Chương 1 - Bài 8: Sự tiếp xúc của 2 đường cong

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
196
lượt xem
58
download

Chương 1 - Bài 8: Sự tiếp xúc của 2 đường cong

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 8: sự tiếp xúc của 2 đường cong', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 8: Sự tiếp xúc của 2 đường cong

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t Bài 8 :S TI P XÚC C A HAI Ư NG CONG Bài toán 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) Hai ư ng cong C : y = f x và C ' : y = g x ti p xúc nhau khi và ch khi f x = g x  ( ) ( ) h phương trình sau:  có nghi m. ( ) ( ) f ' x = g ' x  Ví d 1 : Tìm tham s th c m () ( ) ư ng th ng d : y = m x − 3 ti p xúc 1 v i ( ) th C : y = − x 3 + 3x . 3 Gi i :  1 3 () ( ) d ti p xúc v i C khi h sau :  3 − x + 3x = m x − 3 ( )() * có nghi m. −x 2 + 3 = m   x = 3 x = 3 ⇒ m = −6 2x 3 − 9x 2 + 27 = 0    2 () * ⇔ ⇔  2x − 3x − 9 = 0 ⇔  2  x = − 3 ⇒ m = 3 m = −x + 3  m = −x 2 + 3     2 4 Ví d 2 : Tìm trên tr c hoành nh ng i m mà t ó có th k n th c a 2 x hàm s : y = hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 450 . x −1 Gi i : ( ) G i M ∈ Ox ⇒ M x 0 ; 0 , ư ng th ng i qua M có h s góc là k , phương () ( trình có d ng : d : y = k x − x 0 . )  x2   x 2− 1 = k x − x0 ( ) (d ) là ti p tuy n c a th khi h sau có nghi m :  x − 2x  2 =k  x −1  ( ) -194-
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t x2 x 2 − 2x = x − x 0 ⇔ x  x 0 + 1 x − 2x 0  = 0 ( ) ( ) x −1 2   ( x −1 ) x = 0  ⇔ 2x 0 x = , x 0 ≠ −1  x0 + 1  x 2 − 2x • x =0⇒k = 2 = 0. x −1 ( ) 2x 0 −4x 0 • x = ⇒k = 2 x0 + 1 (x 0 +1 ) x2 • Ti p tuy n qua M t o v i th c a hàm s : y = hai ti p tuy n t o x −1 v i nhau 1 góc 450 khi và ch khi k − k2 4x 0 tan 450 = 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ x0 = 3 ± 2 2 . 1 + k1k2 x0 + 1 ( ) ( )( V y M 3 − 2 2; 0 , 3 + 2 2; 0 ) Ví d 3 :Tìm t t c các i m trên tr c hoành nh ng i m M mà qua ó v ư c úng 3 ti p tuy n n th (C ) : y = x 3 + 3x 2 mà trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau . Gi i : ( ) G i M a; 0 ∈ Ox , ư ng th ng (t ) i qua M và có h s góc k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) . x 3 + 3x 2 = k (x − a ) (1)  (t ) ti p xúc v i (C ) khi h sau có nghi m :  2 3x + 6x = k  (2) T (1) , (2) suy ra : x 3 + 3x 2 = 3x 2 + 6x (x − a ) ⇔ 2x 3 + 3(a − 1)x 2 − 6ax = 0 x = 0 ⇔ x 2x 2 − 3(a − 1)x − 6a  = 0 ⇔  2   2x − 3(a − 1)x − 6a = 0 (3)  -195-
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t • x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ 1 ti p tuy n. Qua M k ư c 3 ti p tuy n n n th (C ) mà trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau . Khi ó (3) có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 0 và k1k2 = −1  a ≠ 0 a ≠ 0    2 ⇔ ∆ > 0 ⇔ ( ) 9 a − 1 + 48a > 0  2  2   2  3x 1 + 6x 1   3x 2 + 6x 2  = −1 9 x 1x 2 + 18x 1x 2 x 1 + x 2 + 36x 1x 2 = −1 ( ) ( )      1 a < −3 ∨ a > − vaø a ≠ 0  3  ( ) ⇔ 81a 2 − 81a a − 1 − 108a + 1 = 0  3(a -1)   vì x 1x 2 = - 3a ; x 1 + x 2 =    2   1 a < −3 ∨ a > − vaø a ≠ 0 1 ⇔ 3 ⇔a = −27a + 1 = 0 27   1  V y M  , 0  ∈ Ox th a bài toán .  27  Bài toán 2 : Phương trình ti p tuy n c a ( ) ( ) th C : y = f x t i i m M x 0 ; f x 0( ( ) ) có ( )( ) ( ) d ng : y = f ' x 0 x − x 0 + f x 0 . x −4 Ví d 1 :Tìm t a ti p i m c a th (C ) : y = v i ti p tuy n (t ) , x −1 bi t r ng ti p tuy n (t ) t o v i ư ng th ng (d ) : y = −2x + 2010 1 góc 450 . Gi i : • D = »\ 1 {} -196-
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t 3 • Ta có : y ' = 2 ,x ≠ 1 ( ) x −1 • G i M ( x ; f ( x ) ) là t 0 0 a ti p i m c n tìm thì h s góc ti p tuy n (t ) là 3 k = 2 ,x0 ≠ 1 . (x 0 −1 )  1 k +2 k = − • Vì (t ) và (d ) t o nhau 1 góc 45 khi t a n 45 = ⇔ 3 0 0 1 − 2k  k =3  1 3 1 * k =− ⇔ 2 =− i u này không x y ra . 3 3 x0 − 1 ( ) 3 x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ M 0; 4 ( ) * k =3⇔ = 3 ⇔ x 0 − 2x 0 = 0 ⇔  0 2 0 (x 0 −1 ) 2 x 0 = 2 ⇒ y 0 = −2 ⇒ M 2; −2  ( ) 2x + 3 Ví d 2 : Cho hàm s y = , có th (C ) . Tìm t t c các tham s x −2 m ư ng th ng (t ) : y = 2x + m c t (C ) t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i ó song song v i nhau. Gi i : ư ng th ng (t ) : y = 2x + m c t (C ) t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i 2x + 3 ó song song v i nhau khi và ch khi phương trình = 2x + m có hai x −2 nghi m phân bi t x 1, x 2 th a mãn i u ki n y ' x 1 ( ) ( ) = y ' x 2 . Khi ó phương ( ) ( ) trình g x = 2x 2 + m − 6 x − 2m − 3 = 0 có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 khác 2 7 7 và th a mãn i u ki n − 2 =− 2 ⇔ x1 + x 2 = 4 ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) -197-
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t  2 ( ) ( ∆ = m − 6 + 8 2m + 3 > 0  ) () ( ) ⇔ g 2 = 2.22 + m − 6 .2 − 2m − 3 ≠ 0 ⇔ m = 2 .  m −6 − =4  2 2x Ví d 3: Cho hàm s y = có th là (C ) . Tìm trên th (C ) nh ng x +1 i m M , sao cho ti p tuy n t i M c t hai tr c t a Ox,Oy t i hai i m 1 phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng . 4 Gi i : 2x 0 2 ( ) ( ) G i M x 0; y0 ∈ C ⇒ y0 = x0 + 1 ⇒ y '0 = 2 (x 0 +1 ) 2 2 2x 0 Phương trình ti p tuy n (t ) c a (C ) t i M là : y 0 = 2 x+ 2 . (x 0 +1 ) (x 0 +1 ) Ti p tuy n (t ) c t hai tr c t a Ox,Oy t i hai i m phân bi t A −x 0 ; 0 , 2 ( )  2  2x 0  sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng 1 khi ó B  0;  2  4  x0 + 1 ( )    2 1 1 1 2x 0 1 2 2 4 2 2 .OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 0 . . . 2 = 2 2 ⇔ 4x 0 − x 0 + 1 ( ) =0 x0 + 1 ( )  1  1  2x 0 + x 0 + 1 = 0 2 x 0 = − ⇒ M  − ; −2   2 ⇔ 2  2 . 2x 0 − x 0 − 1 = 0  x 0 = 1 ⇒ M 1;1  ( )  1  V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán M  − ; −2  , M 1;1 . ( )  2  Ví d 4 : Ch ng minh r ng n u các ti p tuy n (d ), t c a () th (C ) : y = x 3 − 6x 2 + 9x song song v i nhau thì hai ti p i m A, B i x ng nhau -198-
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t qua M (2;2) . Gi i : ( ( ) 2 ) ( ( ) ) G i A x 1, y x 1 = x 13 − 6x 1 + 9x 1 , B x 2 , y x 2 = x 2 − 6x 2 + 9x 2 là t a 3 2 () ti p i m c a (d ), t và th (C ) . (d ) và (t ) song song v i nhau khi ( ) ( ) y ' x 1 = y ' x 2 ⇔ 3x 1 − 12x 1 + 9 = 3x 2 − 12x 2 + 9 ⇔ x 1 + x 2 = 4 . 2 2 x = 2 − t ⇒ y x = t 3 − 3t + 2  ( ) V i x 1 + x 2 = 4 thì t n t i t > 0 :  1 1   ( ) x 2 = 2 + t ⇒ y x 2 = −t 3 + 3t + 2  x + x2 x 0 = 1 =2  2 D th y trung i m o n AB có t a  .  ( ) ( ) y x1 + y x 2 =2 y 0 =  2 Do ó hai ti p i m A, B i x ng nhau qua M (2;2) . 2x 2 .Tìm α ∈  0;  sao cho i m π Ví d 5 : Cho hàm s y =  x −1  2 M (1 + sin α ; 9 ) n m trên th (C ) . Ch ng minh r ng, ti p tuy n c a (C ) t i i m M c t hai ti m c n c a (C ) t i hai i m A, B i x ng nhau qua i mM. Gi i : Vì M (1 + sin α ; 9 ) n m trên th (C ) nên: 2 sin α = 1 2 (1 + sin α ) = 9 ⇔ 2 sin α − 5 sin α + 2 = 0 ⇔  2 2 1 + sin α − 1 sin α = 2   Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9  π 1 π 3     2 2 6 2  th (C) t i i m M là: y = y '    x −  + 9 3  3 Ti p tuy n c a   2  2 hay (d ) : y = −6x + 18 . Ti p tuy n (d ) c t ti m c n ng x = 1 t i: A (1;12 ) -199-
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t Ti p tuy n (d ) c t ti m c n xiên tai i m B có t a là nghi m y = −6x + 18  x = 2  ( x ; y ) h phương trình:  ⇔ ⇒ B ( 2; 6 ) y = 2x + 2  y = 6  xA + xB 3 = = xM  2 2 D th y:  y + yB  A = 9 = yM  2 Suy ra, A, B i x ng nhau qua i m M ( pcm). 2x − 3 () Ví d 6: G i d là ti p tuy n c a th (C ) : y = x −2 t i M c t các ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t A, B . Tìm t a i m M sao cho ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t , v i I là giao i m hai ti m c n . Gi i : 2x 0 − 3 1 ( ) ( ) G i M x 0; y0 ∈ C ⇒ y0 = x0 − 2 , y '0 = − 2 (x 0 −2 ) −1 2x 0 − 3 () Phương trình ti p tuy n d c a (C ) t i M : y = 2 (x − x 0 ) + x0 − 2 (x 0 −2 )  2x − 2  (d ) c t hai ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t A  2; 0  x −2   , B 2x 0 − 2;2 . ( )  0  ( ) D th y M là trung i m AB và I 2;2 là giao i m hai ư ng ti m c n. Tam giác IAB vuông t i I nên ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích   2x 0 − 3   2   1 S = π IM = π (x 0 − 2) +  2 2 − 2   = π (x 0 − 2)2 +  ≥ 2π   x −2   (x 0 − 2)2    0      1 x = 1 ⇒ y 0 = 1 D u ng th c x y ra khi (x 0 − 2)2 = ⇔ 0 (x 0 − 2)2 x = 3 ⇒ y 0 = 3  0 ( ) ( ) V y M 1;1 M 3; 3 th a mãn bài toán. Bài toán 3 : -200-
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t Phương trình ti p tuy n c a ( ) th C : y = f x ( ) i qua i m M x 1; y1 ( ) Cách 1 : • Phương trình ư ng th ng d () i qua i m M có h s góc là k có d ng : ( ) y = k x − x 1 + y1 . f x = k x − x + y  ( ) ( ) • () d ti p xúc v i ( ) th C khi h sau  f' x =k 1 ( ) 1 có nghi m.   Cách 2 : ( ) • G i N x 0 ; y 0 là t a ti p i m c a ( ) th C và ti p tuy n d qua i m () () ( M , nên d cũng có d ng y = y '0 x − x 0 + y 0 . ) • (d ) ( i qua i m M nên có phương trình : y1 = y '0 x 1 − x 0 + y 0 * ) () () • T phương trình * ta tìm ư c t a ( i m N x 0; y0 , t) ây ta tìm ư c phương trình ư ng th ng d . () x4 5 Ví d 2: Cho hàm s : y = − 3x 2 + có th là (C ) . Gi s 2 2 M ∈ (C ) có hoành a . V i giá tr nào c a a thì ti p tuy n c a (C ) t i M c t (C ) t i 2 i m phân bi t khác M . Gi i :  a 4 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a 2 +   2 2 Ti p tuy n t i M có h s góc yM = 2a 3 − 6a ' Ti p tuy n t i M có d ng : a4 5 M () y = yx (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a 3 − 6a )(x − a ) + ' 2 − 3a 2 + 2 () Ti p tuy n d c a (C ) t i M c t (C ) t i 2 i m phân bi t khác M khi phương trình sau có 3 nghi m phân bi t : x4 5 a4 5 − 3x 2 + = (2a 3 − 6a )(x − a ) + − 3a 2 + hay phương trình 2 2 2 2 -201-
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t (x − a )2 (x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 có 3 nghi m phân bi t , nghĩa là phương trình ( ) g x = x 2 + 2ax + 3a 3 − 6 = 0 có hai nghi m phân bi t và khác a . ∆ ' = a 2 − (3a 2 − 6) > 0  a 2 − 3 < 0   a < 3 ⇔  g (x ) 2 ⇔ 2 ⇔ g(a ) = 6a − 6 ≠ 0  a ≠ 1  a ≠ ±1  a < 3  V y giá tr a c n tìm  a ≠ ±1  Bài t p tương t : ( 1. Tìm m ti p tuy n i qua i m M 2; m + 2 c a th hàm s) y = x 3 − 3x + m ph i i qua g c t a O. BÀI T P T LUY N 1. ax 2 − bx  5 a ) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s f x = ( ) x −1 i qua i m A  −1;  2  ( ) và ti p tuy n t i O 0; 0 có h s góc b ng −3 . Kh o sát s bi n thiên và v th ng v i giá tr a, b v a tìm ư c. b ) Tìm a, b bi t r ng ( ) th c a hàm s f x = 2x 2 + ax + b ti p xúc v i 1 1  hypebol a ) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s y = t i i m M  ;2  x 2  2. ( ) a ) Vi t phương trình c a ư ng th ng i qua i m A 1; −2 và ti p xúc v i parabol y = x 2 − 2x 5 b ) Ch ng minh hai ư ng cong y = x 3 + x − 2, y = x 2 + x − 2 ti p xúc nhau 4 t i M , vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong ó . -202-
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t c) Ch ng minh r g các th c a ba hàm s ( ) ( ) ( ) f x = −x 2 + 3x + 6, g x = x 3 − x 2 + 4, h x = x 2 + 7x + 8 ti p xúc nhau t i ( i m A −1;2 .) d ) Ch ng minh r ng các th c a ai hàm s x2 3 3x ( ) f x = 2 2 ( ) + x, g x = x +2 ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó . e ) Ch ng minh r ng các ( ) ( ) th c a ai hàm s f x = x 3 − x , g x = x 2 − 1 ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó . Hư ng d n : 1. a −1 2 − −1  ( ) ( ) 5  = ⇔ a = −2 a)  −1 − 1 2   f ' 0 = −3 b = −3   () 9 b ) a = −6, b = 2 () ( ) ( 2. a ) d : y = m x − 1 − 2 ⇒ m = 2 y = 2x − 4 , m = −2 y = −2x) ( ) 1 5 9 b ) M  ; −  , y = 2x − 2 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = 5 , ch ng t t i A ( −1;2 ) các th c a ba hàm s có ti p tuy n chung , nói khác hơn là các th c a ba hàm s ti p xúc nhau t i i m A ( −1;2 ) . 3 ( ) d ) O 0; 0 , y = 2 x -203-

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản