CHƯƠNG 2: MA TRẬN

Chia sẻ: hikaru28

Ma trận [A] gọi là đối xứng nếu [A]T = [A]  Cho một ma trận vuông [A], cấp n. Ta nói ma trận [A] không suy biến  (non  singular)  nếu  ma  trận  có  thể  nghịch  đảo  được  hay  nói  cách  khác,  định  thức của ma trận khác không.      Ma  trận  Hermite  là  một  ma  trận  vuông  có  các  phần  tử  là  số  phức  bằng chuyển vị liên hợp của nó, nghĩa là phần tử ở hàng i cột j bằng số phức  liên  hợp  của  phân  tử  ở  hàng  j  cột  i  ⎡ A∗ ⎤ = ⎡ A ⎤ .  Ví  dụ  ma  trận  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 + j⎤ ⎡ 3  là ma trận Hermite.  [A] = ⎢ 2−j 1 ⎥ ⎣ ⎦ T      Ma trận Householder là một ma trận vuông dạng:  2 [ H] = [E ] − T [ U ][ U ]T   [U]...

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: CHƯƠNG 2: MA TRẬN

CHƯƠNG 2: MA TRẬN 
 
§1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM 
   Ma trận [A] gọi là đối xứng nếu [A]T = [A] 
 Cho một ma trận vuông [A], cấp n. Ta nói ma trận [A] không suy biến 
(non  singular)  nếu  ma  trận  có  thể  nghịch  đảo  được  hay  nói  cách  khác,  định 
thức của ma trận khác không. 
    Ma  trận  Hermite  là  một  ma  trận  vuông  có  các  phần  tử  là  số  phức 
bằng chuyển vị liên hợp của nó, nghĩa là phần tử ở hàng i cột j bằng số phức 
T
liên  hợp  của  phân  tử  ở  hàng  j  cột  i  ⎡ A∗ ⎤ = ⎡ A ⎤ .  Ví  dụ  ma  trận 
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 3 2 + j⎤
[A] = ⎢  là ma trận Hermite. 
⎣ 2−j 1 ⎥⎦
   Ma trận Householder là một ma trận vuông dạng: 
2
  [ H] = [E ] − T [ U ][ U ]T  
[U] [U]
Trong đó v là vec tơ cột khác zero 
 Ma trận [A] gọi là trực giao nếu [A]T[A] = [E] 
T
 Ma trận phức [U] gọi là ma trận unita nếu  ⎡ U ⎤ ⎡ U∗ ⎤ = ⎡E ⎤ . Ví dụ ma 
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 1 + j −1 + j ⎤
⎢ 2 2 ⎥
trận  [ U ] = ⎢ ⎥  là ma trận unita 
⎢ 1+ j 1− j ⎥
⎢ 2
⎣ 2 ⎥ ⎦
 Một ma trận chỉ có một cột gọi là một vec tơ 
   Chuẩn của một vec tơ X, kí hiệu là  X , là một số thực thoả mãn: 
    ‐  X  > 0 
    ‐  cX = c X  
    ‐  X + Y ≤ X + Y  
  Giả thiết X = [x1, x2,…,xn]T, ta thường dùng một trong 3 chuẩn sau đây: 
    ‐  X 1 = max x j  
j
n
    ‐  X 2 = ∑ x j  
j=1




58
n

∑ xj  
2
    ‐  X 3 =
j=1

   Chuẩn của một ma trận [A], kí hiệu là  A , là một số thực thoả mãn: 
‐  A  > 0 
    ‐  cA = c A  
    ‐  A + B ≤ A + B  
    ‐  AB ≤ A B  
Ta thường dùng một trong 3 chuẩn sau đây: 
n
    ‐  A 1 = max ∑ a i ,j  
i
j=1
n
    ‐  A 1 = max ∑ a i ,j  
j
i =1
n

∑ a i ,j  
2
    ‐  A 3 =
i ,j=1

   Ma trận [A] gọi là xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có:  
    [ x]T[ A][ x] > 0  
   Ma trận [A] gọi là nửa xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có:  
    [ x ]T[ A ][ x] ≥ 0  
Ta định nghĩa ma trận xác định âm và nửa xác định âm một cách tương 
tự. 
 Hạng của ma trận là cấp của ma trận con của ma trận ấy có định thức 
khác  không  còn  mọi  ma  trận  con  cấp  cao  hơn  đều  có  định  thưc  bằng 
không(ma trận con là ma trận có được bằng cách xoá một số hàng và cột của 
ma trận ban đầu). 
 
§2. BIẾN ĐỔI HOUSEHOLDER  
1.  Ma  trận  Householder:  Ta  biến  đổi  ma  trận  [A]  về  dạng  có  các  phần  tử 
thuộc  đường  chéo  chính,  các  phần  tử  phía  trên  và  phía  dưới  đường  chéo 
chính  khác  zero,  còn  các  phần  tử  còn  lại  bằng  zero(ma  trận  ba  đường  chéo) 
bằng cách dùng phép biến đổi Householder. 
  Phép biến đổi Householder dùng ma trận Householder. 
[ U ][ U ]T    
  [ H] = [ E] −             (1) 
Q


59
Trong đó: 
1 1
Q = [ U ] [ U ] = [ U ]   
T 2
              (2) 
2 2
Do [H] đối xứng nên: 
   
⎛ [ U ][ U ]T ⎞⎛ E − [ U][ U]T ⎞
  [ H] [ H] = [ H][ H] = ⎜ [ E] −
T
⎟⎜ [ ] ⎟     
⎝ Q ⎠⎝ Q ⎠

                         = [ E ] − 2
( T
)
[ U ][ U]T + [ U ] [ U ][ U ] [ U ]  
T


Q Q2

                        = [ E ] − 2
[ U ][ U ]T + [ U] ( 2Q ) [ U ]T = E  
2 [ ]
Q Q
Từ đây ta thấy [H] cũng là ma trận trực giao. 
  Cho [X] là vec tơ bất kỳ và khảo sát phép biến đổi [H][X]. Chọn: 
  [U] = [X] + k[I1]                  (3) 
Trong đó: 
k = ± [X]     [I1 ] = ⎡1
T
  ⎣ 0 L 0⎤  
⎦          
Ta có: 
[ U ][ U ]T ⎞ X = ⎧ E − [ U] ([ X ] + k [ I1 ]) ⎫ X  
T
⎛ ⎪ ⎪
  [ H][ X ] = ⎜ [E] − ⎟ [ ] ⎨[ ] ⎬[ ]
⎝ Q ⎠ ⎪ Q ⎪
⎩ ⎭
[ U ] ([ X ]T[ X ] + k [ I1 ] [ X ]) [ U ] ( k 2 + k[ X1 ])
T

  = [X] − = [X] −  
Q Q
Nhưng: 
 
2
( T T
)
2Q = ([ X ] + k [ I1 ]) ([ X ] + k [ I1 ]) = [ X ] + k [ X ] [ I1 ] + [ I1 ] [ X ] + k 2 [ I1 ] [ I1 ]  
T T


= k 2 + 2kx1 + k 2 = 2(k 2 + kx1 )  
Như vậy: 
[ H][ X ] = [ X ] − [ U ] = −k [ I1 ] = ⎡−k 0 0 L 0⎤  
T
  ⎣ ⎦     (4) 
nghĩa là phép biến đổi loại trừ tất cả các phần tử của [X] trừ phần tử đầu tiên. 
2.  Biến  đổi  Householder  một  ma  trận  đối  xứng:  Bây  giờ  ta  áp  dụng  phép 
biến đổi cho ma trận [A] đối xứng: 
⎡ 1 [ 0 ]T ⎤ ⎡ a11 [ X ]T ⎤ ⎡ a11 [ X ]T ⎤
  ⎡P1 ⎤[ A ] = ⎢
⎣ ⎦ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥      (5) 
⎣[ 0] [ H] ⎦ ⎣[ X ] [ A′] ⎦ ⎣[ H][ X ] [ H][ A′]⎦


60
Trong đó [X] là cột đầu tiên của [A] với phần tử đầu tiên bị bỏ đi. [A’] có được 
từ [A] bằng cách bỏ đi cột và hàng đầu tiên. Ma trận [H] cấp (n ‐1) được xây 
dựng  theo  các  công  thức  (1)  ÷  (3).  Do  (4)  ta  thấy  phép  biến  đổi  này  làm  cột 
đầu tiên của [A] trở thành: 
⎡a11 ⎤
⎢ −k ⎥
⎡ a11 ⎤ ⎢ ⎥
  ⎢ H H ⎥ = ⎢ 0 ⎥   
⎣[ ][ ]⎦ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎣ ⎦
Phép biến đổi: 
⎡ a ([H][ X ]) ⎤ → [ A]  
T

    ⎡P1 ⎤[ A ]⎡P1 ⎤ = ⎢ 11
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥       (6) 
⎢[ H ][ X ]
⎣ [ H ][ A′][ H ]⎥

sẽ đường chéo hoá hàng đầu tiên và cột đầu tiên của ma trận [A]. Sơ đồ biến 
đổi của ma trận 4×4 là: 
           
  1  0  0  0  a11  a12  a13  a14  1 0 0 0 a11  ‐k  0  0
  0  a21  0 ‐k 
  0  [Q]  ×  a31  [A’] ×  0 [Q] =  0  [Q][A’] 
[Q] 
  0  a41  0 0 
 
Hàng và cột thứ 2 của ma trận [A] được biến đổi tiếp bằng cách dùng phép 
biến đổi đối với phần bên phải, phía dưới của ma trận. Phép biến đổi này có 
thể biểu diễn bằng  [ P2 ][ A ][ P2 ] → [ A ] , trong đó: 
⎡[ E 2 ] [ 0 ]T ⎤
  [P2 ] = ⎢ ⎥                (7) 
⎣ [0] [ H] ⎦
với [E2] là ma trận đơn vị 2×2 và [H] là ma trận (n ‐ 2)×(n ‐ 2) có được bằng 
cách chọn [X] từ (n ‐ 2) phần tử phía dưới của cột thứ 2 của ma trận [A]. Thực 
hiện (n ‐ 2) phép biến đổi: 
⎡[ Ei ] [ 0 ]T ⎤
  [Pi ] = ⎢ ⎥       i = 1, 2,..., n ‐ 2 
⎣ [0] [H] ⎦
để có được ma trận ba đường chéo(tridiagonal). Ta có: 




61
⎛ [ U ][ U ]T ⎞ = A′ − [ A′][ U] U T = A′ − V U T  
  [ A′][H] = [ A′]⎜ [E] − ⎟ [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
⎝ Q ⎠ Q
Trong đó: 
[ A′][ U]    
  [V] =               (8) 
Q
Do vậy: 
⎛ [ U ][ U ]T ⎞ A′ − V U T  
  [ H ][ A ′][ H ] = ⎜ [ E ] −
Q
(
⎟ [ ] [ ][ ] )
⎝ ⎠
[ U ][ U]T A′ − V U T  
                       = [ A′] − [ V ][ U ]T −
Q
(
[ ] [ ][ ] )
[ U ] ([ U ]T [ A′]) [ U ]([ U]T [ V ])[ U]T
           = [ A′] − [ V ][ U ] − +
T
     
Q Q
           = [ A′] − [ V ][ U ] − [ U ][ V ] + 2g [ U ][ U ]  
T T T


Trong đó: 

  g=
[ U ]T [ V ]                   (9) 
2Q
Đặt: [W] = [V] ‐ g[U]                  (10) 
Ta thấy ngay phép biến đổi có dạng: 
  [ H][ A′][ H] = [ A′] − [ W ][ U ]T − [ U ][ W ]T           (11) 
Thuật toán có thể tóm lại như sau: 
  ‐ Cho [A’] là ma trận vuông cấp (n ‐ i) có được từ phần dưới bên phải 
của ma trận [A] 
T
  ‐ Đặt  ⎡ X ⎤ = ⎡a i+1,i
⎣ ⎦ ⎣ a i+ 2 ,i L a n ,i ⎤  

  ‐ Tính  [ X ] . Cho k =  [ X ]  nếu x1 > 0 và k = ‐ [ X ]  nếu x1 
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản