Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chia sẻ: cong12121992

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:Các khái niệm hệ phương trình Crame, Phương pháp Gauss,hệ phương trình Thuần nhất, Một số ứng dụng

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 2 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1
1 Các khái niệm

2
2 HPTTT Crame

3
3 Phương pháp Gauss

4
4 HPTTT Thuần nhất

4
4 Một số ứng dụng



1
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất
gồm m phương trình n ẩn có dạng:
 a x1 + a x 2 + =
... a1n xn b1 xj là biến
 11 12
 a21x1 + a22 x 2 + ... a2n xn = b2 aij được gọi là

... hệ số (của ẩn)
... ... ... ...

a x + a x + ... amn xn = bm bi: được gọi là
 m1 1 m2 2
hệ số tự do



2
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
 a11 a12 ... a1n 
 a21 a22 ... a2n 
2. Ma trận các hệ số: A =  
... ... ... ...
 
am1 am2 ... amn 
 
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự
do:
 x1  b1 
x  b 
 2  = [ x1 x 2 ... xn ] T B =  2  = [ b1 b2 ... bm ] T
X=
...  ... 
 
 xn  bm 
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
3
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung:
 a11 a12 ... a1n b1 
a a2n b2 
a22 ...
 21 
A=
 ... ... ... 
... ...
 
am1 am2 ... amn bm 




4
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm:
• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương
trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .
Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:
ax1 + x 2 + x3 = 1

x1 + ax 2 + x3 = 1
x + x + ax = 1
1 2 3



5
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ
phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định
thức của ma trận hệ số khác không.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm
duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:
det( A j )
xj =
det( A )
Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột
thứ j bằng cột các phần tử tự do.

6
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
 x1 + 2x 3 = 6

− 3 x1 + 4 x 2 + 6 x3 = 30
 − x − 2x + 3 x = 8
 1 2 3




7
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số
phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận
các hệ số bằng không.
3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma
trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.
 a11 a12 ... a1n b1 
a ... a2n b2 
a22
 21 
A=
 ... 
... ... ...
 
am1 am2 ... amn bm 

8
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
• m = n:
a'11 a'12 ... a'1n b'1 
 0 a' ... a'2n b'2 
 
22
A→
 ... 
... ... ...
 
0 0 ... a'nn b'm 


a11x1 + a12 x 2 + ... a1n xn = b'1
' ' '

a'22 x 2 + ... a'2n xn = b'2


... ... ... ... ...

 '
... ann xn = b'n

9
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
2x1 + 4 x 2 + 3 x3 = 4

3 x1 + x 2 − 2x3 = − 2
4 x + 11x + 7 x = 7
1 2 3




10
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.1. Định nghĩa:
 a x1 + a x 2 + a1n xn =0
...
 11 12
 a21x1 + a22 x 2 ... + a2n xn =0

 ... ... ... ...
a x + a x ... + amn xn =0
 m1 1 m2 2
Hệ luôn có nghiệm tầm thường
0 
0 
  = [ 0 0 ... 0] T
X=
...
0 
 11
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.2. Phương pháp giải:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có
nghiệm tầm thường.
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k
tham số.
Ví dụ:
 x1 + 2x 2 + 4 x3 − 3x 4 = 0
3 x + 5 x + 6 x3 − 4x 4 = 0
1 2

4 x1 + 5 x 2 − 2x3 + 3 x3 = 0
3 x1 + 8 x 2 + 24 x3 − 19 x 4 = 0
 12
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4 − 3
4 − 3 −3H1+H2  1 2
1 2
 − 4H1+H3 0 − 1 − 6 5
3 6 − 4 −3H1+H4 
5 
    →
0 − 3 − 18 15 
5 −2
4 3
0 12 − 10 
3 
8 24 − 19  2
 

2H2 +H1
0 −8 7 
1
−3H2 +H3
2H2 +H4
0 1 6 − 5
−H2
   → 

0 0
00
0 0
00
 
13
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số
nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.
 x1 − 8 x3 + 7 x 4 = 0

x 2 + 6 x 3 + − 5 x 4 = 0

 x1 = 8 x3 − 7 x 4

x 2 = − 6 x 3 + 5 x 4




14
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ
có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham
số đó là xk+1, … xn.
x1 x2 ... xk xk+1 xk+2 … xn
c11 c12 … c1k 1 0 ... 0
c11 c12 … c1k 0 1 ... 0
... ... ... ...
cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 ... 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất.
15
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm
cơ bản như sau:
x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4
8 -6 1 0
-7 5 0 1




16
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.1. Mô hình cân bằng thị trường:
1. Thị trường 1 loại hàng hóa:
Hàm cung : Qs = -a0 + a1P
Hàm cầu : Qd = b0 - b1P
ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm
• Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0)
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:
Hàm cung : Qs = -1 + P
Hàm cầu : Qd = 3 - P
17
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
2. Thị trường 2 loại hàng hóa:
• Sản phẩm 1:
Qs1 = a10 + a11P1 + a12P2
Qd1 = b10 + b11P1 + b12P2
• Sản phẩm 2:
Qs2 = a20 + a21P1 + a22P2
Qd2 = b20 + b21P1 + b22P2

Qs1 = Qd1

Mô hình cân bằng: 
Qs2 = Qd2

18
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
• Hệ phương trình cân bằng:
(a11 − b11)P1 + (a12 − b12 )P2 = −(a10 − b10 )

(a21 − b21)P1 + (a22 − b22 )P2 = −(a20 − b20 )
c11P1 + c12P2 = −c10

c 21P1 + c 22P2 = −c 20
Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau:
• Sản phẩm 1: Qs = − 2 + 3P1
1
Qd1 = 10 − 2P1 + P2
• Sản phẩm 2: Qs2 = − 1 + 2P1
Qd2 = 15 + P1 − P2 19
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
3. Thị trường n loại hàng hóa:
• Sản phẩm i:
Qsi = ai0 + ai1P1 + ai2P2 + ... + ainPn


Qdi = bi0 + bi1P1 + bi2P2 + ... + binPn

• Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij)
c11P1 + c12P2 + ... + c1nPn = −c10
c P + c P + ... + c P = −c
 21 1 22 2 2n n 20

.......... .......... .......... .......... .........
cn1P1 + c n2P2 + ... + cnnPn = −cn0

20
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm:
Qs1 = 8 − 2P1 + P2 + P3


Qd1 = −5 + 4P1 − P2 − P3

Qs2 = 10 + P1 − 2P2 + P3


Qd2 = −2 − P1 + 4P2 − P3

Qs3 = 14 + P1 + P2 − 2P3


Qd3 = −1 − P1 − P2 + 4P3


21
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O):
Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất
Tổng cầu ngành:
- Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là
yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách.
- Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ
cho hộ gia đình, chính phù và xuất khẩu.




22
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
xi : tổng cầu của ngành I
xịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành I mà
ngành j làm yếu tố đầu vào.
bi : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng
và xuất khẩu.
Tổng cầu của ngành i:
xi = xi1 + xi2 + ... + xin + bi
xi1 x i2 xin
xi = x1 + x 2 + ... + xn + bi
x1 x2 xn



23
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
x1 = a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn + b1
x = a x + a x + ... + a x + b
xij 2 21 1 22 2 2n n 2
Đặt: aij = 
.......... .......... .......... .......... .......... ....
xi
xn = an1x1 + an2 x 2 + ... + ann xn + bn


(1 − a11)x1 − a12 x 2 − ... − a1n xn = b1
− a x + (1 − a )x − ... − a x = b
 21 1 22 2 2n n 2

.......... .......... .......... .......... .......... ....
− an1x1 − an2 x 2 − ...(1 − ann )xn = bn

24
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
 a11 a12 ... a1n 
a21 a22 ... a2n 
= >(I − A )X = B
A= 
 ... ... ... ...

 an1 am2 ... ann 
 

• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử
dụng
• [I-A] là ma trận Leontief.
25
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
 a11 a12 ... a1n 
a21 a22 ... a2n 
= >(I − A )X = B
A= 
 ... ... ... ...

 an1 am2 ... ann 
 

• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử
dụng
• [I-A] là ma trận Leontief.
26
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản