Chương 2: Định thức

Chia sẻ: Vi Chiến Thắng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:38

1
472
lượt xem
142
download

Chương 2: Định thức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định thức, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ lệ xích cho thể tích khi A được coi là một biến đổi tuyến tính. Định thức được sử dụng để giải (và biện luận) các hệ phương trình đại số tuyến tính. Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận bằng 0, ma trận này được gọi là ma trận suy biến, nếu định thức...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Định thức

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng --------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2010) www.tanbachkhoa.edu.vn
  2. NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II – Tính chất của định thức. III – Dùng định thức tìm ma trận nghịch đảo. Tài liệu tham khảo: Anton Howard. Elementary linear algebra with applications. Ninth edition.
  3. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------- Cho A = ( aij ) n×n là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det A) = aij n×n = A ( Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; ij Bù đnghĩa bù a ại ần cử a ij là đạửlượngAij = (−1)i + j M ij Định ại số củ đ phsố t ủ a phần t i a
  4. I. Định nghĩa và ví dụ  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Định nghĩa định thức bằng qui nạp a) k =1: A = [ a11 ] → A = a11  a11 a12  b) k =2: A =   → A = a11a22 − a12 a21 = a11 A11 + a12 A12  a21 a22   a11 a12 a13  c) k =3: A =  a21 a22  a23  → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13   a31 a32  a33   ...............  a11 a12 L a1n  d) k =n:A =   → A = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n  * 
  5. I. Định nghĩa và ví dụ  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ 1 2 − 3 Tính det (A), với A = 2 3 0    3 2 4    Giải A = 1⋅ A11 + 2 ⋅ A12 + (−3) ⋅ A13 1 2 −3 1+1 1+1 3 0 A11 = (−1) 2 3 0 = (−1) = 12 2 4 3 2 4 1+1 3 0 1+ 2 2 0 1+3 2 3 A = 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) + (−3) ⋅ (−1) 2 4 3 4 3 2 A = 12 − 16 + 15 = 11
  6. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------- 1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó * A = ai1 ai 2 L ain = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain * a1 j * a2 j * A= = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj L anj
  7. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ 3 − 1 3  Tính định thức det (A), với A = 5 2 2   4 0 0    Giải. Khai triển theo hàng thứ 3 3 −1 3 3 −1 3 3+1 3+1 − 1 3 A = 5 2 2 = 4 ⋅ (−1) 5 2 2 = 4 ⋅ (−1) = −32 2 2 4 0 0 4 0 0
  8. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ  2 −3 3 2  3 0 1 4 Tính định thức det (A), với A =    −2 0 3 2  4 0 −1 5  
  9. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Giải Khai triển theo cột thứ hai 2 −3 3 2 3 0 1 4 A= = (−3) ⋅ A12 + 0 ⋅ A22 + 0 ⋅ A32 + 0 ⋅ A42 = −3 A12 −2 0 3 2 4 0 −1 5 3 1 4 A = 3 −2 3 2 = L = 87 4 −1 5
  10. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. Ví dụ 2 −1 3 0 4 0 −3 6 7 1 A=0 0 5 2 8 = 2 ⋅ (−3) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅1 = −120 0 0 0 4 9 0 0 0 0 1
  11. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức h →α h 1.Nếu A    B thì i i → | B |= α | A | hi →hi + β h j 2.Nếu A  B thì → | B |=| A | hi ↔ h j 3. Nếu A → B thì | B |= − | A |
  12. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác. Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
  13. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức  1 1 2 −1    2 A= 3 5 0  3 2 6 − 2  − 2   1 3 1 
  14. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Giải 1 1 2 − 1 h2 → h2 − 2h1 1 1 2 −1 2 3 5 0 h3 → h3 − 3h1 0 1 1 2 | A |= 3 2 6 −2 0 −1 0 1 h4 → h4 + 2h1 −2 1 3 1 0 3 7 −1 1 1 2 Khai triển theo cột đầu tiên | A| 1 ⋅ (−1)1+1 − 1 0 1 3 7 −1 1 1 2 1+ 2 − 1 1 | A |= − 1 0 1 = 1 ⋅ (−1) = −19 − 4 − 15 − 4 0 − 15
  15. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức  3 2 −1 1     2 3 −2 0  A= −3 1 4 − 2   4   1 3 1  
  16. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Giải 3 2 −1 1 3 2 −1 1 2 3 − 2 0 h3 → h3 + 2h1 2 3 −2 0 | A |= −3 1 4 − 2 h4 → h4 − h1 3 5 2 0 4 1 3 1 1 −1 4 0 2 3 −2 Khai triển theo cột số 4 | A| 1 ⋅ (−1)1+ 4 3 5 2 1 −1 4 2 3 −2 1+3 5 8 | A |= − 5 8 0 = −(−2) ⋅ (−1) = −30 5 5 5 5 0
  17. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0 Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0 Chú ý: det(A+B) ≠ det(A) + det(B).
  18. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0. Chứng minh Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) ≠ 0 Giả sử det(A) ≠ 0. Khi đó T  A11 A12 L A1n  1 A A22 L A2 n  A−1 = PA , với PA =  21  A  M M M  A An 2 L Ann   n1 
  19. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  *     a j1 a j1 L a j1  A= *     ai1 ai1 L ai1   *    | A |, i = j ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + L + ain A jn =   0, i ≠ j  *     a j1 a j1 L a j1  B= *     a j1 a j1 L a j1   *   
  20. II. Tính chất của định thức ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Tính chất của ma trận nghịch đảo −1 1 1. det( A ) = det( A) n −1 2. Nếu A khả nghịch, thì det( PA ) = (det( A)) Chứng minh.
Đồng bộ tài khoản