ⇔ v = u+3 ( do u ≠ −3 . ) V yA= 1 + 1 = x 3 + y3 = u 3 − 3uv = ( u u 2 − 3v )=u 2 u + 3 =  2 x3 y3 (xy ) 3 v3 v3 v2  u  4u 2 4 u −1 Vì u 2 ≥ 4v ⇒ u 2 ≥ ⇔ ≤1⇔ ≥ 0 ( ây ta lưu ý u ≠ 0 ) u+3 u+3 u+3 u+3 u+3 −3 ⇔ u ≥ 1 ∨ u < −3 ⇒ u > 0 . Xét hàm f u = u ⇒f' u =
  16. Nguy n Phú Khánh – à L t Gi i: Cách 1 : 2(x 2 + 6xy ) 2(x 2 + 6xy ) Ta có: P = = 1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2 * N u y = 0 ⇒ P = 1. 2(t 2y 2 + 6ty 2 ) 2(t 2 + 6t ) N u y ≠ 0 thì t : x = ty ⇒ P = = () = 2f t t 2y 2 + 2ty 2 + 3y 2 t 2 + 2t + 3 Xét hàm s f (t ) , ta có : −4t 2 + 6t + 18 3 () f' t = 2 () , f ' t = 0 ⇔ t1 = 3, t2 = − , lim f t = 1 2 t →±∞ () (t 2 + 2t + 3 ) L p b ng bi n thiên ta ư c: GTLN P = 3 và GTNN P = −6 . Cách 2 : 2(x 2 + 6xy ) 2x 2 + 12xy P = = 1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2 2x 2 + 12xy −(x − 3y )2 ⇒P −3 = −3 = ≤0 x 2 + 2xy + 3y 2 x 2 + 2xy + 3y 2  3 x = 3y  x = ±  ⇒ P ≤ 3. ng th c x y ra ⇔  2 ⇔  2. x + y2 = 1 y = ± 1    2 2x 2 + 12xy 2(2x + 3y )2 P +6= +6= ≥0 x 2 + 2xy + 3y 2 x 2 + 2xy + 3y 2  3  3 x = x = − y  13 . ⇒ P ≥ −6 . ng th c x y ra ⇔  2 ⇔  x 2 + y 2 = 1 y = ± 2    13 V y max P = 3; min P = −6 . Tuy nhiên cách làm cái khó là chúng ta làm sao bi t cách ánh giá P − 3 và P +6 ? Ví d 15: Cho b n s nguyên a, b, c, d thay i th a: 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 a c Tìm GTNN c a bi u th c P = + (D b i h c - 2002). b d 110
  17. Nguy n Phú Khánh – à L t Gi i: Vì 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 và a, b, c, d là các s nguyên nên c ≥ b + 1 a c 1 b +1 Suy ra : + ≥ + b d b 50 =f b . () 1 x +1 D th y 2 ≤ b ≤ 48 nên ta xét hàm s : f x = ( ) x + 50 , x ∈ [2; 48] 1 1 ( ) Ta có f ' x = − + ( ) ⇒ f ' x = 0 ⇔ x =5 2. x2 50 L p b ng bi n thiên ta ư c min f x = f 5 2 [2;48] ( ) ( ) Do 7 và 8 là hai s nguyên g n 5 2 nh t vì v y:  53 61  53 [2;48] () { ( ) ( )} min f b = min f 7 ; f 8 = min  ; = 175 200  175 . 53 V y GTNN P = . 175 Ví d 16: Cho a, b, c là 3 s th c dương và th a mãn a b c 3 3 a 2 + b 2 + c 2 = 1. Ch ng minh r ng : 22 + 2 2 + 2 2 ≥ . b +c a +c a +b 2 Gi i : không m t tính t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c và th a mãn h th c 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1. Do ó 0 < a ≤ b ≤ c ≤ . 3 a b c a b c 2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 + 2 + b +c a +c a +b 1−a 1 −b 1 − c2 a2 b2 c2 = + + ( a 1 − a2 ) ( b 1 − b2 ) ( ) c 1 − c2  1  Xét hàm s : f (x ) = x (1 − x ) liên t c trên n 2 a kho ng  0; .  3  1  Ta có : f '(x ) = −3x 2 + 1 > 0, x ∈  0; ( )  ⇒ f x liên t c và ng bi n trên  3  1  n a kho ng  0; .  3 111
  18. Nguy n Phú Khánh – à L t  1  2 2 x → 0+ x → 0+ ( Và lim f (x ) = lim x 1 − x 2 = 0, f  = ) ⇒ 0 < f (x ) ≤ hay  3 3 3 3 3 2 ( 0 < x 1 − x2 ≤ )3 3 . 1 2 x 3 3 2  1  Hay ≥ ⇔ ≥ x , ∀x ∈  0; . ( x 1 − x2 ) 3 3 1 − x2 2  3  a 3 3 2  2 ≥ a 1 − a 2  b 3 3 2 a b c 3 3 2 Suy ra  2 ≥ 2 b ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ 2 a + b2 + c2 . ( ) 1 − b 1−a 1 −b 1−c  c 3 3 2 1 − c 2 ≥ 2 c  a b c 3 3 1 V y 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ .X y ra khi a = b = c = . b +c a +c a +b 2 3 Chú ý : không m t tính t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c và th a mãn h th c 2 2 2 a + b + c = 1. Ta có th suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1. Khi ó xét hàm s : f (x ) = x 1 − x 2 liên t ( ) ( ) c trên kho ng 0;1 . 1 ( ) f '(x ) = −3x 2 + 1, x ∈ 0;1 và f '(x ) = 0 ⇔ x = 3  1   1  • f '(x ) > 0, x ∈  0; ( )  ⇒ f x liên t c và ng bi n trên kho ng  0;   3  3  1  • f '(x ) < 0, x ∈  ( ) ;1  ⇒ f x liên t c và ngh ch bi n trên kho ng  3   1   ;1  .  3   1  2 2 Và lim f (x ) = lim f (x ) = 0, f  = ⇒ 0 < f (x ) ≤ . Ph n còn l i x → 0+ x →1−  3 3 3 3 3 tương t như trên. Ví d 17: Xét các s th c không âm thay i x , y, z th a i u ki n: x + y + z = 1 . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a: 1−x 1−y 1−z S = + + . 1+x 1+y 1+z 112
  19. Nguy n Phú Khánh – à L t Gi i : Tìm MinS : Không m t t ính t ng quát gi s : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 . x + y + z = 1  V i  ⇒ x , y, z ∈  0;1 .   x , y, z ≥ 0  1−x 1−x ( )( ) Vì 1 − x 1 + x = 1 − x 2 ≤ 1 nên: 1+x ≥ (1 − x )2 ⇒ 1+x ≥1−x. D u ng th c x y ra trong trư ng h p x = 0 ho c x = 1 . Khi ó S = 1 − x + 1 − y + 1 − z ≥ 1 − x + 1 − y + 1 − z hay S ≥ 2 . 1+x 1+y 1+z ng th c x y ra khi x = y = 0, z = 1 thì S = 2 . V y: min S = 2 . Tìm MaxS: Không m t t ính t ng quát gi s : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 . 1 2 4 Lúc ó: z ≥ ; x +y ≤ < . 3 3 5 1−x 1−y 1−z S = + + ≤ 1+x 1+y 1+z 1 − (x + y ) 1−z z 1−z 1+ + =1 + + 1+x +y 1+z 2−z 1+z z 1−z th z = ()2−z + 1+z . Bài toán tr thành giá tr l n nh t c a 1  () h z trên o n  ; 1 . 3  1   1  1   2 h '(z ) = 0 ⇔ z = . Maxh(z )=Max h   ; h(1); h    = . 2  3   2   3 1−x 1−y 1−z 2 Do ó : S = + + ≤1+ . 1+x 1+y 1+z 3 1 2 ng th c x y ra khi x = 0, y = z = thì S = 1 + . 2 3 2 V y: m axS = 1 + 3 113
  20. Nguy n Phú Khánh – à L t Ví d 18: Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn: abc + a + c = b . 2 2 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = 2 − 2 + 2 a +1 b +1 c +1 Gi i : 1 ( ) Ta có : a + c = b 1 − ac > 0 . D th y ac ≠ 1 ⇒ 0 < a < c a +c 2 2(1 − ac)2 3 nên b = ⇒ P= 2 − 2 2 + 2 1 − ac a + 1 (a + c ) + (1 − ac ) c +1 2 2(a + c)2 3 P = 2 + 2 2 −2+ 2 a + 1 (a + 1)(c + 1) c +1 2 2(x + c )2 3 Xét f x =( ) 2 + 2 2 + 2 x + 1 (x + 1)(c + 1) c + 1 −2 2(x 2 + 2cx + 2c 2 + 1) 3 1 ( ) f x = 2 2 (x + 1)(c + 1) + 2 c +1 − 2, 0 < x < c −4c(x 2 + 2cx − 1) 1 ⇒ f ' (x ) = 2 2 2 , 00 c +1 2(1 − 8c 2 ) g ' (c ) = (c 2 + 1)2 ( c 2 + 1 + 3c) c > 0  1 g' (c) = 0 ⇔  2 ⇔c = 1 − 8c = 0  2 2 1 2 24 10 ⇒ ∀c>0:g c ≤ g( () )= + 3 9 = 3 2 2 114

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản