Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chia sẻ: cong12121992

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:Các khái niệm hệ phương trình Crame, Phương pháp Gauss,hệ phương trình Thuần nhất, Một số ứng dụng

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

 

  1. C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 1 Các khái niệm 2 2 HPTTT Crame 3 3 Phương pháp Gauss 4 4 HPTTT Thuần nhất 4 4 Một số ứng dụng 1
  2. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:  a x1 + a x 2 + = ... a1n xn b1 xj là biến  11 12  a21x1 + a22 x 2 + ... a2n xn = b2 aij được gọi là  ... hệ số (của ẩn) ... ... ... ...  a x + a x + ... amn xn = bm bi: được gọi là  m1 1 m2 2 hệ số tự do 2
  3. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  a11 a12 ... a1n   a21 a22 ... a2n  2. Ma trận các hệ số: A =   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn    3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:  x1  b1  x  b   2  = [ x1 x 2 ... xn ] T B =  2  = [ b1 b2 ... bm ] T X= ...  ...     xn  bm  Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 3
  4. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung:  a11 a12 ... a1n b1  a a2n b2  a22 ...  21  A=  ... ... ...  ... ...   am1 am2 ... amn bm  4
  5. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm: ax1 + x 2 + x3 = 1  x1 + ax 2 + x3 = 1 x + x + ax = 1 1 2 3 5
  6. II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là: det( A j ) xj = det( A ) Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 6
  7. II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x1 + 2x 3 = 6  − 3 x1 + 4 x 2 + 6 x3 = 30  − x − 2x + 3 x = 8  1 2 3 7
  8. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận các hệ số bằng không. 3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.  a11 a12 ... a1n b1  a ... a2n b2  a22  21  A=  ...  ... ... ...   am1 am2 ... amn bm  8
  9. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS • m = n: a'11 a'12 ... a'1n b'1   0 a' ... a'2n b'2    22 A→  ...  ... ... ...   0 0 ... a'nn b'm   a11x1 + a12 x 2 + ... a1n xn = b'1 ' ' '  a'22 x 2 + ... a'2n xn = b'2   ... ... ... ... ...   ' ... ann xn = b'n  9
  10. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x1 + 4 x 2 + 3 x3 = 4  3 x1 + x 2 − 2x3 = − 2 4 x + 11x + 7 x = 7 1 2 3 10
  11. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.1. Định nghĩa:  a x1 + a x 2 + a1n xn =0 ...  11 12  a21x1 + a22 x 2 ... + a2n xn =0   ... ... ... ... a x + a x ... + amn xn =0  m1 1 m2 2 Hệ luôn có nghiệm tầm thường 0  0    = [ 0 0 ... 0] T X= ... 0   11
  12. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.2. Phương pháp giải: Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số. Ví dụ:  x1 + 2x 2 + 4 x3 − 3x 4 = 0 3 x + 5 x + 6 x3 − 4x 4 = 0 1 2  4 x1 + 5 x 2 − 2x3 + 3 x3 = 0 3 x1 + 8 x 2 + 24 x3 − 19 x 4 = 0  12
  13. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4 − 3 4 − 3 −3H1+H2  1 2 1 2  − 4H1+H3 0 − 1 − 6 5 3 6 − 4 −3H1+H4  5      → 0 − 3 − 18 15  5 −2 4 3 0 12 − 10  3  8 24 − 19  2    2H2 +H1 0 −8 7  1 −3H2 +H3 2H2 +H4 0 1 6 − 5 −H2    →   0 0 00 0 0 00   13
  14. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.  x1 − 8 x3 + 7 x 4 = 0  x 2 + 6 x 3 + − 5 x 4 = 0  x1 = 8 x3 − 7 x 4  x 2 = − 6 x 3 + 5 x 4 14
  15. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn. x1 x2 ... xk xk+1 xk+2 … xn c11 c12 … c1k 1 0 ... 0 c11 c12 … c1k 0 1 ... 0 ... ... ... ... cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 ... 1 Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. 15
  16. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau: x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4 8 -6 1 0 -7 5 0 1 16
  17. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.1. Mô hình cân bằng thị trường: 1. Thị trường 1 loại hàng hóa: Hàm cung : Qs = -a0 + a1P Hàm cầu : Qd = b0 - b1P ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm • Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0) Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = 3 - P 17
  18. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 2. Thị trường 2 loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Qs1 = a10 + a11P1 + a12P2 Qd1 = b10 + b11P1 + b12P2 • Sản phẩm 2: Qs2 = a20 + a21P1 + a22P2 Qd2 = b20 + b21P1 + b22P2 Qs1 = Qd1  Mô hình cân bằng:  Qs2 = Qd2  18
  19. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG • Hệ phương trình cân bằng: (a11 − b11)P1 + (a12 − b12 )P2 = −(a10 − b10 )  (a21 − b21)P1 + (a22 − b22 )P2 = −(a20 − b20 ) c11P1 + c12P2 = −c10  c 21P1 + c 22P2 = −c 20 Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau: • Sản phẩm 1: Qs = − 2 + 3P1 1 Qd1 = 10 − 2P1 + P2 • Sản phẩm 2: Qs2 = − 1 + 2P1 Qd2 = 15 + P1 − P2 19
  20. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3. Thị trường n loại hàng hóa: • Sản phẩm i: Qsi = ai0 + ai1P1 + ai2P2 + ... + ainPn   Qdi = bi0 + bi1P1 + bi2P2 + ... + binPn  • Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij) c11P1 + c12P2 + ... + c1nPn = −c10 c P + c P + ... + c P = −c  21 1 22 2 2n n 20  .......... .......... .......... .......... ......... cn1P1 + c n2P2 + ... + cnnPn = −cn0  20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản