Chương 1: Không gian tuyến tính R

Chia sẻ: phi_levan

Tham khảo tài liệu 'chương 1: không gian tuyến tính r', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 1: Không gian tuyến tính R

Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Rn
§1 Không gian tuyến tính

1.1 Khái niệm về không gian tuyến tính

Đn 1.1 Cho K là tập con của tập hợp các số phức C. Tập K được gọi là
một trường, nếu thỏa mãn các tiên dề sau đây:
(a) Nêu α , β là các phần tử thuộc K thì α +β và αβ cũng là những
phần tử thuộc K.
(b) Phần tử 0 và 1 đều là phần tử thuộc K
(c) Nếu α∈ K thì -α cũng là phần tử thuộc K. Ngoài ra, nếu α ≠
0 thì α-1 cũng là phần tử thuộc K (với a. α- =1).

Ví dụ: Tập hợp các số thực R, tập hợp các số phức C và tập hợp các số
hữu tỉ Q là những trường. Trong khi đó tập hợp các số nguyên Z không
phải là một trường, vì với n ≠ 0, n-1 = 1/n không phải là số nguyên.

Đn 1.2: Tập X ≠ ∅ gồm các đối tượng nào đó được gọi là một không gian
tuyến tính trên trường K, nếu trên đó:
(I) Có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một
phần tử z cũng thuộc X được gọi là “tổng” của x và y, ký hiệu
z = x + y;
(II) Có qui tắc cho ứng với một phần tử α ∈ K và một phần tử x ∈
X một phần tử p cũng thuộc X gọi là tích giữa α với x, ký hiệu
là p = α x.
(III) Các qui tắc cho ở (I) và (II) phải thỏa mãn 8 tiên đề sau đây:
(1) ∀x, y ∈ X: x + y = y + x (tính giao hoán)
(2) ∀x, y, z ∈ X : (x+y) + z = x + (y+z) (tính kết hợp)
(3) ∃θ (phần tử 0) sao cho ∀x ∈ X : θ + x = x + θ = x
(4) ∀x∈X: ∃ x’ (phần tử đối) sao cho: x + x’ = x’ + x = θ
(5) ∀x∈X: 1x = x; (1∈K)
(6) ∀α∈K, ∀x, y ∈X: α (x+y) = α x + αy
(7) ∀α , β ∈K, ∀x∈X: (αβ )x = α(β x)
(8) ∀α , β ∈K, ∀x∈X: (α +β )x = α x + β x

Chú ý: Trong không gian tuyến tính X:
1) Phần tử θ là duy nhất. Để cho tiện ta ký hiệu phần tử không
θ là 0.
2) Người ta ký hiệu các qui tắc được định nghĩa trong (I) và (II)
là các phép cộng và nhân với một “vô hướng” trên trường K;



Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 1
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

3) Ứng với một phần tử x bất kỳ cũng có duy nhất một phần tử
đối x’. Vì vậy phần tử này được ký hiệu là (-x);
4) Từ đó phần tử tổng của x và phần tử đối (-y) của phần tử y
được gọi là “hiệu” giữa hai phần tử x và y. Tức là: x – y = x +
(-y)
5) Nếu K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực1; nếu
K = C, thì X là không gian tuyến tính phức.

Ở bài tập 1.1 bạn đọc sẽ chúng minh được rằng trong không gian tuyến
tính có các tính chất như sau:
a) ∀α∈K: α0 = 0
b) ∀x∈X: 0x = 0
c) ∀x∈X, ∀α∈K, α ≠ 0: αx = 0 ⇒ x = 0
d) ∀x∈X, ∀α∈K: α(-x) = -(αx)
e) ∀x∈X, ∀α∈K: (-α)x = -(αx)
Đặc biệt: (-1)x = -x
f) ∀x, y∈X, ∀α∈K: α (x -y) = αx - αy
g) ∀x∈X, ∀α, β∈K: (α - β)x = αx - βy

Ví dụ về không gian tuyến tính:2
1) Không gian các vectơ tự do trên đường thẳng (trong mặt phẳng, trong
không gian) lần lượt là những không gian tuyến tính với phép cộng
vectơ và phép nhân một vectơ với một vô hướng và vecto 0 là phần tử
0. Vì vậy các phần tử trong một không gian tuyến tính thường được
gọi là các vectơ và không gian tuyến tính còn được gọi là không gian
vectơ.
2) Tập hợp các số thực cũng là không gian tuyến tính.
3) Ta xét tập hợp X gồm các bộ n số thực (x 1, x2, …., xn), với xi∈R, i =
1,2,…, n.
Ta định nghĩa phép cộng giữa x = (x1, x2, …., xn) và y = (y1, y2, …., yn)
như sau:
x + y = (x1+y1, x2+y2,…., xn+yn),
và phép nhân một vô hướng α∈R với một phần tử x = (x1, x2, …., xn):
αx = (αx1, αx2, …., αxn)
Với phép cộng và nhân như vậy và để ý rằng θ = 0 = (0. 0,….,0) và
–x = (-x1, -x2, …., -xn), dễ thấy rằng tập X là một không gian tuyến
tính. Người ta ký hiệu không gian này là Rn.

1.2 Cơ sở, chiều của một không gian tuyến tính


1
Từ nay về sau, khi nói X là “không gian tuyến tính” thì đó là không gian tuyến tính thực.
2
Các ví dụ tiếp theo về không gian tuyến tính xin xem ở [ ]

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 2
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Đn 1.3: Cho X là một không gian tuyến tính (thực hoặc phức), {x1, x2, ….,
xk} là k vectơ thuộc X, k ∈ N. Các vectơ xi, i=1,2,…,k, được gọi là
độc lập tuyến tính nếu đẵng thức

(1.1) α1x1+ α 2x2 +….+ αkxk = 0

chỉ xãy ra khi α1 = α2 =… = α k = 0.

Từ định nghĩa này suy ra, nếu tồn tại ít nhất một αl ≠ 0, 1 ≤ l ≤ k để
cho đẵng thức (1.1) thỏa mãn, thì hệ các vectơ {x1, x2, …., xk} được gọi là
phụ thuộc tuyến tính.

Đn 1.4: Cho {x1, x2, …., xk} là hệ k vectơ thuộc không gian tuyến tính X, k ∈
N, và x∈ X. Nếu tồn tại các vô hướng αi (thực hoặc phức), i = 1,2,
…, k, sao cho
k
(1.2) x = α1x1+ α 2x2 +….+ αkxk = ∑ αi x i
i =1

thì x được coi là được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của k
vectơ {x1, x2, …., xk }.

Rõ ráng, hệ vectơ {x1, x2, …., xk} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
một trong số các vectơ ấy có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính
của các vectơ còn lại.

Đn 1.5: Một hệ vectơ {x1, x2, …., xk} trong không gian tuyến tính X được
gọi là một cơ sở nếu :
i) chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính;
ii) bất kỳ một vectơ nào khác của X cũng có thể được biểu diễn
thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ đó; tức là:
k
(1.3) ∀x∈X:∃ αi∈ K, i =1,2,…,k, k∈ N: x = ∑ αi x i
i =1



Ứng với một cơ sở {x1, x2, …., xk} cho trước thì sự biểu diễn x ở (1.3)
là duy nhất. Khi ấy các vô hướng αi, i = 1,2,….k,được gọi là các toạ độ
của x theo cơ sở {x1, x2, …., xk}. Do đó có thể viết
x = (α 1, α2,…, αn)
Ví dụ: Trong không gian Rn, cho n bộ số thực đặc biệt e1 = (1, 0,….,0), e2 =
(0, 1, 0,…,0), …., en = (0,0,…, 1). Dễ thấy rằng hệ {e1, e2,…, en} là hệ độc
lập tuyến tính. Lấy x = (α 1, α 2,…, αn), là bộ gồm n số thực αi , i = 1,2,
…,n. Rõ ràng đẵng thức sau đây thỏa mãn:




Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 3
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

k
(1.4) x = α1e1+ α2e2 +….+ αkek = ∑ α i ei
i =1

Vì vậy hệ {e1, e2,…, en} là một cơ sở của R và có thể coi các α i là toạ độ
n

của x theo cơ sở ấy.

Đn 1.6: Trong không gian tuyến tính X một vectơ độc lập tuyến tính {x1, x2,
…., xk} gọi là hệ (vectơ) độc lập tuyến tính cực đại, nếu thêm
vào hệ đó bất kỳ một vectơ nào khác sẽ được hệ vectơ phụ thuộc
tuyến tính.

Rõ ràng theo Đn 1.5 thì mỗi cơ sở của X là một hệ độc lập tuyến tính
cực đại trong X.

Đn 1.7: Số vectơ độc lập tuyến tính cực đại có trong X được gọi là số
chiều của X, ký hiệu là dim X.

Nếu dim X < ∞, thì X gọi là không gian tuyến tính hữu hạn chiều.
Người ta chứng minh được những mệnh đề sau đây3:
• Nếu X có một cơ sở gồm m vectơ thì theo Đn 1.5 số vectơ độc lập
tuyến tính cực đại trong X đúng bằng m, tức là dim X = m.
• Ngược lại, nếu dim X = m thì bất kỳ một hệ gồm m vectơ độc lập
tuyến tính nào đó trong X đều là một cơ sở của X.
• Định lý bổ sung cơ sở: nếu dim X = m và {x1, x2, …., xk} là hệ gồm k
vectơ độc lập tuyến tính trong X với k < m thì bao giờ cũng tìm thấy
(m-k) vectơ xi∈ X, i = k+1, k+2,….m, sao cho hệ {x1, x2, …., xk, xk+1,
xk+2,…., xm} là hệ độc lập tuyến tính và do đó tạo nên một cơ sở của
X.

Đlý 1.1: Cho X là không gian tuyến tính (thực hoặc phức), dim X = n, {f1,
f2, …., fn} là một cơ sở của X. Cho x∈X bất kỳ và (α 1, α2,…, αn) là
tọa độ của x theo cơ sở {f1, f2, …., fn}; tức là
n
(1.5) x= ∑ αifi
i =1

Giả sử αk ≠ 0, 1 ≤ k ≤ n. Khi đó hệ {f1, f2, …., fk-1, x, fk+1,…, fn}
cũng tạo nên một cơ sở của X.

Chứng minh:
a) Giả sử ta có đẵng thức
n
(1.6) 0= ∑ βi f i + β k x
i =1,i ≠ k

Thay x bởi (1.5)
3
SERGE LANG, Linear Algebra, Colombia University, New York

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 4
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

n n
0= ∑ βi f i + β k ∑ α i f i
i =1,i ≠ k i =1
n
(1.7) = ∑ (βi + βk αi )fi + βk α k f k
i =1,i ≠ k

Do theo giả thiết các fi, i =1,2,…,n là một cơ sở, nên chúng độc lập tuyến
tính. Vì vậy từ (1.7) suy ra
βi + βk α i = 0, i = 1, 2,...k − 1, k + 1,..., n

 βk α k = 0
Theo giả thiết α k ≠ 0, nên từ đẵng thức thứ hai suy ra β k = 0. Do đó đẵng
thức thứ nhất kéo theo
(1.8) β i = 0 ∀i =1,2,…, n.
Như vậy, đẵng thức (1.6) đúng khi và chỉ khi có (1.8). Từ đây suy ra hệ
{f1, f2, …., fk-1, x, fk+1,…, fn} là hệ độc lập tuyến tính.
b) Lấy y là một vectơ thuộc X bất kỳ. Giả sử γ i, i =1,2,..,n là toạ độ của
y theo cơ sở {f1, f2, …., fn}; tức là
n n
(1.9) y= ∑ γ ifi = ∑ γ ifi + γ kf k
i =1 i =1,i ≠ k

Từ (1.5) và do α k ≠ 0 có thể biểu diễn fk theo các vectơ x và fi, i ≠ k như
sau:
n αi 1
fk = ∑ (− )f i + x
i =1,i ≠ k αk αk
Thay biểu thức nay vao (1.9) rồi nhom cac số hạng lại, ta có biểu thức
̀ ̀ ́ ́
biểu diễn y theo hệ cac vectơ {f1, f2,…, fk-1, x, fk+1,…, fn}:
́
n αi γ
y= ∑ (γi − γ k )f i + k x
i =1,i ≠ k αk αk
Vì y bất kỳ nên điều nay chứng tỏ hệ {f1, f2,…, fk-1, x, fk+1,…, fn} là một cơ
̀
sở mới của X. Hệ nay chỉ phân biệt với hệ cũ bởi một vectơ; đó là x thay
̀
cho fk. Toạ độ của y theo cơ sở mới:
 * αi
 γ i = ( γ i − γ k α ), i = 1, 2,..., k − 1, k + 1,..., n
 k
(1.10)  .ª
 γ* = γk
 k αk


Ghi chú: Phép biến đổi toạ độ (1.10) gọi là phép biến đổi cơ sở hay phép
biến đổi trục xoay (pivot-transformation).

1.3 Không gian tuyến tính con


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 5
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Đn 1.8: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K, L là tập con của X;
L ≠ ∅. Tập L được gọi là không gian (tuyến tính) con của X nếu
bản thân L là không gian tuyến tính với phép cộng và nhân vô
hướng được định nghĩa như trên X.

Hiển nhiên, giao của một họ bất kỳ các không gian con của X cũng là
một không gian con (của X). Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ
cũng có một không gian con của X chứa A. Đó là không gian X Giao của
tất cả các không gian con của X chứa A là không gian con nhỏ nhất của X
chứa A, ký hiệu liA, và được gọi là bao tuyến tính của A. Tức là

(1.11) liA = IL(A) , L(A) là không gian con chứa A

Đlý 1.2: Tập L ⊆ X là không gian con của X khi và chỉ khi:
(1.12) ∀x,y∈ L, ∀α , β∈ K: α x + β y∈ L

Chứng minh: Rõ ràng, nếu L là không gian tuyến tính trên trường K thì
(1.11) là hiễn nhiên. Ngược lại, nếu (1.11) thỏa mãn thì dễ dàng kiểm
chứng 8 tiên đề ở phần 1.1. Đặc biệt, nếu α = β = 0 thi 0∈ L và khi β = 0,
α = -1, thì, cùng với x, (-x) ∈ L. Điều nay chứng tỏ L là không gian tuyến
tính trên trường K. Vậy L là không gian con của X. ª

Ví dụ về không gian con:
1) Tập L = {0} và L = X là những không gian con đặc biệt
2) Cho X = Rn. Khi đó các không gian R, R2,…., Rn-1 là các không gian
con của Rn.
3) Cho A là ma trận cấp (mxn). Ký hiệu r[A] là hạng của ma trận A.
Giả sử r[A] = m≤ n . Khi đó tập hợp các lời giải của hệ phương
trình tuyến tính Ax = 0 là không gian con (n-m) chiều của Rn.
4) Không gian các ma trận thực có m hàng, n cột với phép cộng và
nhân ma trận thông thường; phần tử 0 là ma trận 0.
5) Không gian các đa thức có hệ số thực có bậc không quá n.
6) Không gian các hàm số thực, xác định và liên tục trên [a,b] (không
gian C[a,b])với phép cộng và nhân với một vô hướng định nghĩa như
sau:
∀f, g∈ C[a,b];∀x∈[a,b]: [f + g](x) = f(x) + g(x)
∀f∈ C[a,b]; ∀α∈R: [αf](x) = α.f(x)

1.4 Đa tạp tuyến tính:

Cho X là không gian tuyến tính trên trường K; a,b là hai phần tử khác
nhau của X.


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 6
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Đn 1.9: Tập hợp
(1.13) D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1}
được gọi là đường thẳng đi qua a và b.
• Nếu trong (1.13) thêm điều kiện α ≥ 0, thì D là nửa đường
thẳng (tia) xuât phát từ b và đi qua a.
• Khi thêm vào (1.13) điều kiện β ≥ 0 thì D là nửa đường thẳng
(tia) xuât phát từ a và đi qua b.
• Nếu đồng thời thêm cả hai điều kiện α ≥ 0 và β ≥ 0 thì D là
đoạn thẳng nối a với b.

Đn 1.10: Cho V là tập con của X, V ≠ ∅ và có ít nhất hai phần tử phân
biệt. Nếu cùng với hai phần tử bất a, b bất kỳ thuộc V mà V
chứa toàn bộ đường thẳng đi qua hai phần tử ấy thì V được gọi
là một đa tạp tuyến tính (hoặc đa tạp aphin). Tức là:

(1.14) ∀a,b∈ V: D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1} ⊆ V ⇔ V là
aphin

Hay biểu diễn dưới dạng khác: V là đa tạp tuyến tính, nếu và chỉ nếu

(1.15) ∀α, β∈ K: αV + βV ⊆ V

Hiển nhiên bất kỳ không gian con nào cũng là một đa tạp tuyến tính và
giao của một họ bất kỳ các đa tạp tuyến tính, nếu khác trống, cũng là một
đa tạp tuyến tính. Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ cũng có
một đa tạp tuyến tính chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Giao của tất cả
các đa tạp tuyến tính của X chứa A là đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa A,
ký hiệu là affA và gọi là bao aphin của A. Tức là:

(1.16) affA = ∩ V(A), V(A) là đa tạp tuyến tính chứa A

Trong bài tập 1.2 bạn đọc sẽ chứng minh rằng, nếu V là đa tạp tuyến tính
trong X, thì
k k
(1.17) ∀k∈N, ∀{x1, x2, …., xk} ⊆ V: ∑ αi x i ∈ V, ∑ α i = 1
i =1 i =1

Nếu ký hiệu
k k
x= ∑ αi x i , ∑ αi = 1
i =1 i =1

là tổ hợp aphin gồm k phần của x thì tính chất này có thể được phát biểu
như sau: Nếu V là đa tạp tuyến tính thì bất kỳ tổ hợp aphin nào đó của các
phần tử của V đều chứa trong V.



Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 7
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Đlý 1.3: Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K, V ⊆ X,
V≠ ∅ và a∈ V. Tập V là đa tạp tuyến tính khi và chỉ khi V có
dạng:
(1.18) V = L + a = {x∈X/ ∃ y∈L: x = y + a}
Trong đó L là không gian con của X.

Chứng minh: a) Giả sử V là đa tạp tuyến tinh. Từ (1.18), L = V – a =
{x∈X/ ∃ y∈V: x = y- a). Rõ ràng 0∈L, vì a∈V. Lấy x, y∈L, α,β∈K. Khi
ấy theo (1.18) sẽ tìm thấy x’, y’∈V để cho x = x’-a, y = y’-a. Ta có
αx + βy = α(x’-a) + β(y’-a)
= αx’+ βy’ - (α + β)a
= αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a - a
Đặt z = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a. Vì x’, y’, a∈V và α+β+ [1 -(α + β)]=1
nên theo (1.17) (với k = 3) z ∈ V. Do đó αx + βy = z -a cũng thuộc L. Theo
định lý 1.2 thì L là không gian con.
b) Giả sử L là không gian con và V có dạng như (1.18). Lấy x, y∈
V, α,β∈K, với α+β =1. Khi đó sẽ tồn tại x’, y’∈L để cho x = x’+ a, y =
y’+ a. Ta có:
αx + βy = α(x’+a) + β(y’+ a)
= (αx’+ βy’) + (α+β)a
= αx’+ βy’ + a
Đặt z = αx’+ βy’. Khi ấy z∈L, và do đó (αx + βy) ∈ V. Suy ra V là đa
tạp tuyến tinh. ª

Như vậy, theo (1.18), nếu V⊆X là một đa tạp tuyến tính và a∈V thì
L(a) với L(a) = V – a là một không gian con của X. Cho b là phần tử khác
của V. Khi ấy cũng theo định lý trên L(b) = V-b cũng là không gian con của
X. Tuy nhiên, trong bài tập 7 bạn đọc sẽ chứng minh rằng L(a) = L(b).
Tức là, mỗi đa tạp tuyến tính V sẽ tương ứng với duy nhất một không
gian con L, xác định bởi (1.8), trong đó a là một phần tử bất kỳ của V. Vì
phép biến đổi (1.8) là phép tịnh tiến song song, nên người ta gọi L là
không gian con song song với đa tạp tuyến tính V. Từ đây có thể định
nghĩa thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính như sau:
dimV = dimL
Tức là, thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính được định nghĩa là chiều
của không gian con song song với nó.
§2 Không gian Euclid, không gian định chuẩn,
không gian mêtric

2.1 Không gian Euclid


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 8
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Đn 2.1: Không gian tuyến tính X được gọi là không gian Euclid (Ơcơlit)
nếu
1) có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một số
thực α , ký hiệu α = 〈x,y〉 , gọi là tích vô hướng giữa x và y;
2) Tích vô hướng xác định ở 1) phải thỏa mãn 4 tính chất sau
đây:
i) ∀x, y∈X: 〈x,y〉 = 〈y,x〉
ii) ∀x, y, z∈X: 〈x+y,z〉 = 〈x,z〉 +〈y,z〉
iii) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈αx,y〉 = α〈x,y〉
iv) ∀x∈X, x ≠ 0: 〈x,x〉 > 0 và 〈x,x〉 = 0 ⇔ x = 0

Từ các tính chất trên, bạn đọc có thể chứng minh trong bài tập 8
các tính chất tiếp theo như sau:
v) ∀x, y∈X, ∀α∈R : 〈x, αy〉 = α〈x,y〉
vi) ∀x, y, z∈X: 〈x,y+z〉 = 〈x,y〉 +〈x,z〉
vii) ∀x, y∈X: x, y ≤ x, x y, y

Ví dụ về không gian Euclid:

1) Không gian các vectơ tự do là không gian Euclid với tích vô
r r
hướng giữa hai vectơ a va b là tích vô hướng thông thường:
r r r r r r r r
〈 a , b 〉 = a . b =  a . b .cos( a , b )

2) Không gian các hàm số một biến số thực liên tục trên đoạn
[a,b], C[a,b], là không gian Euclide với tích vô hướng được định
nghĩa như sau:
b

〈f(t), g(t)〉 = ∫ f (t).g(t)dt
a

3) Không gian tuyến tính Rn cũng là một không gian Euclid với
tích vô hướng giữa x = (x1, x2,…. xn) và y = (y1, y2,…, yn) được định
nghĩa theo một trong 2 cách sau đây:

n
a) 〈x,y〉 = ∑ x i yi 4
i =1
n n

b) 〈x,y〉 = ∑ ∑ a ij x i y j
i =1 j=1


4
Khi ấy tính chất vii) ở định nghĩa 2.1 trở thành Bất đẵng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
n n n

∑ x i yi ≤ (∑ x i2 )(∑ yi2 )
i =1 i =1 i =1


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 9
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Trong đó A = ((aij)) là ma trận vuông, đối xứng xác định dương
n n
(positive definit); tức là m = n và ∀x ≠ 0, ∑ ∑ a ij x i x j > 0 .
i =1 j=1



2.2 Không gian định chuẩn

Đn 2.2 : Không gian (tuyến tính) X trên trường vô hướng K được gọi là
không gian (tuyến tính) định chuẩn, nếu trên đó có qui tắc cho
ứng với mỗi phần tử x∈X bất kỳ một số thực không âm gọi là
chuẩn (hoặc độ dài) của x, ký hiệu là x , thỏa mãn các tính chất
sau đây:
i) ∀x∈X: x ≥ 0 và x = 0 ⇔ x = 0 (Tính không âm)
ii) ∀x∈X, ∀λ∈R: λx = λ x
. (Tính đồng nhất)
iii) ∀x, y ∈X: x + y ≤ x + y (Bất đẵng thức tam giác)

Dễ thấy rằng không gian Euclid là một không gian định chuẩn với
chuẩn được định nghĩa như sau:
(2.1) x = x, x
Chuẩn (2.1) được định nghĩa dựa vào tích vô hướng trong không gian
Euclide nên có tên là chuẩn Euclid. Không gian tuyến tính Rn cũng là không
gian euclide nên cũng là không gian định chuẩn.5

2.3 Không gian mêtric

Đn 2.2: Một tập hợp X được gọi là khả mêtric hay gọi đơn giản là không
gian mêtric, nếu có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y∈X bất kỳ
một số thực không âm gọi là khoảng cách (mêtric) giữa x và y, ký
hiệu là ρ (x,y), thỏa mãn các tính chất sau đây:


n
5
Ngoài chuẩn euclide x = x, x = ∑ x i2 trong không gian Rn người ta còn có thể định
i =1
nghĩa các chuẩn khác như sau:
a) Chuẩn max x ∞
= max{ x1 , x 2 ,...., x n }
n
b) Chuẩn trị tuyệt đối: x 1 = ∑ xi
i =1




(∑ x )
1
n p p
c) Chuẩn tổng quát: xp= i
,p≥ 1
i =1


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 10
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

i) ∀x, y ∈X:ρ (x,y) ≥ 0 và ρ (x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y (Tính
không âm)
ii) ∀x, y ∈X: ρ (x,y) = ρ (y,x) (Tính đối xứng)
iii) ∀x, y, z ∈X: ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z) (Bất đẵng thức tam
giác)

Dễ thấy rằng không gian định chuẩn X là không gian mêtric với
khoảng cách ρ(x,y) được định nghĩa như sau:

(2.2) ρ(x,y) = x − y
Đặc biệt, vì Rn, là không gian định chuẩn nên cũng là không gian mêtric với
khoảng cách
n
(2.3) ρ(x,y) = x − y = ∑ (x i − yi )2
i =1

Trong đó x = (x1, x2,….,xn) và y = (y1, y2,….,yn). Mêtric (2.3) được tạo nên
từ chuẩn euclide nên được gọi là mêtric Euclid và ký hiệu là ρ E(.,.).

• Cho X là không gian mêtric, A là tập con của X, a∈X. Đại lượng

(2.4) ρ(a,A) = inf ρ(a, x)
x∈A

gọi là khoảng cách từ a tới A. Rõ ràng, nếu a ∈A, thì ρ = 0. Điều
ngược lại không phải lúc nào cũng đúng.

• Nếu B là một tập con khác của X thì khoảng cách từ A đến B là đại
lượng

inf ρ(x, y)
(2.5) ρ(A,B) = x∈A
y∈B

• Đường kính của tập A là đại lượng

(2.6) diamA = sup ρ(x, y)
x ,y∈A

• Tập A được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại một số dương µ sao
cho

diamA ≤ µ
hoặc cũng vậy
∀x, y ∈ X, ρ(x,y) ≤ µ

• Mọi tập hợp X gồm các phần tử nào đó, trong đó có xác định quan hệ
bằng nhau, đều có thể là không gian mêtric, nếu định nghĩa

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 11
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

0, x=y
ρ(x, y) = 
1, x≠y

§3 Tập mở, tập đóng, tập compac

3.1 Tập mở, tập đóng

Cho X là không gian mêtric với mêtric ρ(.,.).

Đn 3.1, Cho x∈X bất kỳ, ε > 0. Tập hợp
(3.1) S(x, ε ) = {y∈X/ ρ (x,y) < ε }
được gọi là hình cầu tâm x bán kính ε

Hiển nhiên x∈ S(x, ε).

Đn 3.2. Một tập con V của X được gọi là một lân cận của x ∈X, ký hiệu là
V(x) nếu nó chứa một hình cầu S(x, ε ) với số ε > 0 nào đó.

Cho A là tập con của X, x ∈X. Giữa x và A có 3 vị trí tương đối như sau:

(3.1) Có một lân cận của x, V(x), nằm hoàn toàn trong A. Khi đó x
được gọi là điểm trong của A. Tập hợp tất cả các điểm trong
o
của A được ký hiệu là A . Hiển nhiên mọi điểm trong của A đều
o
thuộc A. Tức là A ⊆A.
(3.2) Có một lân cận của x, V(x), nằm hoàn toàn trong phần bù của A
theo X, tức là nằm trong tập hợp C X A = {y ∈ X, y ∉ A} . Khi đó
x được gọi là điểm ngoài của A. Hiển nhiên mọi điểm ngoài của
A đều không thuộc A.
(3.3) Bất kỳ một lân cận nào của x cũng đều chứa điểm trong và điểm
ngoài của A khác x. Khi ấy x được gọi là điểm biên của A. Tập
hợp các điểm biên của A được ký hiệu là ∂A.

V(x) V(x) V(x)
                x x
          x

A A A

(3.1) (3.2) (3.3)


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 12
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Hinh 1.1

Đn 3.3: Tập A ⊆ X được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm
o
trong của nó. Tức là A = A .
Tập A ⊆ X được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc A đều là
o
điểm ngoài của nó. Tức là A = A ∪ ∂A.
Tập trống ∅ và toàn bộ không gian X được coi là vừa mở vừa
đóng.

Từ định nghĩa trên đây dễ dàng thấy rằng tập A là mở khi và chỉ
khi phần bù của CXA là tập đóng. Trong Bài tập 13 bạn đọc sẽ chứng
minh các tính chất sau đây:

T1) Hình cầu S(x,ε ) là mở, còn hình cầu
_________
S(x, ε) ={y ∈ X / ρ(y, x) ≤ ε}
là đóng.
T2) Giao của hữu hạn hoặc hợp của một họ bất kỳ các tập mở là
mở.
T3) Hợp của hữu hạn hoặc giao của một họ bất kỳ các tập đóng là
đóng.

Cho A là tập con không rỗng bất kỳ của X. Bao giờ cũng có một tập
o
mở bao hàm trong A, đó là tập các điểm trong A của A. Ta xét hợp của
tất cả các tập mở G(A) bao hàm trong A, ký hiệu intA = ∪G(A) và gọi là
phần trong của A. Theo tính chất T2 thì intA cũng là một tập mở và là tập
mở lớn nhất bao hàm trong A. Hiển nhiên A mở khi và chỉ khi A = intA và
o
intA = A .

Mặt khác, bao giờ cũng có một tập đóng bao hàm A. Đó là toàn bộ
không gian X. Ta xét giao của tất cả các tập đóng F(A) bao hàm A, ký hiệu
A = ∩ F(A). Theo tính chất T3 thì A là tập đóng. Rõ ràng đây là tập đóng
nhỏ nhất bao hàm A. Vì vậy người ta ký hiệu A là bao đóng của A. Hiển
nhiên A đóng khi và chỉ khi A = A .

3.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Đn 3.4: Tập hợp A gòm các phần tử trong không gian mêtric X được gọi là
một dãy vô hạn, ký hiệu là { x k } nếu tồn tại một song ánh từ các
phần tử của A lên tập hợp các số tự nhiên N.

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 13
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́



Trong không gian mêtric X với mêtric ρ(.,.) dãy vô hạn { x k } được gọi
là hội tu về x0, ký hiệu
x k  x 0
k →∞ →

hay lim x k = x 0
k →∞

nếu ρ(x k , x 0 )  0
k →∞ →

Điểm x0 như vậy được gọi là giới hạn (hoặc điểm giới hạn) của { x k } .

n
Cho X= Rn và lấy ρ = ρ E(x,y) = x − y = ∑ (x i − yi ) 2 với xi, yi,
i =1
___
i = 1, n , là các toạ độ của x, y theo một cơ sở nào đó. Khi ấy
x k  x 0 tương ứng với ρ(x k , x 0 )  0 , hay
k →∞ → k →∞ →

n
xk − x0 = ∑ (x ik − x i0 )2  0
k →∞ →
i =1
k 0
với x , x , i=1,2,…,n, là toạ độ của xk, x0, tương ứng. Điều này chỉ có thể
i i

xãy ra khi
(3.5) x ik  x i0 , i = 1,2,….,n
k →∞ →

Như vậy, sự hội tụ trong không gian Rn với mêtric Euclide là sự hội tụ
theo toạ độ dạng (3.5)

• Một dãy vô hạn { x k } trong không gian mêtric X được gọi là dãy
Cauchy, nếu ∀ε >0 bất kỳ có thể tìm thấy ∃ k0 ∈N, sao cho ∀k,l > k0
đều có ρ(xk,xl) < ε . Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là một dãy Cauchy.
Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng.

• Không gian mêtric, trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ, được gọi là
không gian mêtric đủ. Vì trong Rn mọi dãy Cauchy đều hội tụ nên nó là
một không gian mêtric đủ.

Đn 3.5: Một dãy vô hạn khác x kl { } được gọi là dãy con của { x k } nếu

a) {x }
kl ⊆ { xk}
b) ∀k 0 ∈ N, ∃ l0 ∈ N : ∀ l > l0 ⇒ k l > k 0




Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 14
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Điểm a) trong Đn 3.5 nói rằng các phần tử của dãy con x kl { } là các
phần tử nằm trong dãy mẹ { x k } ; điểm b) yêu cầu thứ tự của các phần tử
trong dãy con x kl{ } so với thứ tự của chúng trong dãy lớn { x } nếu bị
k

thay đổi thì chỉ có thể thay đổi với hữu hạn các phần tử mà thôi.

• Dễ thấy rằng, nếu x k  x 0 và x kl
k →∞ → { } là dãy con của dãy { x k }
thì x k  x 0
l k →∞ →

Tức là nếu dãy { x k } hội tụ về x0 thì mọi dãy con của nó cũng đều hội tụ
về duy nhất một điểm x0. Một dãy vô hạn có thể chứa nhiều dãy con hội
tụ về nhiều điểm khác nhau.

• Nếu { x k } ⊂ A và x0 là giới hạn của { x k } thì nó được gọi là điểm tụ
của A

3.3 Tập hợp compac

Đn 3.6: Một tập A trong không gian mêtric X là hoàn toàn giới nội (hoặc
tiền compac, hoặc compac có điều kiện) nếu ∀ε > 0 có thể tìm
thấy hữu hạn các điểm a1, a2,..., ak. k ∈ N, để cho
k
(3.6) A ⊆ U S(a i .ε)
i =1

Tức là tập A được phủ bởi hữu hạn các hình cầu tâm ai bán kính ε. Khi đó
tập hợp
Aε = { a1, a2,..., ak }
được gọi là lưới ε hữu hạn của A.

Ở bài tập 15 bạn đọc sẽ chứng minh rằng trong một không gian mêtric bất
kỳ một tập hợp hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội.

Đn 3.7: Tập V trong không gian mêtric X được gọi là compac nếu mỗi dãy
vô hạn trong V đều chứa một dãy con hội tụ về một điểm thuộc
V.

Từ định nghĩa này ta thấy rằng một tập V là đóng khi và chỉ khi V
chứa toàn bộ các điểm tụ (giới hạn) của nó. Bài tập 16 cho thấy rằng một
tập hợp compac thì bao giờ cũng đóng và hoàn toàn giới nội. Mặt khác,
một tập hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội. Do vậy một tập compac
trong không gian mêtric bất kỳ là đóng và giới nội. Ngược lại, do một tập
giới nội trong không gian mêtric đủ thì hoàn toàn giới nội, nên một tập

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 15
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

đóng và giới nội trong không gian mêtric đủ là compac. Như vậy trong
không gian mêtric đủ Rn tính compac có nghĩa là đóng và giới nội. Mặt
khác, trong một không gian định chuẩn bất kỳ, mọi tập đóng và giới nội
đều compac.6

Người ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, nếu A là compac thì
cũng là tiền compac. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng
đúng. Ví dụ, trong R tập A = (0;1) với mêtric ρ(x,y) =  x-y là tập tiền
compac nhưng không compac.



§4 Tập hợp lồi

4.1 Khái niệm về tập lồi và các tính chất của tập lồi

Đn 4.1: Cho X là không gian mêtric bất kỳ; V là tập con không rỗng của X.
Tập V được gọi là lồi nếu với hai điểm x, y bất kỳ V chứa toàn bộ
đoạn thẳng nối hai điểm đó. Tức là:

(4.1) ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ [0;1]: z = λx + (1 − λ )y ∈ V
Hay λV + (1-λ)V ⊆ V, 0 ≤ λ ≤ 1


Ví dụ về tập lồi: x y

x y x y x
y

a) b) c) d)

̀
Hinh 1.2

Các tập a), b), c) là những tập lồi. Tập d) là không lồi

Các tính chất của tập lồi:
T1) Nếu V là lồi, xi, i =1, 2, 3,..., k là k điểm thuộc V, αi, i =1,2,..., k, là k
k
số thực không âm sao cho ∑ α i = 1 , thì điểm
i =1



6
Cho tập A đóng và giới nội. Lấy {xk} là dãy vô hạn bất kỳ. Do {xk}
bị chặn, nên tồn tại một dãy con {xkl} hội tụ về x0. Do A đóng nên
x0∈A. Vậy A compac.
Xem V.V. Voerodin: Đại số tuyến tính, NXB Mir 1983, Tr. 234.

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 16
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

k
(4.2) y = ∑ α i x i ∈ V,
i =1

trong đó k là số tự nhiên bất kỳ.

Ở (4,2) y được gọi là tổ hợp lồi của các điểm xi, i = 1,2,...,k, của V.
Khi ấy tính chất T1) có thể phát biểu thành định lý như sau: Nếu V là lồi
thì V cũng chứa toàn bộ các tổ hợp lồi của các điểm của nó.

T2) Giao của hữu hạn các tập lồi, nếu không rỗng, cũng là một tập lồi.

T3) Cho A,B là tập con lồi của X, a∈X và α∈ R. Khi đó các tập hợp sau
đây là lồi:
A + B = {z∈ X, z = x + y, x∈A, y∈B}
a + B = {z∈ X, z = a + y, y∈B}
A + a = {z∈ X, z = x + a, x∈A}
αA = {z∈ X, z = αx, x∈A}

T4) Nếu A là lồi thì phần trong và bao đóng của A cũng là lồi

Cho A là tập con không rỗng của không gian mêtric X. Bao giờ cũng có
một tập lồi chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Ta xét giao của tất cả các
tập con lồi của X mà chứa A. Theo tính chất T2) thì đây cũng là tập lồi và
là tập lồi nhỏ nhất chứa A. Người ta gọi nó là bao lồi của A và ký hiệu là
convA (hoặc coA). Tức là:
(4.3) convA = ∩G(A)
Trong đó G(A) là lồi và chưa A. Hiễn nhiên khi A lồi thì convA = A.

Người ta định nghĩa thứ nguyên của một tập lồi A là thứ nguyên của
bao aphin affA. Tức là
dimA = dim(affA)
Như vậy, tập một điểm sẽ có dim = 0, đoạn thẳng, nửa đường thẳng,
đường thẳng là những tập có thứ nguyên 1, v.v...

Đlí 4.1 (Carathéodory)
Nếu A là tập hợp chứa trong đa tạp aphin V với dimV = r thì mỗi
điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá
(r+1) điểm thuộc A.

Chúng minh: Ta có A ⊆ V và dimV = r. Lấy y∈convA bất kỳ. Khi đó y có
k k
dạng y = ∑ α i x i , xi∈A, 0 ≤ α i, i =1, 2,...,k, ∑ αi = 1 . Không giảm tổng
i =1 i =1

quát, giả sử α i > 0, i =1, 2,...,k.
a) Khi k ≤ (r+1) thì định lý đúng đối với y.

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 17
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

b) Giả sử k > (r+1). Khi đó, đặt L = V – xk. L là không gian con song
song với V nên theo giả thiết dimL = r. Do x i ⊆ A, i =1,2,...,k, nên chúng
cũng là phần tử của V. Như vậy các vectơ xi – xk , i = 1,2, ..., (k-1), là (k-1)
phần tử thuộc không gian con L. Vì theo giả thiết (k-1) > r, nên (k-1) vectơ
này phải là hệ phụ thuộc tuyến tính. Suy ra, sẽ tồn tại (k-1) số thực β i, i
=1,2,...,(k-1) không đồng thởi bằng 0 để cho
k −1
0 = ∑ βi (x i − x k )
i =1
k −1 k k
Đặt β k = - ∑ βi ⇒ ∑ βi = 0 và ∑ βi x i = 0. Do phải có ít nhất một β i khác
i =1 i =1 i =1

0 và tổng của chúng bằng 0, nên phải có ít nhất một β m dương, 1 ≤ m ≤
k. Vậy dặt
βi
µ = max >0
βi > 0 αi
Không giảm tổng quát, giả sử µ = β k/αk. (Nếu không như vậy, chỉ cần
thay đổi cách đánh số thứ tư). Từ đẵng thức:
k 1 k
y=y+0= ∑ α i x i - µ ∑ βi x i
i =1
i =1

ta có
k −1 1
(4.4) y= ∑ (αi − βi )x i
i =1 µ
1 k −1
Đặt α i = α i − βi , i = 1,2,..., (k-1). Khi đó ∑ αi' = 1 và αi ≥ 0 , i = 1,2,...,
' '

µ i =1

(k-1). Như vậy theo (4.4) y đã được biểu diễn thành tổ hợp lồi của k-1
phần tử thuộc A.
c) Nếu ở đây (k-1) ≤ (r+1) thì chứng minh dừng lại. Trong trường
hợp ngược lại, chứng minh sẽ được thực hiện như trong phần b). Qua
mỗi bước người ta sẽ bớt đi dược ít nhất một số hạng trong tổ hợp lồi
xác định y. Do đó sau một số hữu hạn lần thực hiện qui trình như phần b)
sẽ có một số p, sao cho y là tổ hợp lồi của (k-p) phần tử thuộc A với (k-p)
≤ (r+1). Định lý được chứng minh xong. ª
Theo định lý này thì nếu A là tập hợp chứa trong một đường thẳng thì
mọi điểm của bao lồi của A có thể được biểu diễn thành tổ hợp lồi của
không quá 2 điểm thuộc A, vì dimA = 1. Tương tự, nếu A là tập hợp chứa
trong mặt phẳng thì mọi điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp
lồi của không quá 3 điểm thuộc A v.v....

4.2 Nón lồi



Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 18
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Đn 4.2: Tập K’ trong không gian tuyến tính X được gọi là nón có mũi
(đỉnh) tại x0, nếu
(4.5) ∀x ∈ K ' , ∀λ ≥ 0 : [x 0 + λ (x − x 0 )] ∈ K '
Rõ ràng các không gian con và các đa tạp tuyến tính đều là những nón
có đỉnh tại bất cứ điểm nào đó. Đó là những nón có vô số đỉnh. Khi x0 = 0
ta nói rằng K’là nón có đỉnh tại gốc (tọa độ). Mặt khác, nếu K’ là nón có
đỉnh tại x0 thì K với K = K’- x0, là nón có đỉnh tại gốc. Rõ ràng K đạt được
từ K’ khi tịnh tiến x0 về gốc tọa độ. Phép tịnh tiến bảo toàn hình dạng vật
lý của vật thể. Do đó có thể nghiên cứu K thay cho nghiên cứu K’. Vì vậy
ta có định nghĩa như sau:

Đn 4.3: Tập K trong không gian mêtric X gọi là nón có đỉhh tại gốc nếu

(4.6) ∀x ∈ K; ∀λ ≥ 0 : λx ∈ K
Hay λK ⊆ K ∀λ ≥ 0



Ví dụ về nón trong R2:




x x
x0 x0


0


Nón có đỉnh tại x0 Nón có đỉnh tại x0




0

Nón có đỉnh tại gốc

̀
Hinh 1.3

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 19
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́


Đn 4.4: Nón K là nón lồi nếu nó là tập lồi.

Từ đây ta có thể chứng minh định lý sau đây:

Đlí 4.2: Tập K trong không gian mêtric X là nón lồi khi và chỉ khi
i) ∀x ∈ K; ∀λ ≥ 0 : λx ∈ K
ii) ∀x, y ∈ K : x + y∈K (4.7)
Hay, cũng vậy:
i) λK ⊆ K ∀λ ≥ 0
ii) K+K⊆ K

Chúng minh: a) Điều kiện đủ: Giả sử có (4.7). Điều kiện i) cho thấy K là
một nón. Lấy α ∈[ 0;1] và x, y ∈ K bất kỳ; xét z = αx + (1-α)y. Do α ≥ 0
và (1-α) ≥ 0, nên theo i) x’ = αx∈ K và y’ = (1-α)y∈ K. Từ đó theo ii) với
z = αx + (1-α)y = x’ + y’ ∈ K. Suy ra K là nón lồi.
b)Điều kiện cần: i) là hiển nhiên vì K là một nón. Lấy x, y ∈ K bất kỳ. Ta
có: x + y = 2[(1/2)x + (1/2)y] = 2z, với z = [(1/2)x + (1/2)y]. Vì K là tập lồi
nên z ∈ K. Do K là nón nên x + y = 2z ∈ K. ª

Cho A là tập con bất kỳ của X. Bao giờ cũng có một nón lồi chứa A.
Đó là toàn bộ không gian X. Khi đó hiễn nhiên KA = ∩K(A), với K(A) là
nón lồi chứa A, cũng là nón lồi và chứa A. Đó là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
Người ta gọi đó là nón lồi sinh bởi A.

4.3 Định lý về nón đóng:

Đlí 4.3: Cho A là ma trận cấp (mxn). Nếu các cột của A là độc lập tuyến
tính thì phép biến đổi tuyến tính y = Ax sẽ biến một tập đóng X
⊆ Rn thành một tập đóng Y⊆ Rm.
Chúng minh: Lấy dãy vô hạn {yk} ⊆ Y, tức yk = Axk, k = 1, 2,...., Giả sử
yk → y0. Do các cột của A độc lập tuyến tính nên ma trận A TA là không suy
biến 7. Tức là tồn tại (ATA)-1. Từ {yk} ta có dãy vô hạn {xk} trong X với xk
= (ATA)-1 (AT yk), k = 1, 2,..... Đặt x0 = (ATA)-1 (AT y0). Do
lim x k = (A T A) −1 (A T (lim y k )) = (A T A) −1 (A T y 0 ) = x 0
k →∞ k →∞

nên x0 là điểm giới hạn của X. Do X đóng nên x 0 ∈ X. Mặt khác từ định
nghĩa x0 ta có AT y0 = (ATA) x0 = AT(Ax0). Hay AT(y0 - Ax0) = 0. Do các cột
của A độc lập tuyến tính nên suy ra y0 = Ax0. Điều này chứng tỏ y0 ∈ Y. Vì


7
Xem SERLANG

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 20
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

{yk} là dãy vô hạn bất kỳ, nên theo chứng minh trên Y đã chứa mọi điểm
giới hạn của nó. Suy ra Y là tập đóng. ª

Định lý về nón đóng:

Đlí 4.4: Cho A là ma trận tùy ý cấp (mxn). Tập hợp
Y = {y∈ Rm/ y = Ax, x∈ Rn, x ≥ 0} (4.8)
là một nón lồi, đóng có đỉnh tại gốc (gọi là nón lồi sinh bởi các
cột của A).

Chứng minh: Dễ thấy rằng Y là nón lồi. Chỉ còn phải chứng tỏ Y là tập
đóng. Ký hiệu A.j là các cột của A, j = 1,2,...,n và A(js) là ma trận tạo bởi s
cột độc lập tuyến tính A.jl, l = 1, 2, ..., s. s ≤ k = r[A] ≤ min{m;n}. Để đơn
giản ký hiệu, giả sử n≤ m. Khi đó s ≤ n. Người ta có thể thành lập nhiều
k
nhất là C k =   các ma trận như vậy (ứng với số hoán vị gồm s vectơ
s

s
trong số n vectơ cột của A). Ứng với mỗi ma trận như vậy ta thành lập
tập hợp như định nghĩa trong Đlí 4.3:
s
Yjs = {y ∈ R m / y = ∑ A. jl x jl , x jl ≥ 0,l = 1, 2,...,s}
l=1

= {y ∈ Rm/ y = A(js)x(js), x(js) ≥ 0} (4.8)
s

Khi đó Yjs ⊆ Y = {y ∈ R / y = ∑ A. j x j , x j ≥ 0,l = 1, 2,..., n} . Do các A.jl, l
m

j=1

=1, 2, ..., s là các vectơ cột độc lập tuyến tính và tập hợp
{x(js) = (xj1, x j2,..., x js)∈Rs/ x jl ≥ 0 , l = 1,2,...,s}
là nón đóng, nên, theo Đlí 4.3, Yjl là tập đóng. Cho s chạy từ 1 đến k ≤ n ta
sẽ có các tập con Yjs của Y. Số tập con như vậy là hữu hạn, nhiều nhất
k k k
bằng ∑ Csk = ∑   = 2k
s =1 s
s =1
 
k

Xét tập Y* = UUYjs . Do các Yjs là những nón đóng và đều là tập con
js s =1

của Y và số tập con như vậy là hữu hạn nên Y* là tập đóng (hợp của hữu
hạn các tập đóng) và Y* ⊆ Y. Bây giờ lấy y bất kỳ, y∈ Y. Nếu y = 0, thì
y∈Yjs
n

∀js. Do đó y∈Y*. Giả sử y≠ 0 và y = ∑ A. j x j , xj ≥ 0, j =1,2,...,n. Đặt I =
j=1

{j / xj > 0}. Vì y≠ 0, nên I ≠ ∅. Không giảm tổng quát, giả sử I = {1,
l

2,...,l}, l ≤ n. Khi đó y = ∑ A. j x j . Nếu A.j là độc lập tuyến tính j∈I, thì y∈
j=1




Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 21
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Yjs với js nào đó. Do đó y∈Y*. Nếu các A.j là phụ thuộc tuyến tính thì có
thể biến đổi như phần chứng minh định lý Capathéodory dể biểu diễn y
thành tổ hợp tuyến tính của l-1 vectơ A.j. Nếu các vectơ này là độc lập
tuyến tính thì kết luận như trên y∈Y*. Trong trường hợp ngược lại thì
biểu diễn y thành tổ hợp tuyến tính của l-2 vectơ A .j v.v...Sau một số hữu
hạn t lần biến đổi ta sẽ biểu diễn y thành tổ hợp tuyến tính của l-t vectơ
độc lập tuyến tính A.j. Do đó y∈Yjs với js nào đó. Do vậy y∈Y*. Do y bất
kỳ nên có thể kết luận Y* ⊇ Y. Từ hai bao hàm thức này suy ra Y* = Y.
Do vậy Y là nón lồi, đóng. ª

4.4 Các định lý tách

4.4.1 Siêu phẳng

Đn 4.5: Cho X là không gian Euclide, c ≠ 0, c∈X, α∈R. Tập hợp
Hα = {x∈X / 〈c, x〉 = α} (4.9)
được gọi là một siêu phẳng trong X.
Dễ thấy rằng, siêu phẳng Hα là một đa tạp tuyến tinh. Không gian con
song song với Hα là tập hợp
L = H0 = {x∈X / 〈c, x〉 = 0} (4.10)
Nếu dimX = n thì dimL = dim H0 = (n –1). Vì vậy một siêu phẳng trong
không gian Euclide n-chiều là một đa tạp tuyến tính có thứ nguyên bằng
(n-1).

Siêu phẳng Hα chia không gian X thành hai nửa không gian
H α = {x ∈ X / c, x ≥ α} vaø H α = {x ∈ X / c, x ≤ α}
+ −


(4.11)
Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì mọi siêu phẳng đều là tập đóng.
Các nửa không gian trong (4.11) cũng đều là những tập lồi và đóng. Sau
dây chúng ta sẽ tìm dạng đại số của đa tạp tuyến tính trong Rn.

Cho A là ma trận thực cấp (mxn). Gọi Ai., i = 1, 2, ..., m. là các vectơ
hàng của A. Giả sử hạng của ma trận A, r[A], bằng r. b là vectơ thuộc Rm.

Đlí 4.5: Giả sử r[A] = r[A, b] = r. Khi đó tập hợp

V = {x∈Rn / Ax = b}
= { x∈Rn / 〈 Ai., x〉 = bi, i = 1, 2, ..., m} (4.12)

là đa tạp tuyến tính thứ nguyên (n-r).



Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 22
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Chứng minh: Vì theo giả rhiết r[A] = r[A, b] nên V ≠ ∅. Hệ (4.12) có
hạng bằng n-r nên không gian con L = {x∈Rn / Ax = 0} có chiều bằng n-r .
Mặt khác, dễ thấy rằng V = L + x 0, với x0 là một nghiệm riêng của hệ
phương trình tuyến tính không thuần nhất (4.12). Theo Đlí 1.3 thì V là đa
tạp tuyến tính và do đó dimV = dim L = (n-r). ª

Theo định lý này một đa tạp tuyến tính trong không gian Euclide R n
thực chất là tập hợp các lời giải của một hệ phương trình tuyến tính
không thuần nhất dạng Ax = b; không gian con song song với đa tạp tuyến
tính này là tập hợp các lời giải của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ax = 0 tương ứng.

4.4.2 Hình chiếu của một điểm lên một tập hợp

Cho A là tập con khác trống của không gian tuyến tính định chuẩn X,
v∈X bất kỳ.

Đn 4.5: Điểm p = p(v)∈ A (nếu có) với
ρ = p − v = inf x − v (4.13)
x∈A

là hình chiếu của v lên A. Khi đó ρ được gọi là khoảng cách từ v
đến A.

Nếu v∈A thì đương nhiên p(v) = v và ρ = 0. Điều ngược lại không
phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, cho X = R và x − y = x − y và A = (0;1).
Lấy v = 1∉A. Nhưng ρ = 0.

Hình chiếu của một điểm lên một tập hợp cho trước có thể tồn tại
hoặc không tồn tại. Một điểm v có thể có nhiều hình chiếu lên một tập
hợp A cho trước. Vậy khi nào tồn tại hình chiếu của một điểm lên một
tập hợp và khi nào hình chiếu đó là duy nhất? Ta xét định lý sau đây.

Đlí 4.6: Cho A là tập con khác trống, lồi, đóng của không gian tuyến tính
định chuẩn X, v∈X bất kỳ. Khi đó hình chiếu của v lên A, p(v), tồn
tại duy nhất.

Chứng minh: Nếu v∈A thì p(v) = v. Định lý đúng. Ta xét trường hợp
v∉A.. Đặt ρ = inf x − v > 0 . Theo định nghĩa của infimum (cận dưới
x∈A

đúng) thì sẽ tìm thấy trong A một dãy vô hạn {xk}, đê cho lim x k − v = ρ
k →∞

. Vì ρ < ∞ nên dãy {xk} là bị chặn. Theo định lý Bolzano-Weierstrass 8 sẽ
8
SERLANG, Sách đã dẫn

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 23
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́


{ }
tìm thấy một dãy con x kl hội tụ về một điểm, chẳng hạn x0, Do A đóng

nên x0∈ A. Đặt p(v) = x0. Khi đó lim x kl = p(v) hay lim x kl − p(v) = 0 .
l→∞ l→∞

Ta có
p(v) − v ≤ p(v) − x k + x k − v , ∀l.
l l


Cho l→ ∞ thì x k l − v → ρ, x kl − p(v) → 0 . Suy ra p(v) − v ≤ ρ . Mặt
khác, do p(v) ∈A nên
p(v) − v ≥ inf x − v = ρ.
x∈A

Suy ra p(v) − v = ρ = inf p(v) − v . Do đó x0 = p(v) là hình chiếu của
x∈A

p(v) lên A.
Giả sử có p1, p2 đều là hình chiếu của v lên A. Tức là p1∈ A, p2 ∈ A và
p1 − v = p 2 − v = ρ. Do A lồi nên điểm z = (1/2)p1+(1/2)p2 ∈ A . Ta có
2
12 1
ρ ≤ z − v = (p1 − v) + (p 2 − v)
2

2 2
2
 1 1 
≤  (p1 − v) + (p 21 − v) 
 2 2 
1 2 1 2 1
= (p1 − v) + (p1 − v) + (p1 − v) . (p 2 − v)
4 4 2
1 1 1
= ρ2 + ρ2 + ρ2 = ρ2
4 4 2
Dấu “=” chỉ xãy ra khi (p1 –v) =λ(p2 – v). Nhưng do theo giả thiết
//(p1–v)// =//(p2 – v)//. Vậy /λ/ = 1. Nếu λ = -1, thì (p1 – v) =-(p2 – v). Hay v
= (½)(p1+p2)∈A. Điều này trái với giả thiết. Vậy λ = 1. Tức là p1= p2. ª

Định lý sau đây cho biết khi nào một điểm p ∈A bất ky (với A lồi, v∉
A) là hình chiếu của v trên A.

Đlí 4.7: Để cho điểm p∈A là hình chiếu của v trên tập lồi A thì điều kiện
cần và đủ là
∀x∈A: 〈x – p, v – p 〉 ≤ 0 (4.14)

Bạn đọc sẽ chứng minh định lý này ở bài tập 35.

Trong không gian các vectơ tự do điều kiện (4.14) có nghĩa là mọi
vectơ (x-p) lập với vectơ (v-p) một góc α không nhọn (α ≥ π/2).



Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 24
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

x v
α
x p
A

AAA




̀
Hinh 1.4

4.4.3 Các định lý tách

Đn 4.6: Cho A, B là 2 tập con bất kỳ của không gian Euclide X, c∈X, c ≠ 0,
α∈ R. Nếu
∀x∈A, ∀y∈B : 〈c, x〉 ≤ α ≤ 〈c, y〉 (4.15)
thì ta nói siêu phẳng Hα tách A với B.

Khi trong (4.15) chỉ có dấu bất đẵng thức thực sự “ 0, y ≥ }
x
Hai tập này đều là lồi, đóng, rời nhau nhưng không có tập nào compac.
Một siêu phẳng trong R2 tách A với B là đường thẳng y = ε > 0. Nhưng dù
cho ε > 0 nhỏ tới đâu thì đường thẳng y = ε cũng không thể tách hẵn A
với B. Vì bao giờ cũng tìm thấy (x’, y’) ∈ B với y’< ε . Tuy vậy, đường
thẳng y = 0 sẽ tách A với B.

y

y = 1/x B
B
y=ε (x’. y’)
A ε x




̀
Hinh 1.6

4.4.4 Siêu phẳng tựa

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 27
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́


Đn 4.7: Cho A là tập con không rỗng của X, x0∈∂Α. Siêu phẳng
Hα ={x∈X/ 〈c, x〉 = α}
gọi là siêu phẳng tựa của A tại x0 nếu
i) 〈c, x0〉 = α
ii) ∀x∈A: 〈c, x〉 ≤ α (4.22)
Nửa không gian chứa A gọi là nửa không gian tựa của A.




x0 x0 x0

Hα Hα Hα

̀
Hinh 1.7

Tại một điểm biên của A có thể có nhiều siêu phẳng tựa, nếu tại đó
không tồn tại siêu phẳng tiếp xúc. Ngược lại, siêu phẳng tựa sẽ trùng với
siêu phẳng tiếp xúc.

Dựa theo định nghĩa về điểm biên dễ dàng chứng minh các định lý sau
đây:

Đlí 4.10: Tại mỗi điểm biên của tập lồi A đều tồn tại siêu phẳng tựa.

Đlí 4.11: Để cho hai tập con lồi A, B với intA≠∅ có thể tách được bởi
một siêu phẳng thì điều kiện ắt có và đủ là
(intA)∩B = ∅ (4.23)
Chứng minh:
a) Điều kiện cần: Đặt C = (intA) – B. Khi ấy 0∉intC vì (intA)∩B = ∅.
0∈∂C. Theo định lý 4.10 sẽ tồn tại siêu phẳng tựa của C tại 0. Tức là
∃ c≠ 0 để cho
∀z∈C: 〈c,z〉 ≤ 〈c,0〉 = 0.
Suy ra
∀x∈intA, ∀y∈B: 〈c,x〉 - 〈c,y〉 ≤ 0
⇒ ∀x∈intA, ∀y∈B 〈c,x〉 ≤ 〈c,y〉 (4.24)
Khi x∈∂A thi sẽ tồn tại dãy vô hạn {xn} ⊆ intA để cho xn → x khi n → ∞.
Mặt khác theo (4.24)
∀n, ∀y∈B: 〈c, xn〉 ≤ 〈c,y〉
Qua giới hạn ta có
∀y∈B: 〈c, x〉 ≤ 〈c,y〉


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 28
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Vậy ∀x∈A,∀y∈B 〈c,x〉 ≤ 〈c,y〉
⇒ ∀x∈A: 〈c,x〉 ≤ inf〈c,y〉 = α
Do đó ∀x∈A, ∀y∈B: 〈c,x〉 ≤ α ≤ 〈c,y〉 (4.25)
Hay siêu phẳng Hα tách A với B.
2) 0∉∂C. Khi ấy 0 không chứa trong bao đóng của C. Ví vậy, theo định lý
4.8 sẽ có một siêu phẳng qua 0 và để C về một phía. Tức là ta cũng suy ra
được ∀x∈A,∀y∈B: 〈c,x〉 < 〈c,y〉 . Lý luận tương tự như trên ta cũng có
(4.25).
b) Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại siêu phẳng Hα tách A với B. Tức là có
(4.25) với c ≠ 0. Nếu ∃ x’∈(intA)∩B thì theo (4.25)
∀y∈B: 〈c,x’〉 ≤ α ≤ 〈c,y〉
vì x’∈(intA) và
∀x∈A: 〈c,x’〉 ≥ α ≥ 〈c,x〉
vì x’∈B. Vậy 〈c,x’〉 = α. Tức là
∀x∈A, ∀y∈B: 〈c,x〉 ≤ 〈c,x’〉 = α ≤ 〈c,y〉
Thế nhưng, do x’∈(intA) nên sẽ tìm thấy hình cầu tâm x’ bán kinh ε,
S(x’, ε ) chứa hoàn toàn trong A. Chọn x’’∈ S(x’, ε ) với 〈c,x’’〉 < α và
x0 = 2x’- x’’. Khi ấy x 0 − x ' = 2x '− x ''− x ' = x '− x '' < ε . Tức là x0
chứa hoàn toàn trong S(x’, ε ). Suy ra x0∈A. Thế nhưng
〈c,x0〉 = 2〈c,x’〉 - 〈c,x’’〉 = 2α - 〈c,x’’〉 > 2α - α = α.
Tức là 〈c,x0〉 > α. Điều này trái với giả thiết (4.25). Do đó điều kiện cần
thiết là (intA)∩B = ∅ ª

4.5 Định lý Farkas

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản trong không gian
tuyến tính định chuẩn Rn làm cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết qui
hoạch tuyến tính đối ngẫu sau này. Đó là định lý Farkas (hay còn gọi là bổ
đề Farkas-Mincốpski).

Đlí 4.12: Cho B là ma trận cấp (mxn). Nếu v là một vectơ nào đó thuộc Rn
sao cho ∀x∈Rn điều kiện Bx ≤ 0 luôn luôn kéo theo 〈v,x〉 ≤ 0
thì sẽ tồn tại một vectơ u ≥ 0, để cho v = BTu. Tức là v sẽ nằm
trong nón lồi sinh bởi các vectơ hàng của ma trận B.

Trước khi chứng minh định lý 4.12 chúng ta phát biểu mệnh đề tương
đương như sau:

Cho B là ma trận cấp (mxn), v tùy ý thuộc Rn. Hai mệnh đề sau đây
loại trừ nhau:
a) Hệ phương trình BTu = v có lời giải không âm.


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 29
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

b) Hệ bất phương trình {Bx≤ 0, 〈v,x〉 > 0} giải được.

Chứng minh: Đặt K = {w / w = BTu, u ≥ 0}. Theo định lý 4.3 về nón lồi,
đóng thì K là nón lồi, đóng và có mũi tại 0. Ta xét hai trường hợp:
a) v∈K: Khi đó định lý đúng.
b) v∉K: Theo định lý 4.5 sẽ tồn tại duy nhất một hình chiếu p = p(v) lên
K. Đặt c = v – p. Khi đó c ≠ 0. Gọi
Hα = {x∈Rn/ 〈c,x〉 = 〈c,v〉 = α}
là siêu phẳng qua v để K về một phía; tức là
∀w∈K: 〈c,w〉 < α
Nhưng do 0∈K, nên điều kiện này cũng đúng với w = 0. Vì vậy
α>0 (4.26)
Mặt khác, do p∈K và là hỉnh chiếu của v lên K nên theo định lí 4.6 ta có
∀w∈K: 〈w–p,v-p〉 ≤ 0
Hay
∀w∈K: 〈c,w〉 ≤ 〈c,p〉 (4.27)
Do K là nón lồi, nên theo định lý 4.2, với w∈K, p∈K thì (w+p)∈K. Vậy
(4.27) cũng đúng với (w+p) ∀w∈K. Suy ra:
∀w∈K: 〈c, w+p〉 ≤ 〈c,p〉
Tức là
∀w∈K: 〈c, w〉 ≤ 0 (4.28)
Nhưng, nếu w∈K thì sẽ tồn tại u ≥ 0 để cho w = BTu. Khi đó (4.28) trở
thành
∀u ≥ 0: 〈c, BTu 〉 ≤ 0
Hay cũng vậy
∀u ≥ 0: 〈Bc, u 〉 ≤ 0
Để bất đẵng thức này đúng với mọi vectơ u ≥ 0 điều cần thiết là
Bc ≤ 0 (4.29)
Như vậy, với giả thiết v∉ K, tức là không tồn tại vectơ u ≥ 0 để cho v =
BTu, hay v không nằm trong nón lồi sinh bởi các vectơ hàng của B, ta đã
tìm được một vectơ x = c ≠ 0 để cho có (4.29) nhưng 〈v,x〉 = 〈v,c〉 = α > 0
(theo 4.26). Điều này trái với giả thiết. ª

Định lý Farkas được minh hoạt bằng hình vẻ như sau. Cho B được tạo
r r r
thành từ 3 vectơ hàng b1 , b 2 , b3 và v.

r
v
r r
b1 b2
r
b '3


Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 30
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́


r
b3
r r
b '2 b '2
r
x r
b '1
̀
Hinh 1.8

Điều kiện Bx≤ 0 có nghĩa là x phải hợp với các vectơ bi một góc không
nhọn. Vậy để thỏa mãn điều kiện này, x phải nằm trong nón lồi sinh bởi
các vectơ bi’, i = 1,2,3. Khi đó để cho v hợp với các vectơ x này một góc
không nhọn, tức là 〈v,x〉 ≤ 0, thì bắt buộc v phải nằm trong nón lồi sinh
bởi các vectơ bi.

Từ chứng minh này người ta dễ dàng nhận thấy rằng, nếu mệnh đề a)
đúng, tức là v nằm trong nón lồi K, thì v sẽ hợp với mọi vectơ x thỏa mãn
Bx ≤ 0 một góc không nhọn, tức là mệnh đề b) sai. Ngược lại, nếu mệnh
đề a) sai, tức là v∉ K, thì sẽ có ít nhất một vectơ x với Bx ≤ 0 nhưng v
hợp với x một góc nhọn (〈v,x〉 > 0), tức là mệnh đề b) đúng.

§ 5 Cấu trúc của tập lồi đa diện (trong Rn)

5.1 Khái niệm về diện

Đn 5.1: Một tập con F không rỗng của một tập lồi A trong không gian
mêtric X được gọi là một diện của A nếu
i) F là lồi
ii) F chứa mọi đường thẳng nhận nhận một điểm x bất kỳ
thuộc F làm điểm trong (thực sự) của đoạn thẳng đó. Tức là
∀x∈ F, nếu ∃ y, z∈ F và λ, 0 < λ < 1, sao cho
x = λy + (1 - λ)z
thì toàn bộ đoạn thẳng [y, z]đều chứa trong F.

Ví dụ về diện:
1) Mọi tập lồi đều là diện của chính nó
2) Diện của một “tứ diện lồi” S.ABCD
S

M

A N
C

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 31
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́


B P

̀
Hinh 1.9

Dễ thấy rằng mỗi đỉnh S, A, B, C đều là một diện; mỗi cạnh SA, SB,
SC, AB, AC, BC đều là một diện; mỗi tam giác SAB, SAC, SBC, ABC
đều là diện. Như vậy hình “tứ diện” thông thường trong hình học không
gian ở phổ thông thực chất là hình 15 diện (bản thân S.ABC là một diện
của chính nó) theo nghĩa giải tích lồi. Các diểm M, N,P, các đoạn thẳng
MN, MP, NP và thiết diện MNP không phải là diện.

Người ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau đây:

1) Mọi diện của một tập lồi, đóng đều là những tập đóng.
2) Ký hiệu Ax là giao của tất cả các diện của A chứa x∈A (hiễn
nhiên đó cũng là một diện của A chứa x) diện nhỏ nhất của A
chứa x. Khi đó
Ax = {x}∪{y∈A / ∃ z∈A: x ∈ (y, z)9}
3) Nếu F là diện của A và x∈F thì Fx = Ax.
4) Nếu F là diện của G và G là diện của A thì F cũng là diện của
A. (Ví dụ: Xét tứ diện S.ABC và tứ diện con M.NPC. Mặt dù
tam giác MNP là diện của tứ diện con M.NPC, nhưng tứ diện
này không phải là diện của tứ diện ban đầu S.ABC. Vì vậy tam
giác MNP không phải là diện của S.ABC như đã nhận định ở
trang trên).
5) Cho F1, F2 là diện của A với F1⊂ F2, tức là ∃ x∈F2 nhưng x∉F1.
Khi đó dim F1 < dim F2.

Từ tính chất 5) suy ra nếu dimA = m thì mọi diện của A sẽ có thứ
nguyên bằng m-1, m-2, ...., 2, 1, 0. Ở ví dụ trên, thứ nguyên của S.ABC
bằng 3, thì các diện của nó chỉ có thể có thứ nguyên là 2, 1 và 0.

Đlí 5.1: Giao của một tập lồi A với một siêu phẳng tựa của nó là một
diện của A.

Chứng minh:(Bạn đọc sẽ chứng minh định lý này trong bài tập số 28)

5.2 Tập lồi đa diện trong Rn




9
Đường thẳng [y,z] nhận x làm điểm trong thực sự

Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
́ ́ ̣ ̣ 32
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh
́ ̣ ́ ́

Giả sử Ai, i = 1,2,...,m, là m vectơ, n thành phần; bi, i = 1,2,..., m, là m
số thực. Xét tập hợp các vectơ x∈ Rn cho bởi hệ hỗn hợp phương trình và
bất phương trình sau đây:

 A i , x ≤ bi i = 1, 2,...m1;
 (5.1)

 A i , x = bi ,i = m1 + 1, m1 + 2,.....m;
 (5.2)

Ký hiệu M là tập các điểm x thỏa mãn hệ (5.1), (5.2) và giả sử M ≠ ∅.
Khi ấy dễ thấy rằng M là tập lồi và là tập đóng vì nó là giao của m1 nửa
không gian đóng và m-m1 siêu phẳng. Tập M như vậy gọi là tập lồi đa
diện.

• Nếu m1 = 0, thì M là giao của m siêu phẳng và theo định lý 4.4 thì M
cũng là một đa tạp afin thứ nguyên n-r, trong đó r là số vectơ độc lập
tuyến tính trong số m vectơ Ai.
• Nếu M không rỗng và bị chặn nó được gọi là một đa diện lồi.
• Các bất phương trình và phương trình ở (5.1), (5.2) gọi là các ràng
buộc xác định M.

Đn 5.2: Ràng buộc i, 1 ≤ i ≤ m, được gọi là chặt, nếu nó được thỏa mãn
thành đẵng thức đối với mọi x∈M.
Ràng buộc i’, 1 ≤ i ≤ m, được gọi là không chặt hoặc lỏng, nếu
có ít nhất một xo∈M để cho 〈Ai’,xo〉
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản