Chương 1 - Bài 6: Khảo sát hàm số - Vẽ đồ thị

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

2
554
lượt xem
246
download

Chương 1 - Bài 6: Khảo sát hàm số - Vẽ đồ thị

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 6: khảo sát hàm số - vẽ đồ thị', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 6: Khảo sát hàm số - Vẽ đồ thị

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t Bài 6: KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V TH HÀM S 6.1 TÓM T T LÝ THUY T ( ) Hàm s b c ba f x = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0 ) Dáng i u ( ) th c a hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0 ) 8 y y 5 6 4 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 2 x -6 -4 -2 2 4 -5 -2 -4 M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s b c ba 1. th c t Ox t i 3 i m phân bi t  f ′(x ) =0 :có 2 nghiem phan biet x 1, x 2  ⇔  f (x 1 ).f (x 2 ) < 0  2. Gi s a > 0 ta có : a) th c t Ox t i 3 i m phân bi t có hoành >α  f ′(x ) = 0 có 2 nghiem phan biet α < x < x  1 2 ⇔  f (α ) < 0  f (x ).f (x ) < 0  1 2 b) th c t Ox t i 3 i m phân bi t có hoành 0  f (x ).f (x ) < 0  1 2 Tương t cho trư ng h p a < 0 . Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x 3 + 3x 2 + 1 . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh trên » 123
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t * Gi i h n : lim y = −∞ lim y = +∞ hàm s không có ti m c n. x →−∞ x →+∞ * o hàm : y ' = 3x 2 + 6x x = −2, f −2 = 5 ( ) y' = 0 ⇔  x = 0, f 0 = 1  () Hàm s ( ) ng bi n trên các kho ng −∞; −2 và 0; +∞ , ngh ch bi n trên ( ) ( kho ng −2; 0 ) Hàm s có i m c c ( ) i t i x = −2, f −2 = 5 và có i m c c ti u t i () x = 0, f 0 = 1 * B ng bi n thiên : x −∞ −2 0 +∞ y' + 0 − 0 + 5 +∞ y −∞ 1 ( ) * f '' x = 6x + 6 ( ) ( ) f '' x = 0 ⇔ x = −1, f −1 = 3 , f '' x ( ) i d u m t l n qua nghi m x = −1 nên I ( −1; 3 ) là i mu nc a th . * th : th hàm s i qua các i m y ( −3;1) , ( −2;5 ) , ( −1; 3 ) , ( 0;1) , (1; 5 ) và 5 nh n i m I ( −1; 3 ) là i m u n c a th . 3 -3 -2 -1 0 1 x Ví d 2: Cho hàm s y = −x 3 − 3x 2 + mx + 4 , trong ó m là tham s th c. 1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s ã cho, v i m = 0 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s ã cho ngh ch bi n trên ( kho ng 0; +∞ . ) Gi i : 124
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t 1. V i m = 0 , ta có hàm s y = −x 3 − 3x 2 + 4 * Hàm s ã cho xác nh trên » * Gi i h n : lim y = −∞ lim y = +∞ hàm s không có ti m c n. x →−∞ x →+∞ 2 * o hàm : y ' = −3x − 6x x = −2, y −2 = 0 ( ) y' = 0 ⇔  x = 0, y 0 = 4  () Hàm s ( ) ng bi n trên kho ng −2; 0 , ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞;2 ) và ( 0; +∞ ) Hàm s có i m c c () i t i x = 0, y 0 = 4 và có i m c c ti u t i x = −2, y −2 = 0( ) * B ng bi n thiên : x −∞ −2 0 +∞ y' − 0 + 0 − +∞ 4 y 0 −∞ * th : Giao i m c a th v i tr c y 4 ( ) Oy A 0; 4 Giao i m c a th v i tr c ( Ox B −2; 0 ,C 1; 0) ( ) −3 −2 O 1 x 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s ã cho ngh ch bi n trên ( kho ng 0; +∞ . ) Hàm s ( ã cho ngh ch bi n trên kho ng 0; +∞ khi và ch khi) y ' = −3x 2 − 6x + m ≤ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≤ 3x 2 + 6x = f x ( ) ( ) Hàm s f x = 3x 2 + 6x liên t c trên 0; +∞( ) Ta có f ' ( x ) = 6x + 6 > 0, ∀x > 0 và f ( 0 ) = 0 . B ng bi n thiên 125
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t x 0 +∞ y' + +∞ y 0 T ó ta ư c : m ≤ 0 . Bài t p t luy n 1. a ) Kh o sát s bi n thiên và v ( ) th C c a hàm s 3 2 ( ) f x = −x 3 + 2 x + 6x − 3 .Ch ng minh r ng phương trình 3 2 −x 3 + x + 6x − 3 = 0 có ba nghi m phân bi t , trong ó có m t nghi m dương 2 1 nh hơn . 2 b ) Kh o sát s bi n thiên và v ( ) th C c a hàm s 1 3 17 ( ) f x = 3 x − 2x 2 + 3 ( ) .Ch ng minh r ng phương trình f x = 0 có 3 nghi m phân bi t. c) Kh o sát s bi n thiên và v ( ) th C c a hàm s ( ) f x = −x 3 + 3x 2 + 9x + 2 . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( ) th C t i i m có hoành ( ) x 0 , bi t r ng f '' x 0 = −6 . Gi i b t phương trình ( ) f ' x −1 > 0 d ) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s f (x ) = x 3 − 6x 2 + 9x .Tìm t t ( ) c các ư ng th ng i qua i m M 4; 4 và c t ( ) th C t i 3 i m phân bi t. 2. Tìm h s a, b, c sao cho ( ) th c a hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c c t tr c tung t i i m có tung b ng 2 và ti p xúc v i ư ng th ng y = 1 t i i m có hoành là −1 . Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s v i giá tr a, b, c v a tìm ư c 126
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t 1 3 ( ) 3. Tìm các h s m, n, p sao cho hàm s f x = − x 3 + mx 2 + nx + p tc c 1 i t i i m x = 3 và ( ) th C ti p xúc v i ư ng th ng d : y = 3x − () 3 t i ( ) giao i m c a C v i tr c tung . Hư ng d n : 1. a ) T b ng bi n thiên ta th y phương trình cho có ba nghi m phân bi t f ( 0 ) = −3 < 0  1  1 x 1 < −1 < x 2 < 2 < x 3 và  1 1 () ⇒ f 0 .f   < 0 ⇒ x ∈  0;  . f  = >0 2  2  2 4 ( ) () b ) f −2 f 0 < 0 .Hàm s f liên t c trên o n 0;2  và theo   nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c , t n t i m t s th c α ∈ −2; 0 sao cho( ) ( ) ( ) f α = 0 . S α là m t nghi m c a phương trình f x = 0 . M t khác hàm s f ( ) ng bi n trên kho ng 0; +∞ nên phương trình có nghi m duy nh t α ∈ ( −2; 0 ) . () () f 0 f 4 < 0 . Hàm s f liên t c trên o n 0; 4  và theo   nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c , t n t i m t s th c β ∈ 0; 4 sao cho ( ) ( ) ( ) f β = 0 . S β là m t nghi m c a phương trình f x = 0 . M t khác hàm s f ( ) ng bi n trên kho ng 0; 4 nên phương trình có nghi m duy nh t β ∈ 0; 4 . ( ) Tương t phương trình có nghi m duy nh t thu c kho ng 4; +∞ . ( ) th c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t , do ó phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghi m phân bi t. ( ) () () c) f '' x = −6x + 6 ⇒ x 0 = 2, f 2 = 24 ⇒ t : y = 9x + 6 2 f ' ( x − 1) = −3 ( x − 1) + 6 ( x − 1) + 9 = −3x + 12x 2 ⇒ f ' (x ) > 0 ⇔ 0 < x < 4 2. 127
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t 2 = c a = 3    ( )  f −1 = −1 + a − b + c = 1 ⇔ b = 3  c = 2  ( )  f ' −1 = 3 − 2a + b = 0  3.     1   ()  d ∩ Oy = A  0; −   3   1      p = −  1  3  () f 0 =p=− 3 ⇔ n = 3  m = 1 () f ' 0 = n = 3    f ' 3 = 6m − 6 = 0  () ( ) Hàm s trùng phương f x = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0 ) Dáng i u ( ) th c a hàm s f x = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0 ) y y x1 x2 x O x x1 O x2 M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s trùng phương 1. th c a hàm s ( ) f x = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) c t tr c hoành t i 4 i m phân bi t l p thành c p s c ng khi phương trình: 2 2 ( ) aX + bX + c = 0, X = x ≥ 0 có 2 nghi m dương phân bi t th a X1 = 9X 2 . 2. Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 (1 ) t t = x 2 ≥ 0 ⇔ x = ± t , ta có phương trình: at 2 + bt + c = 0 2 M t () nghi m dương c a 2 () () ng v i 2 nghi m c a 1 . V y i u ki n c n và () () phương trình 1 có nghi m là phương trình 1 có ít nh t m t nghi m không âm. 128
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t  ∆ > 0  () () 1 có 4 nghi m ⇔ 2 có 2 nghi m dương ⇔ P > 0 S  >0 2 P = 0  () () 1 có 3 nghi m ⇔ 2 có 1 nghi m dương và 1 nghi m b ng 0 ⇔  S  >0 2 P < 0  ∆ = 0 ()1 có 2 nghi m ⇔ 2 có 1 nghi m dương ⇔   () S  > 0  2  P = 0  S < 0 t1 < 0 = t2  () () 1 có 1 nghi m ⇔ 2 có nghi m th a  ⇔  2 t1 = t2 = 0 ∆ = 0   S  2 = 0  ∆ < 0    ∆ ≥ 0 () () 1 vô nghi m ⇔ 2 vô nghi m ho c có 2 nghi m âm ⇔    P >0  S   2 < 0  0 < t1 < t2  ()1 có 4 nghi m t o thành c p s c ng ⇔  . Ta gi i h pt:  t2 = 3 t1  t = 9t 2 1 S = t1 + t2 P = t t  1 2 3. Phương trình b c 4 có tính i x ng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 (1 ) • N u a = 0 , ta có phương trình: x (bx 2 + cx + b) = 0 • N u a ≠ 0 , ta có phương trình tương ương:  1   1 a x2 + 2  + b x +  + c = 0  x   x 129
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t 1 tt =x + , phương trình ư c vi t thành: x () a(t 2 − 2) + bt + c = 0, t ≥ 2 2 Chú ý: 1 Khi kh o sát hàm s t = x + , ta có: x () * M t nghi m l n hơn 2 c a phương trình 2 tương ng v i 2 nghi m dương c a phương trình 1 . () () * M t nghi m nh hơn 2 c a phương trình 2 tương ng v i 2 nghi m âm c a phương trình 1 .() () * M t nghi m t = −2 c a phương trình 2 tương ng v i nghi m x = −1 c a phương trình 1 .() () * M t nghi m t = 2 c a phương trình 2 tương ng v i nghi m x = 1 c a phương trình 1 .() 1 * Phương trình t = x + vô nghi m khi t < 2 x 4. Phương trình b c 4 có tính i x ng: ax 4 + bx 3 + cx 2 − bx + a = 0 (1 ) • N u a = 0 , ta có phương trình: x (bx 2 + cx − b) = 0 • N u a ≠ 0 , ta có phương trình tương ương:  1   1 a x 2 + 2  + b x −  + c = 0  x   x 1 tt =x − , phương trình ư c vi t thành: x () a(t 2 + 2) + bt + c = 0, t ∈ » 2 1 Chú ý: Phương trình t = x − có 2 nghi m trái d u v i m i t x 5. (x + a )(x + b )(x + c )(x + d ) = e , v i a + b = c + d . t t = x 2 + (a + b )x . a −b a +b 6. (x + a )4 + (x + b )4 = c ,v i α = . tt =x+ , t∈» 2 2 Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x 4 − 2x 2 − 3 . 130
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t Gi i: * Hàm s ã cho xác nh trên » * Gi i h n : lim y = lim y = +∞ hàm s không có ti m c n. x →−∞ x →+∞ * ( ) o hàm : f ' x = 4x 3 − 4x = 4x x 2 − 1 ( ) x = 0, f 0 = −3 ()  ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1, f −1 = −4 ( ) x = 1, f −1 = −4   ( ) * B ng bi n thiên : x −∞ −1 0 1 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + +∞ −3 +∞ y −4 −4 Hàm s ( ) ( ) ng bi n trên các kho ng −1; 0 và 1; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) Hàm s có i m c c () i t i x = 0, f 0 = −3 và có i m c c ti u t i ( ) x = −1, f −1 = −4 và x = 1, f (1) = −4 * f '' ( x ) = 12x 2 −4  3  3 5 x 1 = − , f −  = −3  3  3  9   ( ) f '' x = 0 ⇔  , f '' x ( ) i d u hai l n qua nghi m x = 3  3 5 ,f   = −3  2 3  3  9    3 3  3 5  3 5 x = x1 = − và x = x 2 = nên U 1  − ; −3  và U 2  ; −3  là  3 9  9 3 3    3  hai i m u n c a th . * th : 131
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t y Giao i m c a th v i f(x)=x^4-2x^2-3 tr c Oy A 0; −3 ( ) 5 Giao i m c a th v i tr c ( Ox B − 3; 0 ,C ) ( 3; 0 ) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x th là hàm s ch n nên nh n tr c Oy làm tr c -5 i x ng 4 2 2 4 Ví d 2: Ch ng minh r ng phương trình: x − 2 m + 2 x + m + 3 = 0 ( ) luôn có 4 nghi m phân bi t x 1, x 2 , x 3 , x 4 v i m i giá tr c a m . 2 2 2 2 Tìm giá tr m sao cho x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 11 . Gi i: 4 ( x − 2 m + 2 x + m + 3 = 0 (1 ) 2 ) 2 4 t : t = x 2 , ta có : t 2 − 2 m 2 + 2 t + m 4 + 3 = 0 2 ( ) ( ) (t ≥ 0 ) Ta ch ng t (2 ) luôn có hai nghi m : 0 < t 1 < t2 . 2 ( ∆ ' = m2 + 2 ) − (m 4 ) + 3 = 4m 2 + 1 > 0 v i m i m . () V y 2 luôn có hai nghi m phân bi t t1, t2 và t1 ⋅ t2 = m 4 + 3 > 0 t1 + t2 = 2 m 2 + 2 > 0 ( ) () Do ó phương trình 1 có 4 nghi m : − t1 , t1 , − t2 , t2 2 2 2 2 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 2 2 2 2 ( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = 2 (t + t ) + t ⋅ t = − t1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 4 (m + 2 ) + m + 3 = m + 4m + 11 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 3 4 2 4 4 2 x + x + x + x + x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 11 ⇔ m 4 + 4m 2 + 11 = 11 ⇔ m 4 + 4m 2 = 0 ⇔ m = 0 2 1 2 2 2 3 2 4 ax + b Hàm s h u t y= cx + d ax + b ad − bc ( ) f x = cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) ⇒ f ' (x ) = 2 (cx + d ) 132
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t ax + b Dáng i u th c a hàm s f x = ( ) cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) y y d x − O c I x a a c c I d − c 2x − 1 Ví d : Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x −1 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh D = » \ 1 {} * Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng x →1 x →1 lim y = lim y = 2 ⇒ y = 2 là ti m c n ngang. x →−∞ x →+∞ −1 * o hàm : y ' = < 0, x ≠ 1 . (x − 1)2 th c a hàm s ngh ch bi n trên các kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ( ) ( ) * B ng bi n thiên : x −∞ 1 +∞ y' − − 2 +∞ y −∞ 2 133
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t * th : Giao i m c a th v i tr c Oy A 0;1 ( ) Giao i m c a th v i tr c 1  Ox B  ; 0  2  th c a hàm s nh n ( ) I 1;2 giao i m hai ư ng ti m c n làm tâm i x ng. ax 2 + bx + c aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− ca ' Hàm s h u t y= ⇒y' = 2 a 'x + b ' a 'x + b ' ( ) ax 2 + bx + c Dáng i u th c a hàm s y = a 'x + b ' y y 15 10 I x I 5 x -10 -5 5 10 -5 Dáng i u hàm s ch a giá tr tuy t i x2 x2 f x =( ) x −1 C ( ) f x = x −1 C1 ( ) ( ) y y 6 6 5 5 4 4 y=x+1 y=x+1 3 3 2 2 y=-x-1 1 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -1 x=1 -2 -2 x=1 -3 -3 134
  13. Nguy n Phú Khánh – à L t x2 x2 ( ) f x = x −1 (C ) 2 ( ) f x = C3 ( ) x −1 y y 6 6 4 y=-x+1 y=x+1 4 y=x+1 2 y=-x+1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x x=-1 x=1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 x=-1 -2 x=1 x2 x2 ( ) f x = x −1 (C ) 4 ( ) f x = x −1 C5 ( ) y y 8 6 6 4 y=x+1 4 y=x+1 y=-x-1 2 x y=-x-1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 2 -2 x=1 -4 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 x=-1 x=1 -8 -2 -10 x 2 − 3x + 6 Ví d 1: Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x −1 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh D = » \ 1 {} * Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ lim y = −∞ lim y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n x →1 x →1 x →−∞ x →+∞ ng 4 4 lim y − x − 2  = lim ( = 0, lim y − x − 2  = lim ) = 0 là ( ) x →−∞   x →−∞ x − 1 x →+∞   x →+∞ x − 1 ⇒ y = x − 2 ti m c n xiên. 135
  14. Nguy n Phú Khánh – à L t x 2 − 2x − 3 * o hàm : y ' = ,x ≠ 1. (x − 1)2 x = −1, f −1 = −5 ( ) y' = 0 ⇔   x = 3, f 3 = 3  () * B ng bi n thiên : x −∞ −1 1 3 +∞ y' + 0 − − 0 + +∞ +∞ y −∞ −∞ Hàm s ( ) ( ng bi n trên các kho ng −∞; −1 và 3; +∞ , ngh ch bi n trên ) ( ) kho ng −1;1 và 1; 3 ( ) Hàm s có i m c c ( ) i t i x = −1, f −1 = −5 và có i m c c ti u t i () x = 3, f 3 = 3 * th : Dành cho b n c mx 2 + (2m − 1)x − 1 Ví d 2: Cho hàm s y = x +2 có ( ) th là C m , m là tham s . 1.Ch ng minh r ng v i m i m > 0 hàm s luôn có c c i , c c ti u . 2.Kh o sát s bi n thiên và v ( ) th C c a hàm s v i m = 1 . 3.Vi t phương trình ti p tuy n v i ( ) th C c a hàm s bi t ti p tuy n i ( ) qua A 1; 0 . Gi i : 1 y = mx − 1 + x +2 . Hàm s cho xác nh D = » \ −2 { } 2 1. y ' = m − 1 = ( ) −1. m x +2 2 2 (x + 2 ) (x + 2) V i m > 0 thì phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 . V y hàm s luôn có c c i và c c ti u khi m > 0 . 1 2.V i m = 1, y = x − 1 + x +2 136
  15. Nguy n Phú Khánh – à L t * Hàm s cho xác nh D = » \ −2 { } * lim y = −∞ và lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Vì lim − y = −∞ và lim + y = +∞ nên ư ng th ng x = −2 là ti m c n ng ( ) x → −2 x →( −2 ) c a th hàm s . 1 1 Vì lim y − x − 1  = lim ( ) = 0 và lim y − x − 1  = lim =0 ( ) x →+∞   x →+∞ x + 2 x →−∞   x →−∞ x + 2 nên ư ng y = x − 1 là ti m c n xiên c a th hàm s . 2 * y' =1− 1 = ( x + 2 ) − 1 , x ≠ −2 2 2 (x + 2 ) ( x + 2 ) 2  x = −1, y ( −1) = −1 y ' = 0 ⇔ (x + 2 ) − 1 = 0 ⇔  x = −3, y ( −3 ) = −5  * B ng bi n thiên x −∞ −3 −2 −1 +∞ y' + 0 − − 0 + −5 +∞ +∞ y −∞ −∞ −1 th c a hàm s ( )( ng bi n trên các kho ng : −∞; −3 , −1; +∞ và ngh ch ) ( bi n trên các kho ng −3; −2 , −2; −1 )( ) th c a hàm s t i mc c ( ) i t i x = −3, y −3 = −5 và t i m c c ti u ( ) t i x = −1, y −1 = −1 . th : H c sinh t v () ( ) 3.Xét d i qua A 1; 0 và có h s góc k . Nên d : y = k x − 1 () ( ) (d ) ti p xúc v i th (C ) c a hàm s khi h sau có nghi m:  1 x − 1 + = k (x − 1)  x +2 5 5  1 ⇒ k = .V y ti p tuy n là: d : y = (x − 1) 9 9 ()  1− 2 =k   x +2( ) x2 + 3 Ví d 3: Cho hàm s y= x −1 ( 1) 137
  16. Nguy n Phú Khánh – à L t 1. Kh o sát và v th c a hàm s (1 ) 2. Tìm trên ư ng th ng y = 4 các i m mà t ók ư c úng 2 ti p tuy n n th hàm s . Gi i : x2 + 3 1. Kh o sát và v th c a hàm s y = x −1 ( 1) Hàm s cho xác nh D = » \ 1 {} x 2 − 2x − 3 x = −1, y −1 = −2 ( ) * y' = ,x ≠ 1 ⇒ y ' = 0 ⇔  ( x − 1) 2 x = 3, y 3 = 6  () Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ( −1;1) , (1; 3 ) ng bi n trên các ( ) kho ng −∞; −1 ,(3; +∞) . th c a hàm s t i mc c ( i t i −1; −2 và ) ( ) t i m c c ti u t i 3; 6 . * lim y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n − + ng. x →1 x →1 * lim y − x + 1  = 0, lim y − x + 1  = 0 ⇒ y = x + 1 là ti m c n xiên. ( ) ( ) x →−∞   x →+∞   * B ng bi n thiên th y x −∞ −1 1 3 +∞ 6 y' + 0 − − 0 + −2 +∞ +∞ 1 −0 1 3 y −3 −∞ −∞ 6 th : Nh n I 1;2 ( ) làm tâm i x ng. 2. Tìm trên ư ng th ng y = 4 các i m mà t ó k ư c úng 2 ti p tuy n n th hàm s . ( ) () G i M a; 4 ∈ d : y = 4 là i m c n tìm . ( ) Khi ó ti p tuy n v i C k t M có phương trình : ∆ : y = k x − a + 4 . ( ) ( ) 138
  17. Nguy n Phú Khánh – à L t x 2 + 3   x2 − 1 = k x −a + 4 ( ) ( 1) ( ) ( ) ∆ ti p xúc v i C ⇔  x − 2x − 3 có nghi m x ≠ 1  2 =k (2 )  x −1  ( ) T (1 ) , ( 2 ) ⇒ ( 3 − a ) x 2 ( ) + 2 a − 7 x + 3a + 7 = 0 3 () t M k ư c úng 2 ti p tuy n n () th hàm s . Khi phương trình 3 có 2 nghi m phân bi t x ≠ 1 3 − a ≠ 0 a ≠ 3   2  a ≠ 3  ( ) ( )( ) ⇔ ∆ = a − 7 − 3a + 7 . 3 − a > 0 ⇔ a 2 − 4a + 7 > 0 ⇔  3 − a + 2 a − 7 + 3a + 7 ≠ 0 a ≠ 1 a ≠ 1    ( )  V y t p h p các i m c n tìm là ư ng th ng d : y = 4 b () i các i m (1; 4 ) , ( 3; 4 ) . Bài 7: GIAO I M C A HAI TH Phương pháp : • L p phương trinh hoành giao i m c a hai ( ) ( ) th C : y = f x và (C ' ) : y = g (x ) là : f (x ) = g (x ) (*) . () • Bi n lu n s nghi m c a phương trình * , s nghi m phương trình * là () ( ) s giao i m c a C và C ' . ( ) x −3 Ví d 1 : Cho hàm s y = x −2 có ( ) th là C . Tìm t t c tham s th c m () ư ng th ng d : y = mx + 1 c t th c a hàm s t i 2 i m phân bi t. Gi i : ( ) () th là C c t d t i 2 i m phân bi t khi và ch khi phương trình : x −3 = mx + 1 có 2 nghi m phân bi t khi ó phương trình x −2 139
  18. Nguy n Phú Khánh – à L t g (x ) = mx 2 − 2mx + 1 = 0 có 2 nghi m phân bi t x ≠ 2 hay m ≠ 0 m ≠ 0   2  m < 0 ∆′ = m − m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 1 ⇔ m > 1 g(2) ≠ 0 4m − 4m + 1 ≠ 0     Bài t p tương t : 1. Tìm t t c tham s th c m ư ng th ng d : y = mx + 4 c t () th c a x2 hàm s y = t i 2 i m phân bi t. x −1 2. Gi s () ( ) d là ư ng th ng i qua A −3;1 và có h s góc m . Tìm t t c tham s th c m () ư ng th ng d c t th c a hàm s y = x 3 + 3x 2 + 1 t i 3 i m phân bi t. 2x − 1 Ví d 2 :Cho hàm s y = x +1 có th C . G i dm là ư ng th ng i( ) ( ) ( ) qua i m A −2;2 và có h s góc m . Tìm m ư ng th ng dm c t ( ) th (C ) • T i hai i m phân bi t?. • T i hai i m thu c hai nhánh c a th ?. Gi i : (d ) : y = mx + 2 (m + 1) m (d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1 (*) m 2 • (d ) ∩ (C ) t i hai i m phân bi t khi phương trình (*) có hai nghi m m m ≠ 0   m < 0 phân bi t khác −1 . Khi ó ta có h : ∆ > 0 ⇔ g −1 ≠ 0 m > 12    ( ) • (d ) ∩ (C ) t i hai m i m thu c hai nhánh khi phương trình * có hai() ( ) nghi m phân bi t x 1 < −1 < x 2 ⇔ mg −1 < 0 ⇔ m < 0 . Cách khác : (d ) ∩ (C ) t i hai m i m thu c hai nhánh khi phương trình (*) có hai nghi m phân bi t x < −1 < x . t x = t − 1 khi ó phương trình 1 2 (*) tr thành tìm m phương trình mt + mt + 3 = 0 có hai nghi m trái d u. 2 140
  19. Nguy n Phú Khánh – à L t Ví d 3 : Tìm tham s m ( ) ( ) ư ng th ng dm : y = m x + 1 − 2 c t th 1 hàm s (C ) : y = x + 1 t i hai x− i m phân bi t A, B sao cho hai i m A, B ix ng nhau qua M (1; 0 ) . Gi i : • i u ki n c n: ư ng th ng dm ( ) c t (C ) t i hai i m phân th hàm s bi t A, B sao cho hai i m A, B i x ng nhau qua M (1; 0 ) thì i m M thu c ư ng th ng (d ) , do ó 0 = m (1 + 1) − 2 ⇔ m = 1 . m • m = 1 thì (d ) ≡ (d ) : y = x − 1 , phương trình hoành m giao i m (d ) và x = 0 ⇒ y = −1 ⇒ A ( 0; −1 (C ) là x + 1 = x − 1 ⇔ x − 3x = 0 ⇔ x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ B ( 3;2 ) ) x− 1 2   3 1 Vì trung i m AB là  ;  ≠ M nên A, B không i x ng qua M . 2 2 Do ó không có giá tr nào c a m th a mãn yêu c u bài toán. Ví d 4: Cho hàm s y = x 3 − 3m 2x + 2m có ( ) th là C m . Tìm m (Cm ) c t Ox t i úng 2 i m phân bi t. Gi i: * Hàm s ã cho xác nh trên » . * Ta có : y ' = 3x 2 − 3m 2 (Cm ) c t Ox t i úng 2 i m phân bi t khi (C m ) có 2 c c tr ng th i yC = 0 ho c yCT = 0 . * (Cm ) có 2 c c tr ⇔ y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t ⇔ 3x 2 − 3m 2 = 0 có 2 nghi m phân bi t .Khi m ≠ 0 thì y ' = 0 ⇔ x = ±m . B ng xét d u y ' : x −m m y' + 0 − 0 + 3 yC = y(−m ) = 0 ⇔ 2m + 2m = 0 ⇔ m = 0 (lo i) yCT = y(m ) = 0 ⇔ −2m 3 + 2m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = ±1 ( ) V y, m = ±1 thì C m c t Ox t i úng 2 i m phân bi t. Ví d 5: Tìm m ( ) th C m : y = x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 c t tr c Ox 141
  20. Nguy n Phú Khánh – à L t 2 2 2 t i 3 i m phân bi t có hoành là x 1, x 2, x 3 th a mãn x 1 + x 2 + x 3 ≥ 15 . Gi i : (Cm ) c t tr c Ox : x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 = 0 x = 1 ⇔ (x − 1)[x 2 − (3m − 1)x − 3m − 2]=0 ⇔  2 x − (3m − 1)x − 3m − 2 = 0 2  () (Cm ) c t tr c Ox t i 3 i m phân bi t có hoành là x 1, x 2, x 3 v i x 3 = 1 () thì x 1, x 2 là nghi m khác 1 c a phương trình 2 .Theo nh lý Vi-et ta có: x1 + x 2 = 3m − 1   x1x 2 = −3m − 2  ∆ > 0 9m 2 + 6m + 9 > 0  (2 )    Theo bài toán ta có : 12 − (3m − 1).1 − 3m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0  2 2 2  2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 15  9m − 9 ≥ 0  ( ⇔ m ∈ −∞; −1 ∪ 1; +∞ .   ) () Ví d 6: Tìm các giá tr c a tham s m sao cho d : y = x + 4 c t th (Cm ) : y = x 3 ( ) + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 t i ba i m phân bi t A 0; 4 , B,C sao cho tam giác KBC có di n tích b ng 8 2 ( vdt), bi t K (1; 3 ) . Gi i : Phương trình hoành ( ) () i m chung c a C m và d là: x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 (1) ⇔ x (x 2 + 2mx + m + 2) = 0 x = 0 ⇔ 2 g(x ) = x + 2mx + m + 2 = 0  (2 ) (d ) c t (Cm ) t i ba ( ) i m phân bi t A 0; 4 , B,C ⇔ phương trình ( 2 ) có 2 nghi m phân bi t khác 0 . ∆/ = m 2 − m − 2 > 0   m ≤ −1 ∨ m ≥ 2 ⇔ ⇔ (* ) . g ( 0 ) = m + 2 ≠ 0  m ≠ −2  1−3+ 4 M t khác: d(K , d ) = = 2 2 Do ó: S∆KBC = 8 2 ⇔ 1 BC.d(K,d) = 8 2 ⇔ BC = 16 ⇔ BC 2 = 256 2 142

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản