Chương 3: Động lực học của vật rắn

Chia sẻ: Pham Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

0
447
lượt xem
168
download

Chương 3: Động lực học của vật rắn

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. Khái niệm về vật rắn: Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm. Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực; đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại lực. ...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 3: Động lực học của vật rắn

  1. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 79 Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. §3.1 – VẬT RẮN 1 – Khái niệm về vật rắn: Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm. Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực; đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại lực. Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi. Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định. Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn. 2 – Tính khối lượng của một vật rắn: Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính và mức hấp dẫn của vật. Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng là đại lượng bất biến. Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn. Khối lượng m của một hệ chất điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên hệ: m = mi ∑i (3.1) Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượng của vật rắn được tính bởi: ∫ m = dm Ω (3.2) với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn). Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối : dm ρ(M) = (3.3) dV
  2. 80 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Khi đó, dm = ρ(M)dV và m = ∫∫∫ ρ(M )dV (3.4) V Nếu vật rắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượng riêng của chất liệu cấu tạo nên vật rắn). Khi đó (3.4) trở thành: m = ρV (3.5) Tương tự, nếu hệ phân bố liên tục trên bề mặt (S) (hình 3.2), thì ta định nghĩa dm mật độ khối lượng mặt: σ( M ) = (3.6) dS với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố diện tích dS. Khi đó ta có: dm = σ(M)dS và m = ∫∫ σ(M )dS (3.7) S Nếu hệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối dm lượng dài: λ= (3.8) d với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài d . Khi đó ta có: dm = λd và m = ∫ λ(M)d (3.9) L Nếu hệ thuần nhất thì từ (3.7), (3.9) ta có: m = σS = λL (3.10) M dV M dS M d a) Yếu tố thể tích b) Yếu tố diện tích c) Yếu tố chiều dài dV bao quanh M dS bao quanh M d bao quanh M Hình 3.1 Một hệ phức tạp có thể chia thành nhiều phần, khối lượng của mỗi phần thuộc về một trong những dạng định nghĩa trên. Và khối lượng của hệ là tổng khối lượng của các phần đó.
  3. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 81 §3.2 KHỐI TÂM Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật rắn, trong một số trường hợp có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng cho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ. 1 – Định nghĩa khối tâm: M2 G M1 Khối tâm được định nghĩa xuất phát từ bài toán tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực) của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M1 và M2 có khối lượng m1 và m2. Trọng lực tác dụng lên → → → → P2 → 2 chất điểm đó là P 1 và P 2 . Hợp lực của P 1 và P1 → → → P 2 là P có điểm đặt tại G sao cho: P M 1G P2 m 2 Hình 3.2: Khối tâm của hệ 2 = = M 2 G P1 m1 chất điểm ⇒ m1.M1G – m2.M2G = 0 hay → → m1 . M 1G + m 2 . M 2 G = 0 (3.11) Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2. Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng lần lượt là m1, m2, …, mn đặt tương ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm của hệ là một → → → điểm G thoả mãn: m1 M 1G + m 2 M 2 G + ... + m n M n G = 0 n → hay: ∑m i =1 i MiG =0 (3.12) Với vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn: → → ∫ MG dm = Vaät raén ∫ MG ρdV = 0 Vaät raén (3.13) trong đó M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1) Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong hệ, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Các kết quả tính toán cho thấy, nếu hệ có một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thì khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó.
  4. 82 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, … Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia tốc trọng trường. Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường. Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớn, do đó gia tốc trọng trường hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng với G. Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết! Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác ABC. Xác định khối tâm của hệ. Giải → → → Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1 AG + m 2 BG + m 2 CG = 0 → → → Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG + BG + CG = 0 Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của tam giac ABC. 2 – Toạ độ của khối tâm: Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách tìm giao điểm của các trục đối xứng. Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật phẳng đồng nhất. Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị → → trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính rG = OG . Áp dụng “qui tắc 3 → → → điểm” đối với 3 điểm O, G và Mi bất kì, ta có: OG = OM i + MiG . Nhân hai vế phương trình này với mi rồi lấy tổng theo i, ta có: → → → m i OG = m i OM i + mi MiG n → n → n → và ∑ m OG = ∑ m OM i =1 i i =1 i i + ∑m M G i =1 i i → Vì OG không phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngoài dấu tổng: → n n → n → OG ∑ mi = ∑ mi r i + ∑m M G i i i =1 i =1 i =1
  5. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 83 n → Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: ∑m i =1 i MiG = 0 . n → → → ∑ mi ri Vậy: rG = OG = i =1 n (3.14) ∑m i =1 i → Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ ri có tọa độ ( x i , y i , z i ) nên khối tâm G của hệ có ⎛ n n n ⎞ ⎜ ∑ mi x i ∑ mi yi ∑m z ⎟ i i tọa độ: G ⎜ i =1n ; i =1 ; i =1 ⎟ (3.15) ⎜ n n ⎟ ⎜ ∑ mi ∑m i ∑ mi ⎟ ⎝ i =1 i =1 i =1 ⎠ Với vật rắn thì tọa độ của G là: ⎧ ⎪ ∫ xdm vaät raén ∫ ydm vaät raén ∫ zdm vaät raén ⎨x G = ; yG = ; zG = (3.16) ⎪ m m m ⎩ Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn. Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối lượng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC? Giải x Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G m3 C nằm trên OC. Chọn trục Ox như hình vẽ. Theo m1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 (3.15), ta có: x G = G m1 + m 2 + m 3 Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; m1 B A m2 x3 = xC = a 3 /2. O Hình 3.3 0 + 0 + 6m o a 3 / 2 3a 3 Suy ra: xG = = 10m o 10 xA + xB + xC a 3 Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì : x G = = 3 6
  6. 84 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện 0 + 0 + m 3a 3 / 2 a 3 d = Rdϕ ⇒ = ⇒ m3 = 2mo 2m o + 2m o + m 3 6 α ϕ Vậy phải giảm khối lượng vật m3 một lượng ∆m = 4mo O -α x x Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α. R Giải Hình 3.4: Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên Ox. Xét một yếu tố dài d chắn góc ở tâm dϕ. Hoành độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa trong d là dm = λ d = λRdϕ. Theo (3.16), ta có: α ∫ xdm ∫ R cos ϕ.λRdϕ λR ∫ cos ϕ 2 R sin α xG = L = L = −α = (3.17) m m λR.2α α trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung tròn. Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm dS = r.dr.dϕ một đoạn xG được xác định bởi (3.17). Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể dr dϕ hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α. r Giải ϕ O x x Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng Ox (đường phân giác của góc ở tâm). R Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượng chứa trong dS là Hình 3.5 dm = σdS; hoành độ của dS là x = r.cosϕ. Hoành độ của khối tâm G là: ∫ xdm ∫∫ r. cos ϕ.σdS ∫∫ r. cos ϕ.σ.r.dr.dϕ xG = S = S = S m m m
  7. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 85 R α σ ∫ r 2 dr. ∫ cos ϕdϕ 2R sin α ⇒ xG = 0 −α = (3.18) σ.αR 2 3α Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.18). Ví dụ 3.5: x Xác định khối tâm của một vật thể hình nón α h–x đồng nhất, đường cao h. h Giải r dx x Chia hình h G nón thành những phần 4 nhỏ, có dạng O O đĩa tròn bán kính r, bề Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nón dày dx (hình ∫ x.dm ∫ xρdV ∫ xρπr 2 .dx vaät raén vaät raén vaät raén 3.6). Ta có: x G = = = m ∫ ρdV ∫ ρπr 2 .dx vaät raén vaät raén h ∫ x (h − x ) .tg α.dx ∫ x (h − x ) 2 2 2 .dx vaät raén h xG = = 0 = ∫ (h − x ) h 2 .tg α.dx 2 4 ∫ (h − x ) 2 vaät raén .dx 0 Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên trục hình nón, cách đáy một h khoảng: xG = (3.19) 4 3 – Chuyển động của khối tâm: Vận tốc của khối tâm:
  8. 86 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện → d n → n dr n → → → d rG ∑ m i ri dt i =1 ∑ m i dti ∑m i =1 i vi vG = = n = i =1 n = n (3.20) dt ∑m i =1 i ∑m i =1 i ∑m i =1 i n → → d vG → ∑m i ai Tương tự, gia tốc của khối tâm: aG = = i =1 n (3.21) dt ∑m i =1 i → → Gọi Fi vaø fi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; → → → m= ∑ m i là khối lượng của toàn hệ. Theo (2.6) ta có : Fi + f i = m i a i . → → Suy ra: → aG = ∑ Fi + ∑ f i . m Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối, → nên tổng các nội lực ∑f i = 0. → Vậy: → aG = ∑F i hay m a G = ∑ Fi → → (3.22) m (3.22) chính là phương trình chuyển động của khối tâm. Từ đó ta thấy rằng, khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng các vật trong hệ. Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo của mỗi điểm trên cái rìu là hoàn toàn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của khối tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm (bỏ qua sức cản không khí).
  9. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 87 § 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất điểm. Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những tính chất đặc trưng riêng. Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định. 1 – Vật rắn tịnh tiến: Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi). Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm G của vật rắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc 3 điểm ta có: G G → → → OM = OG + GM M M → → → hay rM = rG + GM → → → Hình 3.7: Chuyển động tịnh d rM d rG d GM tiến của vật rắn. Suy ra: = + dt dt dt → → d GM Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM không đổi. Do đó = 0. dt → → d rM d rG → → Vậy: = hay v M = v G (3.23) dt dt Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm. Do đó chuyển động của vật rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn, đặt tại khối tâm G. 2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định: Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω thì mọi điểm của → vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục ∆, với cùng một vận tốc góc ω . → Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi R là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có: → → → - Vận tốc dài: v=ω x R (3.24)
  10. 88 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện và độ lớn: v = ωR (3.25) → → → - Gia tốc tiếp tuyến: a t = β x R (3.26) và độ lớn: at = βR (3.27) → - Gia tốc pháp tuyến: a n = ω 2 R (3.28) ω → R M → → → - Gia tốc toàn phần: a = a t + a n (3.29) và độ lớn: a = a2 + a2 t n (3.30) ω Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và Hình 3.8: Chuyển bánh xe II. Bán kính vôlăng là R1 = 10cm; bánh xe là R2 = động quay của 50cm. Vôlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị vật rắn quanh trục ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ cố định. còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong khoảng trời gian trên. Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe). Giải Gọi ω1 và ω2 là vận tốc góc của vôlăng và bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốc R2 R1 góc ban đầu của chúng. Ta có: ω01 = 720 vòng/phút = 24π rad/s. t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s. Vì dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe nên các điểm tiếp Hình 3.9 xúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2 Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là: R1 10 ωo 2 = ωo1 = .720 = 144 vòng/phút = 4,8π rad/s. R2 50 ω1 − ωo1 6π − 24π Gia tốc góc của vôlăng: β1 = = = −0,6π rad/s2. t1 30 Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t1 = 30s: 1 2 θ1 = ωo1 t 1 + β1 t 1 = 24π.30 − 0,3π.30 2 = 450π rad. 2
  11. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 89 Vậy, vôlăng đã quay được N1 = 225 vòng. R1 Số vòng quay của bánh xe trong thời gian t1 = 30s: N2 = N1 = 45 vòng. R2 ω o1 Ta có: ω1 = ωo1 + β1 t . Khi dừng: ω1 = 0. Suy ra t = − = 40s β1 Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện. Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t = 40s: 1 θ = ωo1 t + β1 t 2 = 24π.40 − 0,3π.40 2 = 912π rad 2 θ 912π Vận tốc góc trung bình của vôlăng: ω1tb = = = 22,8π rad/s. t 40 R1 Vận tốc góc trung bình của bánh xe: ω 2 tb = ω1tb = 4,56π rad/s. R2 3 – Chuyển động phức tạp của vật rắn: Khi vật rắn có chuyển động phức tạp bất kỳ (nhưng vẫn là song phẳng), ta có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điều này, ta xét 2 điểm bất kỳ M và N trên vật rắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo → → → → → → qui tắc 3 điểm ta có: OM = ON + NM hay rM = rN + NM . Lấy đạo hàm hai vế → → → d NM theo thời gian, ta có: vM = vN + dt → Vectơ NM có độ lớn không đổi, nhưng có phương thay đổi, nên ta có thể tìm được → → trục quay (∆) tức thời sao cho NM quay quanh N với vectơ vận tốc góc ω thỏa mãn → d NM → → → → phương trình: = ω x R vôùi R = NM (3.31) dt → → → → Do đó ta có thể viết: vM = vN + ωxR (3.32) Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kỳ trên vật rắn) bao gồm hai chuyển động: → - Tịnh tiến cùng với điểm cơ bản N với vận tốc v N ; → - Quay quanh điểm cơ bản với vận tốc góc ω .
  12. 90 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau → nhưng vận tốc góc ω không thay đổi. Trong các bài toán, ta thường chọn điểm cơ bản là khối tâm của vật rắn. Khi đó (3.32) trở thành: → → → → → → vM = vG + ω x R với R = GM (3.33) Tóm lại: Chuyển động bất kỳ của vật rắn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của điểm cơ bản và quay quanh trục đi qua điểm cơ bản đó. Thông thường, ta chọn điểm cơ bản là khối tâm G của vật rắn. Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩa tròn, lăn không trượt trên đường nằm ngang với vận tốc tịnh tiến vo. Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và quãng đường đi (sau hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường) của một điểm bất kì trên vành bánh xe. Giải Xét điểm y M trên → vM Đường vành → → D cong bánh xe. ωx R cycloid Chọn hệ trục toạ G → độ Oxy M vo như hình 3.10. Gốc O A x toạ độ và Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc của điểm M trên vành bánh xe. gốc thời gian tại vị trí và thời điểm M tiếp xúc với mặt đường. Do bánh xe lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc tịnh tiến của bánh xe: vM = ωR = vG = vo. → → → → → → → Vận tốc của điểm M: v M = v G + ω x R = v o + ω x R (*) Chiếu (*) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có: ⎧v x = v o − ωR cos ϕ = v o − v o cos ωt = v o (1 − cos ωt ) ⎨ (3.34) ⎩v y = 0 + ωR sin ϕ = v o sin ωt trong đó ϕ = MGA = ωt : là góc mà điểm M đã quay được trong thời gian t. Suy ra, độ lớn vận tốc của điểm M: ωt v M = v 2 + v 2 = v o 2(1 − cos ωt ) = v o | sin x y | (3.35) 2
  13. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 91 → → → → → Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì v M = ω x AM . Suy ra v M ⊥ AM . → Vậy: phương của v M luôn đi qua đỉnh D của bánh xe. (3.34) suy ra phương trình chuyển động của M: ⎧ t 1 ⎪x = ∫ v x dt = v o ( t − sin ωt ) = v o t − R sin ωt ⎪ 0 ω ⎨ t (3.36) ⎪ y = v dt = R (1 − cos ωt ) ⎪ ⎩ ∫ y 0 (3.36) biểu diễn đường cong cycloid. Vậy quĩ đạo của M là đường cong cycloid. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chính 2π là chu kì quay quanh khối tâm: T = . Trong khoảng thời gian này, điểm M đã đi ω T T → ωt được quãng đường: s = ∫ | v M | dt = v o ∫ | sin | dt = 8R. (3.37) 0 o 2 § 3.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 1 – Tổng quát: Chuyển động phức tạp của vật rắn được phân tích thành hai chuyển động đồng thời. Vì thế, mô tả chuyển động của vật rắn về mặt động lực học, ta cũng có hai phương trình: • Phương trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G: → dp → → → =F hay m a = F (3.38) dt → → Với: F = ∑ Fi là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn; → → → p = ∑ m i v i = m v G là động lượng của vật rắn; → a là gia tốc tịnh tiến của vật rắn (gia tốc của khối tâm). • Phương trình mô tả chuyển động quay quanh trục ∆ đi qua khối tâm G: → dL → = M (3.39) dt
  14. 92 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện → → Với: L= ∫d vaät raén là mô men động lượng của vật rắn; → → → M = ∑ (ri x Fi ) là tổng momen ngoại lực đối với trục ∆. Hai phương trình (3.38) và (3.39) mô tả chuyển động bất kỳ của vật rắn. Nếu xét trong hệ trục Oxyz ta có 6 phương trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta chỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật rắn, nên việc giải các phương trình trên sẽ đơn giản hơn. Trước hết, nếu chuyển động của vật rắn chỉ là tịnh tiến thì từ (3.38) ta thấy, chuyển động ấy được qui về chuyển động của khối tâm G và việc khảo sát giống như chuyển động của chất điểm G có khối lượng m. Dưới dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơn về chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định ∆. 2 – Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố định: Xét vật rắn quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc góc ω. Theo (2.57) ta có mômen động lượng của vật rắn là: → → → → → L= ∫d = vaät raén ∫ dI ω = ω vaät raén ∫ dI = I ∆ ω vaät raén (3.40) I∆ = ∫ dI = ∫ r 2 Với: dm (3.41) vaät raén vaät raén là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆. Chiếu (3.40) lên trục ∆, ta có: L∆ = I∆ω (3.42) dL ∆ d(I ∆ ω) dω Suy ra: = = I∆ = I ∆β (3.43) dt dt dt Chiếu (3.39) lên trục ∆ và kết hợp (3.43), ta có: I ∆β = M ∆ (3.44) (3.44) là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục ∆ cố định. Trong đó: β là gia tốc góc; M∆ là tổng đại số các mômen ngoại lực đối với trục quay ∆; I∆ là mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆. Về hình thức, (3.44) giống như phương trình cơ bản (2.6) của động lực học chất điểm, trong đó, mômen quán tính I đóng vai trò giống như khối lượng m. Vì khối lượng đặc trưng cho mức quán tính nên mômen quán tính cũng đặc trưng cho mức quán tính trong chuyển động quay. Do đó, người ta còn gọi mômen quán tính I là quán tính quay. Để giải được (3.44), ta cần tính được mômen của các ngoại lực và mômen quán tính đối với trục ∆.
  15. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 93 3 – Tính mômen lực đối với trục ∆: → Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật rắn quanh trục ∆ của ngoại lực F , ta → phân tích F thành các thành phần (xem hình 3.11): → → → → → → F = F // + F ⊥ = F // + Fn + Ft (3.45) → • Thành phần F// có phương song song với trục ∆, nên có tác dụng làm vật rắn trượt theo trục ∆. Thành phần này sẽ được cân bằng bởi phản lực của trục ∆. → • Thành phần F ⊥ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, lại được phân tích → → thành hai thành phần: Fn và Ft . → • Thành phần Fn nằm trên pháp tuyến qũi đạo của điểm M, có tác dụng kéo → vật chuyển động vuông góc với trục F// → ∆. Thành phần này cũng được cân → F bằng bởi phản lực của trục quay ∆. ω → → • Thành phần Ft hướng theo tiếp Ft tuyến qũi đạo của điểm M, chính ω M → thành phần này mới thực sự làm vật → F⊥ rắn quay quanh trục ∆. Fn Vậy, chỉ có thành phần tiếp tuyến của Hình 3.11: Chỉ có thành phần lực mới thực sự gây ra tác dụng làm tiếp tuyến của lực mới gây ra quay vật rắn. tác dụng làm quay vật. → Suy ra mômen của ngoại lực F đối với trục quay ∆ (gọi tắt là mômen quay) là: → → → M ∆ = R x F t ⇒ M ∆ = Ft .R = F⊥ .d = F⊥ .R sin θ (3.46) với R là bán kính quĩ đạo của điểm M (điểm đặt của ngoại lực); d = Rsin θ là cánh tay → → đòn; θ là góc giữa R và thành phần F ⊥ (xem hình 3.12). → Từ (3.46) suy ra, mômen quay sẽ lớn nhất khi lực F nằm vuông góc với trục → quay và vuông góc với vectơ bán kính R .
  16. 94 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Nếu có nhiều ngoại lực tác dụng vào vật rắn thì tổng mômen của ngoại lực là: → → → M ∆ = ∑ (R i x F ti ) ⇒ M ∆ = ∑ Ft i .R i (3.47) i i Ví dụ 3.8: Lực F = 10N tác dụng vào vật → H rắn có trục quay cố định. Biết F nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, d có điểm đặt cách trục quay 20cm và tạo với bán kính R một góc 30o. Tính mômen R θ M quay của lực. Giải O Hình 3.12 → Mômen quay của lực là: F⊥ M∆ = F.R.sinθ = 10.0,2.sin30o = 1(Nm) . Ví dụ 3.9: Tính mômen của lực để mở cánh cửa → → hình chữ nhật, biết lực tác dụng vào tay nắm F’ F (núm cửa) vuông góc với mặt cánh cửa, có độ lớn 5N và tay nắm ở cách bản lề 80cm. Nếu điểm đặt của lực không phải ở núm cửa mà chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớn của lực phải là bao nhiêu để có mômen trên? O N M Hình 3.13: Mômen làm Giải quay cánh cửa Mômen lực khi đặt tại núm cửa: Mo = F.d = 5.0,8 = 4(Nm) Nếu điểm đặt của lực chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớn của lực là: F’ = Mo/d’ = 4/0,5 = 8 (N). 4 – Tính mômen quán tính đối với trục ∆: a) Nhắc lại các công thức định nghĩa về mômen quán tính: Mômen quán tính đối với trục quay ∆ của: • Một chất điểm: I∆ = mr2 (3.48) với r là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay; m là khối lượng của chất điểm. n • Hệ chất điểm: I ∆ = ∑ m i ri2 (3.49) i =1 với mi là khối lượng của chất điểm thứ i; ri là khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục ∆.
  17. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 95 I∆ = ∫r 2 • Vật rắn: dm (3.50) vaät raén với r là khoảng cách từ yếu tố khối lượng dm đến trục ∆. Tùy theo phân bố của vật rắn mà dm có thể tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9). b) Mômen quán tính của một số vật rắn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay ∆ đi qua khối tâm G: Ví dụ 3.10: Tính mômen quán tính của hình trụ rỗng, thành mỏng hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó. Giải dϕ Chia bề mặt hình trụ làm nhiều phần, có dạng hình chữ nhật, mỗi phần có chiều rộng d = Rdϕ. Gọi σ là mật độ khối lượng phân bố trên mặt trụ, ta có: dm = σ dS = σ h.d = σhRdϕ h d ⇒ dI = dm. R2 = σ hR3 dϕ Vì khối lượng phân bố đều nên σ = const R 2π ∫ dI = ∫ σ hR dϕ = σ hR ∫ dϕ 3 3 ⇒ I= maët truï maët truï 0 Hình 3.14 ⇒ I = 2πσ hR3 = mR2 với m = 2πσhR là khối lượng hình trụ. Làm tương tự đối với vành tròn (trục quay là trục của vành tròn), ta cũng có: I = mR2. dr Vậy: Mômen quán tính đối với trục của hình trụ rỗng, hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều là: I = mR2 (3.50) với m và R là khối lượng và bán kính hình trụ, hay vành h tròn. Ví dụ 3.11: Tính mômen quán tính của khối trụ đặc hay điã tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó. Giải Chia khối trụ đặc thành nhiều lớp mỏng, có bề dày dr dr. Mỗi lớp được coi như môt hình trụ rỗng, nên có mômen r quán tính là: dI = dm.r2 = ρdV.r2 với ρ là khối lượng riêng của khối trụ. Hình 3.15 Mà dV = dS.h = [π(r + dr)2 - πr2 ].h ≈ 2πhrdr
  18. 96 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện ⇒ dI = 2πρhr3 dr R 1 1 ⇒ I= ∫ dI = 2πρh ∫ r dr = πρhR 4 = mR 2 3 toaøn khoái truï 0 2 2 Tương tự, đối với đĩa tròn ta cũng thu được kết quả trên. Vậy: Mômen quán tính đối với trục đối xứng của khối trụ đặc hay điã tròn đồng chất, 1 khối lượng phân bố đều là: I = mR 2 (3.51) 2 với m và R là khối lượng và bán kính của khối trụ hay đĩa tròn. Ví dụ 3.12: Tính mômen quán tính của thanh đồng chất, khối lượng m phân bố đều theo chiều dài của thanh, đối với trục ∆ dx vuông góc với thanh. Giải x O − Chia chiều dài thanh thành các phần 22 tử nhỏ có bề dày dx. Khối lượng của mỗi Hình 3.16 phần đó là dm = λ dx , với λ là mật độ khối lượng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượng phân bố đều nên λ = const. Ta có dI = dm.x2 = λ dx.x2 = λ x2 dx 2 1 1 ∫ dI = λ ∫ x dx = λ = 2 3 2 ⇒ I = m (3.52) toaøn thanh 12 12 − 2 với m = λ là khối lượng của thanh; là chiều dài của thanh. Ví dụ 3.13: Tính mômen quán tính của khối cầu đặc, đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính. Giải z Mômen quán tính đối với trục Oz (hình 3.17): z M r Iz = ∫ dI = ∫ rz2 dm = ∫ (x + y )dm 2 2 y y khoái caàu khoái caàu khoái caàu O x Tương tự đối với trục Ox, Oy ta cũng có: Ix = ∫ (y + z 2 )dm ; 2 khoái caàu x Iy = ∫ (z + x 2 )dm . Hình 3.17 2 khoái caàu
  19. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 97 Ix + Iy + Iz Do tính đối xứng cầu nên Ix = Iy = Iz = I = 3 2 2 ⇒I = ∫caàu (x + y + z )dm = 3 khoá∫caàu ρdV 2 2 2 r2 3 khoái i 4 3 Mà thể tích hình cầu là V = πr ⇒ dV = 4πr2 dr 3 R 2 8 8πρ 5 2 ∫caàu r ρ4πr dr = 3 πρ∫ r dr = 15 R = 5 mR 2 2 4 2 ⇒ I= (3.53) 3 khoái 0 4 3 với R, m = ρV = πR ρ là bán kính, khối lượng của khối cầu. 3 Ví dụ 3.14: Tính mômen quán tính của khối cầu rỗng, thành mỏng đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính. Giải Xét điểm M trên mặt cầu, ta có: x + y + z2 = R2 = const . Làm tương tự ví dụ 6, ta 2 2 2 2 2 cũng có: I = ∫caàu (x + y + z )dm = 3 maët∫caàu dm = 3 mR 2 2 2 R2 2 (3.54) 3 maët c) Định lí Huygens – Steiner: Các công thức (3.50) đến (3.54) chỉ cho phép tính mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆G đi qua khối tâm G. Trong trường hợp, trục ∆ không đi qua G nhưng song song với ∆G, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính: I∆ = IG + md2 (3.55) với m là khối lượng của vật rắn và d là khoảng cách giữa hai trục quay ∆ và ∆G. Chứng minh: Xét một yếu tố khối lượng dm, các ∆G ∆ trục ∆G một đoạn x và cách trục ∆ một dm khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18). d x Mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆G x O ∫ là: I G = x 2 dm và đối với trục ∆ là: VR I= ∫ ( x + d) dm = ∫ (x + 2dx + d 2 )dm Hình 3.18: Chứng minh định 2 2 VR VR lí Huygens - Steiner ⇒ I = ∫ x 2 dm + 2d ∫ xdm + ∫ d 2 dm (*) VR VR VR
  20. 98 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Số hạng thứ nhất ở vế phải của (*) chính là mômen quán tính đối với trục ∆G; số hạng thứ hai luôn triệt tiêu, vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo x và miền tính tích phân đối xứng quanh trục ∆G của vật rắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ x thì tồn tại yếu tố dm ở tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai bằng không); Số hạng thứ ba chính là md2. Vậy: I∆ = IG + md2 (đpcm). Ví dụ 3.15: Tính mômen quán tính của thanh đồng chất đối với trục quay đi qua một đầu và vuông góc với thanh. Giải Ap dụng định lí Huygen – steiner: 1 1 I∆ = IG + md2 = m 2 + m( ) 2 = m 2 (3.56) 12 2 3 § 3.5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Tương tự như Động Lực Học chất điểm, trong Động Lực Học vật rắn cũng có hai dạng bài toán: thuận và nghịch. Bài toán cho biết các lực, tìm gia tốc – gọi là bài toán thuận; bài toán cho gi a tốc tìm các lực, mômen lực – gọi là bài toán nghịch. Phương pháp giải các dạng bài toán này đều tuân theo trình tự sau: 1 – Các bước: • Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật rắn. → → • Bước 2: Viết cc phương trình động lực học: ∑F = ma (1) cho chuyển động tịnh tiến v phương trình ∑M ∆ = I ∆ .β (2) cho chuyển động quay (nếu có). • Bước 3: Chiếu phương trình (1) lên các trục toạ độ cần thiết. • Bước 4: Giải hệ phương trình và biện luận kết quả. Chú ý: - Khi chiếu một vectơ lên trục toạ độ, nếu vectơ đó đã xác định thì hình chiếu của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dương hay âm của trục toạ độ. Nếu vectơ đó chưa xác định (thường là vectơ gia tốc và các lực liên kết) thì hình chiếu của nó sẽ có giá trị đại số. - Khi tính tổng các mômen lực, cần chọn một chiều quay dương (thường là chiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đó thì mômen của nó sẽ dương; trái lại là mômen âm.
Đồng bộ tài khoản