Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chia sẻ: Ngo Van Cong | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:26

0
446
lượt xem
167
download

Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:Các khái niệm hệ phương trình Crame, Phương pháp Gauss,hệ phương trình Thuần nhất, Một số ứng dụng

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

  1. C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 1 Các khái niệm 2 2 HPTTT Crame 3 3 Phương pháp Gauss 4 4 HPTTT Thuần nhất 4 4 Một số ứng dụng 1
  2. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:  a x1 + a x 2 + = ... a1n xn b1 xj là biến  11 12  a21x1 + a22 x 2 + ... a2n xn = b2 aij được gọi là  ... hệ số (của ẩn) ... ... ... ...  a x + a x + ... amn xn = bm bi: được gọi là  m1 1 m2 2 hệ số tự do 2
  3. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  a11 a12 ... a1n   a21 a22 ... a2n  2. Ma trận các hệ số: A =   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn    3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:  x1  b1  x  b   2  = [ x1 x 2 ... xn ] T B =  2  = [ b1 b2 ... bm ] T X= ...  ...     xn  bm  Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 3
  4. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung:  a11 a12 ... a1n b1  a a2n b2  a22 ...  21  A=  ... ... ...  ... ...   am1 am2 ... amn bm  4
  5. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm: ax1 + x 2 + x3 = 1  x1 + ax 2 + x3 = 1 x + x + ax = 1 1 2 3 5
  6. II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là: det( A j ) xj = det( A ) Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 6
  7. II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x1 + 2x 3 = 6  − 3 x1 + 4 x 2 + 6 x3 = 30  − x − 2x + 3 x = 8  1 2 3 7
  8. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận các hệ số bằng không. 3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.  a11 a12 ... a1n b1  a ... a2n b2  a22  21  A=  ...  ... ... ...   am1 am2 ... amn bm  8
  9. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS • m = n: a'11 a'12 ... a'1n b'1   0 a' ... a'2n b'2    22 A→  ...  ... ... ...   0 0 ... a'nn b'm   a11x1 + a12 x 2 + ... a1n xn = b'1 ' ' '  a'22 x 2 + ... a'2n xn = b'2   ... ... ... ... ...   ' ... ann xn = b'n  9
  10. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x1 + 4 x 2 + 3 x3 = 4  3 x1 + x 2 − 2x3 = − 2 4 x + 11x + 7 x = 7 1 2 3 10
  11. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.1. Định nghĩa:  a x1 + a x 2 + a1n xn =0 ...  11 12  a21x1 + a22 x 2 ... + a2n xn =0   ... ... ... ... a x + a x ... + amn xn =0  m1 1 m2 2 Hệ luôn có nghiệm tầm thường 0  0    = [ 0 0 ... 0] T X= ... 0   11
  12. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.2. Phương pháp giải: Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số. Ví dụ:  x1 + 2x 2 + 4 x3 − 3x 4 = 0 3 x + 5 x + 6 x3 − 4x 4 = 0 1 2  4 x1 + 5 x 2 − 2x3 + 3 x3 = 0 3 x1 + 8 x 2 + 24 x3 − 19 x 4 = 0  12
  13. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4 − 3 4 − 3 −3H1+H2  1 2 1 2  − 4H1+H3 0 − 1 − 6 5 3 6 − 4 −3H1+H4  5      → 0 − 3 − 18 15  5 −2 4 3 0 12 − 10  3  8 24 − 19  2    2H2 +H1 0 −8 7  1 −3H2 +H3 2H2 +H4 0 1 6 − 5 −H2    →   0 0 00 0 0 00   13
  14. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.  x1 − 8 x3 + 7 x 4 = 0  x 2 + 6 x 3 + − 5 x 4 = 0  x1 = 8 x3 − 7 x 4  x 2 = − 6 x 3 + 5 x 4 14
  15. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn. x1 x2 ... xk xk+1 xk+2 … xn c11 c12 … c1k 1 0 ... 0 c11 c12 … c1k 0 1 ... 0 ... ... ... ... cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 ... 1 Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. 15
  16. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau: x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4 8 -6 1 0 -7 5 0 1 16
  17. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.1. Mô hình cân bằng thị trường: 1. Thị trường 1 loại hàng hóa: Hàm cung : Qs = -a0 + a1P Hàm cầu : Qd = b0 - b1P ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm • Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0) Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = 3 - P 17
  18. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 2. Thị trường 2 loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Qs1 = a10 + a11P1 + a12P2 Qd1 = b10 + b11P1 + b12P2 • Sản phẩm 2: Qs2 = a20 + a21P1 + a22P2 Qd2 = b20 + b21P1 + b22P2 Qs1 = Qd1  Mô hình cân bằng:  Qs2 = Qd2  18
  19. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG • Hệ phương trình cân bằng: (a11 − b11)P1 + (a12 − b12 )P2 = −(a10 − b10 )  (a21 − b21)P1 + (a22 − b22 )P2 = −(a20 − b20 ) c11P1 + c12P2 = −c10  c 21P1 + c 22P2 = −c 20 Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau: • Sản phẩm 1: Qs = − 2 + 3P1 1 Qd1 = 10 − 2P1 + P2 • Sản phẩm 2: Qs2 = − 1 + 2P1 Qd2 = 15 + P1 − P2 19
  20. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3. Thị trường n loại hàng hóa: • Sản phẩm i: Qsi = ai0 + ai1P1 + ai2P2 + ... + ainPn   Qdi = bi0 + bi1P1 + bi2P2 + ... + binPn  • Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij) c11P1 + c12P2 + ... + c1nPn = −c10 c P + c P + ... + c P = −c  21 1 22 2 2n n 20  .......... .......... .......... .......... ......... cn1P1 + c n2P2 + ... + cnnPn = −cn0  20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản